专题01 相似图形基础的十一类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版九年级上册

**基本信息** 以“比例性质”“平行线分线段成比例”为双核心，通过十一类题型构建“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”三阶训练体系，强化比例转化与辅助线构造能力，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|1|比例式恒等变形与设参法、平行线→比例线段转化|上承比例线段，下启相似三角形，构建“概念-性质-应用”递进链条| |十一类题型|每类含1典例+3-4变式|相似多边形性质应用、比例设参、黄金比计算、平行线分线段成比例及辅助线构造（作平行/垂线/连线）|从基础计算（比例尺、黄金分割）到综合应用（中位线、重心），覆盖中考高频考法|

专题01 相似图形基础的十一类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似多边形的性质 1 类型二、由比例的性质求值 2 类型三、比例尺 7 类型四、黄金分割的应用 9 类型五、利用平行线分线段成比例求解 13 类型六、平行线分线段成比例与三角形中位线综合 16 类型七、多次利用平行线分线段成比例求解 21 类型八、作平行线构造平行线分线段成比例 27 类型九、作垂线构造平行线分线段成比例 31 类型十、连接两点构造平行线分线段成比例 36 类型十一、平行线分线段成比例与三角形重心综合 39 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似图形基础是初中几何的核心过渡章节，上承比例线段与图形性质，下启相似三角形的判定与应用。所有题型均围绕比例性质与平行线分线段成比例两大核心展开，解题贯穿两条主线：一是比例式的恒等变形与设参求解，二是平行线→比例线段的转化与构造，所有结果最终均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似多边形的性质 典例精讲1（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形对应边成比例、对应角相等．理解多边形相似的性质是解题的关键．根据相似多边形的性质回答即可． 【详解】解：两个四边形相似， ， ， 选项正确，选项不正确． 故选：C． 题型归纳 1.特征：给出两个边数相同的多边形，已知对应边比例或对应角关系，求边长、周长比、面积比，或判断两多边形是否相似。 2.方法：相似多边形对应边成比例、对应角相等；周长比 = 相似比，面积比 = 相似比 ²；设参数利用比例式求解未知边 3.易错提醒：边数相同不一定相似（如一般矩形与正方形），必须同时满足 " 对应边成比例 且 对应角相等 "；面积比勿忘平方 变式训练1（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握相似图形的性质是关键． 相似图形中，对应角相等，对应边等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； 六边形的周长：六边形的周长，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，则，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 变式训练2（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 变式训练3（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 【答案】27 【分析】先确定原矩形的边长，根据相似多边形对应边成比例求出留下矩形的未知边长，再计算面积，舍去不符合题意的解。 【详解】解：由题意得，原矩形长为，宽为，截去一个矩形后，留下矩形的一条边长为原矩形的宽，设另一条边长为，且， 因为留下的矩形与原矩形相似， 根据相似多边形的对应边成比例，分两种情况讨论： 情况1： 解得，符合题意； 情况2： 解得，此时留下矩形与原矩形全等，不符合截去一个矩形的要求，舍去； 若留下矩形的一条边长为，设另一边长为（其中）， 根据题意得：， 解得，与的条件矛盾，舍去； 因此留下矩形的面积为 变式训练4（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 类型二、由比例的性质求值 典例精讲2（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 题型归纳 1.特征：已知两个或多个量的比例关系（含连比），求代数式的值或未知量 2.方法：设参法 —— 见比设 k，代入消参；灵活运用合比、等比、更比性质变形。 3.易错提醒：使用等比性质时各分母之和不能为零；连比设参时各份数对应准确，不可跳项或错位 变式训练1（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 变式训练2（2026·广东深圳·二模）已知，若，且，则_________． 【答案】15 【分析】根据题意求得，，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， 提取公因式得， 解得． 变式训练3（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 变式训练4（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 【答案】(1) (2)2或8或18 (3)18 【分析】（1）设，得到，代入求出，即可得到a、b、c的值； （2）根据a、b、c、m四个数能构成比例式得到或或，分别求解即可； （3）根据“成比例线段”的定义求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵a、b、c、m四个数能构成比例式，且比例式两内项之积等于两外项之积， ∴或或， 即或或， 解得：或或； （3）解：∵四条线段a，b，c，d为成比例线段， ∴， ∴， 即， 解得：． 类型三、比例尺 典例精讲3（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为___________． 【答案】 300 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．根据比例尺图上距离实际距离，进行计算即可求解． 【详解】解：∵比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故答案为：300． 题型归纳 1.特征：给出地图或图纸的比例尺，已知图上距离求实际距离，或已知实际距离求图上距离 2.方法：比例尺 = 图上距离：实际距离，统一单位后列比例式求解；大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除进率 3.易错提醒：单位必须统一，cm 与 km 换算易错（1 km = 10⁵ cm）；比例尺是长度比，不是面积比 变式训练1（25-26九年级上·湖南永州·期末）地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 【答案】 【分析】本题考查了成比例线段的应用．依据比例尺的定义，通过图上距离与实际距离的数量关系计算出结果，注意统一单位再进行计算． 【详解】解：设小明在图上应该画厘米，依题意， 解得： 故答案为：． 变式训练2（17-18九年级上·上海·阶段检测）某城市的有一时期的两张地图，甲地图比例尺为1:1000000，乙地图的比例尺为1:200000，则甲地图和乙地图的相似比为____________ 【答案】 【分析】根据相似多边形的相似比等于对应边的比，用两个地图的比例尺相比求解即可． 【详解】解：甲地图和乙地图的相似比为：． 故答案为. 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题利用两个图的比例尺相比求解即可，比较简单． 变式训练3（25-26九年级上·上海·期中）A、B两地的实际距离为2000米，画在地图上的距离为4厘米，那么比例尺为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键． 根据比例尺的定义，比例尺图上距离实际距离，需将实际距离统一为单位厘米后再计算比例即可． 【详解】解：∵实际距离为2000米，1米厘米， ∴实际距离为厘米， ∵图上距离为4厘米， ∴比例尺为， ∴，， 故比例尺为． 故答案为：． 类型四、黄金分割的应用 典例精讲4（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 题型归纳 1.特征：线段上一点将线段分成两段，满足较长段与全长之比等于较短段与较长段之比，求线段长度或比值 2.方法：牢记黄金比 = (√5−1)/2 ≈ 0.618；较长段 = 黄金比 × 全长，较短段 = 全长 − 较长段；设未知数列方程 3.易错提醒：一条线段有两个黄金分割点；较长段与较短段位置不可混淆；注意题目问的是哪一段 变式训练1（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由黄金分割的定义求出，再由计算即可得出结果． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，， ∴， ∴． 变式训练2（2026·陕西西安·模拟预测）在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 【答案】 【分析】根据题意列式为，由此即可求解． 【详解】解：车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：50 ． 变式训练3（25-26八年级下·广东东莞·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 变式训练4（25-26九年级上·广东佛山·期末）3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，书店买进这些卡需要每张支付元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“勾股定理”的结果有2种， 随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是； （2）解：活动期间需支付明信片的费用为：（元）， 抽到“勾股定理”的总次数约为：（次）， 抽到“黄金分割、杨辉三角”的总次数约为：（次）， 抽到“七巧板”的总次数约为：（次）， 书店为此活动需支付的总费用估计是： （元）． 类型五、利用平行线分线段成比例求解 典例精讲5（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 题型归纳 1.特征：图形中有两条或以上平行线截两条直线，已知部分线段长度，求其余线段长度或证明比例关系 2.方法：找准截线与被截直线，确定 "上 / 下 / 全" 对应关系，列比例式；常用 "上比下 = 上比下"" 上比全 = 上比全 " 3.易错提醒：对应线段必须在同一条被截直线上，不可跨线混搭；比例式中线段顺序要前后对应 变式训练1（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：. 变式训练2（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 变式训练3（2026·辽宁本溪·二模）如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作，由得到，再由平行线分线段成比例得到，得到即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ，则， ， ， 由平行线分线段成比例可知， ， ． 变式训练4（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若，，，则__________ 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 类型六、平行线分线段成比例与三角形中位线综合 典例精讲6（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中位线的性质，平行线分线段成比例，根据中位线的性质得出，，则，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴，， 则； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型归纳 1.特征：三角形中出现中点或中位线，结合平行线条件，求线段长度、比值或证明平行关系 2.方法：中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边一半）+ 平行线分线段成比例联合使用；遇中点想中位线 3.易错提醒：中位线必须是两边中点的连线，仅有一个中点不能直接用；注意区分中位线与中线 变式训练1（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么__________． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【详解】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 变式训练2（2020·四川南充·三模）如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有___________．(填序号．)    【答案】②③ 【分析】由题意可知，，根据平行截线求相关线段的长或比值可判断①；由题意得出与联立可得，由此可判断②；由平行截线求相关线段的长或比值及等量代换可判断③；连接．设，根据面积可判断④． 【详解】解：是的中位线， 是的中点， 又 , ① ， ∴． ∴①错误 ② 又， 由两式相减，得 ∴． ∴． ∴②正确 ③ ∴ ∴③正确 ④连接．设，可得其他三角形面积如图 ∴，∴④错误    故答案为：②③． 【点睛】本题考查了平行截线求相关线段的长或比值、全等三角形的判定及性质、三角形中位线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 变式训练3（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，平行线的性质，取的中点F，连接，则是中位线，根据中位线的性质得，再根据平行线的性质得，则，，，进而可得答案． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵是中位线， ∴、分别是、的中点， ∴是中位线， ∴，即， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 类型七、多次利用平行线分线段成比例求解 典例精讲7（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为的重心，过点作的垂线，垂足为，交于点，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形重心的性质，平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 先通过勾股定理求出斜边的长度，再利用重心的性质得到相关线段的比例关系，接着通过面积法求出的长度，进而求出的长度，然后根据平行线分线段成比例定理求出的长度，从而得到的长度，最后再次利用平行线分线段成比例定理求出的长度． 【详解】解：延长交于点，过点作，为垂足， 为的重心， ，， ，，， ，， ，解得， ， 为的重心， 是斜边的中线， ， ， ，, ， ， ， ， ， ，即， ，即， 解得， ． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：图形中有多组平行线，需经过两次或以上比例转化才能求出目标线段 2.方法：从已知条件出发，沿平行线组逐步传递比例，中间量作为桥梁；可设参数表示各段，联立求解 3.易错提醒：每一步比例的对应关系都要重新确认，传递过程中方向不可颠倒；中间量算错会导致最终结果全错 变式训练1（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 变式训练2（2026·山西朔州·一模）如图，在中，，，延长至点E，使得，点F是上一点，，连接并延长与交于点G．则的长为________． 【答案】 【分析】连接，过点A作，可得，由，可得，再可证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A作交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 变式训练3（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ． 【答案】 【分析】根据可得，继而，又根据可得，进而，最后面积之比可求． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 变式训练4（21-22九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，，得到，根据，，得到，，最后证明即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案是． 类型八、作平行线构造平行线分线段成比例 典例精讲8（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 题型归纳 1.特征：原图中缺少所需平行线，已知条件分散，无法直接列比例式，需通过作辅助线求解 2.方法：过已知点（通常是线段端点或分点）作某条线段的平行线，构造 "A 型" 或 "X 型" 基本图形，利用平行线分线段成比例求解 3.易错提醒：辅助线必须写明 "过哪点、平行于哪条线"；作完后重新标注比例对应关系，不可凭直觉写比例 变式训练1（2026·广东深圳·二模）如图，在中，的平分线交于点，点为边上一点，连接交于点，若，，则________． 【答案】 【分析】根据已知条件，证明，得到比例关系，作辅助线，得到的比例，因为，易得的比例；利用，得到，将分别用表示，得到比值． 【详解】解：平分， ， ， ， （等角的补角相等）， ， ， ， ， 过点D作，交于点G，如下图所示 ， 设，则， ， ， ． 变式训练2（2026·四川南充·二模）如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点F作，交于M，，交于，可先得的长，则，再证四边形为矩形， 可得，由勾股定理可得的长． 【详解】解：过点F作，交于M，，交于， 四边形为矩形， ，，． 点E是的中点， ． ． 点F是的中点， ． ， ，， ． ， 四边形为矩形， ． ． ． ． 变式训练3（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型九、作垂线构造平行线分线段成比例 典例精讲9（2026·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数的图象与的两边分别交于点．已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，点F为的中点，则________． 【答案】5 【分析】过点B作轴于点M，过点F作轴于点G，过点E作轴于点N，根据矩形的判定和性质，，三角形中位线，反比例函数的性质求解即可; 【详解】解：过点B作轴于点M，过点F作轴于点G，过点E作轴于点N， ， 轴， 四边形是矩形，， ， 点F为的中点， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 故反比例函数的解析式为， ， 解得， 故; 题型归纳 1.特征：图形中有直角、垂直条件或涉及高，需通过作垂线构造矩形或直角三角形来转化比例关系 2.方法：过关键点作已知直线的垂线，利用 "垂直于同一直线的多条直线互相平行" 构造平行线组，结合矩形对边相等转化线段 3.易错提醒：作垂线后须确认多条垂线确实互相平行；矩形对边相等的转化不可遗漏，等量代换要标注清楚 变式训练1（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 【答案】/ 【分析】过点A作于点H，则；证明与平行，由平行线分线段成比例定理得到，设，可推出，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点H， ∵， ∴； ∵， ∴与平行， ∴， 设， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴． 变式训练2（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． 过A作于M，过E作于H，则，利用平行线分线段成比例可得，由勾股定理和等腰三角形的性质可求得，则，证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：过A作于M，过E作于H， 则， ∴，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是证明． 连接，过点作于．证明，利用平行线分线段成比例定理，解决问题即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于． 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 类型十、连接两点构造平行线分线段成比例 典例精讲10（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 【答案】2 【分析】取的中点，连接，利用含角的直角三角形的性质，得出边的关系，证明，得出，确定当时，的值最小，即的值最小，然后利用平行线分线段成比例进行求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为2． 题型归纳 1.特征：图形中有未连接的两点，连接后可形成中位线、新平行线或相似基本图形，从而建立比例关系 2.方法：连接图形中关键两点（如两边上的分点、中点），验证或利用其平行关系，构造 "A 型 / X 型" 或中位线基本图形求解 3.易错提醒：连接两点后须先证明或说明平行关系，不可默认平行；注意连接后新图形与原图的线段对应关系 变式训练1（21-22九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查三角形中位线、平行线分线段成比例，解题关键是通过构造中位线得到平行线，利用相似三角形或平行线分线段成比例定理，将已知的线段比转化为所求的的比值． 【详解】解：取中点，连接， 因为是的中线， 所以是的中点， 又是的中点，根据三角形中位线定理，， 已知，即， 因为， 所以，即， 因为， 所以． 故答案为：． 变式训练2（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，，．若，，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 连接交于点，根据平行线分线段成比例定理得到，通过证明和，利用相似三角形的性质求出和的长，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 类型十一、平行线分线段成比例与三角形重心综合 典例精讲11（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 题型归纳 1.特征：三角形中出现重心（三条中线交点），结合平行线或中点条件，求线段长度、比值，或证明比例 / 平行关系 2.方法：先用重心定理—— 重心分每条中线为 2:1（顶点到重心：重心到对边中点 = 2:1），即重心到顶点 = 2/3 中线长、到中点 = 1/3 中线长；再结合平行线分线段成比例定理，通过中位线或构造平行线传递比例，联立求解 3.易错提醒：重心是三条中线的交点，不是角平分线或高的交点；2:1 的方向不可记反（顶点侧为 2，中点侧为 1）；已知重心须联想到 "中点 + 中线"，切勿遗漏中线带来的平行与比例条件 变式训练1（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形重心的有关系性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，，    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积， 故选：B． 变式训练2（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么等于（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ． 故选：B． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 4．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线交于点，交于点，依据以上作图，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，，由垂直平分线的性质以及角平分线的定义可得出，，等量代换可得出，即可得出，再由平行线分线段成比例即可得出，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，可得，进而可得的值，证明，由即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴． 7（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 9．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，由平移的性质可得，，， 进而可得的长，即可得解． 【详解】在中，，，， ， 点是中点， ， 把线段沿射线方向平移到，点在上， ，，， ， ， 线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长为． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 12．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【分析】连接交于点O，由三线合一得，． 由折叠的性质可知，，，，，可得，由平行线分线段成比例求出，再根据三角形中位线的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】设，则，，根据平行线分线段成比例可得，代入数据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得：，即的长为． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知为的三边，且，则的形状是_____． 【答案】等边三角形 【分析】设比值为，利用比例的性质求出的值，再推导得到三边相等，即可判断三角形形状． 【详解】解：设， ∴， ∴， 为的三边， ， ， ∴， ，， ∴①，②， 得：，即， ， 同理可得， ， 是等边三角形． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于，过点作交于， ，， ，， 又，， ，， ，， ，， ． 【分析】（1）过点作交于，结合平行线分线段成比例解得，，进而求解； （2）过点作交于，过点作交于，由平行线分线段成比例解得，，，，进而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于， ， ， ， 点为中点， ， 点是中点， ，且， ， ， 点是中点， ． （2）略 16．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)10； (2)． 【分析】（1）利用勾股定理可求，则即可求； （2）连接，设，则利用等高三角形的面积比等于底之比可表示，又可知，利用等比性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， 为中点 ； （2）解：连接， 设， ， ， ， 且与同高， ， 为中点，与同高， ， ， 与同高，与同高， ， 由等比性质： ， 17．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，交轴于点，且．若一次函数与反比例函数的图象都过点． (1)求和的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理求出的长，平行线分线段成比例求出的长，进而求出点坐标，待定系数法求出和的值即可； （2）求出的长，再利用面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵等边三角形的边长为4， ∴， 作于点，则，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数的图象都过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴的面积为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似图形基础的十一类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似多边形的性质 1 类型二、由比例的性质求值 2 类型三、比例尺 3 类型四、黄金分割的应用 4 类型五、利用平行线分线段成比例求解 6 类型六、平行线分线段成比例与三角形中位线综合 7 类型七、多次利用平行线分线段成比例求解 8 类型八、作平行线构造平行线分线段成比例 10 类型九、作垂线构造平行线分线段成比例 11 类型十、连接两点构造平行线分线段成比例 12 类型十一、平行线分线段成比例与三角形重心综合 13 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 相似图形基础是初中几何的核心过渡章节，上承比例线段与图形性质，下启相似三角形的判定与应用。所有题型均围绕比例性质与平行线分线段成比例两大核心展开，解题贯穿两条主线：一是比例式的恒等变形与设参求解，二是平行线→比例线段的转化与构造，所有结果最终均需结合图形实际意义检验。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、相似多边形的性质 典例精讲1（25-26九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知两个四边形相似，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：给出两个边数相同的多边形，已知对应边比例或对应角关系，求边长、周长比、面积比，或判断两多边形是否相似。 2.方法：相似多边形对应边成比例、对应角相等；周长比 = 相似比，面积比 = 相似比 ²；设参数利用比例式求解未知边 3.易错提醒：边数相同不一定相似（如一般矩形与正方形），必须同时满足 " 对应边成比例 且 对应角相等 "；面积比勿忘平方 变式训练1（25-26九年级上·河南平顶山·期中）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（   ） A． B．六边形的周长：六边形的周长 C． D． 变式训练2（2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 变式训练3（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 变式训练4（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 类型二、由比例的性质求值 典例精讲2（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 题型归纳 1.特征：已知两个或多个量的比例关系（含连比），求代数式的值或未知量 2.方法：设参法 —— 见比设 k，代入消参；灵活运用合比、等比、更比性质变形。 3.易错提醒：使用等比性质时各分母之和不能为零；连比设参时各份数对应准确，不可跳项或错位 变式训练1（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 变式训练2（2026·广东深圳·二模）已知，若，且，则_________． 变式训练3（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 变式训练4（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知：，且． (1)求a、b、c的值； (2)添上一个数m，使得a、b、c、m四个数能构成比例式，那么m可以是______； (3)若四条线段a，b，c，d为成比例线段，则线段d的长为______． 