专题04 指数函数、对数函数和幂函数（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题04 指数函数、对数函数和幂函数 7类高频考点 目 录 ✅考点一 指数幂的运算 ✅考点二 指数函数及图像 ✅考点三 指数函数的单调性 ✅考点四 对数运算 ✅考点五 对数函数及其图像 ✅考点六 对数函数的单调性 ✅考点七 幂函数 考点一 指数幂的运算（共7题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）的值为（        ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（     ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·学业水平合格考）若，则（     ） A． B． C．2 D．4 5．（2025·贵州·学业水平合格考）计算的值为（       ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数，且，若，则（       ） A． B． C． D． 7．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）　　　　　　． 考点二 指数函数及图像（共10题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）函数的图象过点（       ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）设，，则，，1的大小关系为（       ） A． B． C． D． 3．（2026·广东·学业水平合格考）已知函数 ，若函数在上单调递增，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·学业水平合格考）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练t小时，得到的数据量个单位，其中N0为常数，则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为（       ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 5．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）已知函数．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数在上的最大值为（     ） A． B． C．6 D．36 7．（2025·湖南·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏·学业水平合格考）已知，则（     ） A． B． C． D． 9．（2025·河南·学业水平合格考）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的，则（       ） A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10 10．（2025·贵州·学业水平合格考）下列函数在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 考点三 指数函数的单调性（共2题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北·学业水平合格考）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 考点四 对数运算（共12题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）七巧板是我国的一种传统益智玩具，由七块板组成，用它们可以拼出丰富的图案.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形由七巧板拼成（①②③⑤⑦均为等腰直角三角形，④为正方形，⑥为平行四边形）.若对数函数的图象经过这七个点中的两个点，则（       ） A．2 B． C． D． 2．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）（     ） A． B． C．2 D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）（       ） A．4 B．3 C．1 D．0 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（     ） A． B．0 C． D．1 5．（2025·湖南·学业水平合格考）（      ） A． B． C． D．2 6．（2025·江苏·学业水平合格考）设，则（     ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（       ） A．2 B．3 C．4 D．27 8．（2025·山东·学业水平合格考）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（       ） A．6 B．30 C．60 D．120 9．（多选题）（2025·湖北·学业水平合格考）习近平总书记多次强调“绿水青山就是金山银山”．为深入学习贯彻习近平生态文明思想，复兴中学开展了河流水质监测评估的跨学科主题实践活动．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，则（     ） A．当时，有 B．当时，有 C．当时，由，可得 D．当时，由，可得 10．（2026·广东·学业水平合格考）计算：　　　　　　． 11．（2025·辽宁·学业水平合格考）计算：　　　　　　　　　　　． 12．（2025·湖南·学业水平合格考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则　　　　　． 考点五 对数函数及其图像（共8题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（     ） A． B．10 C． D． 2．（2026·湖南·学业水平合格考）设，，，则（       ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州·学业水平合格考）已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 7．（2025·福建·学业水平合格考）对数函数经过点（       ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江·学业水平合格考）已知，则　　　　　　　　． 考点六 对数函数的单调性（共3题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）设，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西·学业水平合格考）已知函数，． （1）若，解不等式； （2）函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 考点七 幂函数（共2题） 1．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列函数中，在上单调递减的为（       ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）下列命题为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、对数函数和幂函数 7类高频考点 目 录 ✅考点一 指数幂的运算 ✅考点二 指数函数及图像 ✅考点三 指数函数的单调性 ✅考点四 对数运算 ✅考点五 对数函数及其图像 ✅考点六 对数函数的单调性 ✅考点七 幂函数 考点一 指数幂的运算（共7题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）的值为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ． 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】 . 故选：D 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由幂的运算性质可得答案. 【详解】 . 故选：D 4．（2025·江苏·学业水平合格考）若，则（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】 根据指数幂的运算解方程即可． 【详解】 ，则． 故选：D． 5．（2025·贵州·学业水平合格考）计算的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用根式、指数幂的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：B. 6．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数，且，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 A选项，， 由于不一定相等，故A不正确； B选项，， 故，故B正确； C选项，， 由于不一定相等，故C不正确； D选项，， 由于不一定相等，故D不正确. 7．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用指数和对数的运算性质计算可得所求代数式的值. 【详解】 原式. 故答案为：. 考点二 指数函数及图像（共10题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）函数的图象过点（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当时，，则函数的图象过点，故选项A错，B对； 当时，，则函数的图象过点，故选项C错； 当时，，则函数的图象过点，故选项D错. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）设，，则，，1的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为，， 所以. 3．（2026·广东·学业水平合格考）已知函数 ，若函数在上单调递增，则的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 结合二次函数的单调性，利用分段函数单调性法则列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数 在上单调递增，所以 ， 解得． 故选：B 4．（2026·湖南·学业水平合格考）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练t小时，得到的数据量个单位，其中N0为常数，则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为（       ） A．1小时 B．2小时 C．3小时 D．4小时 【答案】A 【详解】 设训练得到个单位的数据量的时间为， 训练得到个单位的数据量的时间为， ，， ，解得， 则训练得到个单位的数据量与个单位的数据量所需时间差为1小时． 5．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）已知函数．若，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用已知函数得单调性求闭区间上的函数值域即可. 【详解】 因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数在上的最大值为（     ） A． B． C．6 D．36 【答案】C 【分析】 利用指数函数单调性求出最大值. 【详解】 函数在上单调递增，当时，. 所以函数在上的最大值为6. 故选：C 7．（2025·湖南·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用对数、指数函数单调性分析即可． 【详解】 对数函数单调递增，故， 又因为指数函数单调递增，故． 所以. 故选：D． 8．（2025·江苏·学业水平合格考）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】 根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 9．（2025·河南·学业水平合格考）已知放射性元素氡的半衰期是3.82天．质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的，则（       ） A．488.96 B．122.24 C．22.92 D．19.10 【答案】C 【分析】 根据题意半衰期的定义，经过天后，氡的质量为，再列方程求解即可得答案. 【详解】 设放射性元素氡每天的衰减率为， 则经过1天后，氡的质量为， 则经过2天后，氡的质量为， …… 则经过天后，氡的质量为， 因为放射性元素氡的半衰期是3.82天， 所以，即， 所以，即， 所以经过天后，氡的质量为， 因为质量为的氡经过天衰变后，其质量为原来的， 所以，即，解得， 所以. 故选：C 10．（2025·贵州·学业水平合格考）下列函数在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数单调性逐项判断即可． 【详解】 对于A，一次函数是增函数，在区间上单调递增，符合题意； 对于B，是减函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于C，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意； 对于D，是指数函数，且，故是减函数， 在区间上单调递减，不符合题意． 故选：A． 考点三 指数函数的单调性（共2题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】 由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 2．（2025·湖北·学业水平合格考）已知、是函数的图象上两个不同的点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】 根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 考点四 对数运算（共12题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）七巧板是我国的一种传统益智玩具，由七块板组成，用它们可以拼出丰富的图案.如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形由七巧板拼成（①②③⑤⑦均为等腰直角三角形，④为正方形，⑥为平行四边形）.若对数函数的图象经过这七个点中的两个点，则（       ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】 先确定点的坐标，再代入计算判断求解. 【详解】 因为正方形的边长为4，则， 当时，函数的图象只经过一个点，不合题意； 当时，函数的图象经过两个点，符合题意； 当时，函数的图象不经过点，不符合题意； 当时，函数的图象不经过点，不符合题意； 所以当对数函数的图象经过这七个点中的两个点，则. 2．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】 根据对数的运算求解即可. 【详解】 . 故选：A 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）（       ） A．4 B．3 C．1 D．0 【答案】C 【分析】 利用对数的运算性质计算求解即可. 【详解】 由对数的运算性质可得， 故选：C 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】 利用对数运算计算即得. 【详解】 . 故选：D 5．（2025·湖南·学业水平合格考）（      ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】 根据对数的运算性质即可求解． 【详解】 根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 6．（2025·江苏·学业水平合格考）设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 运用对数的运算性质即可得解. 【详解】 . 故选：D. 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（       ） A．2 B．3 C．4 D．27 【答案】A 【分析】 根据题意，利用对数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】 根据对数的运算法则，可得. 故选：A. 8．（2025·山东·学业水平合格考）声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（       ） A．6 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】 将已知声强代入声强级计算公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】 由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 9．（多选题）（2025·湖北·学业水平合格考）习近平总书记多次强调“绿水青山就是金山银山”．为深入学习贯彻习近平生态文明思想，复兴中学开展了河流水质监测评估的跨学科主题实践活动．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好．若某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由变为，则（     ） A．当时，有 B．当时，有 C．当时，由，可得 D．当时，由，可得 【答案】AD 【分析】 由题意，不变，对公式变形得到，利用对数运算、对数函数单调性，逐个判断选项即可. 【详解】 A选项：由得，因为不变，所以为定值，，所以，所以，得，故选项A正确. B选项：由得，则，有， 即有无穷多组解，不能唯一确定，故选项B错误. C选项：由，得.因为是增函数，，所以， ，因为，所以，故选项C错误. D选项：由，得.因为是增函数，，所以， ，因为，所以，故选项D正确. 【点睛】 方法归纳：遇到新定义题型，先认真审题，读懂题意，做代数变形；定值条件下，比值关系可以约去常量. 易错归纳：由比例，只能得到倍数关系，不能确定具体数值；注意与成反比. 10．（2026·广东·学业水平合格考）计算：　　　　　　． 【答案】5 【分析】 根据指数与对数的计算求解. 【详解】 . 故答案为：5. 11．（2025·辽宁·学业水平合格考）计算：　　　　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 利用对数的运算法则即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 12．（2025·湖南·学业水平合格考）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则　　　　　． 【答案】9 【分析】 根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】 依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 考点五 对数函数及其图像（共8题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）声强级（单位：分贝）的计算公式为，其中I为声强，为基准声强．若两声源的声强级分别为，则（     ） A． B．10 C． D． 【答案】B 【详解】 由题设 ，可得 ，故 ，则. 2．（2026·湖南·学业水平合格考）设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为在上单调递增，所以，所以， 又，所以，即. 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据对数换底公式得解. 【详解】 ， 故选：A 4．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据对数的真数大于零列不等式求解即可. 【详解】 要使函数有意义， 则，解得， 即函数的定义域是， 故选：B. 5．（2025·贵州·学业水平合格考）已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据对数函数单调性比较大小. 【详解】 因为在上单调递增， 又因为，所以， 则. 故选：A. 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】 由函数有意义，则满足，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C. 7．（2025·福建·学业水平合格考）对数函数经过点（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 对于函数，令，则， 即函数经过点. 8．（2025·浙江·学业水平合格考）已知，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由对数定义可得答案. 【详解】 。 故答案为：. 考点六 对数函数的单调性（共3题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）设，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据对数的概念计算出a，根据负指数幂的概念计算出b，从而可以比较大小． 【详解】 ， ∴， 故选：D． 2．（2025·山东·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 3．（2025·陕西·学业水平合格考）已知函数，． （1）若，解不等式； （2）函数的图象过点． （i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围； （ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小． 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. (1)小问详解： 当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． (2)小问详解： （i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 考点七 幂函数（共2题） 1．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列函数中，在上单调递减的为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数解析式逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可. 【详解】 对于A，在上单调递增，不符合题意； 对于B，在上单调递增，不符合题意； 对于C，在上单调递增，不符合题意； 对于D，在上单调递减，符合题意. 故选：D 2．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）下列命题为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】 取特值可判断A；利用函数单调性判断BC；作差法判断D. 【详解】 对于A，当时，不等式不成立，故A是假命题； 对于B，因为函数在上单调递增，若，则，故B是真命题； 对于C，若，因为函数在上单调递增， 所以，故C是真命题； 对于D，若，则， 所以，故D是真命题. 故选：BCD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指数函数、对数函数和幂函数·参考答案 7类高频考点 目 录 ✅考点一 指数幂的运算 ✅考点二 指数函数及图像 ✅考点三 指数函数的单调性 ✅考点四 对数运算 ✅考点五 对数函数及其图像 ✅考点六 对数函数的单调性 ✅考点七 幂函数 考点一 指数幂的运算（共7题） 1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．B 7． 考点二 指数函数及图像（共10题） 1．B 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．D 9．C 10．A 考点三 指数函数的单调性（共2题） 1．A 2．B 考点四 对数运算（共12题） 1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．D 7．A 8．C 9．（多选题）AD 10．5 11．6 12．9 考点五 对数函数及其图像（共8题） 1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．A 8． 考点六 对数函数的单调性（共3题） 1．D 2．D 3．【详解】 （1）根据对数型函数的单调性解不等式即可； （2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小. (1)小问详解： 当时，，由， 得，所以， 解得， 所以不等式的解集为． (2)小问详解： （i）的图象过点，，解得， 所以． 又函数的图象与直线没有公共点， 所以方程无实数解，即方程无实数解． 令，，则， ，，则，， 即函数的值域为，所以实数的取值范围为． （ii）若恒成立，则恒成立， 又， 由，得，当且仅当时取等号， 所以，则，故实数的最大值为． 由已知，得，所以，即． 所以． 又在上单调递增，， 所以，故． 考点七 幂函数（共2题） 1．D 2．（多选题）BCD 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $