重庆市渝西中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

高2028届数学学科高二（上）第一次月考 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（原创）已知直线，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．（原创）已知圆，圆，则两圆位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 3．（原创）已知是左右焦点分别为、的椭圆上的一点，则（ ） A．8 B．4 C．1 D． 4．（原创）已知为坐标原点，点是直线上任意一点，则的最小值为（ ） A． B． C．2 D．5 5．（原创）已知直线与圆相离，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．（原创）一条光线从点射出，经直线反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（ ） A． B．4 C． D．5 7．（改编）已知椭圆的左、右焦点分别为和和，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．（改编）设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．（原创）已知直线，，则下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则 10．已知，分别是椭圆的左、右焦点，，是椭圆长轴端点，点是椭圆上异于长轴端点的一点，则下列结论正确的是（ ） A．椭圆的离心率 B．的最大值为25 C．存在点使 D．以为直径的圆与以为直径的圆内切 11．已知圆，圆，直线，点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，；过作圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．直线是圆与圆的公共弦所在直线 B．对于直线上任意一点，都有 C．当直线与相交时，设交点为，则一定在直线上 D．若圆与圆，均外切，记点到直线的距离为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（原创）已知圆过点，，，则圆的方程为_______； 13．（原创）已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是_______； 14．已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不与左右顶点重合的动点，设，分别为的内心和重心．当直线的倾斜角不随着点的运动而变化时，椭圆的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（改编）如图，已知中，，，，延长至点，连接． （1）求的长； （2）若，求的面积． 16．（改编）在平面直角坐标系中，点，动点满足． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，，． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的余弦值． 18．定义：是圆上一动点，是圆外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称为圆的“伴随点”；若同时是圆和圆的“伴随点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆：，为圆的“伴随点”． （1）求点所在曲线的方程； （2）已知圆：，，均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线与圆交于、两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 19．已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）斜率为的直线与椭圆交于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为，，当k为何值时，为定值． （3）在（2）的条件下，设不过椭圆中心和顶点，且与x轴交于点，点关于y轴的对称点为，直线与y轴交于点，求周长的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、单项选择题 1-4、BBCA 5-8、CDAD 8、【详解】由椭圆定义：，代入，则 ，，由余弦定理有 则两边约去4：，整理得到 令, 设， 这是开口向上的二次函数，对称轴，在对称轴处，；在区间端点或处，取得最大值： 二、多项选择题 9、BC 10、ABD 11、BCD 11、【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心为，半径，对于A，因为， 所以圆与圆相离，不存在公共弦，故A错误； 对于B，设满足直线，则，，所以，故B正确； 对于C，先证明圆上点处的切线方程为．证明如下：①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以，又过点，由点斜式可得，化简可得，，又，所以切线的方程为；②若切线的斜率不存在，则，此时切线方程为．综上所述，圆上点处的切线方程为，设，，，再证明直线的方程为，证明如下：因为圆在处的切线方程为，因为点在切线方程上，所以，同理可得，则，满足方程，根据不同两点确定唯一一条直线，故直线的方程为，同理可得直线的方程为，设两条直线交点为，代入两条直线并作差得，因为点满足，所以，故点在直线上，故C正确； 对于D，设圆的半径为，则，所以，设，则，即，化简可得，而点到直线的距离，因为，所以，即，故D正确. 三、填空题 12、（或）13、14、 14、【解析】如图，令点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接，显然点在上，连接并延长交轴于点，连接并延长交轴于点，轴，过点作垂直于轴于点，   设点，，则，因为为的重心，所以，因为轴，所以点横坐标也为，，因为为的角平分线， 则有，又因为，所以可得，又由角平分线的性质可得，，而所以得， 所以，， 所以，即， 因为 即，解得 四、解答题 15、(1)2 (2) 【解析】（1）在中，由正弦定理得：，又，，．所以． （2）在中，由余弦定理得：，，代入得，（负数舍），故的面积为． 16、(1) (2)或 【解析】（1）因为，由，得，化简得，即，所以点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为，此时圆心到直线的距离，等于圆的半径，故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即，于是圆心到的距离等于半径2，即，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 17、（1）略 （2） 【解析】(1)证明：因为底面为正方形，所以. 又因为，，平面，所以平面PBD；因为平面，所以.因为，与相交，平面. 所以平面. (2)以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，，. 设平面的法向量为，则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为. ， 易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18、(1) (2)（i）； （ii）存在点为或或时，取定值 【解析】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以，可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）易知圆的圆心为，半径为，因为点为圆的“伴随点”，所以，可得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以点所在曲线的方程为；可得点为圆与圆的交点；因为P，Q均为圆“”的“共生点”，所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为；因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得，易知,； 此时 , 令，解得或或易知时,取定值为4，时,取定值为12，当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4；当点的坐标为时，取定值为12；当点的坐标为时，取定值为3； 19、(1) (2)时，为定值 (3) 【解析】（1）由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线l的方程为，，， 联立，消去y整理得， 则， 且，， 又，， 则 ， 则，即时，此时为定值. （3）由（2）知，，，直线l的方程为， 且，，，， 则，， 则直线的方程为， 令，得 ， 即，则，，， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立， 则周长的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $