22.2相似图形 专项练习 2026-2027学年华东师大版九年级上册数学

第22章 22.2 相似图形 【新教材华东师大版】 知识点 相似图形 1.定义：把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似 比或相似系数. 2.性质：如果两个多边形是相似的，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 【题型1 识别相似图形】 1．下列各组图形中不一定是相似图形的是（     ） A．两个等腰直角三角形 B．两个等边三角形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 2．如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 4．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 6．如图，在①矩形、②锐角三角形、③正五边形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图一定相似的有______．（填写序号） 7．给出下列各组图形：①两个平行四边形；②两个直角三角形；③两个矩形；④有一个内角是的两个等腰三角形；⑤两个正五边形；⑥有一个内角是的两个等腰三角形．其中一定是相似图形的是_________（填序号）． 【题型2 判断相似图形】 1．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 2．如图所示的两个多边形相似吗？说说你的理由． 3．如图所示的两个矩形是否相似？ 4．如图，已知，，，，试判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 5．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【题型3 求相似图形的相似比】 1．若两个相似多边形的一组对应边的长分别为3和，则它们的相似比为（     ） A． B． C． D． 2．如图，设小方形的边长为1，四边形四边形，且它们的顶点都在格点上，则它们的相似比是（    ） A． B． C．2 D．3 3．四边形的四边长分别是，，，，四边形四边形，四边形的最长边是，则四边形与四边形的相似比是________． 4．把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是______． 【题型4 求相似图形的边长】 1．如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，且．若四边形四边形，，，则的长为（   　 ） A． B．2 C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 3．如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 4．已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 5．如图，已知四边形四边形，若，，则的长为__________． 6．如图，在矩形中，，点，分别在，边上，且．若矩形矩形，且相似比为，则的长是__________． 【题型5 求相似图形的角度】 1．如图，四边形四边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形四边形，则的度数是____________． 4．如图，五边形五边形，求的长和的度数． 5．如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【题型6 求相似图形的周长】 1．与的相似比为，则与的周长比为（   ）． A． B． C． D． 2．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 3．如图，已知菱形的周长为12，，对角线上有两点E和F（点E在F的左侧），且四边形与菱形相似，则的长为（   ） A． B．2 C． D．1 4．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为_______． 5．两个相似多边形面积之比为，其周长之差为6，则较小的多边形的周长是____________． 6．某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为2∶3，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是____________米． 【题型7 求相似图形的面积】 1．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（   ） A． B． C． D． 2．两个相似五边形的一组对应边的长分别是，，若它们的面积和是，则较大五边形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形﹐已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（    ） A．4 B．6 C．16 D．18 4．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为______． 5．如图，某文创店以三星堆博物馆“黄金面具”为主题，设计了一款边长为的正方形纪念徼章．为满足不同展示需求，现需制作放大版纪念徼章．若以顶点A为位似中心进行位似变换，对应边的比，则纪念徽章的面积是___________． 6．如图，已知矩形的边长为，边长为，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是_____． 第22章22.2 相似图形答案与详细解析 【题型1 识别相似图形】 1．D 【分析】相似图形需同时满足对应角相等、对应边成比例，据此判断各选项是否一定相似． 【详解】解：A．两个等腰直角三角形的内角均为、、，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故A不符合题意； B．两个等边三角形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故B不符合题意； C．两个正方形的内角均为，对应角相等，对应边成比例，一定相似，故C不符合题意； D．两个等腰梯形的底角不一定相等，各边比例也不一定相同，不一定满足相似条件，故不一定相似，故D符合题意． 2．D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 3．B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 4．A 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 5．B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的定义，边数相同，且对应边对应成比例，对应角相等的多边形为相似多边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：①对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；②大小不同的两个正方形，符合相似图形的定义，正确；③对应角相等的两个菱形相似，正确；④对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．故②③④正确． 故选B． 6．②③ 【分析】此题主要考查了相似图形判定，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形、正五边形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件 故答案为：②③． 7．⑤⑥ 【分析】本题考查相似图形的判定，掌握相似图形的对应角相等、对应边成比例，结合各类图形的性质判断是解题的关键． 逐一分析每组图形，根据相似图形的定义判断是否一定相似． 【详解】解：①两个平行四边形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ②两个直角三角形除直角外其他角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； ③两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，故不一定相似； ④有一个内角是的两个等腰三角形，角可能是顶角或底角，因此角不一定对应相等，故不一定相似； ⑤两个正五边形所有内角相等且所有边成比例，故一定相似； ⑥有一个内角是的两个等腰三角形，角只能是顶角，因此两个三角形的角都相等，且对应边成比例，故一定相似． 故答案为：⑤⑥． 【题型2 判断相似图形】 1．A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 2．不相似，理由如下： ∵， 即对应边不成比例，且不确定角是否对应相等， ∴这两个多边形不相似． 【分析】根据相似多边形的定义解答，即各边成比例，且各角分别相等的多边形相似． 【详解】略 3．两个矩形不相似 【分析】先计算得到小矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，验证对应角与对应边的比例关系即可判断． 【详解】解：∵矩形的四个内角都是直角， ∴两个矩形的对应角相等； 由图可知，大矩形的长为20，宽为12， 计算得小矩形的长为，宽为， 所以，对应边的比值： ，， ∵，对应边不成比例， ∴两个矩形不相似． 4．四边形与四边形相似．理由如下： ∵，，，， ∴，即， ，即， ∵，，，， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴四边形与四边形相似． 【分析】根据四边形的四个角分别对应相等，四条边对应成比例可得答案． 【详解】四边形与四边形相似．理由：略． 5．(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【题型3 求相似图形的相似比】 1．A 【分析】根据题意求出两个相似多边形的一组对应边的比，根据相似多边形的性质得到答案． 【详解】解：由题意得，两个相似多边形的一组对应边的比为， ∴它们的相似比为． 2．C 【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形对应边的比等于相似比，得到它们的相似比是，即可求得答案． 【详解】解：四边形四边形， 与是对应边， ，， 它们的相似比是， 故选：C． 3． 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，取两个四边形的最长边作为一组对应边，化简比值即可． 【详解】解：四边形的四边长分别是，，，， 四边形的最长边为， 四边形四边形，四边形的最长边是， 四边形与四边形的相似比是． 4． 【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据题意画出图形，根据相似多边形的性质解答即可，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：根据题意画出图形，则四边形四边形， ∵四边形四边形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴大矩形与小矩形的相似比为， 故答案为：． 【题型4 求相似图形的边长】 1．D 【分析】首先证明四边形，是矩形，得到，然后利用相似多边形的性质求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴四边形，是矩形， ∴， ∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 2．D 【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论． 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 3．C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 4． 【分析】根据相似多边形对应边成比例的性质，结合已知与的倍数关系和的长度，即可计算的长． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ ∵， ∴ 把代入比例式得， 解得． 5． 【分析】利用相似比求解即可． 【详解】解：四边形四边形，， ，， ， ． 6．10 【分析】根据相似多边形的性质和矩形性质求得，，进而可求解． 【详解】解：矩形矩形，且相似比为， ， 四边形为矩形， ， ， ，， ． 【题型5 求相似图形的角度】 1．C 【分析】首先利用相似多边形的性质得到，，然后利用四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∴． 2．B 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质． 根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解． 【详解】解：∵五边形∽五边形， ∴． ∵五边形内角和为，， ∴， ∴． 故选：B． 3．/度 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 4．， 【分析】根据相似多边形的性质，以及多边形的内角和公式进行求解即可. 【详解】解：∵五边形五边形， ∴，， ∴， ∴， 由图可知，，， ∴. 5．(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 【题型6 求相似图形的周长】 1．B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握“相似三角形的周长比等于相似比”是解题的关键． 直接利用“相似三角形的周长比等于相似比”可得出选项． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴与的周长比为． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查菱形的性质、相似多边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 如图连接交于．解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于． ∵四边形是菱形，周长为 12 ， ， ， ， ， ∵四边形与菱形相似， ，四边形是菱形， ， ， ， 故选：C． 4．9 【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴， ∵四边形的周长为15， ∴四边形的周长， 故答案为：9． 5．12 【分析】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比是解题关键．根据这两个相似多边形面积比，即得出其周长比为，结合其周长之差为6，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形面积之比为， ∴其周长比为． 设较小的多边形的周长是，则较大的多边形的周长是， ∴， 解得：， ∴较小的多边形的周长是． 故答案为：12． 6．24 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 设另一块草坪的周长为，则，计算求解即可． 【详解】解：设另一块草坪的周长为， ∴， 解得，， 故答案为：24． 【题型7 求相似图形的面积】 1．D 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们的相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 2．D 【分析】设较大多边形的面积为，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，建立方程求解即可. 【详解】解：设较大多边形的面积为，则较小多边形的面积为：（）， ∵两个相似多边形的一组对应边长分别为和， ∴ ，解得（）． 故选D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质：面积比等于相似比的平方，据此建立方程是解题关键. 3．D 【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形相似， 由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：， 又四边形的面积是2， ∴四边形的面积为18， 故选：D． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键． 4．16 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的面积：四边形的面积， 即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的面积：四边形的面积， 四边形的面积． 5． 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似多边形的性质是解题的关键． 根据位似图形的概念得到正方形正方形，且相似比为，再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为， ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形正方形，且相似比为， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 6． 【分析】本题主要考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．先求出矩形的面积，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形和矩形相似， ∴， ∴， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $