精品解析：广西壮族自治区崇左市龙州县响水镇中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027学年响水中学九年级上册第二次月考 数学 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B、不是轴对称图形是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是轴对称图形而不是中心对称图形． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A． 方程中含有分式，不是整式方程，不符合定义． B． 方程中未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不符合定义． C． 方程中含有两个未知数和，属于二元二次方程，不符合定义． D． 方程是仅含未知数的整式方程，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义． 故选：D． 3. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2，10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 4. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：A．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B．，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C．，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意； D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 5. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ） A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴此函数的图象位于一、三象限， 故选：B． 6. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 7. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程即可求得的值，从而得到正确选项． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴ 解得，， 故选：A． 8. 设α，β是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵α，β是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握、是一元二次方程的两个根，则，是解题的关键． 9. 将方程化为的形式，则，的值分别是（　　） A. 3和5 B. 和5 C. 和14 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用配方法：先把常数项移到等号的右边，然后等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将原方程配成的形式． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤． 10. 若在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过代入各点横坐标计算对应的函数值，比较大小即可． 【详解】解：将各点的横坐标代入二次函数中： 当时，； 当时，； 当时，． 比较得：， 故选：D． 11. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值0，有最大值2 B. 有最小值0，有最大值3 C. 有最小值，有最大值2 D. 有最小值，有最大值3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 12. 如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2024次经过的路线长为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 拋物线的对称轴是____________轴． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为： 14. 将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律，熟知抛物线的平移规律是解题关键．抛物线平移不改变二次项系数的值，上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，纵坐标发生改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式为． 故答案为：． 15. 点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点关于原点对称的特点，掌握关于原点对称点的特点求解是关键． 根据点关于原点对称点的特点“点的坐标与对称点的坐标中：横、纵坐标均为相反数”即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为： ． 16. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，然后再根据当时，函数有最大值，即可得到关于的方程，然后求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数图像对称轴是直线， 当时，当时，该函数取到最大值， ∵当时，函数有最大值， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取到最小值， 当时， 当时，， 当时，， 根据二次函数对称的性质可知：当时，函数有最大值， 又∵当时，函数有最大值， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，本题采用了分类讨论的思想方法．解答的关键是明确题意，得到关于的方程． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算或化简 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、多项式的混合运算，（1）先计算幂运算、再计算乘法运算，最后计算加减； （2）先根据单项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ， 该抛物线的顶点坐标为． 19. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 【答案】（1） 证明：， ， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）另一个根为，k的值为1 【解析】 【分析】本题考查二次方程根的判别式，二次方程根和系数的关系． （1）根据一元二次方程，即可判断该方程有两个不相等的实数根； （2）设的另一个根为x，根据根与系数的关系列方程计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的另一个根为x， 则，， 解得：，， ∴方程的另一个根为，k的值为1． 20. 如图，点E，F分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转90°得到． （1）求证； （2）若，，求正方形的边长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）12． 【解析】 【分析】（1）根据题意证明，根据SAS证明三角形全等即可； （2）设正方形的边长为，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 设正方形的边长为，在中有： ， 解得(舍去) ∴正方形的边长为12． 【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，是解题的关键． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克25元，连续两次涨价后每千克水果现在的价格为36元． （1）若每次涨价的百分率相同．求每次涨价的百分率； （2）若进价不变，按现价售出，每千克可获利15元，但该水果出现滞销，商场决定降价m元出售，同时把降价的幅度m控制在的范围，经市场调查发现，每天销售量 （千克）与降价的幅度m（元）成正比例，且当时，． 求与 m的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若商场每天销售该水果盈利元，为确保每天盈利最大，该水果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）20%；（2）（3）商场为了每天盈利最大，每千克应降价7元 【解析】 【分析】（1）设每次涨价的百分率为x，根据题意列出方程即可； （2）根据题意列出函数表达式即可； （3）根据等量关系列出函数解析式，然后根据解析式的性质，求出最值即可． 【详解】解：（1）设每次涨价的百分率为x，根据题意得：25（1+x）2＝36， 解得：（不合题意舍去） 答：每次涨价的百分率20%； （2）设， 把，代入得， ∴k=30， ∴y与m的函数解析式为； （3）依题有， ∵抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，w随m的增大而增大，又， ∴当时，每天盈利最大， 答：商场为了每天盈利最大，每千克应降价7元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题关键． 22. 阅读材料：若，求与的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求与的值． （2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】（1），； （2）的周长为． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值；； （）利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质即可得出和的值，从而得出的取值范围，根据为整数即可得出的值，从而求得三角形的周长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴的周长为． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年响水中学九年级上册第二次月考 数学 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2，10 4. 下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ） A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 6. 为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 设α，β是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 6 B. C. 5 D. 9. 将方程化为的形式，则，的值分别是（　　） A. 3和5 B. 和5 C. 和14 D. 和 10. 若在函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值0，有最大值2 B. 有最小值0，有最大值3 C. 有最小值，有最大值2 D. 有最小值，有最大值3 12. 如图，在矩形中，已知，，矩形在直线上绕其右下角的顶点向右旋转至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分）． 13. 拋物线的对称轴是____________轴． 14. 将抛物线向下平移1个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______． 15. 点关于原点对称的点的坐标为________． 16. 已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算或化简 （1） （2） 18. 已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 19. 已知关于的一元二次方程：． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k值． 20. 如图，点E，F分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转90°得到． （1）求证； （2）若，，求正方形的边长． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克25元，连续两次涨价后每千克水果现在的价格为36元． （1）若每次涨价的百分率相同．求每次涨价的百分率； （2）若进价不变，按现价售出，每千克可获利15元，但该水果出现滞销，商场决定降价m元出售，同时把降价的幅度m控制在的范围，经市场调查发现，每天销售量 （千克）与降价的幅度m（元）成正比例，且当时，． 求与 m的函数解析式； （3）在（2）的条件下，若商场每天销售该水果盈利元，为确保每天盈利最大，该水果每千克应降价多少元？ 22. 阅读材料：若，求与的值． 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求与的值． （2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的周长． 23. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $