精品解析：河南省周口市鹿邑县高级中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

高二10月阶段性检测 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列向量中与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 是的斜线 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 书架上有中文书和英文书共50本，从中随机拿一本，拿到英文书的概率为，则中文书有（ ） A. 40本 B. 30本 C. 20本 D. 10本 5. 如图，为平行六面体中面对角线与的交点．若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若平面经过点，且点，在平面内的射影重合，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正四面体的外接球球心为，点在底面上的射影为，点，，满足，，，其中，，若与平面的交点正好是，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有3个白球和2个红球的箱子中随机摸出2个球，则下列为互斥事件的是（ ） A. “至少有1个红球”与“都是红球” B. “至少有1个白球”与“都是红球” C. “恰有1个红球”与“恰有1个白球” D. “都是白球”与“都是红球” 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 在轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B. 若，且，则 C. 若非零向量，，满足，，则 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 与平面所成角的正切值的最小值为1 C. 若，则二面角的余弦值最大为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，共面，则实数的值是__________． 13. 甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为______． 14. 如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. （1）若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； （2）若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 16. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，为的中点，为的中点． （1）求的长； （2）求点到直线的距离； （3）若点在线段上（与端点不重合），且，当时，求实数的值． 17. 某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 （1）从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． （2）假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点在上，且，试判断，，，四点是否共面，并说明理由． 19. 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二10月阶段性检测 数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列向量中与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与向量共线的是， 则，逐项代入检验，可知D选项符合. 2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 是的斜线 【答案】D 【解析】 【分析】由方向向量与法向量的数量积是否为、两向量是否共线，判断直线与平面的位置关系. 【详解】由已知得. 所以与不垂直，直线与平面不平行，也不在内，从而与相交. 又，所以与不共线，不垂直于. 所以与相交但不垂直，即是的斜线. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 由，可得， 得到，解得. 4. 书架上有中文书和英文书共50本，从中随机拿一本，拿到英文书的概率为，则中文书有（ ） A. 40本 B. 30本 C. 20本 D. 10本 【答案】B 【解析】 【分析】先计算中文书的概率，进而得出中文书的本数. 【详解】书架上有中文书和英文书共50本，从中随机拿一本，拿到英文书的概率为， 则拿到中文书的概率为， 则中文书有本. 故选：B.     5. 如图，为平行六面体中面对角线与的交点．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 6. 在某次阅兵彩排演练中，A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，则A先于B通过的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的，故易得A先于B通过的概率为. 【详解】因A，B，C三个方队通过天安门广场的先后次序是随机的， 通过的顺序只有等可能的两种情况，故A先于B通过的概率为. 故选：C. 7. 已知，，，若平面经过点，且点，在平面内的射影重合，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点，在平面内的射影重合，得到平面，再利用向量法求出点到面的距离. 【详解】因为点，在平面内的射影重合，所以平面， 所以是平面的一个法向量， 又，所以点到平面的距离为. 8. 如图，正四面体的外接球球心为，点在底面上的射影为，点，，满足，，，其中，，若与平面的交点正好是，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 设正四面体棱长为，则正四面体高，， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从装有3个白球和2个红球的箱子中随机摸出2个球，则下列为互斥事件的是（ ） A. “至少有1个红球”与“都是红球” B. “至少有1个白球”与“都是红球” C. “恰有1个红球”与“恰有1个白球” D. “都是白球”与“都是红球” 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义辨析即可 【详解】对于A，“至少有1个红球”包含都是红球和一红一白，与“都是红球”有可能同时发生,所以两事件不互斥，故A不正确； 对于B，“至少有1个白球”包含都是白球和一红一白，与“都是红球”不可能同时发生,所以两事件互斥，故B正确； 对于C，“恰好有1个红球”与“恰好有1个白球”，都只包含一红一白，所以两事件是相同事件，不互斥，故C不正确； 对于D，“都是白球”与“都是红球”不能同时发生，是互斥事件，故D正确. 故选：BD. 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 在轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B. 若，且，则 C. 若非零向量，，满足，，则 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量在坐标轴上的投影和共面向量的定义可判断A；根据向量数量积的运算律和向量垂直的充要条件可判断B；根据向量垂直及共线的定义可判断C；根据基底的概念可判断D． 【详解】对于A，设空间向量，是轴的单位向量，则在轴上的投影向量的模为0，即，得，因此在轴上的投影向量的模为0的空间向量的坐标形式为，所有这样的向量都在平面内（或平行于平面），因此它们共面，故A对； 对于B，由可得，所以， 但这推不出，故B错； 对于C，若非零向量，，满足，则，又， 所以，即，得，所以，故C正确； 对于D，若共面，设， 即，又是空间的一个基底，所以，方程无解，所以不共面，即也是空间的一个基底，故D正确． 11. 已知正方体的棱长为1，点满足，其中，，则下列选项正确的是（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 与平面所成角的正切值的最小值为1 C. 若，则二面角的余弦值最大为 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，由已知得，对于选项A，利用点到平面的距离为定值即可；对于选项B，利用向量法，用表示与平面所成角的正切值即可；对于选项C，利用向量法，用表示二面角的余弦值，再利用函数的单调性即可；对于选项D，利用向量法，用表示，再构造函数，利用导数即可求最小值. 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，棱长为. 由，则，其中，. 对于选项A，由，即点在正方形内，则点到平面的距离为. 所以四面体的体积为，故A正确； 对于选项B，，平面的法向量为， 设与平面所成的角为，则. 所以，则. 当时，为最大值， 所以，故B错误； 对于选项C，若，则，平面的法向量为. ，设平面的法向量为， 则，令，则，即. 设二面角的大小为. 所以. 令，由得，则. 所以随的增大而增大，则即或时，取得最大值，，故C正确； 对于选项D，若，则，即. 令，则. 令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以 . 所以的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，共面，则实数的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由空间向量共面定理列出等量关系求解. 【详解】由向量，，共面，设， ，，. 实数的值为. 13. 甲、乙两人进行象棋有奖比赛，约定：一共下两局，只有当乙两局都获胜时，乙才获得奖品，否则就是甲获得奖品．已知每局比赛甲、乙获胜的概率分别为，，没有和棋且各局比赛相互独立，则甲获得奖品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由对立事件的概率结合独立事件的乘法公式即可得出答案 【详解】设事件“甲获得奖品”，事件“乙获奖”，则互为对立事件， 由于乙获奖的条件是：乙两局全胜，所以. 所以 故答案为：. 14. 如图，在四面体中，，．设异面直线与所成的角为，当二面角的大小在内变化时，的最大值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，则为二面角的平面角，设，，将用表示，则可根据的范围求出的最大值． 【详解】 取的中点，连结，则，则为二面角的平面角， 设，，， 在中，由余弦定理可得，， 所以， ， 因为，所以， 当时，有最大值，故的最大值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中有3个绿球，个红球，这些球除颜色外完全相同. （1）若从盒子中随机抽取1个球，抽到红球的概率为，求； （2）若，采用不放回的方式从盒子中依次随机抽取2个球，求第二次抽到的球是绿球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用古典概型的概率公式，直接根据“红球数量/总球数=给定概率”建立方程，即可求解未知的红球个数. （2）利用不放回抽样和等可能样本点的计数原理，通过列出所有可能的两次抽球结果并统计第二次抽到绿球的样本数，根据古典概型的概率公式进行计算. 【小问1详解】 从盒子中随机抽取1个球， 抽到红球的概率为，解得. 【小问2详解】 设3个绿球分别为，个红球分别为， 采用不放回的方式从中依次随机抽取2个球， 不同情况有， 共20种， 其中第二次抽到的球为绿球，即第二个字母为或或的情况共有12种， 故第二次抽到的球是绿球的概率为. 16. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，，为的中点，为的中点． （1）求的长； （2）求点到直线的距离； （3）若点在线段上（与端点不重合），且，当时，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 因为为的中点，所以．因为为的中点，所以． 所以，所以． 【小问2详解】 连接．由已知得平面，平面，所以． 在中，，，， 所以点到直线的距离为． 【小问3详解】 因为点在线段上，且，所以． 又，， 所以． 又，所以． 因为，所以， 即，即，解得． 17. 某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动．活动结束后，学校根据学生的劳动时长及表现给予相应的劳动实践积分．现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践积分数据，整理如下表： 劳动实践积分 人数 3 10 2 20 1 15 0 5 （1）从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率． （2）假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生． （ⅰ）估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率； （ⅱ）估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）应用频率计算求解； （2）（ⅰ）应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解；（ⅱ）古典概型及独立事件概率乘积公式，对立事件概率公式计算解题. 【小问1详解】 由题表可知从样本中随机抽取1名学生， 其劳动实践积分不低于2分的频率为， ∴估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为． 【小问2详解】 由题可知，劳动实践积分为0分、1分、2分、3分的概率分别为 ，，，． （ⅰ）这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或1人0分、1人2分，共2种． ∴估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为． （ⅱ）随机抽取2名学生，其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于1分，即为 0分，所有的情况为，，，， 概率为， ∴估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．为的中点，为的中点． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的正弦值； （3）设点在上，且，试判断，，，四点是否共面，并说明理由． 【答案】（1）证明：在中，因为为的中点，为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，为的中点，所以． 又因为，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 又因为，，平面，所以平面平面． （2） （3）共面，理由如下： 由已知，得，，，． 由，可得． 假设，，，四点共面，则存在实数，使得． 所以，解得． 所以，即，，，四点共面． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再利用面面平行的判定定理求证； （2）以为坐标原点建系，计算两个平面的法向量，最后利用公式计算； （3）设，利用坐标计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，由（1）易知两两互相垂直．故以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系． 则，． 则，，， 设平面的法向量为，设平面的法向量为， 所以，， 令，得，． 所以，则， 所以二面角的正弦值为． 【小问3详解】 略 19. 如图，在四面体中，和均为正三角形，二面角的大小为，，点满足，其中． （1）若，证明：平面平面； （2）求的最小值； （3）若二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）取的中点，连接，，． 因为和均为正三角形，所以，， 又平面，且，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角，即，是二面角的平面角， 又，则， 则，， 又，即，得， 在中，由余弦定理得，得， 所以，所以， 即二面角的平面角为，故平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，，先根据线面垂直的判定及性质证明为二面角的平面角，是二面角的平面角，再根据余弦定理及勾股定理得到，进而即可证明； （2）结合（1）建立相应的空间直角坐标系，再得到对应点的坐标，从而得到对应向量的坐标，再根据向量的线性运算得到，，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值； （3）结合（2）的空间直角坐标系，先分别求出平面和平面的一个法向量，进而根据面面角的向量求法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结合（1）可得，，，， 则以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， 所以，． 所以，， 故当时，取得最小值，且最小值为． 【小问3详解】 结合（2）的空间直角坐标系， 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则， 令，得，，即； 设平面的法向量为， 由（2）知，，， 则，令，得，，即． 则， 整理得，解得，或（舍去）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $