精品解析：四川省遂宁市射洪中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

射洪中学初2023级九年级上期第一次核心素养评价 数 学 试 卷 (满分∶150分 时间∶120分钟) 一、选择题（每小题3分，共48分） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 4. 用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项值依次是（ ） A. 0，， B. 1，， C. 1，3， D. 1，， 5. 下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 下列各组线段（单位：）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，5，7，9 B. 2，5，6，8 C. 1，3，4，7 D. 3，6，9，18 7. 一元二次方程的根的情况是（　　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 若，则实数在数轴上的对应点一定在 （ ） A 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 10. ，则的值为（ ） A. 或 B. 6或4 C. 或 D. 2或6 11. 把根号外因式移入根号内，结果（ ） A. B. C. D. 12. 如果三角形有两边的长分别是方程的两根，得到的三角形的周长可能是（　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 17 13. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 14. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ） A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 15. 实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（ ） A. B. C. D. 16. 设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 二、填空题（每小题4分，共32分） 17. 比较大小： ______． 18. 若方程有整数根，则m的值可以是________．（填一个可能的值） 19 已知，则______． 20. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 21. 化简的结果为_______． 22. 已知，则_________． 23. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 _________． 24. 甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为________________． 三、解答题（共70分） 25. 解方程或化简求值 （1） （2） （3） （4） （5） （6）已知，，求的值． 26. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 27. 如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 28. 某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定价每千克35元时，销售量为______，月销售利润为______． （2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ （3）设销售单价为元，月销售利润为元，请求出与的函数关系，并求出销售单价定为多少时利润最大，最大利润为多少？ 29. 如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． （1）当________秒时，四边形为矩形． （2）运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． （3）运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 射洪中学初2023级九年级上期第一次核心素养评价 数 学 试 卷 (满分∶150分 时间∶120分钟) 一、选择题（每小题3分，共48分） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的定义．解题的关键是掌握形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义进行判断即可得． 【详解】解：A． 当时，是二次根式，故本选项不符合题意； B．为负数，则无意义，故本选项不符合题意； C．是二次根式，故本选项符合题意； D． 当时，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案． 【详解】解：A、＝2，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为 0 ，可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义． 且， 解得：且， 故选：C． 4. 用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（ ） A. 0，， B. 1，， C. 1，3， D. 1，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 5. 下图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 【详解】解：，即：， 开方，得：， 则计算步骤最先出错的是甲， 故选A． 6. 下列各组线段（单位：）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，5，7，9 B. 2，5，6，8 C. 1，3，4，7 D. 3，6，9，18 【答案】D 【解析】 【分析】先把各组线段从小到大排序，然后看看第一个数和第四个数的积是否等于第二个数和第三个数的积，若相等，则可成比例，否则不可成比例． 【详解】解：∵3×9≠5×7，∴A不符合题意； ∵2×8≠5×6，∴B符合题意； ∵1×7≠3×4，∴C符合题意； ∵3×18=6×9=54，∴D符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查线段成比例的应用，正确理解线段成比例的意义并灵活运用比例的基本性质是解题关键． 7. 一元二次方程的根的情况是（　　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解答此题的关键． 8. 若，则实数在数轴上的对应点一定在 （ ） A. 原点左侧 B. 原点右侧 C. 原点及原点左侧 D. 原点及原点右侧 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点一定在原点及原点左侧， 故选：． 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A. 2018 B. 2020 C. 2022 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．由一元二次方程的根为得，化简得，整体代入计算，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 10. ，则的值为（ ） A. 或 B. 6或4 C. 或 D. 2或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，进而代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， 当时，则，解得：， 当时，则，解得：， ∴当，时，则； 当，时，则； 故选C． 11. 把根号外的因式移入根号内，结果（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据 可得 ，所以移入括号内为进行计算即可. 【详解】根据根式的性质可得，所以 因此 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的性质，关键在于求a的取值范围. 12. 如果三角形有两边的长分别是方程的两根，得到的三角形的周长可能是（　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形的第三边a的长为，然后确定三角形的周长l的范围． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， ∴三角形的第三边a的长为， ∴三角形周长l的范围为， ∴四个选项中只有选项C符合题意． 故选：C． 13. 已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据“当方程有实数根时，”和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且； 故选：C． 14. 方程有两个相等的实数根，且满足则m的值是（ ） A. -2或3 B. 3 C. -2 D. -3或2 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2-（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2-4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题． 