河南省信阳高级中学北湖校区2026-2027学年高二上期10月学科测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高二上期10月学科测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是实数集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知在三棱锥中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 5．设直线与圆相交于两点，则的面积为（    ） A．8 B． C． D．4 6．若圆与圆有3条公切线，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．已知函数（其中，，.）的部分图象如图所示，将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数在区间内恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法不正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．过，两点的所有直线的方程为 D．直线与直线互相平行，则 10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（ ） A． B．平面ABCD C． D．三棱锥的体积为定值 11．阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在如图所示的3×3方格表中选3个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，所选方格中的3个数均为奇数的概率为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13．已知向量与的夹角为，则__________. 14．已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在钝角中，已知． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 16．（15分）某中学为了调查某年级学生劳动实践活动情况，对名学生某周的劳动时间统计如下： 周劳动时间（小时） 人数 20 80 140 200 60 (1)根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，需要书写具体步骤）； (2)求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）； (3)根据图表，估计周劳动时间的样本数据的第80百分位数. 17．（15分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到，使得平面平面. （Ⅰ）求证：平面ABD； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 18．（17分）已知圆的圆心在轴上，其半径为1，直线被圆所截的弦长为，且点在直线的下方． (1)求圆的方程； (2)若为直线上的动点，过作圆的切线，切点分别为，当的值最小时，求直线的方程． 19．（17分）已知椭圆，左右焦点分别为，，左右顶点为，，离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若是椭圆上的点，且以点及焦点，为顶点的三角形面积等于，求点的坐标： (3)若直线与椭圆交于两点，直线不过原点、椭圆顶点且不垂直于轴．设直线和的斜率分别为，，用表示． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026-2027学年高二上期10月学科测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D D B A A C ABC ABD AD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14． 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理得到，得到，故或，舍去不合要求的解，得到答案； （2）在（1）基础上得到，根据周长得到，求出三角形面积. 【详解】（1）由余弦定理可知，所以， 故， ，， 则， ， 或． 当时，，不为钝角三角形，舍去， 时，满足要求． （2）由（1）可得， 由正弦定理，即． 周长，所以． 则的面积． 16．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）由统计表格中的数据，求得劳动时间在和的矩形的高度，进而得到频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （3）设样本数据的第分位数为，求得前三个矩形和前四个矩形的面积，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】（1）解：由统计表格中的数据，可得劳动时间在和的人数分别为人和人， 因为频率分布直方图的组距为， 所以劳动时间在和的矩形的高度分别为：和， 可得其频率分布直方图为： （2）解：由频率分布直方图的数据，可得其平均数为： . （3）解：根据题意，设样本数据的第分位数为， 前三个矩形的面积为， 前四个矩形的面积为， 所以位于之间，可得， 即样本数据的第分位数为. 17．（Ⅰ）见解析（Ⅱ） （Ⅲ） 【分析】（Ⅰ）翻折后成以后线段的长度不发生变化，所以可得CD=6，， ，即，所以，再结合面面垂直的性质定理可得线面垂直； （Ⅱ）根据题意建立空间直角坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再利用向量的有关知识求出两个向量的夹角，进而转化为线面角； （Ⅲ）根据建立的坐标系分别求出两个平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角得到答案； 【详解】（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△，可知CD=6，，BD=8，即，故． 因为平面⊥平面，平面平面=，平面， 所以平面． （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且， 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． 则，，，.． 由于E是线段AD的中点，所以，． 在平面中，，， 设平面法向量为， 所以，即， 令，得，． 设直线与平面所成角为，则 ． 故直线与平面所成角的正弦值为． （Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，而平面的法向量为，故， 因为二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）设圆心，根据直线被圆所截的弦长为列方程得到，然后写圆的方程即可； （2）根据等面积的思路得到当时，最小，然后根据直线为以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线求直线方程. 【详解】（1）设圆心到直线的距离为，则，解得或， 因为点在直线的下方，所以，， 所以圆的方程为. （2） 因为，所以最小即最小， 当时，最小，所以此时，的直线方程为：， 联立得，所以，中点，， 所以以为直径的圆的方程为：， 直线为以为直径的圆与圆的公共弦所在的直线， 联立得， 所以直线的方程为. 19．(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）根据题意列出方程，求出即可. （2）首先求出，的坐标，设，由面积公式求出，再由点在椭圆上求出，即可得解； （3）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理及斜率坐标公式求出. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得，解得， 由椭圆过点，得，解得（负值已舍去），则， 所以椭圆的方程为. （2）因为椭圆的方程为，所以， 则，，所以. 设，则，所以， 又，所以， 所以点的坐标为或或或； （3）由，消去整理得， 设点，则， 而，依题意， 所以 . $