精品解析：重庆市第十八中学2026-2027学年度高二上学期10月学情调研数学试题

重庆市第十八中学高2028届高二上期10月学情调研 数学试题卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以，解得. 2. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出已知直线的斜率，再根据两直线垂直的斜率关系得到直线的斜率，最后由倾斜角与斜率的对应关系计算得到的倾斜角. 【详解】将直线整理为斜截式，可得其斜率， 设直线的斜率为，因两直线垂直且斜率均存在，故满足， 代入，解得， 设直线的倾斜角为，其中， 由斜率与倾斜角的关系，得， 又因为， 所以. 3. 在三棱锥中，，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理及向量的运算法则计算即可得出结果. 【详解】连接,因为，所以， 因为，所以， 所以, 故选：B 4. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平面平行可知其法向量共线，利用向量共线的坐标运算求出的值，即可得到的值. 【详解】因为，所以平面与平面的法向量共线， 即存在实数，使得， 将向量坐标代入得方程组：，解得： ， 因此. 5. 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，，所以， 平面的法向量，则， 所以，即. 6. 若直线：与直线：（）平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴由两直线平行的一般方程 关系可得，解得，则， 由两平行直线距离公式可得. 7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图，由空间向量的基本定理与数量积和二面角的夹角余弦值求解即可. 【详解】直线上的横坐标分别为，的两点、的坐标分别为，， 如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点， 则、的夹角为，又，，， ，，， 则 ， 解得，而，则. 故选：A. 8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面的距离相等求出，利用求出最短路径即可. 【详解】为腰长为2的等腰直角三角形，且，则，， 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为，， 则，设平面的法向量， 则，令，则，所以， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 【答案】AD 【解析】 【分析】求出直线在轴和轴上的截距，可判断A；直线的方程化为截距式方程，可判断B；化直线的方程为斜截式方程，求得斜率可判断C；由直线的斜率可知直线的方向向量，可判断D． 【详解】直线，令，得；令，得， 即直线在轴和轴上的截距相等，均为1，故A正确； 由，可得直线的截距式方程为，故B错误； 由，得，直线的斜率为，故C错误； 直线的斜率为，可知是直线的一个方向向量，故D正确， 故选：AD． 10. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则正确的是（ ） A. B. 点与点到平面的距离相等 C. 存在实数，使得 D. 在正方体各面对角线中与直线所成的角为的有条 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：利用向量的减法运算和数量积公式结合空间直角坐标系进行计算判断； 对于选项B：通过证明直线平行于平面，利用线面平行的性质判断点到平面的距离； 对于选项C：将向量共面问题转化为线面平行问题，结合选项B的结论判断； 对于选项D：利用空间向量或正方体的几何性质，找出所有满足条件的面对角线． 【详解】选项A：由向量减法可知，则， 建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，  所以，故A错误； 选项B：如图所示，取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点，所以， 因为，分别为，的中点，所以， 所以，又因为平面，平面，所以平面， 又，，所以 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点与点到平面的距离相等，故B正确； 选项C：由选项B可知平面，且平面， 根据共面向量定理，可以由平面内的两个不共线向量，线性表示， 即存在实数，使得，故C正确； 选项D：由正方体的性质得，过或D的面对角线与直线所成的角都为， 例如为正三角形，所以，与所成角均为， 这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故D正确． 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积的最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造面面平行，分析点的轨迹，求轨迹的长度，判断A的真假；根据三角形两边之和大于第三边，可求的最小值判断B的真假；建立空间直角坐标系，明确点的轨迹，利用空间向量求点到平面的距离，判断C的真假；确定三棱锥的外接球球心的位置，进一步计算其半径，求面积可判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点，中点，连接，，，， 因为E，F分别是棱，的中点， 所以在正方形中， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面. 因为平面，所以点轨迹为线段，且.故A正确. 对B：如图： 因为，且，，所以不存在满足，故B错误； 对C：如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为，所以. 因为，，， 设. 则，，. 设平面的法向量为， 由， 令，可得. 所以点到平面的距离为：. 因为，所以，所以. ， 在等腰中，底边上的高长为， 所以三棱锥体积的最小值为，故C正确. 对D：如图： 连接，取其中点，连接. 因为是棱的中点，则. 所以为外接圆圆心. 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在该垂线上. 连接，设，则， 连接，，所以， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为：，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设空间向量，，求与夹角的余弦值__________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】. 13. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 14. 在空间直角坐标系中，已知，，，则到的距离为__________． 【答案】 ## 【解析】 【详解】∵，， ，由点到直线距离公式得 . 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. （1）求的一般式方程； （2）若直线经过点，且，求的方程. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出的坐标，在根据两点求出直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程即可； （2）根据平行直线的直线系方程假设出直线，再由直线经过点求出直线方程. 【小问1详解】 由的三个顶点为，且为的中点， 可得，即，则， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，直线的方程为， 因为，可设直线的方程为， 直线经过点，可得，解得， 所以直线的方程为. 16. 三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， （1）试用，，表示向量； （2）若，，求的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合几何图形，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）由（1）的结论，利用空间向量的数量积运算计算即得. 【小问1详解】 三棱柱中，为中点，点在线段上，， 则，， 因此 . 【小问2详解】 ，， 则，同理得， 所以 . 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若c＝，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合三角形内角和消去，化简得，用辅助角公式求解； （2）由面积公式得，余弦定理结合得，从而求出周长. 【小问1详解】 根据与正弦定理， 可得， 因为，所以， 代入上式化简得， 因，则，两边同除以得， 即，即. 又，则，故​，得. 【小问2详解】 已知，，面积. 由面积公式得 ， 由余弦定理得，即， 代入得，  因此周长为. 18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别计算各个顶点处的离散曲率，再利用三角形内角和计算即可； （2）利用线面垂直的性质和判定证得，即，根据离散曲率的定义计算得，根据点面距离的定义作出点到平面的距离线段，根据边角关系求解即可； （3）法一：根据定义作出线面角，设，则，利用余弦定理计算得，利用构造关于的方程，求解即可； 法二：如图建立空间直角坐标系，利用向量法计算线面角的正弦值，即可得解. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得： ， ， 因为，同理可得其他三个三角形内角和为， 所以； 【小问2详解】 由平面平面，得， 又平面，则平面， 由平面，得，即， 又，即， 解得， 过点作于点，由平面平面，得， 又平面，则平面，因此点到平面的距离为线段的长. 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 方法一：过点作交于点，连接， 由平面，得平面，则为直线与平面所成的角， 依题意，， 设， 则， ， 在中，根据余弦定理，， 由，得， 因此，整理得，即， 解得或，因为，所以. 方法二：由（2）知，平面平面，过作的平行线，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得：， 所以，， 设，则， 设与平面所成的角为，因为，所以， 取平面的法向量， 则， 整理得，即，解得：或（舍）， 所以，所以. 19. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． （1）求； （2）求； （3）若点在棱BC上，且平面，求的长． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解； （2）设，求出面的法向量，通过列方程求出即可； （3）设，则，可得是平面的一个法向量，通过求解即可. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 所以； 【小问2详解】 设，则 设平面的法向量为， 则，令得， 依题意可得， 解得，所以； 【小问3详解】 设，则， 由（2）知，则， 因为， 所以， 所以是平面的一个法向量．因为平面， 所以，解得， 所以的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十八中学高2028届高二上期10月学情调研 数学试题卷 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（） A. B. C. D. 3. 在三棱锥中，，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（） A. B. C. D. 5. 已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若直线：与直线：（）平行，则这两条直线间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 直角坐标系中直线上的横坐标分别为，的两点、，沿轴将坐标平面折成大小为的二面角，若折叠后、两点间的距离是，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，侧面为正方形，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等 B. 直线的截距式方程为 C. 直线的斜率为1 D. 是直线的一个方向向量 10. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点．则正确的是（ ） A. B. 点与点到平面的距离相等 C. 存在实数，使得 D. 在正方体各面对角线中与直线所成的角为的有条 11. 如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ） A. 若平面，则点的轨迹长度为 B. 存在P满足 C. 若，则三棱锥体积的最小值为 D. 若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设空间向量，，求与夹角的余弦值__________． 13. 已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 14. 在空间直角坐标系中，已知，，，则到的距离为__________． 四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为. （1）求的一般式方程； （2）若直线经过点，且，求的方程. 16. 三棱柱中，为中点，点在线段上，．设，， （1）试用，，表示向量； （2）若，，求的长． 17. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若c＝，且的面积为，求的周长. 18. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度. 19. 在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱的中点，直线与平面交于点． （1）求； （2）求； （3）若点在棱BC上，且平面，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $