22.3.1～22.3.2 相似三角形、相似三角形的判定 专项练习 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第22章 22.3.1&2 相似三角形以及相似三角形的判定 【新教材华东师大版】 知识点1 相似三角形 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．和相似，记作． 2. 全等三角形与相似三角形的比较 全等三角形 相似三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 特征 形状相同且大小相等 形状相同但大小不一定相等 图形表示 对应边 相等 成比例 对应角 相等 相等 相似比 1 可以是1，也可以是其他正实数 知识点2 三角形相似的判定 相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似． 1. 定理1：两角分别对应相等的两个三角形相似． 已知和和和，若，，则． 2. 定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 已知和和，若，，则． 3. 定理3：三边对应成比例的两个三角形相似． 已知和和，若，则． 4. 有关三角形相似的常见图形 图形特征 所需条件 证明方法 平行线型 已知 DE // BC，所以同位角、内错角相等 两角分别相等的两个三角形相似． 斜交型 有公共角或对顶角， 两角分别相等的两个三角形似． 公共角的两边对应成比例， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 母子型 两角分别相等的两个三角形相似． 旋转型 有一组角对应相等， 公共角（对应角）的两边对应成比例，， 两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【题型1 由平行判定相似】 1．如图，在中，点，分别是，上的点，且，若，，，则的值是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 3．如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 4．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 5．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，点F为延长线上一点，连接，若，，则图中相似三角形有________对． 6．如图：在平行四边形中，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点F，且，，求的长． 【题型2 由两角相等判定相似】 1．下列各组图形一定相似的是（   ） A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形 C．有一个角是的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形 2．如图所示的三个三角形，相似的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 3．如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 5．将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 6．如图，在中，，分别是，上的点，，求证：． 7．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 8．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【题型3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似】 1．如图，下列四个三角形中，与相似的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，分别为边上的点，且满足．根据上述信息，嘉嘉和淇淇给出了下列结论： 嘉嘉说：连接，则． 淇淇说：． 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正确的是（     ） A．两人都正确 B．两人都错误 C．嘉嘉正确，淇淇错误 D．嘉嘉错误，淇淇正确 4．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．在与中，有下列条件：①；②；③；④．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判定的共有_______组． 6．如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 7．如图是由小正方形组成的网格，点A，B，C，D，E，F均在格点上，，网格中的这两个三角形相似吗?请说明理由． 8．如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若 (1)求证：； (2)若，，求证：四边形是菱形 【题型4 由三边对应成比例判定相似】 1．可以判定的条件是（     ） A． B．且 C．且 D． 2．如图，小正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 5．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 6．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 7．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 8．如图，．判断与是否相似，并说明理由． 9．如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 【题型5 】 1．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在四边形中，对角线，相交于点，请添加一个条件：________，使． 6．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 7．如图，，请补充一个条件：_______________，使． 8．如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 9．在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有__________． 【题型6 裁剪使两三角形相似】 1．如图，中，，将沿图中的虚线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的三角形一定与原三角形相似的是（  ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②④ 2．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B．C． D． 3．如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有______．（请在横线上填上符合条件的序号） 4．如图，在中，，点为边的中点，沿着过点的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有______种不同的剪法． 【题型7 存在相似三角形】 1．如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 2．如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 3．如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 4．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 5．如图，平面直角坐标系中，四边形为矩形，点A，B的坐标分别为，，动点M从点O出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点A运动，同时点N以相同速度从点B出发，沿线段向终点C运动，过点N作，交于点P，连接，设运动时间为t秒． (1)求直线的解析式． (2)用含t的代数式表示P的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t的值，使以P，A，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点、运动时间为．    (1)当 时，的面积为？ (2)当 时，使线段的长度为 ？ (3)当与相似时，的值是多少？ 7．如图，在四边形中，，，． (1)求证：． (2)若，，点P从A点出发，以的速度沿向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以的速度沿向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． ①当t为何值时，四边形的面积等于？ ②当t的值为______时，以B，P，Q三点为顶点的三角形与相似． 第22章 22.3.1&2 相似三角形以及相似三角形的判定答案与详细解析 【题型1 由平行判定相似】 1．D 【分析】由可得，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵，， ． ∵， ，， ， ． ， ， ． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 5．3 【分析】由“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得、，进而得，最后综合即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中相似三角形有3对． 6． 【分析】根据平行四边形的性质得，证得，再根据相似比求解即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型2 由两角相等判定相似】 1．C 【分析】利用“两角对应相等的两个三角形相似”逐一判断选项即可． 【详解】解：对A选项，若相等的角一个是等腰三角形的顶角，一个是另一个等腰三角形的底角，则对应角不相等，不一定相似，不符合题意； 对B选项，若相等的角是直角，两个三角形的另一个锐角不一定相等，因此不一定相似，不符合题意； 对C选项，∵的角如果作为等腰三角形的底角，内角和会超过， ∴只能是等腰三角形的顶角，∴两个等腰三角形的底角都为，三个角对应相等， ∴两个三角形一定相似，符合题意； 对D选项，仅有一个对顶角相等，其余两个角不一定对应相等，因此两个三角形不一定相似，不符合题意． 2．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理. 分别把三个三角形的内角计算出来，利用两角对应相等判断三角形相似. 【详解】解：分别把三个三角形的内角都计算出来. ①：由，所以三个内角分别为，，. ②：由，所以三个内角分别为，，. ③：由，所以三个内角分别为，，. 所以只有①②的内角都相等，符合相似三角形的判定定理. 故选：A． 3．B 【分析】此题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法结合题目中的已知信息找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①，， ， ， ； ②，， ， ， ， ； ③，， ， ； 有3个三角形与相似． 故选：B． 4．或或 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 5．（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 6．证明：∵， ∴， ∴，， ∴ 【分析】先利用内错角相等证明两直线平行，由平行线得到两组对应角相等，进而证明两个三角形相似． 【详解】略． 7．证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 8．(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【题型3 由两边对应成比例及夹角相等判定相似】 1．C 【分析】根据等腰三角形的性质，结合两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，解答即可． 【详解】解：根据题意，得等腰三角形的底角为； 故等腰三角形的顶角为， 根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似， 得到C选项的三角形与原三角形相似． 2．D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 3．D 【分析】本题考查了三角形相似和平行线的判定方法，解题的关键是能够根据对应边成比例的条件判断出三角形相似，并确定对应角．由及可得，从而得到，无法得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 无法推出． 从而嘉嘉错误，淇淇正确． 故选： ． 4．D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 5．3 【分析】枚举所有任取两个条件的组合，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：从4个条件中任取两个，共得到6种组合，逐一判断如下： 取①②， ∵，， ∴，三边对应成比例，可判定； 取①③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取①④，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②③，两边对应成比例，但相等的角不是这两边的夹角，无法判定相似； 取②④， ∵，， ∴两边对应成比例且夹角相等，可判定； 取③④， ∵，， ∴两角对应相等，可判定； 综上，能判定相似的共有3组． 6．证明： ， ，即， 又 ， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 7．解：相似．理由如下： 设小正方形的边长为1，由勾股定理，得，，， 又， ， 又， ． 【分析】先利用勾股定理推导出，再根据相似三角形的判定可证得结论． 【详解】略 8．(1)证明：在平行四边形中，对角线交于点O， ，， ， ，即， ∴ 又， ； (2)证明：， ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴, 即， 又∵四边形 为平行四边形， ∴四边形 是菱形． 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，进一步得出，结合即可得出结论； （2）由，得到，由直角三角形两两个锐角互余得出，结合已知条件以及三角形内角和定理得出，即，再根据菱形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型4 由三边对应成比例判定相似】 1．D 【分析】结合相似三角形判定条件验证选项，注意两边成比例需对应夹角相等. 【详解】解：A选项中，仅一组角相等，不满足相似判定条件，不符合题意； B、C选项中，的对应夹角为与，选项给出的角不是两边的夹角，不满足相似判定条件，不符合题意； D选项中，三组对应边成比例，可判定，符合题意． 2．A 【分析】利用勾股定理求出每个阴影部分的边长，然后用三边对应成比例的两三角形相似来判定． 