22.3.2 第3课时 相似三角形的判定定理3-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（华东师大版·新教材）

.∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°. 拓展在线 若AB=BD,则∠BAD=∠ADB=69° 13.(1),△ABC和△CDE均是等腰直角三角形， AD是△ABC的完美分割线， .∴.∠ECD=90°，∠ACB=45°，E℃=DC. ∴.△ADCc∽△BAC.∴.∠CAD=∠B=42° .∴.∠ACD=∠ECD-∠ACB=90°-45°=45° ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+42°=111° .AC垂直平分ED..AE=AD. 若AB=AD,则∠B=∠ADB=42°， .AF=DF,EFAD,.'.AE=ED. AD是△ABC的完美分割线， .AD=AE=ED..∠AED=60° .∴.△ADC∽△BAC.∴.∠CAD=∠B=42°. (2)证明：由(1)，得AC⊥ED, :∠ADB=∠CAD+∠C=42°+∠C≠42°， .∠AGD=∠AGE=90°. .不存在AB=AD. ,EF⊥AD,∴∠AFE=90°.∴.∠AGE=∠AFE. 综上所述，∠BAC的度数为84°或111°. :∠EHG=∠AHF,∠DAG=∠GEH. 22.3.2相似三角形的判定 .△EHG∽△ADG. 第1课时相似三角形的判定定理1 基础在线 (3)证明：由2)知，△EHC△ADG,A-AS-巴 EH EG GH 1.A2.C3.D4.∠AED=∠B(答案不唯-）5.10 AD=AE,铝-瓷：∠BCD=90,BG=DG, 5 6.四边形ABCD是平行四边形， ∴cG-BG-G÷鋁-8怒-器 ∴AD∥BE,∠D=∠B. ∴.∠DAF=∠E 帶-怒+器-瓷 .△AFD∽△EAB. 第2课时相似三角形的判定定理2 7.(1)证明：AD是斜边BC上的高， 基础在线 ∴.∠BDA=90°. 1.C2.B3.C4.185.BP=2CP6.10 ∠BAC=90°，∴.∠BDA=∠BAC. 7.AD·AB=AE·AC,∠A为公共角， 又.∠B为公共角，△ABD∽△CBA. ∴△ABE∽△ACD,∠B=∠C, (2)由(1)知，△ABD△CBA, 又∠BFD=∠CFE, 盼-隐吧- *6101 .△FDB∽△FEC. .BD=3.6. 8.设正方形的边长为4a,则AD=CD=BC=4a. 能力在线 .Q是CD的中点，BP=3PC, 8.C9.D10.D ∴.DQ=CQ=2a,PC=a. 11.(1)图中存在的一对相似三角形为△DBA∽△DAC. 器0兰 证明：DB=AB, 又，∠D=∠C=90°， ∴∠D=∠DAB=合∠ABC .△ADQ∽△QCP. ∠ABC=2∠C,.∠D=∠DAB=∠C. ∴.DA=AC. 93或号 ∠D=∠D,∠DAB=∠C,△DBAP△DAC. 能力在线 (2).AB=2,BC=5,DB=AB,.'DB=2. 10.D11.C12.5√2 .DC=BC+DB=7. 13.(1)证明：，∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, △DBA∽△DAC,∴.DB:DA=DA:DC .∠ADF=∠C .2:DA=DA:7.解得DA=√/14， 又怨器 ∴.△ADFn△ACG. DA=AC,..AC=14. AF 12.(1)证明：∠BPA=135°， (2):△ADF∽△ACG,AP=-AE=1,」 AC=AG=2…F =1. .∠ABP+∠BAP=180°-135°=45 拓展在线 :∠ABP+∠CBP=∠ABC=45°， 14.(1)△EOF∽△ABO,理由如下： ∴·∠ABP+∠BAP=∠ABP+∠CBP. 当t=1时，OE=1.5cm,OF=2cm .∠BAP=∠CBP. .AB=3 cm,OB=4 cm, ∠BPA=∠BPC,△CPB∽△BPA, (2).AC⊥BC,∠ABC=45°， 器6- .△ACB是等腰直角三角形.∴AB=√2BC 又，∠EOF=∠ABO=90°，∴△EOF∽△ABO, '△CPB∽△BPA, (2)在运动过程中，OE=1.5tcm,OF=2tcm. 带器器c店 OE OF AB=3 cm,OB=4 cm,BA-BO 又：∠EOF=∠ABO=90°， 设PC=a,则BP=√2a,AP=2a, ∴.△EOF∽△ABO.∴.∠EFO=∠AOB. ∠APC=360°-135°-135°=90°， 又：∠AOB+∠FOC=90°， .AC=√AP2+PC=√(2a)2+a=√5a, ∴.∠EFO+∠FOC=90°. 瓷-e-v5 .∠FCO=90°，即EF⊥OA. a 22 探究在线·九 第3课时相似三角形的判定定理3 .∠C=∠DBE.△ABC∽△DEB. 基础在线 1.A2.D3.C (△ABC△DEB分S-80 4.相等.理由如下： ..AB_BCCA 那品-受BD=3. BD-BE-ED,△ABCn△DBE, 10.6v10 ∠ABC=∠DBE..∠ABD=∠EBC. 5 5.AB与CD平行.理由如下： 阶段测评4(22.1-22.3.2)】 已知，品-兰号品-引=号C-器-号 1.A2.D3.C4.C5.B6.A 3 ÷部80记.△ABDABDC. 7.∠ADC=∠ACB(答案不唯-)8.39.5：810. 3 ∴.∠ABD=∠BDC..AB∥CD. 1.612.号 6.B 13.(1)l∥2∥l3. 能力在线 7.B8.B9.45°10.4 8-说-2DE=2EF=2% 11.(1)△ACF∽△GCA 理由：设正方形ABCD、CDEF、EFGH的边长为a,则 2%.器提号 △ACF的三边长分别为AC=√2a,CF=a,AF=√5a, ∴BC=号AB=号×6=9. △ACG的三边长分别为AC=√2a,CG=2a,AG=√10a. ,.AC=AB+BC=6+9=15. :C渠=a-悟，A9-2a-巨，AP=5a-2 14.(1)证明：CE、BF是AB、AC上的高， AC√2a2'CG2a2'AG√0a21 ∠AFB=∠AEC=90. 宽-S-铝△ACFAICA .∠FAB=∠EAC, .△ABF∽△ACE (2).△ACFC∽△GCA,∴.∠1=∠CAF (2)证明：，△ABF∽△ACE, .∠1+∠2=∠CAF+∠2=∠ACB=45. 12.(1).网格是由边长为1的小正方形组成的， 能能即铝能 ∴.BC=√22+1=√5，AB=5. :∠EAF=∠CAB, ∴.△AEF∽△ACB. △BCPn△BAC器C-怎可BP=1, 5 15.(1)AB=2,BC=√22+2=2√2， 则在AB上找出一点P.连结PC, 如图所示. 勰竖器-2 (2)依题意，如(1)中的图， (2)如图， 网格是由边长为1的小正方形组成的， AB=2,BC=2√2， ∴.在△BAC中，BC=√2+1平=√5，AC=√32+1平=√10， AC=√22+4=2√5， AB=5, BE=√I+1z=√2， 在△BCP中，BP=1,PC=√+1=√2 AE,=√P+32=√10， BC=√22+1下=√5， 器瓷 =√5，△BCP∽△BAC. 能器船-， ,△ABCc∽△E1BA, 拓展在线 当点E在点E2处时，同理可证△ABC∽△E2BA. 13.(1)△ABC∽△DEF,由三边对应成比例可知. 16.(1)证明：：△ABC为等边三角形， (2)答案不唯一，△PPD、△P4PF、△PP4D、△PPD、 .∠BAC=∠ABC=∠ACB=60° △P2P4Ps、△P1FD中，选2个即可. ∴.∠DBE=∠ACD=120°， 微专题5相似三角形的基本模型 ∠ADC+∠CAD=∠ACB=60°. 1.A2.B3.C4.16 :∠ADE=∠ADC+∠BDE=6O°， 5.(1)证明：：∠BAD=∠CAE, ∴∠CAD=∠BDE. ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. .△ACDO△DBE 铝怨。 (2).AF⊥DE,∴.∠AFD=∠AFE=90°. 由(1)知，∠CAD=∠BDE, .△BAC∽△DAE. 又'∠AFD=∠CFD,∴.△AFD∽△DFC. (2):∠BAD=∠CAE铝-能即是-怨， :∠DCF=∠ACB=60°=∠BAC, ∠AFD=∠AFE=90°， .△BAD∽△CAE..∠ACE=∠B. .△CDF∽△AEF. ∠B=40°，∴.∠ACE=40°. '∠FDC+∠FCD=90°， 6.63137.(8,0)8.3.8 ∴∠BAC+∠DAC=90°. 9.(1)证明：：CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE, 即∠BAD=90°=∠CFD, ∴.∠A=∠CBE=∠D=90°. 又，∠ABC=∠FCD=60°， ∴∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90. .△ABD∽△FCD. 年级数学（上）·HD一©第3课时 相似 ①基础在线》知识要点分类禁 知识点三边成比例的两个三角形相似 1.已知△ABC的三边长分别是1，√2，√3，与 △ABC相似的三角形三边长可能是() A.√2,2，w6 B.2 ,1w9 C.13 D.1 2.若△ABC的每条边长增加各自的10%得 △A'BC,则∠B的度数与其对应角∠B的 度数相比 ( A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1十10%)D.没有改变 3.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 中，三角形的顶点都在格点（网格线的交点） 上，则与△ABC相似的是 A A 公 D 4如图所示，已知部=S-别，判断∠ABD 和∠EBC是否相等？说明理由. 三角形的判定定理3 5.如图，某地四个乡镇A、B、C、D之间建有公路，已 AB=14 km,BC=42 km,CD=31.5 km,AD =28km,BD=21km,试判断AB与CD的位 置关系，并说明理由 易错点考虑问题不全面致错 6.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和 8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3,4及x,那么x的值 () A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个 21 能力在线>方法规律综合练 7.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均 相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车” “炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅” “相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似， “马”应落在 ( ) 马 1 ④炮 A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 第22章58 8刻图8B6-6,则下列结论正确的有 ①△ABCp△ADE;②AC平分∠DAE; ③∠AFB=∠AGE;④∠ABF=∠ADE. A.1个B.2个C.3个 D.4个 第8题图 第9题图 9.如图是由4个边长为1的正方形组成的图形， 则∠ABC= 10.如图是由40个边长为1的等边三角形组成 的网格图，△ABC的三个顶点和线段DE的 两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F 也在等边三角形的顶点上，能使△DEF与 △ABC相似的点F有个. A 11.如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是相 同的正方形. (1)△ACF与△GCA相似吗？说说你的理由； (2)求∠1+∠2的度数. D 59探究在线九年级数学（上）·HD 12.如图是边长为1的小正方形组成的网格， △ABC的顶点都在网格点上. (1)在AB上找出一点P,连结PC,使得 △BCP∽△BAC; (2)利用“三边对应成比例的两个三角形相 似”证明(1)中结论。 3 拓展在线沙培装尖提升臻 优拔天狼开东…。 13.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1， △ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上， (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明 理由； (2)P1、P2、P3、P4、P5、D、F是△DEF边上的 7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为 三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相 似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图 中连结相应线段，不必说明理由)， B 0 P