精品解析：重庆市开州区东华初级中学2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题

东华初级中学2026-2027学年度（上）第一次阶段测试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，10 C. 4，5，6 D. 3，8，5 2. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 5. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 7. 如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 11. 如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形周长为______． 13. 已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 14. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 15. 如图，则的度数为_______． 16. 对于一个各位数字均不相同的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“双合数”．最小的“双合数”是_________；一个“双合数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，记，若是一个整数，则满足条件的M的最大值是_________． 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分）． 17. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，点A，D在的异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 18. 已知：如图，点在同一直线上，，． 求证： （1）． （2）若，求的度数． 四、解答题：（本大题共70分，每小题10分）． 19. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 20. 在四边形中，为对角线． （1）尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若，求证：． 21. 如图，四边形的对角线、相交于点E，，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22. 如图，是的中线，，垂足为，交的延长线于点是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 中，为的平分线，为边上的高． （1）如图1，若，，请求的度数； （2）如图2（），试说明，，的数量关系； （3）如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 24. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 25. 在和中，，，． （1）如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华初级中学2026-2027学年度（上）第一次阶段测试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各组线段能构成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4，5，10 C. 4，5，6 D. 3，8，5 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．∵，∴不能构成三角形； B．∵，∴不能构成三角形； C．∵，∴能构成三角形； D．∵，∴不能构成三角形． 2. 下列各图中，正确画出的边边上的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 【详解】解：根据题意，是符合题意的． 3. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他只要带第③块碎片去商店，就可以配出一块与原来完全一样的三角形模具，这样做利用全等三角形的判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：他带第③块碎片去是因为第③块保留了该三角形的两个角及其夹边，所以他利用了全等三角形的判定依据是． 4. 如图，，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求得，，进而可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 5. 如图，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线，三角形的周长，掌握其性质是解决此题的关键．先根据中线的定义得，再表示周长，即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差是． 故选：C． 6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（    ）. A. 45° B. 60° C. 75° D. 85° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案． 【详解】解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质． 7. 如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义及角的和差关系计算即可． 【详解】解：，， ，  沿折叠，点B落在点处，  ，  ∵点A，M，B在同一直线上，  ． 8. 如图，等边三角形中，，与相交于点P，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到，，结合，证明，得到，结合，可得，即得答案． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． 9. 如图，的面积为18，D、E、F分别是线段、、的中点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵D、E分别是线段、的中点，的面积为18， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴． 10. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）． 11. 如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理，利用，添加即可． 【详解】解：∵在和中，，（公共边）， ∴添加，利用可使． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义，三角形三边数量关系是解题的关键． 根据题意分类讨论：当腰长为时，由三角形三边数量关系可得不符合题意；当腰长为时，符合题意，由三角形周长的计算方法即可求解． 【详解】解：若腰长为，则三边为、、， ，不符合三角形三边关系（两边之和大于第三边），故不成立； 若腰长为，则三边为、、，满足任意两边之和大于第三边，且两边之差小于第三边， 周长为， 故答案为：20． 13. 已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【解析】 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14. 如图在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据周长为12，求得，然后根据角平分线的性质定理得到，即可根据求得答案． 【详解】解：周长为12，， ， ， 是的角平分线，，， ， ． 15. 如图，则的度数为_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据三角形外角性质得出，根据四边形内角和为即可得出答案． 【详解】解：如图，设分别交、于、， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴． 16. 对于一个各位数字均不相同的四位正整数，若满足，则称这个四位数为“双合数”．最小的“双合数”是_________；一个“双合数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的数，，记，若是一个整数，则满足条件的M的最大值是_________． 【答案】 ①. 1098 ②. 6903 【解析】 【分析】（1）由题意得，千位最小取1，由得；百位最小取0，由得，即可得最小的“双合数”； （2）先将与求和，代入、化简，得；再表示，代入化简得．因是13的倍数，故只需能被13整除．求最大值时，从大到小列举得，再取最大，得． 【详解】解：∵要使四位正整数最小， ∴千位取1， ∵， ∴， 则百位最小取， ∵， ∴， ∴最小的“双合数”是； 由题意得，，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵是整数， ∴能被13整除， ∵， ∴必须能被13整除， ∵要使最大， ∴千位尽可能大， 当时，，，不能整除； 当时，，，不能整除； 当时，，，不能整除； 当时，，，能被13整除，符合条件． ∴满足条件的最大为． ∴， 则， ∴， ∴满足条件的的最大值为． 三、解答题：（本大题共16分，每小题8分）． 17. 如图，点B，F，E，C在同一直线上，点A，D在的异侧，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质并结合线段的和差计算即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 已知：如图，点在同一直线上，，． 求证： （1）． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ，即， ， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可证三角形全等； （2）由（1）可得，然后问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 四、解答题：（本大题共70分，每小题10分）． 19. 已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若，且c为奇数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 20. 在四边形中，为对角线． （1）尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）条件下，若，求证：． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形的对角线、相交于点E，，，点F在上，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，是的中线，，垂足为，交的延长线于点是延长线上一点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵AD是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而证明，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 中，为的平分线，为边上的高． （1）如图1，若，，请求的度数； （2）如图2（），试说明，，的数量关系； （3）如图3，延长到点，和的平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可求得，由角平分线的定义可得的度数，利用三角形的高线可求的度数，进而求解即可得出结论； （2）根据（1）的推理方法可求解，，的数量关系； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：∵和的角平分线交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 24. 【初步认识】 （1）如图①，在中，平分，平分．若，则___________；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是___________； 【继续探索】 （2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系； 【拓展应用】 （3）如图④，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，延长交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，直接写出的度数． ． 【答案】（1），；（2）；（3）或或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，明确角之间的数量关系是解题的关键． （1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求；根据计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，再整理即可解答； （2）由角平分线可得，由，可得，则根据，然后计算求解即可； （3）由题意知，、、，当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，分①，②，③，④四种情况求解即可． 【详解】（1）解：如图①，∵平分，平分， ∴， ∵， ∴； 如图②，∵平分，平分外角， ∴， ∵，， ∴，整理得，． 故答案为：，． （2）解：∵平分外角，平分外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，，、， ∴当在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍， ①当时，即，解得：， ∴； ②当时，即，则； ③当时，，解得，； ④当时，，解得，． 综上所述，的度数为或或或． 25. 在和中，，，． （1）如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，； （2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （2） 成立，证明：如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， （3）是， 【解析】 【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答； （2）证明，得到，又由，得到，即可解答； （3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，过点作，，垂足分别为、， ， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $