陕西西安市交通大学附属中学分校2026-2027学年九年级上学期第一次学情自测数学试题

初三年级数学练习（一） 注意事项： 本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共4页，总分120分。考试时 间120分钟。 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的) 1.若a,b,b,c是成比例的线段，其中a=3,c=12,则线段b的长为() A.2 B.4 C.15 D.6 2.图①是巴黎奥运会颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台的俯视图是() 正面 图① 图② B D. 3.在一个不透明的袋子中有除颜色外完全相同的6个白球和若干个黑球，通过多次摸球后发 现，摸到黑球的概率是70%，则袋子中有（)个黑球. A.14个 B.12个 C.13个 D.10个 4.如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下的亮区宽DE=2.7m,已知亮区一边到窗下 的墙脚距离CE=8.7m,窗高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高度BC是（) A.4m B.3m C.3.5m D.4.5m 5.若关于x的一元二次方程a2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（) A2-号 Bk是 C.k≥-9且k≠0 D.k>-9且k≠0 4 4 笛1 6.如图，B,R,C三点共线，AC与BD交于点E,EF∥AB∥DC,若BF:CF=5:7,则SMBE SACDE 的值为() A. 5 B 25 C. 5 D. 24 49 49 E D 2 D G (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.如图，边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，AB//x轴，将正方形ABCD绕 原点O顺时针每次旋转45°，则旋转7次后顶点B的坐标是（) A.(-V2,0) B.(0,-√2) C.(0,V2) D.(-1,1) 8.如图，在矩形纸片ABCD中，点E在边AD上，连接BE,点F在线段BE上，且BF=3EF, 折叠矩形纸片使点C恰好落在点F处，折痕为DG,若AB=√10，则折痕DG的长为() A.√10 B.2W5 C.2W10 D.4 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.已知”=3，那么m 4 m+n 10.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远” 端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN，P?上，且 AB/INP,“远”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处.若NP=2cm,则BC的长 为 cm. M Q N (第10题图) (第11题图) 11.如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小 内角的度数为 12.若m,n是方程x245x-3=0的两个根，则m2n+mn2-12= 13.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，B,C在x轴上，BC=6, O为BC中点，A在y轴上，OA=4,连接OD,若E为x轴正半轴上的点，且△AOE与 △DAO相似，则点E的坐标为 D E M C B (第13题图) (第14题图) 14.如图，在口ABCD中，AD=2,∠DAB=60°，CD=2AD,M为CD中点，连接AM,过AM 上一点P作PE⊥CD于点E设P点到直线BC的距离为d,若PE=d,则四边形APED 的面积为 三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程） 15.(4分)化简：（ a2-a a-1' 5x-2<3(x+1) 16.（4分)解不等式组： 2x-22x-1 3 17.（10分)解方程： (1)x(x+4)=3x+12; （2)3x2-1=4x. 18.(6分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是AD上一点，且BE=BD. 求证：△ABE△ACD. 19.（7分)在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为0(0,0)，A（-2,-1), B（-1,-3),△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形. (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2,使它与 △OAB的位似比为2：1； (3)△OAB的内部一点M的坐标为（a,b),直接写出点M在△OA2B2中的对应点M的坐 标为 y B 20.(6分)小明设计了一个“随机旋律生成器”，包含音名、音符两个转盘.如图，音名转 盘被平均分成2个扇形区域，分别标有他喜欢的音名A,B;音符转盘被平均分成3个扇 彩区域，分别标有他喜欢的三个音符：日（四分音符），日（八分音符），6（十六分音 符) (1)小明任意转动音名转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在标有音名A区域的概率 为 (2)小明任意转动音名转盘、音符转盘各1次，当转盘停止转动时，用列表或画树状图 的方法，求音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符二区域的概 率. 4 B 8 音名转盘 音符转盘 21.（7分)某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月 内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高2元，销售量就会减少10件. (1)当该服装店将销售单价定为74元时，那么销售量为件； (2)若服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润6000元，并且尽可能减少库存，问 T恤的销售单价应定为多少元？ 22.(8分)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5Cm,BC=7cm,点P从点A开始沿AB边 向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以3cm/s的速度移动.若P, 2两点同时出发，当点Q运动到点C时，P,Q两点同时停止运动.求： (1)几秒后，Pg的长度等于3W5cm? (2)△PBQ的面积能否等于10cm2?说明理由， 23.(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G 在AB上，EF⊥AB,OG//EF. (1)求证：四边形OEFG是矩形； C2》）若D=10,BG=品，求BD的长 D E 24.(8分)松柏斗寒傲雪、四季常青，黄帝手植柏，又名轩辕柏，位于延安市黄帝陵内，相 传为人文初祖轩辕黄帝亲手所植，迄今已有五干余年树龄，享有“世界柏树之父”的美誉， 属国家一级保护古树名木。某校九年级“创新实践小组”赴黄帝陵开展研学实践活动，计划 运用所学数学知识测量该柏树的高度.由于柏树底部设有古迹保护设施，观测者既无法靠近 树根底部，也无法直接测得观测点到树根底部的水平距离，小组经讨论决定采用镜面反射法 进行测量，观测数据见“轩辕手植柏高度测量报告”. 轩辕柏高度测量报告 课题 利用镜面反射法测量黄帝陵轩辕手植柏高度 测量小组 创新实践小组 测量原理 光的反射定律（反射角=入射角），借助镜面构造相似三角形（借鉴《海 岛算经》的重测法思想) 1.两次观测时，观测者眼睛到地面的高度均为EF=CD=1.5m; 测 2第一次观测：观测者站在点F处，将镜子放置于点M处，当观测者 量 眼晴E从镜中恰好看到柏树顶端A时，测得FM=2.0m; 记 3.第二次观测：观测者沿大树方向向前走4.2m到达点D处（即 录 FD=4.2m),将镜子放置于点N处，当观测者眼睛C从镜中恰好看到柏树 顶端A时，测得DN=1.7m; 4.点位说明：点F、M、D、N、B在同.条水平直线上；（镜子的厚度 和大小忽略不计) 测 量 示 FMDN 请根据测量报告中的相关数据，求轩辕手植柏AB的高度： 第4页，共4页 25.(10分)（1)如图①，若△ABC∽△AED,∠ACB=90°，且E、D、C三点共线，连接 EB,则∠AEB= (2)如图②，已知Rt△ABC,∠ACB=90°，AC=BC2√2，点D在边AB上，以CD为腰 在其右侧作等腰直角△CDE,且∠CDE-90°，连接BE,若BE=1,求AD的长， (3)如图③，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,且AB=2CD=6,∠DAB=∠B=60°， 在梯形对角线AC上取一点O,使得OC-OD,将△COD绕点C旋转，得到△CEF,连接 OE,AR请问：在旋转过程中，3OE-AF是否存在最大值，若存在，求出最大值，若 不存在，请说明理由 D 图① 图② 图③ 初三年级练习一参考答案 一、选择题（每题3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A A B C D 二、填空题（每题3分） 10.5-) 11.45 12.3 1.(06o 14.55 6 三、解答题 15,解：（号）+2。 =0奇-l×aa可 a …2分 =2a-1-a2 aa-)×a+l)a-可 =-a-12 =aa-×a+da-d …3分 a+l …4分 16.解：解不等式①，得x< …1分 解不等式②，得x≤1， …2分 .原不等式组的解集为x≤1 ……4分 17.解：(1)原方程可化为x(x+4)-(3x+12)=0, 即x(x+4)-3(x+4)=0, …2分 .(x-3)（x+4)=0, …3分 .X1=3,x2=-4. …5分 (2)原方程可化为3x2-4x-1=0 :4=(4)2-4×3×(1)=28>0 x=4±V282±V万 …3分 2×3 3 2+√72-√万 X1= 3 …5分 18解：(1)如图，点P即为所作，P点坐标为(-5，-1)：…2分 (2)如图，A0AB2即为所作： …5分 (3)(2a,2b) …7分 19.证明：，AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. …2分 .'BE=BD, ∴.∠BED=∠BDE. …4分 .180°-∠BED=180°-∠BDE. 即∠AEB=∠ADC. ∴.△ABE∽△ACD. …6分 20.解：(1)指针落在标有音名A区域的概率为， …2分 (2)列表如下： 音名转盘 音符转盘好 音符转盘日 8 音行转食品 A (A,) a君) (A) B (®，) (B,) B,) 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指 针落在标有音符区域的结果有1种， …5分 “P(音名转盘指针落在标有音名B区域且音符转盘指针落在标有音符区域)合 …6分 21解：(1)230件：………2分 (2)设T恤的销售单价提高x元，依题意得 (60+x-50)(300.Xx10）=600,4分 2 整理得 2-50x+600=0, 解之得 x1=20,x2=30,………5分 要尽量减少库存， x=20. …………6分 .T恤的销售单价应为x+60=80元. 答：T恤的销售单价应定为80元， ……………7分 22.解：(1)7÷3=3S), 当运动时间为ts(0≤t≤子)时，PB=(5-t)cm,BQ=3tcm, 在Rt△PBQ中，∠B=90°，由勾股定理得 PB2+BQ2=PQ2 即即(5-12+(3)2=(3V52 整理得：2-1-2=0， 解得：4=2,42=-1（不符合题意，舍去） 答：2秒后，PQ的长度等于35：……3分 (2)△PBq的而积不能碎于10Cm不能，理由如下： 依题意得：×3t(5-t)=10 …5分 整理得：3t2-15t+20=0, △=(-5)2-4X3×20=-15<0,……………7分 .该方程没有实数根， △PBQ的而积不能答于10cm:……8分 23.解：（1)，四边形ABCD是菱形， .0B=0D, E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ………:2分 ∴.0E∥FG, OG∥EF, 四边形OEFG是平行四边形，…3分 EF⊥AB, ∠EFG=90° ∴.四边形OEFG是矩形： …4分 (2),四边形ABCD是菱形， .BD⊥AC,即∠AOB=90°，AB=AD=10, ∴.∠A0D=90°， 由(1)知四边形OEFG是矩形 ∴.∠OGB=∠OGF=90°=∠AOB…4分 .∠OBG=∠ABO ,∴.△BGO∽△BOA BG BO BO BA 9 即10=B0 B010 解得BO=3 .BD=2BO=6 …8分 24.解：由题意得EF-CD=1.5m,FD=4.2m, FM=2.0m, DN-1.7m,则 MD=FD-FM=4.2-2.0=2.2m 设NB=x米，则MB=MD+DN+BN=2.2+1.7+x=(x+3.9)米。 由题意，得∠CND=∠ANB,∠CDN=∠ABN=90°， ∴.△CND∽△ANB, .CD_DN …2分 AB BN 同理，△EMF∽△AMB, EF FM AB=BM .EF=CD, DN FM .72.0 “BN=BM 即 =x+3.9 …5分 解得x=22.1,即BN=22.1 CD DN aB en' 端品 1.7 解得AB=19.5.…7分 答：大树AB的高度为19.5米。…8分 25.解：（1)90°：… …2分 (2)过点C作AB的垂线，垂足为F, RI△ABC,AC=BC=2N2 A8Ca45,8=4,则A:8F82 ∴.△FBC为等腰直角三角形，且CF=BF CF 1 cB=2, ∠FCB=45° 等腰直角△CDE C-↓=CE ∠DCE=45 CE√2CB, ,∠DCF=∠DCE-∠FCE;∠ECB=∠FCB-∠FCE;∠FCB=∠DCE ∴.∠DCF=∠ECB ∴.△DCF∽△ECB… …4分 DF=CF 六EB=cB=2 ,BE=1 9方，即0r…号 2 @如图AD=AF-DF=2-y ……5分 2 ②如图AD=AF+DF=2+ 2 即AD=2-5或2+ 2 2 …6分 (3)连接OF,DF,过D,C作AB的垂线，垂足分别为M,N. ,四边形ABCD是等腰梯形，∠DAB=∠B=60° ∴.AD=BC,∠ADC=1209 ∠DMA=∠CNB=90° ∴.△ADM≌△BCN ∴，AM=BN ,AB∥CD,DM∥CN ∴.四边形CDMN为平行四边形 .'.CD=MN ,'AB=2CD=6 Awe时e号 在Rt△ADM中，∠ADM=30° .AD=2AM=3… …7分 ∴.△ADC为等腰三角形，且∠ADC=120° .OC=OD ∴.∠ODC=∠0CD=30° 过点0作0G⊥CD于G,则OC=20G, ".cG-oc 2 ∴.cD=V30C,则0C=0D=V3 AC= 同理，DC 由旋转DC=CF,OC=CE,∠DCO=∠FCE '.∠DCF=∠oCE DC-CF- OC CE .△DCF∽△OCE… …8分 ÷8E=5,甲308=50F “%-6,器 CF CD =√5，∠FCO=∠ACF .△OCF∽△FCA… …9分 ÷架=5，即=50F :30E-AF=3DF-3OF=3DF-OF3 V30D 即D,O,F三点共的时取等，30E-AF的最大值为3.…10分