【详解】解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2， ∴m+6=m2， 解得m=3或m=-2， ∵方程x2-（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根， ∴△=b2-4ac=（m+6）2-4m2=-3m2+12m+36=0 解得m=6或m=-2 ∴m=-2． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 15. 实数a、b在数轴上的位置如图所示化简，的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可知：，， ∴ 故选：B． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握利用数轴判断字母符号和二次根式的性质是解决此题的关键． 16. 设S=，则不大于S的最大整数[S]等于(　　) A. 98 B. 99 C. 100 D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】由，代入数值，求出S=+++ …+=99+1-，由此能求出不大于S的最大整数为99． 【详解】∵ = =， ∴S=+++ …+ = = =100-， ∴不大于S的最大整数为99． 故选B. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，知道是解答本题的基础． 二、填空题（每小题4分，共32分） 17. 比较大小： ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，熟知二次根式的性质是解答此题的关键． 先把根号外边的数移到根号里面，再比较被开方数的大小即可． 【详解】解：，，， ， 即 故答案为：． 18. 若方程有整数根，则m的值可以是________．（填一个可能的值） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，将原方程变形为，根据方程有整数根，即可得出为完全平方数，即可得出答案，解题的关键是熟悉方程有根的条件． 【详解】解：， ∴， ∵方程有整数根， ∴为完全平方数， ∴可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 19. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：设，则， ∴； 故答案为． 20. 若最简二次根式与可以合并，则a的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 21. 化简的结果为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及积的乘方的逆用，熟练掌握各个运算法则是解题的关键；根据二次根式的运算及积的乘方的逆用进行求解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为． 22. 已知，则_________． 【答案】8 【解析】 【分析】将等号两边同时开平方，解出的值，再根据的非负性进行取舍即可． 【详解】， ， =8或－10， ≥0， =8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直接开平方法解一元二次方程的步骤，方程若能化为形如的形式，那么可得，需要注意的是两数平方的和的非负性． 23. 已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于 _________． 【答案】6070 【解析】 【分析】由m、n是一元二次方程的两个实数根，可得，，，由，代入求值即可． 详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 24. 甲、乙两同学解方程，甲看错了一次项系数，解得根为4和；乙看错了常数项，解得根为2和3，则原方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，难度较低，关键根据题意正确运用根与系数的关系：，是方程的两根时，，．首先根据根与系数的关系求得一次项系数和常数项的值，再进一步得到方程即可． 【详解】解：根据一元二次方程的根与系数的关系， 由甲看错了一次项系数，解得根为4和，得， 乙看错了常数项，解得根为2和3，得． 则得出方程：， 故答案为：． 三、解答题（共70分） 25. 解方程或化简求值 （1） （2） （3） （4） （5） （6）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6）12 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，分式化简，乘法公式，分母有理化等知识点． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式计算即可； （3）利用提公因式法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可； （5）利用平方差公式解方程即可； （6）先进行分母有理化，求出，的值，把代数式通分整理后，再把，的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：， 原式， ， ； 【小问2详解】 解：， 原式， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根， ， ； 【小问5详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问6详解】 解：， ， ． ， ， ， ， ． 26. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵ ∴无论m取何值时，原方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵ ∴， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 27. 如图，E是平行四边形的边的延长线上的一点，连接，交于点O，交于点F，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，，然后根据相似三角形的性质可进行求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 28. 某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出，销售单价每涨1元，月销售量就减少，解答以下问题． （1）当销售单价定价每千克35元时，销售量为______，月销售利润为______． （2）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？ （3）设销售单价为元，月销售利润为元，请求出与的函数关系，并求出销售单价定为多少时利润最大，最大利润为多少？ 【答案】（1）450千克；6750元 （2）月销售利润达到8000元，销售单价应为60元 （3），商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元． 【解析】 【分析】此题考查二次函数和一元二次方程的应用，弄清楚销售问题中各量之间的关系，准确列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据销售单价每涨1元，月销售量就减少列式计算即可； （2）设应涨价元．根据月销售利润达到8000元列出方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 月销售量为（千克），销售利润为（元）； 故答案为：450千克，6750元； 【小问2详解】 设应涨价元．则可列方程： 解得：或， 当时，销售单价为40元，销售成本为（元），舍去. 当时，销售单价为60元，销售成本为（元），符合题意， 答：月销售利润达到8000元，销售单价应为60元. 【小问3详解】 月销售利润， 当时，， 答：商店要使得月销售利润达到最大，销售单价应为50元，此时利润为9000元． 29. 如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒． （1）当________秒时，四边形为矩形． （2）运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． （3）运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由． 【答案】（1）4 （2）能， （3）能，或 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可； （2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可； （3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同． ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴则， 根据题意得， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴当时，四边形为矩形， ， 解得， ∴秒时，四边形为矩形， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：运动过程中，四边形可以为菱形， 连接、， ∵点、分别从点、同时出发，速度相同， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形 在中，，， ∴ 即 解得， ∴运动时间为时，四边形为菱形． 【小问3详解】 点和点的距离可以是， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 中，有， 即， 解得，． ∴当运动时间为或时，点和点的距离是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $