精品解析：陕西安康市旬阳县公馆初级中学2026-2027学年度第一学期课后综合作业（一)九年级数学

2026~2027学年度第一学期课后综合作业（一） 九年级数学（人教版A） 满分120分，时间120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．据此即可求解． 【详解】解：A：未知数的最高次数是3，不符合题意； B：未知数的最高次数是1，不符合题意； C：是分式方程，不符合题意； D：符合一元二次方程的定义,符合题意； 故选：D 2. 对于二次函数，当时，随的增大而（ ） A. 先增大后减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小后增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 3. 方程的根是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 移项得， 开平方得，即，. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解： 则， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5. 已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答． 【详解】根据题意有：， 故选：D． 6. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则（ ） A. 2029 B. 2023 C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】把代入一元二次方程中，得到，再把代入，即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 7. 一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 【详解】解：A、一次函数与y轴交点应为，二次函数与y轴的交点也应为，图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，，由直线可知，，a的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，，由直线可知，，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确． 故选：D． 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，函数值随的增大而减小 D. 函数的最小值等于 【答案】D 【解析】 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 把方程化成一般形式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式．先去括号，再移项，合并同类项即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10. 抛物线顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线解析式的顶点式的特点即可解答． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 12. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律计算即可得到结果． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律， 将原抛物线向左平移3个单位长度，对自变量加3，得， 再向下平移4个单位长度，整体减4，整理得． 13. 在花艺造型中，黄金分割被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高与整体作品的高之比是黄金分割数（即）．若整体作品的高，则花材的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例式 ，列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， 即， ， ， 整理得， 即， 解得或（负值，舍去） 即花材的高为 ． 14. 如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 当最小时，周长的最小， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即， 开方得， 解得，． 16. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用公式法解一元二次方程，先确定系数、、，再计算判别式，最后代入求根公式求解．本题主要考查用公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的一般形式、判别式公式及求根公式是解题的关键． 【详解】解： ，，， ， ∴， ∴，． 17. 利用因式分解法解方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 则 ， ∴ 或 ， 解得． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18. 如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 【答案】该广场原来的半径为． 【解析】 【分析】先找出等量关系，再列出一元二次方程，最后求解即可． 【详解】解：由题意可知，含跑道的圆形活动区域的半径为． 根据题意，得， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：该广场原来的半径为． 19. 已知二次函数． x …… 0 1 3 5 6 …… y …… 5 0 －4 ______ ______ …… （1）补全表格，在如图的平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出当时，的取值范围是______． 【答案】（1），，图象如下： （2） 【解析】 【分析】（1）先列表，再描点，再画图即可； （2）根据函数的图象得到当时，y的最大值与最小值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据图象可得当时，当时，最小，最小值为， 当时，， ∴． 20. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 【答案】每轮平均1人传播给6人 【解析】 【分析】根据两轮传播后总知晓人数为等量关系列一元二次方程，结合实际意义取正根． 【详解】解：设每轮平均1人传播给人， ∵初始有1人知晓，第一轮传播后知晓人数为，第二轮传播后知晓人数为， ∴可列方程 ， 解得，， ∵传播人数不能为负数， ∴不符合题意，舍去， 答：每轮平均1人传播给6人． 21. 投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．如图，小明利用设备对一次训练进行录像分析，投掷实心球时出手点A距地面，当实心球运动至最高点B时距地面，距出手点A的水平距离为．设位于点A正下方的地面上的点为O，求这一运动过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点O的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得关系式． 【详解】解：如图所示，建立直角坐标系如下： 由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的关系式为， 将代入， 得， 解得， ∴， 所以这一过程中，实心球的竖直高度y关于它距离点O的水平距离x的函数关系式为． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求此时方程的根． 【答案】（1） 且 （2） 方程的根为， 【解析】 【分析】（1）结合一元二次方程的定义与根的判别式，联立不等式求解k的取值范围； （2）将代入原方程，用求根公式求解方程的根.  【小问1详解】 解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个实数根， ∴， ， ∴，解得； 综上所述，的取值范围是且.  【小问2详解】 解：当时，原方程为， ， ， ∴方程的根为，. 23. 丹东草莓是丹东市的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，求此时纸盒的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 答：草莓产量的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：， 整理得， ， ， 解得或， 当时，，则（舍）， 答：此时纸盒的高度为． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线平移的“左加右减”规律得到平移后的解析式，将点坐标代入，解方程求出的值，再结合即可得到结果． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 整理得 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由得抛物线解析式为， ∴， ∵将抛物线向右平移个单位， ∴根据平移规律，得到平移后的解析式为， ∵平移后抛物线经过点， ∴将，代入得， ， 解得，， ∵， ∴． 25. 某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 【答案】（1） （2）解：不可以，理由如下， 当时，， 根据题意得，， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【解析】 【分析】（1）设长为米，则，根据求出，然后根据面积公式列出方程求解即可； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：设长为米，则， 由题意得， 解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； 【小问2详解】 略 26. 如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． （1）抛物线的对称轴为直线______，______； （2）当点M在直线上方时，若，求m的值； （3）设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1，2 （2）或 （3）存在，，，，． 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； 【小问3详解】 解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期课后综合作业（一） 九年级数学（人教版A） 满分120分，时间120分钟 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 对于二次函数，当时，随的增大而（ ） A. 先增大后减小 B. 减小 C. 增大 D. 先减小后增大 3. 方程的根是 （ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加时，正方体的表面积增加，则y与x之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则（ ） A. 2029 B. 2023 C. D. 2025 7. 一次函数（）与二次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 函数图象开口向下 B. 对称轴为直线 C. 当时，函数值随的增大而减小 D. 函数的最小值等于 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 把方程化成一般形式是_________． 10. 抛物线顶点坐标是______． 11. 已知，是方程的两个实数根，则的值为__________． 12. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为______． 13. 在花艺造型中，黄金分割被赞誉为最美的比例．如图，在竖向的花艺作品中，花材的高与整体作品的高之比是黄金分割数（即）．若整体作品的高，则花材的高为______． 14. 如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 用配方法解方程：． 16. 用公式法解方程：． 17. 利用因式分解法解方程： ． 18. 如图，某小区有一个圆形活动广场，为丰富居民户外活动，物业向广场外围拓宽铺设宽的彩色环形塑胶跑道．改造后，含跑道的圆形活动区域的总面积为原来的4倍，求该广场原来的半径（单位：）． 19. 已知二次函数． x …… 0 1 3 5 6 …… y …… 5 0 －4 ______ ______ …… （1）补全表格，在如图的平面直角坐标系中用描点法画出该函数的图象； （2）观察图象，直接写出当时，的取值范围是______． 20. 我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有49人知晓．求每轮平均1人传播给多少人？ 21. 投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线．如图，小明利用设备对一次训练进行录像分析，投掷实心球时出手点A距地面，当实心球运动至最高点B时距地面，距出手点A的水平距离为．设位于点A正下方的地面上的点为O，求这一运动过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点O的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 22. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求此时方程的根． 23. 丹东草莓是丹东市的特产之一，请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． （1）任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； （2）任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，求此时纸盒的高度． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，且过点，． （1）求抛物线的函数解析式； （2）将抛物线向右平移个单位，当平移后抛物线经过点时，求的值． 25. 某农场有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为1米的门．已知木栏总长为30米，左右两边的门均不消耗木栏． （1）如图①，当时，若围成的菜地面积为96平方米，求的长； （2）如图②，当时，围成的菜地面积能否达到121平方米？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 26. 如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． （1）抛物线的对称轴为直线______，______； （2）当点M在直线上方时，若，求m的值； （3）设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $