学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（四川成都专用，新教材北师大版九上1-4章：特殊平行四边形+一元二次方程+图形的相似+投影与视图）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．从正面看如图所示的几何体，所得的形状图是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 4．（新情景）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 7．如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 10．已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 11．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 12．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 13．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）解方程 (1)； (2)． 15．（本小题共8分）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 16．（本小题共8分）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 17．（本小题共10分）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 18．（本小题共10分）综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度．轴于点，连接．设点，两点移动的时间是秒，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止． (1)【解决问题】填空：若，则_______；若，______（用含的式子表示）； (2)【深入研究】证明：四边形为平行四边形； (3)若，当四边形为菱形时，求的值； (4)【能力拓展】在（）的条件下，连接，若为直角三角形，直接写出的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若，是方程的两根，则代数式________ 20．如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连接，则的度数为_____． 21．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 22．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，则＝______． 23．如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． (1)求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ (2)国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 25．（本小题共10分）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 26．（本小题共12分）综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； (2)【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； (4)如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B D A B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9. 10. 11. 12. 13. 4 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14.【详解】（1）解： 则或． 解得，．.....................（6分） （2）解： ． ，．.....................（12分） 15.【详解】（1），；.....................（3分） （2）.....................（5分） （3）解：的面积 ．.....................（8分） 16.【详解】（1）(1)证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴，.....................（3分）. ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形．.....................（5分） （2）解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ，.....................（6分） ． ∴四边形的面积为：．.....................（8分） 17.【详解】（1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴．....................（1分） ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则，....................（4分） ， ， ．....................（5分） （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴．....................（6分） 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： ....................（8分） 解方程： 即米．....................（10分） 18.【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，...................（1分） ∴； ∴当时，；...................（2分） (2)证明：∵轴 ∴ ∴ ∴，...................（3分） ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形；...................（4分） （3）解：根据（）可得：当时，，， ∵菱形中，， ∴， 解得；...................（6分） （4）解：当时，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得；...................（8分） 当时，如图所示： 由（）知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得；...................（10分） 当时，点运动到点处，此时， ∵， ∴此时点运动到点处， ∵轴， ∴此时点与点重合，不存在； 综上，为直角三角形，的值为或．...................（12分） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19. 20. 21. 22. 4 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.【详解】（1）解：设国庆第一天“平面款”冰箱贴每个售价为元，则“浮雕款”冰箱贴每个售价为元． 由题意得： ...................（2分） 化简得： 解得： ...................（3分） 检验：当时，，， 故，是原方程的解． ∴ ...................（4分） 答：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． （2）解：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴销量为（个），“平面款”冰箱贴销量为（个）． 由题意得：，...................（6分） 整理得：， 解得：，， ∵ ， ∴ ， 答：的值为5．...................（8分） 25.【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴；...................（2分） （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍），...................（4分） ∴当时，平分面积；...................（5分） （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴；...................（7分） 情况二：当时，则， ， ∴， ，...................（9分） 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似...................（10分）． 26. 【详解】（1）解：根据折叠的性质，， 故；..................（1分）． （2）解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处，且交于点E，， ∴，，，， ∵ ， ∴， ∴，..................（2分）． 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故．..................（4分）． （3）解：当点E在线段上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点G，交于点H， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故．..................（6分）． 当点E在线段的延长线上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点Q，交于点P， 根据题意，得，，四边形是矩形，，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故．..................（8分）． （4）解：∵四边形是矩形，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故．..................（12分）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： A卷第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题4分，共20分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（12分） (1)； (2)． 15. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. （8分） 17.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（10分） B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．_________ 23．________　 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．从正面看如图所示的几何体，所得的形状图是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 4．（新情景）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 7．如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 10．已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 11．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 12．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 13．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）解方程 (1)； (2)． 15．（本小题共8分）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 16．（本小题共8分）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 17．（本小题共10分）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 18．（本小题共10分）综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度．轴于点，连接．设点，两点移动的时间是秒，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止． (1)【解决问题】填空：若，则_______；若，______（用含的式子表示）； (2)【深入研究】证明：四边形为平行四边形； (3)若，当四边形为菱形时，求的值； (4)【能力拓展】在（）的条件下，连接，若为直角三角形，直接写出的值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若，是方程的两根，则代数式________ 20．如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连接，则的度数为_____． 21．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 22．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，则＝______． 23．如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． (1)求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ (2)国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 25．（本小题共10分）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 26．（本小题共12分）综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； (2)【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； (4)如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] A卷第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共32分）》 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 7.A][B][C][D] 8.[A][B][CJ[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题4分，共20分） 9 10. 11 12 13. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、 解答题（本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 14.(12分) (1)x(x-5)=x-5; (22x2-4x+2=0. 15.(8分) VA 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(8分) 17.(10分) D 个 E B F C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) B O■ 备用图 B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) C ◇ 0← B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 6.(12分) C B D E D C E ① ② ④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版九年级上册第1~4章。 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题共32分） 一、选择题：（本大题共8题，每题4分，共32分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算各方程的根的判别式，的方程没有实数根． 【详解】解：、，有实数根，不符合题意； 、，有实数根，不符合题意； 、，没有实数根，符合题意； 、，有实数根，不符合题意． 2．从正面看如图所示的几何体，所得的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正面观察几何体时，看到的形状是由哪些部分组成的，求解即可． 【详解】解：从正面看：左列：有2 层， 右列：只有1 层， 如图所示： 3．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（     ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是矩形 C．当时，它是菱形 D．当时，它是矩形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和矩形、菱形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵当时，是菱形； 当时，是菱形； 当时，是矩形； ∴正确，错误， 故选：. 4．（新情景）秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么x满足的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为，然后根据经过两轮传染后共有144人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：∵初始有1人患流感，每轮平均1人传染人， ∴第一轮后患病人数为，第二轮新增患病人数为， ∴两轮后总患病人数满足：． 5．如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式联立求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， 综上，且. 7．如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质得：，，结合两点之间线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵中，，，，点M、N分别是、的中点， ， 当C、M、N在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 10．已知一元二次方程的两个根分别是和，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】对所求代数式因式分解，再利用根与系数的关系整体代入求值． 【详解】解：一元二次方程的两个根是和， ，， 11．如图，菱形的周长为，面积为，是对角线上一点，分别作点到直线的垂线段，则等于 ______ ． 【答案】 【详解】解：∵菱形的周长为，面积为， ，， ∵分别作点到直线的垂线段， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4.8． 12．如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割数（即）时，可以发出“sol”的音．若瓶高为，则水面高度为________． 【答案】 【分析】根据题干给出的黄金分割定义式，结合，可推导出与的数量关系，代入计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 【答案】4 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得， ，再证明 ，得，从而求得，然后根据 ，代入即可求解. 【详解】解：取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点 ， ∴是的中位线 ， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴. 3、 解答题（本大题共5题，第14题12分，第15、16题每题8分，第17题10分，第18题10分，共48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（本小题共12分）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： 则或． 解得，． （2）解： ． ，． 15．（本小题共8分）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________； (2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (3)的面积________． 【答案】(1)，； (2) (3)10 【分析】（1）连接三组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使，，再连接即可； （3）利用割补法求面积． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：的面积 ． 16．（本小题共8分）如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的周长是40，对角线AC的长是16，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵平行四边形的对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，中点为， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． (2)96 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，根据菱形的判定证明即可； （2）根据菱形的性质，勾股定理，计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，且周长是40，对角线的长是16， ∴，， ， ． ∴四边形的面积为：． 17．（本小题共10分）小明同学想利用所学数学知识求旗杆的高度，于是他设计了如下方案： 如图，已知点，，在同一条直线上，点，，也在同一条直线上，于点，于点，小明眼睛到地面高米，且米，米． (1)求旗杆的高度． (2)在地面上的处放置一个平面镜，小明刚好可以通过该镜子看到旗杆顶端，求此时的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由、都垂直得到两直线平行，证出，算出米，代入，利用相似三角形的比例式求出旗杆高度米． （2）利用镜面反射角相等，结合直角证明，设，，代入列比例方程，解得米． 【详解】（1）解：已知，， 因此， ∵为公共角，且 ∴． ∴ ∵ 代入已知数值，，： 则， ， ， ． （2）解：根据平面镜面反射的原理，入射角等于反射角，可得； 又∵， ∴． 设米，则米， ∴ 代入已知数值，： 解方程： 即米． 18．（本小题共10分）综合与实践 【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度，点是线段上一动点，从点向点移动，速度为每秒个单位长度．轴于点，连接．设点，两点移动的时间是秒，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也停止． (1)【解决问题】填空：若，则_______；若，______（用含的式子表示）； (2)【深入研究】证明：四边形为平行四边形； (3)若，当四边形为菱形时，求的值； (4)【能力拓展】在（）的条件下，连接，若为直角三角形，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵轴 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴四边形为平行四边形； (3) (4)或 【分析】（）由坐标得，，由直角三角形的性质得，即得，即得到，即可求解； （）证明且即可求证； （3）当时，，，根据菱形的性质得，列方程解答即可； （）分三种情况，分别画出图形解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴当时，； （2）略 （3）解：根据（）可得：当时，，， ∵菱形中，， ∴， 解得； （4）解：当时，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得； 当时，如图所示： 由（）知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，点运动到点处，此时， ∵， ∴此时点运动到点处， ∵轴， ∴此时点与点重合，不存在； 综上，为直角三角形，的值为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若，是方程的两根，则代数式________ 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到和的值，判断的符号后化简代数式，再代入计算． 【详解】解：∵ ，是方程的两根， ∴ 根据根与系数的关系得，， ∵ ， ∴ ，， ∴， ∵，， ∴． 20．如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连接，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，等边对等角，求出的度数，再根据周角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴． 21．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，，，， 作A关于l的对称点，连接，，，过作于E， 则过点C，，四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为， 即的最小值为． 22．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，则＝______． 【答案】 4 【分析】首先证明，可得，，同理可得，进而得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 23．如图，，，，，点在线段上从点向点运动．设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是________． 【答案】 【分析】由相似三角形性质得出，利用勾股定理求出和的长．证明，得出，从而证得．利用直角三角形斜边中线定理得出，根据垂线段最短可知当时最小，即最小． 【详解】解：， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ， ． 为中点， ， 在中，， ， ， ， 当时，最小，最小 ， ， 的最小值为． 二、解答题（本大题共3 个小题，第 24题8分，第25 题10 分，第26 题12分，共30 分，解答过程写在答题卡上） 24．（本小题共8分）重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． (1)求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ (2)国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 【答案】(1)“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． (2)的值为5． 【分析】（1）以“平面款”冰箱贴售价为未知数，根据两款冰箱贴的销量差列分式方程求解． （2）根据国庆第六天总销售额与第一天总销售额相等的等量关系列一元二次方程，结合的条件取舍解． 【详解】（1）解：设国庆第一天“平面款”冰箱贴每个售价为元，则“浮雕款”冰箱贴每个售价为元． 由题意得： 化简得： 解得： 检验：当时，，， 故，是原方程的解． ∴ 答：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． （2）解：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴销量为（个），“平面款”冰箱贴销量为（个）． 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵ ， ∴ ， 答：的值为5． 25．（本小题共10分）在中，，，，现有动点P从点C出发，沿方向向点A运动，动点Q从点B出发，沿方向向点C运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达终点时，点P，Q就停止运动，设运动时间为t秒，求： (1)填空：________，__________；（用含t的代数式表示） (2)当t为多少时，平分面积； (3)当t为多少时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)， (2)当时，平分面积 (3) 【分析】（1）根据点P和点Q的运动速度表示即可； （2）用含t的式子表示的面积，根据列方程求解，注意检验解的合理性； （3）分两种情况讨论或，根据对应边成比例列方程求解，注意结合动点的运动范围检验解的合理性． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ∴； （2）解：∵，， ∴点Q到C点的时间为，点P到A点的时间为， P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动． ， 平分的面积， ， ∴， ， 解得，（舍）， ∴当时，平分面积； （3）解：∵， ∴以C、P、Q为顶点的三角形与相似有两种情况， 情况一：当时，则， ， ∴； 情况二：当时，则， ， ∴， ， 此情况不符合实际情况， 综上所述，当时，以C、P、Q为顶点的三角形与相似． 26．（本小题共12分）综合与实践 探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． (1)【初步感知】如图①，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； (2)【深入探究】如图②，将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E，若，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，在长方形中，，，E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长； (4)如图④，在长方形纸片中，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为．若，，则的长度为________． 【答案】(1)12 (2)3 (3)或10 (4) 【分析】（1）根据折叠的性质，根据勾股定理求的长即可； （2）先根据折叠性质，矩形的性质，设，根据勾股定理，解答即可； （3）分点E在线段上和点E在线段的延长线上，两种情况，根据勾股定理，折叠的性质，求解即可； （4）根据折叠的性质，根据勾股定理,求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，， 故； （2）解：∵四边形是矩形，把矩形沿折叠，点C落在点处，且交于点E，， ∴，，，， ∵ ， ∴， ∴， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． （3）解：当点E在线段上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点G，交于点H， 根据题意，得，，四边形是矩形，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 当点E在线段的延长线上时，根据折叠的性质，得，， 设线段的垂直平分线交于点Q，交于点P， 根据题意，得，，四边形是矩形，，， ，， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． （4）解：∵四边形是矩形，点M在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N． ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $