精品解析：陕西西安市铁一中学2026-2027这年上学期九年级数学10月学情自测试卷

九年级数学 一．选择题（共9小题） 1. 如图，所示的几何体，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图为． 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 3. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先排除平行四边形本身已满足的条件对应的选项，再结合矩形的判定判断剩余选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故B、D不符合题意； 当时，平行四边形为菱形，故C不符合题意； 当时，平行四边形为矩形，故A符合题意． 4. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56.25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，和是位似图形，位似中心为点O，再根据周长比等于位似比，即可求解． 【详解】解：由题意得，和是位似图形，位似中心为点O， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∴， ∴． 6. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，E是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再利用中位线的性质即可解答． 【详解】解：菱形的周长为， ， E是的中点，对角线，相交于点O， ． 7. 已知二次函数图象经过点和，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ∵， ∴． 8. 已知a是方程的一个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】无需解出的具体值，将所求式变形后利用方程根的定义整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根． ∴，即． ∴． 9. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形性质得出及边长比例，结合直角三角形性质证得为中点，构造平行线利用相似比求解． 【详解】解：， ，， ，在上， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， ， 过点作交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ，即， ． 二．填空题（共6小题） 10. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再把代入所求式子中约分，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 11. 某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，根据三视图得到几何体是圆柱，以及圆柱的底面半径和高，进而利用圆柱的体积等于底面积乘以高求解即可． 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 12. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质和判定，根据题意证明，结合高之比等于相似比得到，再结合蜡烛火焰的高度是，进行求解，即可解题． 【详解】解：与交于点O，， ， 点O到的距离为，点O到的距离为， ， 蜡烛火焰的高度是， ， 解得， 故答案为：． 13. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 14. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据一次函数的解析式求出点和点B的坐标，再设点P的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得得到答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵点P在线段上（不与点A、B重合） ∴可设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， 解得或，均符合题意， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键． 15. 如图，四边形中，，，连接，其中，，点，为，上动点，满足，点是的中点，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用等腰三角形的性质求出其面积，进而求出边上的高，即为平行线 与之间的距离；设，利用平行线分线段成比例或相似三角形性质，分别表示出点和点到的距离；根据点是中点，构造三角形的中位线，求出点到的距离，从而得到点到的距离；最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ， 是等腰三角形， 为中点， 在中，， ， 又， ， 解得， 平行线与之间的距离为 设，则， 分别过点、、作的垂线，垂足为，则 ∴， ， 即 点在上，点在上， ∴ ∵ ， 即， 连接并延长，与延长线交于点， ∵ ∴ 点是的中点， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴是的中位线， ∴ 延长交于点 ∵， ∴ 点到的距离，， ． 三．解答题（共10题） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． 19. 如图，在中，点为边的中点，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】根据题意，结合三角形的中位线的性质，可得出点为线段的中点时，，首先以点和点为圆心，以大于的相同长为半径，分别在线段两侧画弧，其弧的交点分布于线段的两侧，连接两交点，交线段于点，此点即为所求点，然后连接． 【详解】解：略． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、尺规作图，解本题的关键在理清题意，通过尺规作图正确的出线段的中点． 20. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 21. 某水果商场经销一种高档水果，若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】每千克应涨价元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可． 【详解】解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得， 解得：， 因为规定每千克涨价不能超过8元， 所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 的取值范围是 （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等实数根的条件，结合判别式列不等式求解； （2）通过根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后结合判别式范围验证． 【小问1详解】 解：在一元二次方程中， ，，， 方程有两个不相等的实数根， ， ， ， 解得； 【小问2详解】 解：方程有两个实数根，， ，即， 解得， 由根与系数的关系得： ，， ， ， ， 将，代入得： ， 解得， ，符合条件， 的值为． 23. 西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 【答案】城墙的高度为米． 【解析】 【分析】延长交于点，得到矩形，则，，证明，所以，代入可得，设米，则米，米，（米），（米），根据镜面反射的等角性质，证得，然后通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵直角边与水平地面平行， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设米，则米， ∴米，（米）， ∴（米）， 由题意得， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴（米）， 答：城墙的高度为米． 24. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）． ①；②；③当时，有最大值为；④当时，的值随值的增大而增大． （3）若将二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数，两个二次函数最高点之间的距离是多少？ 【答案】（1）二次函数图象，如图所示： （2）②③ （3）2 【解析】 【分析】（1）先描点，再连线即可作图象； （2）根据函数图象分析即可； （3）先根据函数图象得出二次函数的顶点坐标为，然后根据对称性得出新二次函数的顶点坐标，最后求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可得，抛物线开口向下，故，故①错误； 由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故②正确； 由图象可得，当时，有最大值为，故③正确； 由图象可得，当时，的值随值的增大而减小，故④错误； 综上，正确的有②③； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，顶点坐标为， ∵将二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数， ∴新的二次函数的顶点坐标为， ∴两个函数图象最高点坐标分别为，， ∴两个二次函数最高点之间的距离是． 25. 按要求解答问题： （1）如图①，已知，若，且，则的长是________； （2）将图①中绕着点逆时针旋转，如图②，取线段，的中点，，连接，，证明； （3）如图③，在中，，，，以为边逆时针方向作，点是线段上的一点，以为边向下构造，且满足，点是的中点，当的和最小时，求出的值． 【答案】（1）6 （2）证明：∵， ∴， ∵点，为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，再代入数据计算即可； （2）先证明，，即可证明； （3）取的中点H，作直线l过点P，H，证明，得出，说明直线l与的夹角为，得出点P在直线l上，过点C作直线l的对称点K，连接，，设直线l交的延长线于点S，直线l交于点O，连接，根据两点之间线段最短，得出当点P在点O处时，最小，且最小值为的长度，过点P作于点N，延长交于点G，以点C为原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，求出直线的解析式为，直线的解析式为，求出点P的横坐标为，证明，得出即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取的中点H，作直线l过点P，H， ∵H是中点， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵P是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即直线l与的夹角为， ∴点P在直线l上， 过点C作直线l的对称点K，连接，，设直线l交的延长线于点S，直线l交于点O，连接，如图所示： 由对称性可知，，，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点P在点O处时，最小，且最小值为的长度， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，过点K作于点M， 则，， ∴， ∵，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 如图，过点P作于点N，延长交于点G，以点C为原点，直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系， 则点，，，， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理：直线的解析式为， 令， 解得：， ∴点P的横坐标为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当和最小时，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 一．选择题（共9小题） 1. 如图，所示的几何体，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 4. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56.25 5. 如图，一块三角形硬纸板平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是，若与的周长之比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，E是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数图象经过点和，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a是方程的一个根，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 9. 如图，在中，，，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共6小题） 10. 若，则的值为________． 11. 某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 12. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2所示：与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是______． 13. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为________（结果保留根号）． 14. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为______． 15. 如图，四边形中，，，连接，其中，，点，为，上动点，满足，点是的中点，则的面积是________． 三．解答题（共10题） 16. 计算：． 17. 化简：． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 如图，在中，点为边的中点，请用尺规作图法在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求矩形的周长． 21. 某水果商场经销一种高档水果，若每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若方程的两个实数根为，，且满足，求的值． 23. 西安城墙是西安标志性古建筑，实践活动中，某数学小组展开测量某段城墙高度的活动，为了方便计算，自制直角三角板，，使得米，米，小华手持三角板调整角度，使长直角边与水平地面平行，当她站在处时其眼睛在处，此时看到，及城墙顶端在一条直线上，小亮在，之间平放一块平面镜，通过调整平面镜的位置，当平面镜在点处时，小华在处恰好能从平面镜中看到城墙顶端的像，通过测量发现，米，米，求城墙的高度． 24. 已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是________（填序号）． ①；②；③当时，有最大值为；④当时，的值随值的增大而增大． （3）若将二次函数的图象关于轴对称，得到新的二次函数，两个二次函数最高点之间的距离是多少？ 25. 按要求解答问题： （1）如图①，已知，若，且，则的长是________； （2）将图①中绕着点逆时针旋转，如图②，取线段，的中点，，连接，，证明； （3）如图③，在中，，，，以为边逆时针方向作，点是线段上的一点，以为边向下构造，且满足，点是的中点，当的和最小时，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $