专题09 概率（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题09 概率 5类高频考点 目 录 ✅考点一 随机事件的概率 ✅考点二 古典概型的概率 ✅考点三 事件的关系及概率的计算 ✅考点四 事件的独立性 ✅考点五 计数原理 考点一 随机事件的概率（共5题） 1．（2026·广东·学业水平合格考）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（       ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 2．（2026·浙江·学业水平合格考）某人独立射箭2次，设事件A为“至多有1次射中”，则事件A的对立事件是（     ） A．恰有1次射中 B．两次都未射中 C．至多有1次射中 D．两次都射中 3．（2025·辽宁·学业水平合格考）2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·学业水平合格考）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（       ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. （1）求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； （2）求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 考点二 古典概型的概率（共15题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（       ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（       ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·学业水平合格考）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标注数字），则向上一面点数为1的概率为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（       ） A．0 B． C． D．1 5．（2025·四川·学业水平合格考）抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（       ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏·学业水平合格考）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（     ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·学业水平合格考）一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（       ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州·学业水平合格考）连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（       ） A． B． C． D． 9．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（       ） A． B． C． D． 10．（2025·福建·学业水平合格考）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（       ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南·学业水平合格考）抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，记事件“第一枚出现奇数点”，事件“两枚出现的点数之和为”．若和相互独立，且，则的一个可能取值是　　　　　　　　． 12．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）高三年级某班组织学生到甲、乙两个社区宣讲垃圾分类知识．该班某同学根据班委会规定，通过摸球方式选择到哪个社区宣讲垃圾分类知识．现有一个不透明的袋子中有16个除颜色外大小质地完全相同的球，其中7个白球，9个黑球．该同学从这个袋子中随机摸出1个球．若摸出的是白球，则到甲社区宣讲；若摸出的是黑球，则到乙社区宣讲．该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为　　　　　　　　　　　． 13．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为　　　　　　　　；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为　　　　　　　　. 14．（2025·陕西·学业水平合格考）一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则　　　　　　　　　. 15．（2025·山东·学业水平合格考）某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是　　　　　　　　　. 考点三 事件的关系及概率的计算（共1题） 1．（2025·四川·学业水平合格考）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（       ） A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球” 考点四 事件的独立性（共10题） 1．（2025·湖南·学业水平合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏·学业水平合格考）天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（     ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 3．（2025·河南·学业水平合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（       ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·学业水平合格考）为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知事件与事件相互独立，且，，则　　　　　　． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）甲、乙两人独立地解答一道相同数学题，若甲解对的概率是，乙解对的概率是，则甲、乙两人都解对这道题的概率为　　　　　　. 7．（2025·福建·学业水平合格考）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为　　　　　　　　　　． 8．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）明天甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为．假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响． （1）求明天甲、乙两地都不降雨的概率； （2）求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率． 9．（2025·浙江·学业水平合格考）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： （1）求甲和乙同时成功破译密码的概率； （2）求密码被成功破译的概率． 10．（2025·陕西·学业水平合格考）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． （1）若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； （2）求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 考点五 计数原理（共4题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（       ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）某校学生会体育部有4名学生，其中高一年级、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织学校篮球比赛，则这2名学生来自相同年级的概率为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·学业水平合格考）如果3个正整数可作为一个直角三角形的三边长，则称这三个数为一组勾股数．我国古代数学名著《周髀算经》中就有“勾广三，股修四，径隅五”，即指3，4，5为一组勾股数，现从2，4，6，8，10中任取3个数，则这三个数是一组勾股数的概率为（     ） A．0 B． C． D． 4．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）给定正整数，从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称具有性质． （1）判断2是否具有性质，2是否具有性质；（结论无需证明） （2）若具有性质，求的最大值； （3）若5具有性质，求的最小值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率·参考答案 5类高频考点 目 录 ✅考点一 随机事件的概率 ✅考点二 古典概型的概率 ✅考点三 事件的关系及概率的计算 ✅考点四 事件的独立性 ✅考点五 计数原理 考点一 随机事件的概率（共5题） 1．A 2．D 3．D 4．D 5．【详解】 （1）利用独立事件乘法公式求解； （2）利用对立事件的概率公式可求解. (1)小问详解： 设事件“甲地下雪”， 事件“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为. (2)小问详解： 甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为. 考点二 古典概型的概率（共15题） 1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．C 8．C 9．A 10．B 11．（或、、、的任意一个） 12． 13．①     ② 14． 15．## 考点三 事件的关系及概率的计算（共1题） 1．D 考点四 事件的独立性（共10题） 1．C 2．A 3．B 4．D 5．0.3## 6． 7．## 8．【详解】 （1）根据相互独立事件同时发生的概率公式可得解； （2）根据对立事件的概率公式可求解. (1)小问详解： 设“明天甲地不降雨”为事件，“明天乙地不降雨”为事件，则，， 因为甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，所以事件与事件相互独立， 根据相互独立事件同时发生的概率公式可得，， 所以明天甲、乙两地都不降雨的概率为； (2)小问详解： 设“明天甲、乙两地至少有一个地方降雨”为事件， 因为“甲、乙两地至少有一个地方降雨”的对立事件是“甲、乙两地都不降雨”， 由（1）知“甲、乙两地都不降雨”的概率为， 根据对立事件的概率公式，， 所以明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率为. 9．【详解】 （1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. (1)小问详解： 设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； (2)小问详解： 密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 10．【详解】 （1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. (1)小问详解： 将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． (2)小问详解： 设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 考点五 计数原理（共4题） 1．C 2．B 3．B 4．【详解】 （1）根据性质的定义进行判断即可； （2）根据性质的定义，先求得时，不存在和为0的3个数，再证明时，能够找到3个数使得3个数和为0； （3）分别讨论与时，5是否具有性质即可. (1)小问详解： 证明2不具有性质： 从区间中的个整数中任取个不同的整数， 若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质. 以下举出反例：取个不同的整数为， 于是取其中3个数有如下可能：， 分别计算三个数的和可知，三个数的和均不为0，所以2不具有性质. 证明2具有性质： 从区间中的个整数中任取个不同的整数， 若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质. 取个不同的整数为，取可知这3个数和为0， 所以2具有性质. 综上所述，2不具有性质；2具有性质． (2)小问详解： 的最大值为3． 设所选出的5个数组成的集合记为． 当时，取，此时中不存在和为0的3个数． 当时， ①若，令，，， 则从，，，1，2，3这6个数中选4个数， 必有2个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． ②若，令，， 则从，，，1，2，3这6个数中选5个数，必有3个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． 综上，的最大值为3． (3)小问详解： 当时，设所选出的个数组成的集合记为． 若，则取，此时中不存在和为0的3个数． 所以．下证：5具有性质． ①若中至多有2个数属于， 则中至少有5个数在中，由（2）知，得证． ②若中至少有3个数属于，则其中必有2个数同号． 不妨设． 若或，得证，否则中至多有3个正数． 当时，若，得证； 若，则中至少有4个负数，且， 集合和必有1个集合包含于，得证． 当时，，中至多有2个正数，若，得证； 若，则，得证． 综上，5具有性质，即的最小值为7． 【点睛】 本题的关键是抓住从区间中具有性质的定义，从简单情况入手，对可能的情况依次讨论，最终获解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率 5类高频考点 目 录 ✅考点一 随机事件的概率 ✅考点二 古典概型的概率 ✅考点三 事件的关系及概率的计算 ✅考点四 事件的独立性 ✅考点五 计数原理 考点一 随机事件的概率（共5题） 1．（2026·广东·学业水平合格考）抛2枚硬币，事件A：第一枚正面朝上，事件B：第二枚硬币反面朝上，下列选项正确的是（       ） A． B． C．A、B互斥 D．A、B相互对立 【答案】A 【分析】 分别求事件A与事件B结合互斥、对立事件判断BCD；结合古典概型判断A. 【详解】 抛2枚硬币，总事件有：正正、正反、反正、反反， 则事件A：正正、正反；事件B：正反、反反； 可知事件A与事件B不相等，故B错误； 事件AB：正反，可知事件A、B不互斥，更不可能对立，故CD错误； 则，，故，故A正确； 故选：A. 2．（2026·浙江·学业水平合格考）某人独立射箭2次，设事件A为“至多有1次射中”，则事件A的对立事件是（     ） A．恰有1次射中 B．两次都未射中 C．至多有1次射中 D．两次都射中 【答案】D 【分析】 根据对立事件的定义，明确事件包含的所有射中情况，求其补集即可得到对立事件. 【详解】 独立射箭次时，射中次数的所有可能取值为，，， 对应三类基本事件：两次都未射中、恰有1次射中、两次都射中， 事件“至多有1次射中”包含“两次都未射中”和“恰有1次射中”两类基本事件， 故事件的对立事件为“两次都射中”. 3．（2025·辽宁·学业水平合格考）2025年春节将要到来，某商场为了增加客流量，决定举办“购物得奖券”活动，规定购买一定价值的商品的顾客均可获得一张奖券，中奖的概率为，不中奖的概率为．现在两个人各有一张奖券，两张奖券是否中奖相互独立，则两张奖券中恰有一张中奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式，列式计算即得. 【详解】 依题意，两张奖券中恰有一张中奖的概率为. 故选：D 4．（2025·山东·学业水平合格考）抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（       ） A．抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B．抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C．重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D．重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 【答案】D 【详解】 A选项：抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，所以抛掷1次硬币，事件发生的概率为，故选项A错误； B选项：抛掷10次硬币，事件发生的次数是随机的，不一定是5次，故选项B错误； C选项：频率是指在多次试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是指事件发生的可能性的大小，是一个固定值，重复抛掷硬币，事件发生的频率会随着抛掷次数的变化而变化，它不一定等于事件发生的概率，故选项C错误； D选项：根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性，重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5，故选项D正确. 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）2026年春节，甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4.甲、乙两地是否下雪是相互独立的. （1）求2026年春节，甲、乙两地都下雪的概率； （2）求2026年春节，甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用独立事件乘法公式求解； （2）利用对立事件的概率公式可求解. (1)小问详解： 设事件“甲地下雪”， 事件“乙地下雪”， 因为甲地下雪的概率为0.3，乙地下雪的概率为0.4，所以, 又两地是否下雪是相互独立的，所以甲、乙两地都下雪的概率为. (2)小问详解： 甲、乙两地至少有一个地方没有下雪的概率为. 考点二 古典概型的概率（共15题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）某学校启用了“智慧食堂”系统，在该系统中，学生通过人脸识别或刷卡两种方式进行结算．若甲、乙两名学生每人从这两种方式中随机选择一种进行结算，则至少有一人选择人脸识别的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用古典概型即可. 【详解】 记学生甲通过人脸识别为，刷卡为；学生乙通过人脸识别为，刷卡为. 则样本空间为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的样本点为，共种. 所以至少有一人选择人脸识别的概率为. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 3．（2026·浙江·学业水平合格考）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标注数字），则向上一面点数为1的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 抛掷一次时，这六个数字中的任何一个朝上的可能性都是相等的， 因此，总共有6种等可能的结果， 所以所求概率为. 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率是（       ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】 利用古典概型的概率公式计算求解即可. 【详解】 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现的所有可能为“正正”，“正反”，“反正”，“反反”， 所以出现“一枚正面朝上，一枚反面朝上”的概率， 故选：C 5．（2025·四川·学业水平合格考）抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据古典概型的概率个数即可求解. 【详解】 抛掷两个质地均匀的骰子,总的基本事件个数为种，其中“抛掷的两个骰子的点数之和是6”包含共5种， 故概率为， 故选：C 6．（2025·江苏·学业水平合格考）从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果能被5整除的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先列出总的可能情况，然后根据条件求概率即可. 【详解】 从2，3，5这三个数中随机地取两个不同的数相乘，其结果可能是6，10，15，它们是等可能的， 结果能被5整除的有10和15两个，所以结果能被5整除的概率为. 故选：D. 7．（2025·河南·学业水平合格考）一个袋子中有4个球，其中有2个白色球（标号为1和2），2个黑色球（标号为3和4），这4个球除颜色和标号外完全相同，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则摸出的2个球颜色相同的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用古典概率模型求概率即可得到答案. 【详解】 试验的样本空间，所以. 记“摸出的2个球颜色相同”为事件， 则，所以， 所以，故摸出的2个球颜色相同的概率为. 故选：C. 8．（2025·贵州·学业水平合格考）连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 列举出两次抛掷硬币的所有结果，根据古典概型的概率公式计算即可． 【详解】 共有“正反”，“正正”，“反正”，“反反”一共4种可能，则两次抛掷的结果都是正面朝上的概率为． 故选：C. 9．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将4罐这种饮料装成一箱，其中2罐是中奖饮料，若从一箱中随机一次性抽出2罐饮料（每罐饮料被抽出的概率相等），则抽出的饮料中有中奖饮料的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为，再列举求概率即可． 【详解】 根据题意，设中奖的2罐为，不中奖的2罐为， 从一箱中随机一次性抽出2罐饮料， 则有共6种情况， 符合题意的有5种， 抽出的饮料中有中奖饮料的概率． 故选：A． 10．（2025·福建·学业水平合格考）一个袋子中有三个不同颜色的球，分别为红、黄、蓝，从中任取一球，则抽中红球的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据古典概型求解即可. 【详解】 由题意，基本事件共3种：抽中红球、抽中黄球、抽中蓝球， 其中“抽中红球”包含的基本事件数为1， 所以抽中红球的概率. 11．（2026·湖南·学业水平合格考）抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，记事件“第一枚出现奇数点”，事件“两枚出现的点数之和为”．若和相互独立，且，则的一个可能取值是　　　　　　　　． 【答案】（或、、、的任意一个） 【分析】 根据独立事件的概率公式得出，然后列举法得出事件、所包含的样本点，验证即可. 【详解】 对于事件，第一枚出现奇数点，则奇数点可以是、、，由古典概型的概率公式可得， 由题意可知， 记第一枚骰子出现的点数为，第二枚骰子出现的点数为，则、， 若事件、相互独立，则，即，整理可得， 当时，，，不满足，不符合题意； 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，不满足，不符合题意； 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，不满足，不符合题意； 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，不满足，不符合题意； 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，不满足，不符合题意； 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，不满足，不符合题意. 故实数的值为（或、、、中的一个）. 12．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）高三年级某班组织学生到甲、乙两个社区宣讲垃圾分类知识．该班某同学根据班委会规定，通过摸球方式选择到哪个社区宣讲垃圾分类知识．现有一个不透明的袋子中有16个除颜色外大小质地完全相同的球，其中7个白球，9个黑球．该同学从这个袋子中随机摸出1个球．若摸出的是白球，则到甲社区宣讲；若摸出的是黑球，则到乙社区宣讲．该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用古典概型的概率公式即可求解. 【详解】 设该同学到乙社区宣讲垃圾分类知识的概率为， 根据古典概型的概率公式可得，. 故答案为：. 13．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为　　　　　　　　；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据古典概型的概率公式可得空1的答案；根据独立事件同时发生的概率公式可得空2的答案. 【详解】 因为学生甲得到“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”图案的概率相等，所以学生甲得到“金面罩”图案的概率为：. 因为学生乙和学生丙得到“铜神兽”图案的概率均为，且相互独立，所以学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为：. 故答案为：； 14．（2025·陕西·学业水平合格考）一个袋中装有大小和质地相同的个小球，标号分别为，从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为. 设事件“为偶数”，事件“”，则　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】 记摸出两个小球的标号对应的有序数组为， 样本空间， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 15．（2025·山东·学业水平合格考）某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是　　　　　　　　　. 【答案】## 【详解】 该试验属于古典概型，所有等可能的基本事件总数为4，对应4名不同的成员. 记“女生被选中”为事件，事件包含的基本事件数为2，对应2名女生. 根据古典概型概率公式  考点三 事件的关系及概率的计算（共1题） 1．（2025·四川·学业水平合格考）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（       ） A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球” 【答案】D 【分析】 根据互斥事件与对立事件的概念分析可得. 【详解】 从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑､2红､2黑， 对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D. 考点四 事件的独立性（共10题） 1．（2025·湖南·学业水平合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】 已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 2．（2025·江苏·学业水平合格考）天气预报某时段甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一个地方降雨的概率为（     ） A．0.44 B．0.5 C．0.56 D．0.6 【答案】A 【分析】 利用对立事件求‘至少一个发生’的概率：“先计算两地都不降雨的概率，再用1减去该概率得到至少有一个地方降雨的概率”即可. 【详解】 “设“甲地降雨”为事件A，“乙地降雨”为事件B， 则，， “甲乙两地都不降雨”即事件与同时发生，即， ，， 利用独立事件的性质可知，事件与相互独立， 所以， 所以甲乙两地至少有一个地方降雨的概率为． 故选：A． 3．（2025·河南·学业水平合格考）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，则这份密码被成功破译的概率为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码被破译的概率为：，据此可得答案. 【详解】 设甲，乙破译密码分别为事件A，B，则密码不被任何人破译概率为： ， 从而密码被破译概率为：. 故选：B 4．（2025·湖北·学业水平合格考）为弘扬中华优秀传统文化，增强文化自信，幸福社区组织元宵节猜灯谜活动．甲、乙两人各猜一个谜语，甲猜对的概率为，乙猜对的概率为．甲和乙猜对与否互不影响，则甲、乙至少有1人猜对的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用对立事件的概率性质，先计算甲、乙两人均未猜对的概率，再用1减去该概率得到所求结果。 【详解】 设事件为“甲猜对谜语”，事件为“乙猜对谜语”，，，，， 由题意可知与相互独立，则 与相互独立， “甲、乙至少有1人猜对”的对立事件为“甲、乙两人均未猜对”， 所以甲、乙至少有1人猜对的概率为： . 5．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知事件与事件相互独立，且，，则　　　　　　． 【答案】0.3## 【分析】 利用相互独立事件概率乘法公式求解即可得. 【详解】 因为事件与事件相互独立，所以. 故答案为： 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）甲、乙两人独立地解答一道相同数学题，若甲解对的概率是，乙解对的概率是，则甲、乙两人都解对这道题的概率为　　　　　　. 【答案】 【分析】 甲、乙两人解对这道题的概率相互独立，根据独立事件的概率乘法公式求解即可. 【详解】 根据题意，甲、乙两人解对这道题的概率相互独立，则甲、乙两人都解对这道题的概率为. 故答案为：. 7．（2025·福建·学业水平合格考）天气预报测出端午节当天会下雨，已知甲地下雨概率为0.7，乙地下雨的概率为0.5．且两地下雨互不影响，则甲乙两地都下雨的概率为　　　　　　　　　　． 【答案】## 【分析】 根据事件的独立性，利用独立事件的概率乘法公式计算两地同时下雨的概率. 【详解】 设”甲地下雨”为事件，”乙地下雨”为事件，则，. 由两地下雨互不影响，可知事件与相互独立. 因此，甲乙两地都下雨的概率为. 8．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）明天甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为．假设明天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响． （1）求明天甲、乙两地都不降雨的概率； （2）求明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据相互独立事件同时发生的概率公式可得解； （2）根据对立事件的概率公式可求解. (1)小问详解： 设“明天甲地不降雨”为事件，“明天乙地不降雨”为事件，则，， 因为甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，所以事件与事件相互独立， 根据相互独立事件同时发生的概率公式可得，， 所以明天甲、乙两地都不降雨的概率为； (2)小问详解： 设“明天甲、乙两地至少有一个地方降雨”为事件， 因为“甲、乙两地至少有一个地方降雨”的对立事件是“甲、乙两地都不降雨”， 由（1）知“甲、乙两地都不降雨”的概率为， 根据对立事件的概率公式，， 所以明天甲、乙两地至少有一个地方降雨的概率为. 9．（2025·浙江·学业水平合格考）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： （1）求甲和乙同时成功破译密码的概率； （2）求密码被成功破译的概率． 【答案】（1）0.3     （2）0.8      【分析】 （1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. (1)小问详解： 设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； (2)小问详解： 密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 10．（2025·陕西·学业水平合格考）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． （1）若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； （2）求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 【答案】（1）元     （2）      【分析】 （1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. (1)小问详解： 将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． (2)小问详解： 设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 考点五 计数原理（共4题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）北京中轴线纵贯北京老城中心，北起钟鼓楼，南至永定门，途经多处著名景点，展现了中国传统都城规划理念及“中”“和”哲学思想的深刻内涵．为传播北京中轴线文化，某社会实践活动小组准备从北京中轴线上的万宁桥、景山、故宫和天安门4个景点中随机选取2个景点做策划方案，则选取的2个景点包含故宫的概率是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 基本事件总数，包含故宫的基本事件个数，由此即可求出概率． 【详解】 在4个著名景点中随机选择2个景点，总的选法有：， 其中包含故宫的有：， 则概率． 故选：C． 2．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）某校学生会体育部有4名学生，其中高一年级、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织学校篮球比赛，则这2名学生来自相同年级的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算得解. 【详解】 从4名学生中任取2名的试验有个基本事件， 这2名学生来自相同年级的事件有个基本事件， 所以所求概率为. 故选：B 3．（2025·湖北·学业水平合格考）如果3个正整数可作为一个直角三角形的三边长，则称这三个数为一组勾股数．我国古代数学名著《周髀算经》中就有“勾广三，股修四，径隅五”，即指3，4，5为一组勾股数，现从2，4，6，8，10中任取3个数，则这三个数是一组勾股数的概率为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，利用组合数计算基本事件的总数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】 由题意得，从中任取3个数，共有种不同的选法， 这三个数是一组勾股数有且仅有， 所以这三个数是一组勾股数的概率为. 4．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）给定正整数，从区间中的个整数中任取个不同的整数，若这个整数中存在和为0的3个数，则称具有性质． （1）判断2是否具有性质，2是否具有性质；（结论无需证明） （2）若具有性质，求的最大值； （3）若5具有性质，求的最小值． 【答案】（1）2不具有性质；2具有性质．     （2）3     （3）7      【分析】 （1）根据性质的定义进行判断即可； （2）根据性质的定义，先求得时，不存在和为0的3个数，再证明时，能够找到3个数使得3个数和为0； （3）分别讨论与时，5是否具有性质即可. (1)小问详解： 证明2不具有性质： 从区间中的个整数中任取个不同的整数， 若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质. 以下举出反例：取个不同的整数为， 于是取其中3个数有如下可能：， 分别计算三个数的和可知，三个数的和均不为0，所以2不具有性质. 证明2具有性质： 从区间中的个整数中任取个不同的整数， 若这个整数中存在和为0的3个数，则称2具有性质. 取个不同的整数为，取可知这3个数和为0， 所以2具有性质. 综上所述，2不具有性质；2具有性质． (2)小问详解： 的最大值为3． 设所选出的5个数组成的集合记为． 当时，取，此时中不存在和为0的3个数． 当时， ①若，令，，， 则从，，，1，2，3这6个数中选4个数， 必有2个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． ②若，令，， 则从，，，1，2，3这6个数中选5个数，必有3个数属于同一个集合，此时中存在和为0的3个数． 综上，的最大值为3． (3)小问详解： 当时，设所选出的个数组成的集合记为． 若，则取，此时中不存在和为0的3个数． 所以．下证：5具有性质． ①若中至多有2个数属于， 则中至少有5个数在中，由（2）知，得证． ②若中至少有3个数属于，则其中必有2个数同号． 不妨设． 若或，得证，否则中至多有3个正数． 当时，若，得证； 若，则中至少有4个负数，且， 集合和必有1个集合包含于，得证． 当时，，中至多有2个正数，若，得证； 若，则，得证． 综上，5具有性质，即的最小值为7． 【点睛】 本题的关键是抓住从区间中具有性质的定义，从简单情况入手，对可能的情况依次讨论，最终获解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $