方法技巧专题 相似三角形的基本模型-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

54 方法技巧专题 相似三角形的基本模型 熟悉如图所示的常见三角形相似的基本图模型三旋转型 形，在具体问题中要善于分解出这些基本图形，3.如图，已知∠DAB=∠EAC,∠ADE=∠ABC, 从而快速找到判定相似的方法 求证： (1)△ADE∽△ABC; (2)△ADB∽△AEC. A字型 X字型 子母型（∠1=∠2） 2 斜截型（∠1=∠2） 旋转型 双垂直型 三垂直型 反射型（∠1=∠2） “两高”型 模型一A字型 1.如图，在△ABC中，AB =4cm,BC=8cm,点P 从点A开始沿AB边向 A 点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始 模型四双垂直型 沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果 4.如图，已知直角△AB℃中， CD是斜边AB上的高，AC= P、Q分别从A、B同时出发，经过 后， 4,BC=3,则AD= △PBQ与△ABC相似， A.0.8s B.2s 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6, 在AB边上取一点D,使BD=BC,过点D作 C.0.8s或2s D.0.4s或1s 模型二X字型 DE⊥AB交AC于点E,求DE的长 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD 上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点 F.若AE=2ED,CD=6cm,求AF的长 55 模型五三垂直型（一线等三角型） 模型七反射型 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,若折8.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的 叠该矩形，使得点D与AB边的中点E重合， 点，EB=号AB=1,∠DEA=∠FEB,求EF 折痕交AD于点F,交BC于点G,边DC折叠 后与BC交于点M. 的长 (1)AF的长为； (2)求BM的长. 模型六子母型 7.如图，在△ABC中，AC=4,CD=x,BC=y,点 D在BC边上. 模型八“两高”型 (1)当CD=2,BC=8时，判 9.如图，已知BD,CE为△ABC的高，求证： 断△ABC与△DAC是否相 △ADEP△ABC. 似？请说明理由， (2)当∠CAD=∠B时，求y关于x的函数关 系式841,理由： =24<27,符合题意，故a=12. ,该点阵每行的点数从上到下依9.B10.A11.B 次为1,3,5,7，…，2n-3,2n-1,12.3(x-1)x=6210 2n一3，…，7,5,3,1，.S=13.(1)每月销售y(件)与售价x n(1+2n-1)+n(2m-1+1D (元)的函数关系式为y=一 2 2 10x+1200. (2n-1),∴.S=2n2-2n+1, (2)售价定为70元可获得利 .2m2-2m+1=841,解得n=21 润是10000元. 或n=-20(舍去)，∴.n=21, 14.(1)1(2)x1=3+i,x2=3-i 故当n=21时，这个点阵的点数 第22章图形的相似 和是841； 22.1成比例线段 ②设这群人共有x人： 22.1.1成比例线段 2x(1十x)=6,解得x1=0(舍 1.1:2000000 2.(1)成比例，a:b=c:d;(2)成比 去)，x2=11. 例，a:c=:b;(3)不成比例 故这群人共有11人. 章末考点整合与素养提升 3号日？410 1.-32.-1 5.D6.D7.3.4×10 3.(1)2士1；(2)x1=8,x2= 2 8.2或-1 9.a=15cm,b=20cm,c=25cm. 4.B 10.AC=(15-5√5)cm. 5.(1)13;(2)-6: 22.1.2平行线分线段成比例 (3)a≤2且a≠0 6.(1)四边形ABCD为菱形，则方 1.D2.4 EF AD 程有两个相等的实数根， 3.FG'BD 36 ∴4=8-4ac=(-m)2-4(罗 4.AC- 5 5.B6.6 7.BF= )=0,即m-2m+1=0, 3.CF-5 31 8.B9.C10.6或12 解得m=1,所以当m=1时，四 边形ABCD为菱形； 1.BC-号DB=15. (2).∵AB、AD的长是关于x的12.(1)AB=4,BC=10: 方程x2-mx+受 =0的两 (2)BE=9. 4 微课堂 个实数根，∴.AB十AD=m,AB B ·AD=竖- Γ4 22.2相似图形 1.C2.83.125°，12 .(AB-3)(AD-3)=m, ∴.AB·AD+9-3(AB+AD) 4.x=12,y= 33 2∠a=83 =m,2 十9-3m=m,m月 5.D6B7.号 5 8.∠A=∠A'9.D10.D 7.10% 11.6+1 2 12.613.图略. 8.(1)(60-3a) (2)由(1)知饲养场面积为a(60 14.1)AP-15-1,AE_1.8 ）AB=.5=3AC=5.4 3a)=288,解得a=12或a=8; 当a=8时，60-3a=60-24= 3BC93 36>27,(不合题意，舍去) (2)证明：.DE∥BC, 当a=12时，60-3a=60-36 ∠D=∠B,∠E=∠C, 43 又∠DAE=∠BAC,铝 治-又南PM/Ng得 AE_DE MB_PN·NB_MB.t AC BC AMPA ∴ADAM’3 ∴.△ADE与△ABC相似. 二…=2s,此时相似比为 t 15.(1)由题意得AB=120cm,AD =240cm..矩形EFGHC∽矩 NB_2 形ABCD, AD 3 .EF∥AB,EH∥AD, 22.3.2相似三角形的判定 .'a=10,∴.EF=AB-2a= 第1课时三角形相似的判定定理1 120-10×2=100cm..EH= 1.D2.B3.C AD-2b=(240-2b)cm, 4.∠1=∠C(答案不唯一) 器-290 5.56.15 240 ,解得b=20. 7.四边形ABCD为正方形， (2)5 ∴.∠B=∠C=90°， ∴.∠BEF+∠BFE=90°， 22.3相似三角形 .∠EFG=90°， 22.3.1相似三角形 ∴.∠BFE+∠CFG=90°， 1B21品号是 ∴.∠BEF=∠CFG, ∴.△EBFp△FCG. 4.15,45A6.4 8.AC=2√21cm. 7.答案不唯一，如△ADF∽△ECF 9.A1o管1.9 8..DE∥BC,.∴.△ADE△ABC, 12.(1)略 器柴 (2),∠ABC=20°，∴.∠CBM 又.DE∥BC,∴.△DOE∽ =160°，，BD平分∠CBM, △c0B2器-品 ∴∠CBD-=号∠CBM=80, 器品 ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABC -∠CBD=20°， 9.A10.C11.B12.8cm ∴.∠ABC=∠ADB,∠A= 18号 ∠A,∴.△ABCc∽△ADB. 13.△BAEp△CDA,△EDA∽ 14..DE∥AB,.△ABC △EAB.理由如下： △Dec指-器 .△ABC和△AFG为两个 全等的等腰直角三角形， ,BD是∠ABC的平分线， ∴.∠BAC=90°，∠B=∠C ∠DBE=∠ABD.,DE∥ 45°，∠FAG=45°，.∠ADC AB,∠EDB=∠ABD. =∠B+∠2=45°+∠2， ∠EDB=∠DBE.∴.DE= .∠BAE=∠2+45°， BE=3 cm. ∠BAE=∠ADC, ÷是-38CE-45m ,∠B=∠C, 15.(1).PM∥BC, ∴.△BAEp△CDA, ∴.△AP∽△ANB, .∠DEA=∠AEB, ∴.△EDA∽△EAB. ·PM_AMPM_4-1 …NBAB’1 4 14.(1)证明：由题意，可知∠B= .PM cm: ∠C=60°，AB=BC=AC-9. .∠BAD+∠ADB=120°. (2)若△PNB∽△PAD,则 又.∠ADE=60°， 44 ∴.∠CDE+∠ADB=120°. .∠BAD=∠CDE,且∠B= 当部部或普影时 ∠C,.△ABD△DCE. △PAB与△PCD是相似三角 部-80ABCE=BD 形， '.'AB=6cm,CD=4cm,BD= ·CD; 2)由1证得号-是即（正 1m支 6 BP =2..AE=9-2=7. 14-Bp,解得BP=2cm或 第2课时三角形相似的判定定理？ 12cm或号am.即PB=2an或 1.B2.D3.D 4.△APB与△PCE相似，理由如 12am或号cm时，△PAB与 下：设BP=2k,BC=3k,∴.AB △PCD是相似三角形 =BC=CD=3k,PC=k. 第3课时三角形相似的判定定理3 又E是DC的中点，∴BC-号克 1.A2.B3.D4.B5.1.5 6.∠A=∠D或BC=2EF 咒==2，P既=黄2 7.证明略. 8.D9.C10.B11.B 即瓷哭又∠-∠C- 12.①②④ 13~14.证明略， ∴.△APBp△EPC 15.(1)△ABC∽△DEF,由三边 5..'AB=AC, 对应成比例可知； ∴.∠ABC=∠ACB, (2)不唯一，△P2PD,△PPF, ∴.∠ABD=∠ACE, △P2PD,△P4PD,△P2PP, ,AB=BD·CE, △PFD中，选2个即可.图略. 器兴 方法技巧专题相似三角形的基本模型 1.C2.AF=12cm. ∴.△ABD∽△ECA. 5.DE=3. 6.A1 .A8.C9.54,号 3证明略。49 10.3 .(1青：(2BM=是 11.(-1,0)或(-4,0)或(1,0) 7.(1)△ABC与△DAC相似，理 12.(1)△PBA与△ABC相似，理 由略； 由略：(2)y=16 (2)∠BAC=135°. 13.(1)证明：AD,BE是△ABC &:EB-专AB=1, 的两条高，∴.∠ADC=∠BEC ∴.AB=3,AE=2. =90°， ,四边形ABCD是正方形， 又.'∠C=∠C,∴.△ACD ∴.∠DAE=∠FBE=90°，AD △BCE器-费即cE· =AB=3, 又∠DEA=∠FEB, CA=CD·CB; 2器黑器是 ∴MDE∽ABFE,∴能- AC' 又∵∠C=∠C,EC=5,BC= 架BF- 13,∴.△CDE△CAB, ∴EF=BF+EB=1③ 器震 2 131 14..AB⊥BD,CD⊥BD, 即EF的长为 2 ∴.∠B=∠D=90°， 9.证明略. 45