【详解】解：由图中各正方形的边长均为，根据勾股定理可得出： ①图中阴影三角形的边长分别为：，，； ②图中阴影三角形的边长分别为：，，； ③图中阴影三角形的边长分别为：，，； ④图中阴影三角形的边长分别为：，，； A、①②两个阴影三角形的边长比， 图①②两个阴影三角形相似，符合题意； B、①③两个阴影三角形的边长比， 图①③两个阴影三角形不相似，不符合题意； C、②③两个阴影三角形的边长比， 图②③两个阴影三角形不相似，不符合题意； D、②④两个阴影三角形的边长比， 图②④两个阴影三角形不相似，不符合题意． 3．C 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 4．B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 5．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 6．/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 7． 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 8．与相似．理由如下： ∵在中，， 在中，， ， ． 【分析】根据三组对应边的比相等的两个三角形相似即可证得． 【详解】略 9．这两个三角形相似，理由如下： 对： ，，； 对： ，，． 计算三边的比值： ，，， ∴， ∴． 【分析】用勾股定理计算两个三角形各边的长度．将两个三角形的边按长度从小到大排序，计算对应边的比值．依据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，判断两个三角形是否相似． 【详解】略 【题型5 】 1．A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 2．D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 3．D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 4．C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 5．（答案不唯一） 【详解】解：根据对顶角相等，可得， 利用两角相等证明三角形相似，可添加的条件为：． 6．或或 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 7．（答案不唯一） 【详解】解：补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵．， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 8．（答案不唯一） 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 9．①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 【题型6 裁剪使两三角形相似】 1．B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ②剪下的三角形与原三角形有两个角对应相等，故两三角形相似； ③剪下的三角形与原三角形对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似． ④剪下的三角形与原三角形只有一个角相等，故两三角形不相似； 故正确的有①②③， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 3．①②④ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似； ③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似； ④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似． 故答案为：①②④． 4．3 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 【题型7 存在相似三角形】 1． 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为（秒）， ∵， ∴当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，则， ∴， 解得； 综上. 2．或或 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 3．或 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 4．(1)存在， 或 (2) 或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． （2）解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 5．(1) (2) (3)存在，或． 【分析】（1）先求出点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点， 设直线的解析式为：， 由题意可得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）延长，交于点G，可得出， ∵动点运动t秒后， ∴， ∴， ∵点A，C的坐标分别为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴P点的坐标为； （3）当时，且，则， ∴， ∴ ∴， 当时，且，则， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 6．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）经过秒，的面积等于9，先用含的代数式分别表示和的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出； （2）根据勾股定理求得，根据线段的长度为，建立方程，解方程，即可求解； （3）利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，则． ， 由题意得， 解得， 所以运动时间为； （2）解：在中，， ∵，， ∴ 解得：或， ∴或时，使线段的长度为 故答案为：或． （3）解：若当时，． 即， 解得； 当时，． 即， 解得． 综上所述，当与相似时，的值是或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 7．(1) 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； (2)①当或时，四边形的面积等于；②存在，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识点，掌握数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键． （1）由可得，进而得到；再根据可得，最后根据两组对应角相等的三角形为相似三角形即可解答； （2）①如图，过点Q作于H．由勾股定理可得；再根据可得，，进而得到，的长；用t表示出，，，再证明可求得，最后根据列关于t的方程求解即可； ②分和两种情况分别利用相似三角形的性质列关于t的方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，过点Q作于H． 在中，，， 由勾股定理，得． ∵， ∴，， ∴， 解得，． 由题意可得，，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即，可得 ∴ ， 解得，， ∴当或时，四边形的面积等于； ②当时， ∴．即， 解得， 当时， ∴．即， 解得． 综上，或时，以B，P，Q为顶点的三角形与相似． 学科网（北京）股份有限公司 $