精品解析：广西壮族自治区崇左市龙州县上龙中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

上龙中学九年级上册数学月考测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（ ）人． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则( ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 25 4. 对于抛物线，有下列四个结论∶①它的对称轴为； ②它的顶点坐标为； ③它与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为和； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是 A. B. C. D. 6. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是(　　) A. x＝5 B. x＝6 C. x＝0 D. x1＝5，x2＝6 8. 一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A. 1米 B. 3米 C. 5米 D. 6米 9. 如图为，则( ) A ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 12. 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 二次函数的图像如图所示，根据图像可知：当k_______时，方程有两个不相等的实数根． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm2． 16. 如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 按要求解下列方程： （公式法）． 18. 如图，利用一面墙（墙最长可利用米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．现有砌米长的墙的材料． （1）当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为平方米？ （2）请问能否围成平方米的矩形花园，为什么？ 19. 某旅行社专门定制了一条去某景区的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25，人均旅游费用为1 000元；如果人数超过25，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了27 000元的费用，求这个旅行团的人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． （1）线段与有什么数量关系？            ． ①当点M坐标时，点P的坐标是           ； ②当点M坐标时，点P坐标是           ． （2）在x轴上改变点M位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线．           ． （3）验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 21. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求的值和的周长． 22. 如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． （1） 米(用含x的代数式表示)； （2）若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； （3）长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 23. 已知直线与x轴交于点A，抛物线顶点平移后与点A重合． （1）求平移后的抛物线C的解析式； （2）若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上龙中学九年级上册数学月考测试卷 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，请考生用2B铅笔在答题卡选定的答案标号涂黑）． 1. 某数学兴趣小组开展“元旦祝福”活动，要求小组每位成员给同组的其他人各写一句祝福语，结果一共写了56份，则该小组共有（ ）人． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该小组共有人，则每人需写份祝福语，根据“结果一共写了56份”，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可． 【详解】解：设该小组共有人，则每人需写份祝福语， 根据题意得， （不符合题意），． 答：该小组共有8人． 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线中，其顶点坐标为，直接根据抛物线的顶点坐标式进行解答． 【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线的顶点坐标是． 故选：C． 3. 抛物线与轴只有一个公共点，且过点，，则( ) A. 16 B. 18 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，利用对称轴求顶点坐标是解题关键．由于抛物线与轴只有一个公共点，故可设其为顶点式，又点和点纵坐标相同，故对称轴为两点横坐标的平均值，求得对称轴后代入点即可求． 【详解】解：抛物线与轴只有一个公共点， 可设． 又点和在抛物线上，且纵坐标相同， 对称轴为． ，抛物线为． 将点代入，得． ． 故选：D． 4. 对于抛物线，有下列四个结论∶①它的对称轴为； ②它的顶点坐标为； ③它与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为和； ④当时，随的增大而减小． 其中正确的个数为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．将一般式化为顶点式，判断①②④，分别令，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，判断③即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；故①②正确； ∴当时，随着的增大而减小；故④错误； 当时，；当时，解得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为和；故③正确； 故选C． 5. 在平面直角坐标系中，函数与的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，本题函数解析式分别判断出函数图象的分布情况，结合各选项即可判断求解，掌握二次函数和一次函数的图象特征是解题的关键． 【详解】解：由一次函数可得，，，故其图象过第一、二、四象限， 由二次函数可得，，所以抛物线开口向下，顶点为（1，0）， ∴同时符合条件的图象只有选项， 故选：． 6. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质． 根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 距离直线是1个单位， 1距离直线是2个单位， 2距离直线是3个单位， 抛物线的开口向下， 离对称轴距离越近则y的值越大， ， 故选：A． 7. 一元二次方程(x－5)2＝x－5的解是(　　) A. x＝5 B. x＝6 C. x＝0 D. x1＝5，x2＝6 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：方程变形得：（x-5）2-（x-5）=0， 分解因式得：（x-5）（x-5-1）=0， 解得：x1=5，x2=6． 故选D． 8. 一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间t（秒）的函数解析式为，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ） A. 1米 B. 3米 C. 5米 D. 6米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键． 直接利用配方法将一般式转化为顶点式，进而求得二次函数最大值即可得解． 【详解】解：因为， 所以小球到达最高点时距离地面的高度是6米， 故选D 9. 如图为，则( ) A. ，， B. ，， C ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数图象的开口方向确定的符号，根据对称轴的位置确定的符号，根据二次函数图象与轴的交点即可判断的符号，即可求解． 【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，与轴的交点在轴的上方， ，， ， ， 故选：A． 10. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴，， ∴=． 故选D． 11. 已知二次函数，当时，随增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数图象的性质，当抛物线开口向上时，在对称轴左侧随增大而减小，结合条件即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，随增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 12. 用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米．若设它的一条边长为x米，则根据意可列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列方程以及矩形的面积，由周长表示出矩形的另外一条边长是解决本题的关键． 设矩形的一条边长为x米，根据周长为14米可得另一条边长为米，再利用面积公式建立方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为14米，则长与宽之和为米， 设一条边长为x米，则另一条边长为米， ∴矩形的面积为平方米，根据题意得方程：． 故选：B． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分．） 13. 二次函数的图像如图所示，根据图像可知：当k_______时，方程有两个不相等的实数根． 【答案】＜2 【解析】 【分析】当二次函数图象与x轴有两个交点时方程有两个不相等的实数根，当有一个交点时方程有两个相等的实数根，当没有交点时方程没有实数根．方程ax2+bx+c＝k对应的二次函数图象是y＝ax2+bx+c的图象在下移动k个单位得到的．根据根的个数与图象与x轴交点个数的关系可求出k的取值范围． 【详解】解：由分析得方程ax2+bx+c＝k的图象是方程ax2+bx+c＝0的图象向下移动k个单位得到的． 方程ax2+bx+c＝0的图象向下移动两个单位时图象与x轴有一个交点，当向下移动的距离大于2时图象与x轴没有交点，所以k＜2； 综上所述要使方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围为：k＜2； 故答案为：k＜2． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系；解题关键是利用数形结合思想，通过平移函数图像直观得到答案． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为． 考点：根与系数的关系． 15. 用一根长为24cm的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm2． 【答案】36 【解析】 【分析】设围成矩形的长为xcm，则宽为＝（12﹣x） cm，设围成矩形的面积为Scm2，根据矩形的面积公式列出S关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设围成矩形的长为xcm，则宽为 ＝（12﹣x） cm， 设围成矩形的面积为Scm2， 由题意得： S＝x（12﹣x） ＝﹣x2+12x ＝﹣（x﹣6）2+36， ∵二次项系数为负，抛物线开口向下， ∴当x＝6cm时，S有最大值，最大值为36cm2． 故答案为：36． 【点睛】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 16. 如图，在正方形中，，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，同时动点N从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段运动，当点N运动到点D时，点M，N同时停止运动，设的面积为y，运动时间为x（s），请写出y与x之间函数关系式______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点N的运动情况，写出y和x之间的函数关系式即可. 【详解】解：当点N在运动时， ∵， ∴， ∵动点M以每秒1个单位长度的速度沿线段运动，动点N以每秒2个单位长度的速度沿线段运动， ∴，， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题是运动型综合题，考查了函数表达式、正方形的性质、三角形的面积等知识点.解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程. 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 按要求解下列方程： （公式法）． 【答案】 【解析】 【分析】把，代入可求得答案. 【详解】解：∵方程的二次项系数，一次项系数，常数项， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记求根公式是解题的关键． 18. 如图，利用一面墙（墙最长可利用米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．现有砌米长的墙的材料． （1）当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为平方米？ （2）请问能否围成平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】（1）当矩形的长为米时，矩形花园的面积为平方米； （2）不能围成平方米的矩形花园，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意列方程得：，求解即可； （2），方程有解，则存在，否则不能． 【小问1详解】 解：设矩形花园长为米，则其宽为米， 依题意列方程得：， 化简得， 解这个方程得：，， ， （不合题意，舍去）， 答：当矩形的长为米时，矩形花园的面积为平方米． 【小问2详解】 不能，理由如下： 依题意列方程得：， 化简得， 解这个方程得：，， ， ，（不合题意，都舍去）， 答：不能围成平方米的矩形花园． 19. 某旅行社专门定制了一条去某景区的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25，人均旅游费用为1 000元；如果人数超过25，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个旅行团共收取了27 000元的费用，求这个旅行团的人数． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程． 设这个旅行团的人数为x，根据费用列出方程求解即可． 【详解】解：（元）， ∵， ∴人数超过25， 设这个旅行团人数为x，则人均旅游费用为元， 由题意得， 解得． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 即这个旅行团的人数为30． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，在x轴上任取一点M．连接，作线段的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记，的交点为P． （1）线段与有什么数量关系？            ． ①当点M坐标时，点P的坐标是           ； ②当点M坐标时，点P的坐标是           ． （2）在x轴上改变点M的位置，可得到不同的点P，试着把得到的点P用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线．           ． （3）验证（2）的猜想：对于曲线L上任意一点P，设点P的坐标是，请根据与的关系求出x，y满足的关系式．你得出的结论与先前你的猜想一样吗？ 【答案】（1）；①② （2）见解析，抛物线 （3）x，y满足的关系式为：，我得出的结论与先前我的猜想一样，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次函数的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得到答案； ①根据题意画出对应的图形即可得到答案； ②根据题意画出对应的图形即可得到答案； （2）根据题意画出对应的曲线L即可得到答案； （3）先求出点M的坐标，再利用勾股定理得到进而推出，由此可得结论． 【小问1详解】 解：由题意得，点P在线段的垂直平分线上， ∴， 故答案为：； ①如图1所示，当点M坐标时，点P的坐标是； 故答案为：； ②如图2所示，当点M坐标时，设点P的坐标是， ∴， ∴， 即点P的坐标是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：观察画出的曲线L，可知曲线L是抛物线，如图3， 故答案为：抛物线； 【小问3详解】 解：我得出的结论与先前我的猜想一样，理由如下： ∵点P的坐标是，轴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴得出的结论与猜想一致． 21. 已知是关于的一元二次方程的两实数根． （1）求的取值范围； （2）已知等腰的一边长为，若恰好是另外两边的边长，求的值和的周长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据判别式的意义可得； （2）分类讨论：若时，把代入方程得，求得m的长，再利用根与系数的关系判断是否符合题意，将不符合的舍去，则可求出答案. 【小问1详解】 根据题意得，解得； 【小问2详解】 当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得， 当时，，解得，则三角形周长为； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则，所以，方程化为，解得，三边长为其周长为， 综上所述，m值是，这个三角形的周长为或或． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． 22. 如图，利用一面长为米的墙，用总长度米的栅栏围成一个长方形围栏，并在中间用栅栏隔开．设栅栏的长为米． （1） 米(用含x的代数式表示)； （2）若长方形围栏的面积为平方米，求栅栏的长； （3）长方形栅栏的面积能达到平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）米； （3）长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，根据题意列出一元二次方程是解题的关键； （1）利用的长栅栏的总长度的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长米，即可确定结论； （3）假设长方形栅栏的面积能达到平方米，根据长方形围栏的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 【小问1详解】 解：根据题意得：米． 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：栅栏的长为米； 小问3详解】 长方形栅栏的面积不能达到平方米，理由如下： 假设长方形栅栏的面积能达到平方米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立， 即长方形栅栏的面积不能达到平方米． 23. 已知直线与x轴交于点A，抛物线的顶点平移后与点A重合． （1）求平移后的抛物线C的解析式； （2）若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）令，求出点的坐标，然后根据二次函数的平移求解即可． （2）根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴令，则， ∴，即抛物线C的顶点坐标为， 又抛物线C是由抛物线平移得到的， ∴， ∴抛物线C的解析式为． （2）由（1）知，抛物线C的对称轴为直线． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知二次函数的基本性质是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $