22.3相似三角形的性质同步练习 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第22章 22.3.3 相似三角形的性质 【新教材华东师大版】 知识点 相似三角形的性质 1、相似三角形的对应角相等． 如图，，则有 ． 2、相似三角形的对应边成比例． 如图，，则有 （为相似比）． 3、相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 4、相似三角形周长的比等于相似比． 如图，∽，则有 ． 5、相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【题型1 相似三角形的对应边成比例、对应角相等】 1．如图，已知D、E分别在的边、的延长线上，且．下列比例式中错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知点D、E、F分别在的三边上，且，则下列等式不成立的是（） A． B． C． D． 4．如图，在中，是的角平分线，过点作交于点，交于点．若，，，则的长为（     ） A． B．1 C． D． 5．如图，在平行四边形中，点是的中点，连接交于点，延长，与的延长线交于点．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______. 8．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且．若，，，则的长为_______． 9．如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 【题型2 相似三角形的对应线段成比例】 1．如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A．①正确，②错误 . B．①错误，②正确 C．①、②皆正确 . D．①、②皆错误 2．已知，和分别是它们的对应中线，若，，则与的对应角平分线的比是（     ） A． B． C． D． 3．已知两个相似三角形的周长比为，则下列说法错误的是（     ） A．相似比为 B．面积比为 C．对应中线的比为 D．对应高的比为 4．如图，在中，，高，正方形的边在上，点分别在上，交于点，则的长为______． 5．中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 6．已知，和是它们对应的角平分线，和是它们对应的高线，若，，则的值为_______． 7．如图，点D，E分别在的边上，，M，N分别是的中点，若，则______． 8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F． (1)求证：； (2)若点G是△ABC的重心，，求AB的长． 9．如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上，已知，高，矩形的长和宽，试求矩形的面积． 10．如图，中，点D，E分别在边，上，平分，交，于点F，G，且． (1)求证：； (2)若与的周长之比是，，求的值 【题型3 相似三角形的周长比等于相似比】 1．已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 2．如图，在中，，．若的周长为6，则的周长是（     ） A．6 B．9 C．12 D．18 3．如果，的三边长分别为、、，的最小边的长为，那么的周长是（    ）． A． B． C． D． 4．如果两个三角形相似，面积比是，则这两个三角形的周长比是（    ） A． B． C． D． 5．如果两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为________． 6．若两个相似三角形的周长比是，则这两个三角形的对应边之比是___________． 【题型4 相似三角形的面积比等于相似比平方】 1．如图，，与的面积分别是与，周长分别是与且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．若，则和的面积比是（     ） A． B． C． D． 3．如果，其面积比为，那么它们的周长比为________． 4．如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是____________． 5．如图，在中，，，与四边形的面积比为，则的长度是________． 【题型5 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式】 1．如图，是的边上一点，连接并延长交的延长线于点．求证：． 2．如图，在中，点，分别是边，上的点，．求证：． 3．如图，在中，，点在上，连接，点在上，连接，，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：． 4．如图，在等腰三角形中，，点在边上，点在边上，连接、，交于点．已知． (1)若，求的值． (2)若，求证：． (3)在（2）的条件下，若，判断的形状，并说明理由． 5．如图，已知在梯形中，，E是边上一点，与对角线相交于点F，且． (1)求证： (2)联结，与相交于点O，若，求证：． 6．已知：如图，在中，点、分别在边、上，且，、交于点． (1)求证：； (2)如果平分，求证：． 7．如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； (1)求证：． (2)若，正方形的边长为6，求线段的长． 8．如图，已知四边形是平行四边形，E是延长线上一点， 分别交对角线于点 G，交边于点 F． (1)求证： ； (2)求证： ． 9．如图，为的边的延长线上一点，连接，交于点，交于点．求证：． 10．如图，在正方形中，点是边上的一点（不与，重合），将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，．与边交于点，与相交于点． (1)求证：； (2)当平分时，求证：． 11．如图，是的边上的中线，交的延长线于点，是的平分线，与相交于点． (1)求证：． (2)求证：． 【题型6 相似三角形的性质结合判定综合证明】 1．如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．已知：如图，在中，，点在上，点在延长线上，且．过点、点分别作、的平行线，两直线交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形； (3)延长交于点，若是中点，，求的长． 3．如图，在四边形中，，相交于点E，点F在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的面积为20，求的面积． 4．如图，已知在中，，点、、分别为边、、上一点，连接和，且． (1)求证：； (2)连接，如果点是中点，，，求的长． 5．如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 6．如图1，已知矩形和矩形，，，连接，． (1)发现：①线段与线段之间的数量关系是 ， ②直线与直线之间的位置关系是 ． (2)探究：若已知条件不变，将图1中矩形绕点顺时针旋转，如图2，则（1）中结论还成立吗？ (3)应用：在（2）的情况下，，，当矩形绕点旋转到，，在同一条直线上时，线段，的长度分别是多少？ 7．探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F． 【初步感知】 (1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程． 【深入探究】 (2)如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明： 【拓展运用】 (3)如图3，连接，设的中点为M．若，直接写出点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）． 8．如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 9．按要求完成以下问题 (1)问题发现 如图1，在正方形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且，则的值为_________． (2)类比探究 如图2，在矩形中，若点E，F，G，H分别在边，，，上，且．求证：． (3)拓展延伸 如图3，在中，，，，点F，Q，H分别在边，，上，与交于点且，，直接写出的值． 10．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少？ 第22章22.3 相似三角形的性质答案与详细解析 【题型1 相似三角形的对应边成比例、对应角相等】 1．D 【分析】根据平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故该选项正确； B、， ， ，故该选项正确； C、， ， ，故该选项正确； D、， ，故该选项错误． 2．B 【分析】可证明，则可证明，，再由三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．D 【分析】根据平行线分线段成比例定理可判断A和B；根据可判断C；根据，可判断D． 【详解】解：， ，故选项A成立； ， ，故选项B成立； ， ， ，故选项C成立； ，， ，而选项D中为，故选项D不成立． 4．B 【分析】先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线定义得，然后根据可得，进而说明，接下来根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ． 在和中，， 即， 解得． 5．B 【分析】根据平行四边形的性质，证明，再证明， 求得，最后用勾股定理，解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴． 6．A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 7．4 【分析】取的中点，连接，根据三角形中位线性质得， ，再证明 ，得，从而求得，然后根据 ，代入即可求解. 【详解】解：取的中点，连接 ， ∵是的中点，是的中点 ， ∴是的中位线 ， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴. 8． 【分析】通过角的关系证明三角形相似，再利用相似三角形的对应边成比例来求解的长． 【详解】解：因为四边形是矩形， 所以， 又因为， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以， 可得， 已知，，， 因为， 所以， 将，，代入中，得到， 解得． 9．(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）由，得，而，则，所以，因为，所以，则； （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，由，，证明，而，则，于是得，解得． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， , 解得或（舍去） ． 【题型2 相似三角形的对应线段成比例】 1．A 【分析】利用正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵不一定相等， 不一定成立，故②错误． 2．C 【详解】解：∵，和是对应中线，，， ∴两个三角形的相似比为， ∴对应角平分线的比为． 3．B 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为， ∴相似比为，A选项不符合题意， ∵相似三角形对应中线的比、对应高的比都等于相似比， ∴对应中线的比为，对应高的比为，C、D选项不符合题意， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴面积比为，B选项符合题意． 4． 【分析】由正方形的性质可得，，，即得，，由四边形是矩形得，即得到，设，则，再利用相似三角形的性质求出的值即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 5． 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 6．4 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比和对应高线的比都等于相似比，列出比例式即可求解 【详解】解：∵ ，和是对应角平分线，和是对应高线， 由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应高线的比也等于相似比，可得 ∵，， 7．/ 【分析】由，可得，即，即可证明，即可得，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵M，N分别是的中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键． 8．(1)证明： ∵AF平分∠BAC交DE于点G ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，得，结合题意，根据相似三角形的性质，通过证明，即可得到答案； （2）根据三角形重心的性质，得，从而得；根据相似三角形的性质，通过证明，再利用相似比计算，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵点G是△ABC的重心 ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形、三角形重心的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 9．． 【分析】根据长宽比例设矩形的宽为，长为，由矩形得到，证明，结合推导出、，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求出，最后计算矩形面积． 【详解】解：， 设， 四边形是矩形， ，， ∵是的高， ， ． ，， ∴， ． ，，， 四边形是矩形． ． ． ∵， ． ． ， ， ， ， ， ． ， ． 10．(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据两边对应成比例，夹角相等即可证明； （2）根据相似三角形周长比等于相似比，结合（1）得到，，易证，得到，将代入即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， 由（1）可知，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3 相似三角形的周长比等于相似比】 1．A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． 2．B 【分析】根据，得出，从而得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的周长为6， ∴． 3．A 【分析】根据题意容易判断，两个三角形的相似比为，再利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 与的相似比为 ， 又∵ 的周长为 ， ∴的周长为． 4．C 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比． 本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个三角形相似，且面积比为， ∴相似比的平方为， ∴相似比为， ∴周长比为． 故选：C． 5． 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴它们的相似比为， ∴它们的周长之比为． 故答案为． 6． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似对应边之比等于周长比是解题的关键． 相似三角形的周长比等于相似比，因此对应边之比等于周长比，据此即可解答． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的边长比是． 故答案为． 【题型4 相似三角形的面积比等于相似比平方】 1．A 【分析】利用相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方、对应边比等于相似比的性质，逐一判断选项． 【详解】解：已知，， 选项：相似三角形的周长比等于相似比，故，正确； 选项：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 选项：，不是对应边，无法确定比例，错误； 2．B 【分析】先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线与平行线得到等腰三角形，求出线段的长度；再根据判定与相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两个三角形的面积比． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 3． 【分析】已知两个三角形相似和面积比，利用相似三角形面积比与相似比的关系，以及周长比与相似比的关系求解． 【详解】解：∵，面积比为， ∴相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴周长比为． 4．70 【分析】由平行四边形的性质得，，从而可得，再结合相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积为8， ∴，， ∴． 5．2 【分析】根据与四边形的面积之比得出与的面积之比，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：∵与四边形的面积之比是， ∴与的面积之比是， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 相似三角形的性质结合判定证明线段乘积等式】 1．证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又 ， ． 【分析】利用平行四边形的性质，先推导出与平行且相等，再证明与相似，根据相似三角形的性质，列出比例式，最后将替换为即可证明． 【详解】略． 2．证明：，， ， ， ， ，即． 【分析】证明，即可解答． 【详解】略 3．(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵点是的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【分析】（1）证明，得到，即； （2）根据线段中点的定义和（1）的结论可证明，则，据此证明，得到，则． 【详解】（1）略 （2）略 4．(1)2 (2)证明： ， ， 又 ， ， ，即， 又 ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ； (3)解：是等腰直角三角形，理由如下： ， ， ， 由（2）得， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【分析】（1）作，与的延长线交于点G，先根据平行证明，推出，再证，根据对应边长成比例即可求解； （2）由，，证明，推出，结合证明，推出，通过等量代换即可证明； （3）由可得，结合，可得，由勾股定理的逆定理可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：如图，作，与的延长线交于点G， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （2）略 （3）略 5．(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴； 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，得到，则可证明，进而可证明； （2）证明，得到，则可证明，得到，证明，推出，则可证明． 【详解】（1）略 （2）略 6．(1)证明：，， ． ∴， ． (2)证明：由（1）得， ∴， ∴， 又， ． ． 过点作于，于， ． 平分，，， ． 在和中， ， ． ． 【分析】（1）要证 ，先将乘积式转化为比例式．已知，是公共角，证明，利用相似三角形对应边成比例得到比例式，变形得到乘积式． （2）由（1）的相似得到，结合公共角，证明，得到．过点作于，于．由角平分线性质得，再证明 ，证得． 【详解】（1）略 （2）略 7．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)12 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可得到，再由相似三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 8．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）证明，，得到，据此可证明； （2）证明，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 9．证明：∵在中， ∴ ∴ ∵在中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】证明得，证明得，进而可证结论成立． 【详解】略． 10．(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． (2)证明：∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 平分， ∴， ∵， ∴，     ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先由正方形得，，再根据旋转得，，接着利用同角余角相等推出，最后证明； （2）先根据，，得，正方形对角线得，再根据角平分线和全等得，从而证，最后根据相似比例，结合得． 【详解】（1）略； （2）略． 【点睛】求证乘积式先转比例式，依托等角证相似，再借等量代换完成推导． 11．(1) 证明：∵是的边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又， 在与中， 由， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, 又， ∴； (2) 证明：由（1）知，， ∴，即， 由（1）知， ， ∴， 即， 即， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判断与性质．证明出与全等以及与相似是解决本题的关键． （1）根据角边角的证明方法证明与全等，由全等可得，再由平行可得相似，再由相似的性质可得边成比例； （2）根据（1）中结论由全等可得，再由相似可得，根据边的关系即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型6 相似三角形的性质结合判定综合证明】 1．(1)证明：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）结合垂直的定义和矩形的性质，证明，，即可证明； （2）根据题意，设，则，利用勾股定理解得；根据相似三角形的性质以及，可求得的值，进而获得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴可设， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴． 2．(1)证明：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； (3) 【分析】（1）设，则，，根据等边对等角和三角形内角和定理可推出；再由，可证明； （2）证明，得到，，则可证明四边形是平行四边形；再证明，即可证明平行四边形是菱形； （3）延长交的延长线于点T，证明，得到；设， 则，，证明，得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，延长交的延长线于点T， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴； 设，由（2）得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验）或（舍去）， ∴． 3．(1)证明：， ， 即， ， ． (2)125 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ，，， ， ． 4．(1)解： ， ． ，，，， ． ，， ． (2) 【详解】（1）略； （2）解： ， ． 是中点， 设． ，， ， ，， ，， ． ，， ， ， ，即， ． 5．(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）由，得，而，则，所以，因为，所以，则； （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，由，，证明，而，则，于是得，解得． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， , 解得或（舍去） ． 6．(1)； (2) （1）中结论还成立 (3)，或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，由题意可得，证明，即可得出；②延长交于点，则，由①可得，由相似三角形的性质可得，求出，即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，证明，结合题意得出，即可推出，从而可得，，则，延长交于点，交于点，再由，计算即可得出结果； （3） 两种情况：当点、、在同一直线上，且点在线段上时；当点、、在同一直线上，且点在线段上时；分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，延长交于点， ∵， ∴， 由①可得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中结论还成立，证明如下： ∵四边形与四边形都为矩形， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 如图，延长交于点，交于点， ∵， ∴ ， ∴； （3）解：如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当点、、在同一直线上，且点在线段上时， 同理可得：，， ∴，； 综上所述，，或． 7．(1)证明：如图，连接，    当时，， ， ，，， ，，， 即， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； (2)线段之间的数量关系为： 证明：如图，过的中点作的平行线，交于点，交于点，    当时，， 是的中点， ∴， ， ∴， ， ，，， ， 是等腰直角三角形， ∵， ， ∴， 根据（1）中的结论可得， ； 故线段之间的数量关系为； (3)点M运动的路径长为 【分析】（1）连接，当时，，即，证明，从而得到即可解答； （2）过的中点作的平行线，交于点，交于点，当时，，根据，可得是等腰直角三角形，，根据（1）中结论可得，再根据，，即可得到； （3）过点作交的延长线于点，交于点，取的中点，连接，证明，然后确定点的运动轨迹，再确定点的运动路径长即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作交的延长线于点，交于点，取的中点，连接 ∵， ∴均为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若点重合时，则重合，点在点的位置， ∴点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径即为的长， ∵， ∴ ∵在等腰中，， ∴， 在中，， ∴， 当点从点运动到点时，此时点运动的路径长为， ∴点运动的路径长为． 8．(1)证明：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)10 【分析】（1）首先证明，，即可证明； （2）首先利用勾股定理解得，结合是的中点易得，由相似三角形的性质可得，然后代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 9．(1)1 (2)证明：过点H作，垂足为点Q，过点G作，垂足为点P，与相交于点O， , ， ， ， ， ， ， ， ， 由，可得：， ， ， 由可得四边形为矩形， ， 同理可得， ； (3) 【分析】（1）过点H作交于点N，过点G作交于点M，证明即可求解； （2）过点H作交于点Q，过点G作交于点P，由（1）可得，再结合相似三角形的性质可得结论； （3）过点作的平行线交于点，构造平行四边形，得到等角与等线段；在上截取，利用构造等边，得到角，创造相似三角形条件，利用平行线、三角形外角定理，证出两组对应角相等，证明，把，，代入相似比直接得到． 【详解】（1）解：过点H作于点N，过点G作于点M， 设交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，与平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ； （2）略 （3）解：过点作的平行线交于点，交于点， 在上截取，连接 ， 四边形是平行四边形 四边形是平行四边形 又 是等边三角形 四边形是平行四边形 ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．(1) (2) 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可； （2）设，利用矩形的性质可得、易得，即，可求得，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：四边形EFHG是正方形， ， ，， ； ， 设， ， ， 正方形零件的边长为． （2）解：如图：设， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ， ∴，解得：， ， ∴这个矩形的面积是． 学科网（北京）股份有限公司 $