类型三、比例尺 典例精讲3（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为___________． 题型归纳 1.特征：给出地图或图纸的比例尺，已知图上距离求实际距离，或已知实际距离求图上距离 2.方法：比例尺 = 图上距离：实际距离，统一单位后列比例式求解；大单位化小单位乘进率，小单位化大单位除进率 3.易错提醒：单位必须统一，cm 与 km 换算易错（1 km = 10⁵ cm）；比例尺是长度比，不是面积比 变式训练1（25-26九年级上·湖南永州·期末）地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米． 变式训练2（17-18九年级上·上海·阶段检测）某城市的有一时期的两张地图，甲地图比例尺为1:1000000，乙地图的比例尺为1:200000，则甲地图和乙地图的相似比为____________ 变式训练3（25-26九年级上·上海·期中）A、B两地的实际距离为2000米，画在地图上的距离为4厘米，那么比例尺为______． 类型四、黄金分割的应用 典例精讲4（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 题型归纳 1.特征：线段上一点将线段分成两段，满足较长段与全长之比等于较短段与较长段之比，求线段长度或比值 2.方法：牢记黄金比 = (√5−1)/2 ≈ 0.618；较长段 = 黄金比 × 全长，较短段 = 全长 − 较长段；设未知数列方程 3.易错提醒：一条线段有两个黄金分割点；较长段与较短段位置不可混淆；注意题目问的是哪一段 变式训练1（25-26九年级下·山东烟台·期末）黄金分割是汉字结构最基本的审美规律．如图汉字“十”端庄稳重、舒展美观．横竖笔画交点恰好是线段的黄金分割点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式训练2（2026·陕西西安·模拟预测）在世界超级摩托车锦标赛葡萄牙站比赛中，张雪机车车手瓦伦丁·德比斯凭借精湛的过弯技术夺得冠军．据了解，摩托车通过弯道时，理想的路线通常遵循“外—内—外”原则，其弯心顶点位置与黄金分割比例有关．在某段弯道中，车手按黄金分割比例选择从弯点C入弯（曲线曲线），且从入口A到入弯点C的路程为，则弯道入口A到出口B的路线总长为______m． 变式训练3（25-26八年级下·广东东莞·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 变式训练4（25-26九年级上·广东佛山·期末）3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，书店买进这些卡需要每张支付元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 类型五、利用平行线分线段成比例求解 典例精讲5（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：图形中有两条或以上平行线截两条直线，已知部分线段长度，求其余线段长度或证明比例关系 2.方法：找准截线与被截直线，确定 "上 / 下 / 全" 对应关系，列比例式；常用 "上比下 = 上比下"" 上比全 = 上比全 " 3.易错提醒：对应线段必须在同一条被截直线上，不可跨线混搭；比例式中线段顺序要前后对应 变式训练1（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 变式训练2（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 变式训练3（2026·辽宁本溪·二模）如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 变式训练4（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知直线，直线m、n分别交直线a、b、c于点A、B、C、D、E、F．若，，，则__________ 类型六、平行线分线段成比例与三角形中位线综合 典例精讲6（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，已知、相交于点，，，是的中位线，且，，那么的长为（   ） A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：三角形中出现中点或中位线，结合平行线条件，求线段长度、比值或证明平行关系 2.方法：中位线定理（中位线平行于第三边且等于第三边一半）+ 平行线分线段成比例联合使用；遇中点想中位线 3.易错提醒：中位线必须是两边中点的连线，仅有一个中点不能直接用；注意区分中位线与中线 变式训练1（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么__________． 变式训练2（2020·四川南充·三模）如图， 是的中位线， 是的中点，射线与交于点，与的延长线交于点．下列结论：①；②； ③；④，正确的有___________．(填序号．)    变式训练3（21-22九年级上·海南海口·期中）如图，是中位线，M是中点，连结并延长，与相交于点N，则（   ） A． B． C． D． 类型七、多次利用平行线分线段成比例求解 典例精讲7（25-26九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，为的重心，过点作的垂线，垂足为，交于点，则____________． 题型归纳 1.特征：图形中有多组平行线，需经过两次或以上比例转化才能求出目标线段 2.方法：从已知条件出发，沿平行线组逐步传递比例，中间量作为桥梁；可设参数表示各段，联立求解 3.易错提醒：每一步比例的对应关系都要重新确认，传递过程中方向不可颠倒；中间量算错会导致最终结果全错 变式训练1（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 变式训练2（2026·山西朔州·一模）如图，在中，，，延长至点E，使得，点F是上一点，，连接并延长与交于点G．则的长为________． 变式训练3（2026·辽宁锦州·一模）如图三点共线，与交于点，，若，则的值为_______________ ． 变式训练4（21-22九年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，梯形中，过对角线的交点，且，则长为______． 类型八、作平行线构造平行线分线段成比例 典例精讲8（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 题型归纳 1.特征：原图中缺少所需平行线，已知条件分散，无法直接列比例式，需通过作辅助线求解 2.方法：过已知点（通常是线段端点或分点）作某条线段的平行线，构造 "A 型" 或 "X 型" 基本图形，利用平行线分线段成比例求解 3.易错提醒：辅助线必须写明 "过哪点、平行于哪条线"；作完后重新标注比例对应关系，不可凭直觉写比例 变式训练1（2026·广东深圳·二模）如图，在中，的平分线交于点，点为边上一点，连接交于点，若，，则________． 变式训练2（2026·四川南充·二模）如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 变式训练3（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 类型九、作垂线构造平行线分线段成比例 典例精讲9（2026·陕西西安·模拟预测）如图，反比例函数的图象与的两边分别交于点．已知轴，点A在y轴上，点C在x轴上，点F为的中点，则________． 题型归纳 1.特征：图形中有直角、垂直条件或涉及高，需通过作垂线构造矩形或直角三角形来转化比例关系 2.方法：过关键点作已知直线的垂线，利用 "垂直于同一直线的多条直线互相平行" 构造平行线组，结合矩形对边相等转化线段 3.易错提醒：作垂线后须确认多条垂线确实互相平行；矩形对边相等的转化不可遗漏，等量代换要标注清楚 变式训练1（2026·浙江台州·二模）如图，在中，，点D和点E分别是和上一点．将沿折叠得，点F落在边上，若，，则的值为_________． 变式训练2（25-26九年级上·山西晋城·期末）如图，在中，，E是上的一点，，过点B作交的延长线于点D．若，则的长为___________． 变式训练3（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的长为_____． 类型十、连接两点构造平行线分线段成比例 典例精讲10（2026·河南周口·一模）如图，在中，，，，点D是直角边上一点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接．在点D运动过程中，线段的最小值为________． 题型归纳 1.特征：图形中有未连接的两点，连接后可形成中位线、新平行线或相似基本图形，从而建立比例关系 2.方法：连接图形中关键两点（如两边上的分点、中点），验证或利用其平行关系，构造 "A 型 / X 型" 或中位线基本图形求解 3.易错提醒：连接两点后须先证明或说明平行关系，不可默认平行；注意连接后新图形与原图的线段对应关系 变式训练1（21-22九年级下·山东枣庄·开学考试）如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则______． 变式训练2（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，，．若，，则的值为___________． 类型十一、平行线分线段成比例与三角形重心综合 典例精讲11（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 题型归纳 1.特征：三角形中出现重心（三条中线交点），结合平行线或中点条件，求线段长度、比值，或证明比例 / 平行关系 2.方法：先用重心定理—— 重心分每条中线为 2:1（顶点到重心：重心到对边中点 = 2:1），即重心到顶点 = 2/3 中线长、到中点 = 1/3 中线长；再结合平行线分线段成比例定理，通过中位线或构造平行线传递比例，联立求解 3.易错提醒：重心是三条中线的交点，不是角平分线或高的交点；2:1 的方向不可记反（顶点侧为 2，中点侧为 1）；已知重心须联想到 "中点 + 中线"，切勿遗漏中线带来的平行与比例条件 变式训练1（23-24九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　）    A．6 B．8 C．10 D．12   变式训练2（23-24九年级上·上海松江·期末）如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么等于（    ） A．4 B．1 C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（2026·甘肃兰州·中考真题）敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；作射线交于点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点；作直线交于点，交于点，依据以上作图，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏泰州·三模）如图，直线，，则（     ） A． B． C． D． 7（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 9．（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长为（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 12．（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 13．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，在中，延长至点，使，在上，连接交于点，交于点，已知，，，则的长为_____． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知为的三边，且，则的形状是_____． 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 16．（25-26八年级下·吉林·期末）如图，在中，为的中点，为上一点，的延长线交于．已知，，． (1)求的长； (2)若，求的值． 17．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4，顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上，交轴于点，且．若一次函数与反比例函数的图象都过点． (1)求和的值； (2)求的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $