精品解析：广东中山市中山纪念中学2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

中山纪念中学2028届高二上学期数学科第一次段考试题 满分150分，考试时长120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 37 B. 20 C. 05 D. 09 【答案】D 【解析】 【详解】从随机数表第1行的第7列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号， 符合条件的编号有37，14，05，11，09，所以选出来的第5个个体的编号为09. 2. 从有3个男生和2个女生的小组中，任选2人去参加活动，则至少有一个女生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从有5人的小组中，任选2人去参加活动有种选法， 其中至少有一个女生的选法有种， 所以至少有一个女生参加的概率为. 故选：B. 3. 一组数据如下：1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的平均数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】数据的平均数为， 若，则这组数据为，众数为和，平均数为，，，不合题意； 若，则这组数据为，众数为4，平均数为，，不合题意； 若，则这组数据为，众数为和8，平均数为，，，不合题意； 所以不能取，故这组数据的众数为4，则，解得， 所以这组数据为， 因为，所以这组数据的第60百分位数是7. 4. 如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】逐一计算判断真假得解. 【详解】对于①，旧养殖法的平均数 所以 新养殖法的平均数所以 因为, 所以新网箱产量的方差的估计值低于旧网箱产量的方差的估计值,故①错误. 对于②，旧养殖法中，左边4个矩形的面积和为（0.012+0.014+0.024+0.034）×5=0.42，左边5个矩形的面积和为（0.012+0.014+0.024+0.034+0.04）×5=0.62，所以其中位数在45和50之间. 新养殖法中，左边三个矩形的面积和为0.34，左边4个矩形的面积和为0.552，所以其中位数在50和55之间.所以新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值，所以②正确. 对于③，因为，，所以新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值，故③正确. 对于④，旧网箱频率最高组总产量估计值为47.5×100×0.2=950， 新网箱频率最高组的总产量的估计值为52.5×100×0.34=1785， 所以新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍，故④正确. 故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查频率分布直方图中中位数的计算，考查方差和平均值的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求频率分布直方图中的平均数，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.求中位数一般先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P，点P对应的数就是中位数. 5. 已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为，，样本数据，，…，的平均数和方差分别是，，若，则为（ ） A. 72 B. 74 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】依据题给条件利用平均值与方差的定义，列出关于和的方程组，解之即可求得和的值，进而求得的值. 【详解】， ， 由， 可得， 则， ，则， 联立，解之得， 由 可得 6. 若随机事件，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由互斥事件、对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为， 所以, 又因为， 即, 所以, 解得 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 8. 如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转得到正方形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正方形放于正方体和正四棱柱的公共面上，根据旋转的情况，建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用二面角的向量法求解即可. 【详解】由已知条件中的旋转，可将正方形放于正方体和正四棱柱的公共面上， 其中正方体的棱长为1，正四棱柱高为， 由题可得，则，所以， 以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得，，所以； 设平面的一个法向量为， 则，令， 解得，，所以， ， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（ ） A. A与B相互独立 B. A与D相互独立 C. B与C为互斥事件 D. C与D为互斥事件 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出, 再利用公式判断选项AB，利用概念判断选项CD得解. 【详解】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：．共36个． 依题意，， 事件C包括，共5个，，事件D包括，共6个，． 对于选项A，事件只有结果，A与B相互独立，所以选项A正确； 对于选项B，事件只有结果，A与D相互独立，所以选项B正确； 对于选项C，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不是互斥事件，所以选项C不正确； 对于选项D，事件是不可能事件，即C与D是互斥事件，所以选项D正确． 故选：ABD 10. 已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的大小为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离是 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意得到三棱锥即正三棱锥，由数量积运算法则即可计算求解判断A；分别计算求出、、即可由夹角公式计算求解判断B；由结合体积公式求出点到平面的距离是即可计算求解判断CD. 【详解】由题可得三棱锥即正三棱锥，且， ， 因为为的中点，为的中点， 所以 ，故A错误； 因为，， ， 所以， 又，所以， 所以异面直线与所成角的大小为，故B正确； 设点到平面的距离是，直线与平面所成角为， 则由即得 ， 所以，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 故C错误，D正确. 11. 如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又， 所以与的夹角为，故A错误； 对于B，因为，， 所以， ， ，故B正确； 对于C，，，， ，，， ， ，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再舍去的情况即可得到答案. 【详解】，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，即，解得， 当与平行时，，， 由向量共线定理得：使得，即， 所以，因为向量与所成角为锐角，所以 所以向量与所成角为锐角，实数的范围. 13. 已知三棱锥的体积为10，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量的运算可得，再由空间向量基本定理可得，进而结合锥体体积比例求解即可. 【详解】因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 如图： 又三棱锥的体积为10，则. 14. 如图，图中共有10个交汇点：.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意由独立事件的乘法公式先求两质点都移动到交汇点的概率，再求两质点都移动到交汇点的概率，最后再将概率相同的点相加即可； 【详解】由题意可得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为， 易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等. 同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率为， 易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点的概率相等. 故同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子. （1）用适当的方法表示上述随机试验的样本空间，并求两枚骰子点数之积不等于12的概率； （2）记：“两枚骰子点数之和能被3整除”，“蓝色骰子点数大于黄色骰子点数”，求，. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先写出掷两枚骰子的全部样本点，找出点数积为的样本点，借助对立事件的概率公式求点数之积不为的概率； （2）先写出事件、以及它们交事件包含的样本点个数，利用概率加法公式计算并事件的概率. 【小问1详解】 记蓝色骰子点数为，黄色骰子点数为，一个样本点为样本空间如下： （也可以用列举法），共有36个样本点. 设“两枚骰子点数之积为”，则“两枚骰子点数之积不为”， ，包含了个样本点， 根据古典概型，得：， 所以. 【小问2详解】 ，共包含个基本事件， ， 共包含个基本事件，，共包含个基本事件， 根据古典概型，， . 16. 荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）样本数据的第59百分位数约为多少； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】（1） （2）78分； （3）60；36 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知，， 解得； 【小问2详解】 因为， ， 所以样本数据的第59百分位数在内， 可得， 所以样本数据的第59百分位数为78分； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为， 落在的个数为， 总方差． 17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求钝二面角.的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据线面角向量法求解即可； （2）根据二面角向量法求解即可． 【小问1详解】 因为在直三棱柱中，，，， 所以分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为是的中点，所以，所以，， 设平面的法向量， 则，即，取， 所以平面的一个法向量为， 而， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量， 则，即，取， 所以平面的一个法向量为， 由（1）知平面的法向量， 所以， 又因为二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为． 18. 在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. （1）分别求甲队和乙队获得冠军的概率； （2）分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； （3）求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的定义求概率； （2）设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇”，再分别讨论发生时乙队的位置和战胜情况， 利用独立事件的概率乘法公式求概率. （3）设“甲遇到第支球队”，再列举出甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况，利用古典概型求概率. 【小问1详解】 设“甲获得冠军”，“乙获得冠军”. ， 由于剩下的七支队伍获得冠军的概率相等， 所以， 所以. 【小问2详解】 不妨设甲队在编号1的位置，设“甲、乙两队在第轮（其中）相遇” 发生等价于乙队在编号2的位置，所以， 发生等价于乙队在编号3，4的位置，且甲和乙分别战胜第一轮的对手， 所以， 发生等价于乙队在编号5，6，7，8的位置，且甲和乙分别战胜第一轮和第二轮的对手， 所以. 【小问3详解】 由（1）可知，甲获得冠军的概率为， 设“甲与乙、丙两队都对决过且甲获得冠军”，设“甲获得冠军” 记甲等可能地遇到剩余的七支球队，为方便起见，设“甲遇到第支球队”. 其中表示甲队遇到乙队，表示甲队遇到丙队， 甲获得冠军且在三场对决中可能碰到的队伍情况构成的集合为： 共有35个事件，且这35个事件的概率相等，因此，； 因为 . 19. 如图，在正三棱台中，，，分别为，中点. （1）求与平面所成角的余弦值； （2）设，分别为棱，上的点，且，，，均在平面上，若面积是面积的8倍， ①求； ②求与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）延长，，交于点，构成正四面体，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式即可求解； （2）①连接并延长，交的延长线于，则，，三点共线，再根据面积比得到为的中点，即可求解；②根据面面角的向量求法即可求解． 【小问1详解】 延长，，交于点，四面体为正四面体， 其棱长为4，高为，以中点为坐标原点， 以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则平面的一个法向量为， 则，，，，， ， 设与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的余弦值； 【小问2详解】 ①，连接并延长，交的延长线于，则，，三点共线，依题意得 设，，因为面积是面积的8倍，所以. 根据，得 因为，，三点共线，所以. 联立消去，得， 解得或（舍去）所以； ②，由①知为中点，平面即为平面. 设平面的法向量为， 而，， 可得. 令，得，， 得平面的一个法向量为. 平面的法向量，设与平面的夹角为， 则， 故与平面夹角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山纪念中学2028届高二上学期数学科第一次段考试题 满分150分，考试时长120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50.从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 若从表中第1行第7列开始向右依次读取数据，则得到的第5个样本编号是（ ） A. 37 B. 20 C. 05 D. 09 2. 从有3个男生和2个女生的小组中，任选2人去参加活动，则至少有一个女生参加的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据如下：1，4，4，，7，8（其中），若该组数据的平均数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 12 4. 如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 根据频率分布直方图，下列说法正确的是 ①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 ④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④ 5. 已知样本数据，，…，的平均数和方差分别为，，样本数据，，…，的平均数和方差分别是，，若，则为（ ） A. 72 B. 74 C. 12 D. 14 6. 若随机事件，满足，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转得到正方形，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（ ） A. A与B相互独立 B. A与D相互独立 C. B与C为互斥事件 D. C与D为互斥事件 10. 已知在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的大小为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 点到平面的距离是 11. 如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若向量与所成角为锐角，则实数的取值范围为________. 13. 已知三棱锥的体积为10，是空间中一点，，则三棱锥的体积是______. 14. 如图，图中共有10个交汇点：.已知质点甲在地，质点乙在地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀且六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的骰子. （1）用适当的方法表示上述随机试验的样本空间，并求两枚骰子点数之积不等于12的概率； （2）记：“两枚骰子点数之和能被3整除”，“蓝色骰子点数大于黄色骰子点数”，求，. 16. 荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简．荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度．举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）样本数据的第59百分位数约为多少； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6，落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 17. 如图，在直三棱柱中，已知，，，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求钝二面角.的余弦值. 18. 在高中校园足球比赛中，组委会计划采用单淘汰制进行比赛，即每支球队负一次即被淘汰出局.现有8支球队随机编号到对阵位置（如下图示），已知甲、乙，丙三队参赛，甲队对战任何一队获胜的概率均为，除甲队外，其余所有球队在与对另一球队对决中获胜的概率均为，比赛没有平局. （1）分别求甲队和乙队获得冠军的概率； （2）分别求甲、乙两队在第轮（其中）相遇的概率； （3）求甲队与乙、丙两队都对决过且甲队获得冠军的概率. 19. 如图，在正三棱台中，，，分别为，中点. （1）求与平面所成角的余弦值； （2）设，分别为棱，上的点，且，，，均在平面上，若面积是面积的8倍， ①求； ②求与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $