河南周口市鹿邑县高级中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

鹿邑县高级中学2026年9月高二数学月考试卷 时间：120分钟 满分：150分 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列关于空间向量的命题中，正确的是 A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若，则，，，一定在同一条直线上 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 2．点关于轴的对称点的坐标为 A． B． C． D． 3．已知，，且，则 A． B． C． D． 4．经过，两点的直线的方向向量为，则 A． B． C． D． 5．若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的一个基底的是 A． B． C． D． 6．已知在平行六面体中，，，，，，则 A． B． C． D． 7．已知，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线经过，，，，则 A．倾斜角为0时， B．斜率不存在时， C．存在满足 D．时， 10．在空间直角坐标系中，已知，，，，，则 A．平面的一个法向量为 B．直线平面 C．点到平面的距离为 D．向量在向量上的投影向量的坐标为 11．正方形边长为，沿着其对角线将点折叠至，二面角的平面角为，，，分别为，，的中点，则 A．当时， B．存在，使得 C．四面体的外接球半径不变 D．到的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分． 12．已知点是在平面内的射影，则_________． 13．过作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，直线的倾斜角为、斜率为，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 14．两条异面直线，所成的角为，点，在直线上，点，在直线上，且，，，，，则_________．（写出所有可能，用，，，表示） 四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知，，在轴上，求满足以下条件的的坐标： （1）在直线上； （2）在以线段为直径的圆上． 16．（15分） 如图，已知四面体的所有棱长均为2，为的中点，为的重心． （1）用，，表示； （2）求； （3）证明：平面． 17．（15分） 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 18．（17分） 已知四边形和均为边长为3的正方形，且平面平面，，分别在线段，上，且． （1）证明：平面； （2）求的最小值； （3）当最小时，证明：平面与平面夹角大于． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，底面，，，． （1）若平面．证明：； （2）若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $鹿邑县高级中学2026年9月高二数学月考 参考答案 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分. 1.B 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部 分分，有选错的得0分. 9.BD 10.BCD 11.ACD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分. 12.5 13.第一空： [[ 第二空【1， 备注：仅答对任意一空给3分，两空均对给5分，要特别注意考生书写区间开闭是否正确，不正确的不给 分.第一空答[09,45°][1359,180），或者0°≤u≤45°或135°≤a<180°，或者 0≤as 4或 3 ≤a<T 视为正确作答.并集符号写为“逗号、或、和”视为正确作答.第二空答一1≤k≤1视为正 确作答。 14.-m+2mncos-m-n-2mncos0 四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)设P(x,0),因为P在直线MN上，所以kpw=kw …2分 6w=0-2-2 -2-24 x-2x-2, 5-2 3. 4分 -24 7 x= P 所以x-23,解得2，所以 ·6分 (2)P在以线段MN为直径的圆上，所以PM⊥PN, 8分 kpm≠0，kpv≠0，所以pMkpN=-l …10分 =2 w-0-22 -22 x-2. x-5-5,所以x-2x-5- ,解得x=1或6， 所以P(山0)或(6,0) 。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。 …13分 16.解：(1)G为△4BC的重心，即AG=2GE,所以 c-呢+ 3 ,又 所以 G-ooc-onoc …5分 (2)记0A=a,0B=b,0c=c,则 6+ 3 3,所以可得 OG-ja-(a6622) 9 …7分 a.b=b.@=a.@=2x2xcos=2 3 ×3x2=8 ,所以 -4+4+4+ 3,所以 元-唇26 …10分 oc6-6+56*5(i+0）-(8+i6-6a+8-a+e6例-0 所以OG⊥AB,即OG⊥AB …12分 oc-ic-传+6+5(-a+e-a+a-5a+6c-8a+e-0 所以OG⊥AC 即OG⊥AC, …14分 又AB,ACC平面ABC,AB∩AC=A,所以OG⊥平面ABC …15分 17.(I)证明：连接BC,由愿意得DE/BC, …3分 DEE平面BCCB,BCC平面BCCB,所以DE∥平面BCCB …6分 A B (2)解：因为CA,CB,CC1两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2a,则D(a,a,0) E(a,01).DE=(0,-a,1,平面44CC的法向量为 m=(01,0) …8分 sin45°=cos(，DE〉 h·DE a√2 Va2+12 。。。。。。。。 …10分 所以a=1, …11分 CD=(1,10),平面BCCB的法向量为，=(，0,0)，所以直线DE到平面BCCB的距离为 =1 n ……5分 E 18.(I)证明：因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,BE⊥AB,所以 BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC, …2分 又BD⊥AC,BD,BEC平面BDE,BD∩BE=B,所以AC⊥平面BDE 4分 (2)由(I)知：BE⊥平面ABCD,所以AF⊥平面ABCD,所以AB,AD,AF两两垂直，建立 如图所示的空间直角坐标系A一2， …5分 则4(0,0,0)，E(3,3,0).D(0,0,3).B(30,0) …6分 设A0=元AE(0≤元≤)，所以(32,3,0)，BP=元BD,所以P(3-3,0,3A) …7分 PQ2=(3-32-32)2+(0-32)2+(32-0)2=5422-362+9 …8分 =--361 所以当 2x4时，P四爱，P四最小为4x0写9=3 所以P吧的最小值为V5, …10分 (3)当P的最小时， 2-.P2,0).Q010). …11分 由1)知，ACL平面BDE,平面BDE的-个法向量为4C=(3Q,3) …12分 AP=(20,1).A0=(1,0）,设平面4P的法向量为=(o,,）,则 AP.=0, ∫2x0+20=0, 40i=0,即+%=0，令，=2，可得i=(11,2) 14分 cos(AC,n) AC万_(3,0,3)(-1,12)_35 AC×成V9+9×1+1+46W36 所以 ,…16分 设平面4P吧与平面BDE夹角为0 cos0=3_1 62 3,所以 3 …17分 F P B E 19.(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos3:0°， 所以AB=V3,因为BC2+AB2=AC2,所以BC⊥BA, …1分 因为PA⊥底面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC, 2分 因为PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,… …3分 因为AD∥平面PBC,ADc平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,所以 AD/BC,… …4分 所以AD⊥平面PAB,因为PBC平面PAB,所以AD⊥PB.…5分 (2)(1)证明：如图：过点A作AQ⊥PD于点，因为平面PAD⊥平面PCD,平面PAD∩平面 PCD=PD,Agc平面PAD,所以AQ⊥平面PCD, 因为CDC平面PCD,所以AO⊥CD, …7分 又因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD,因为PAN40=A, PA,AQC平面PAD,所以CD⊥平面PAD,… 8分 因为ADC平面PAD,所以CD⊥AD. …9分 B (i)由（①）知∠CDA=90°，所以CD2+AD2=4,设AD=m,则CD=n=V4-m, 过点D作z轴平行于PA,建立如图所示的空间直角坐标系D-2,则D(0,00)】 A(m,0,0).C(0,n,0）.P(m,0,2) …10分 设平面APC的法向量为”=(：，片，)，则 AP.2=0, 「2z1=0, 4C元=0，即-mx+=0,令=n,可得%=(m,m,0） …12分 设平面PCD的法向量为=(%，2），则 DP.n2=0, 」2=0, DC元=0，即m+2%=0,令=2，可得%=(2,0，-m) …13分 cos( nn 2n 所以 m x n2 n2+m2.14+m2 4+m2 …14分 设平面APC与平面PCD夹角为O, 4+m2-(4-m2） sin= √2m 则 4+m 4+m V4+m2 …15分 √5 sin0= 所以sin8随着m的增大而增大，当m=l时， sin0=v10 又 5 当m=V5时， sin0=V42 16分 √10√42 所以，平面APC与平面PCD夹角正弦值的取值范围为 5,7 …17分 才 P D B