专题05 三角函数（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题05 三角函数 8类高频考点 目 录 ✅考点一 任意角和弧度制 ✅考点二 任意角的三角函数 ✅考点三 同角三角函数的关系 ✅考点四 三角函数的诱导公式 ✅考点五 三角函数的图像与性质 ✅考点六 三角函数图像变换 ✅考点七 三角恒等变换 ✅考点八 解三角形 考点一 任意角和弧度制（共5题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（       ） A．点O B．点P C．点Q D．点R 2．（2026·湖南·学业水平合格考）将化为弧度是（        ）. A． B． C． D． 3．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（       ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 5．（2025·江苏·学业水平合格考）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（     ） A． B． C． D． 考点二 任意角的三角函数（共12题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知，则可以是（       ） A．0 B． C． D． 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）（     ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）若，则角可以为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若，则为（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（     ） A．0 B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知点是角终边上的点，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2025·陕西·学业水平合格考）已知角的终边过点，则的值为（       ） A． B． C． D． 8．（2025·四川·学业水平合格考）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（       ） A． B． C． D． 9．（2025·江苏·学业水平合格考）已知角的终边经过点，且，则实数（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知是角终边上的一点，则（       ） A． B． C． D． 11．（2025·福建·学业水平合格考）已知，则是（       ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 12．（2026·广东·学业水平合格考）已知角的终边过点，则　　　　　　． 考点三 同角三角函数的关系（共10题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）已知α为第二象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若，则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，，则（       ） A．0 B． C．1 D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为第一象限角.若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·贵州·学业水平合格考）已知是函数的最小值，则（       ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知，若是第二象限角，则（       ） A． B． C． D． 7．（2025·福建·学业水平合格考）已知是第一象限角，，则（       ） A． B． C． D． 8．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知，则　　　　　　． 9．（2025·陕西·学业水平合格考）已知锐角满足，则　　　　　　　　　. 10．（2025·河南·学业水平合格考）已知． （1）求的值； （2）求的值． 考点四 三角函数的诱导公式（共7题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知，则（       ） A． B． C． D．2 2．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知，则（       ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若，则（       ） A． B． C． D． 5．（多选题）（2026·浙江·学业水平合格考）在中，下列恒等式一定成立的有（     ） A． B． C． D． 6．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数.给出下列三个结论： ①； ②； ③. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 7．（2026·广东·学业水平合格考）已知，求　　　　　　． 考点五 三角函数的图像与性质（共24题） 1．（2026·广东·学业水平合格考）函数，的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·学业水平合格考）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·学业水平合格考）函数在区间上的值域为（       ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D．1 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·学业水平合格考）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 7．（2025·江苏·学业水平合格考）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（     ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 8．（2025·河南·学业水平合格考）若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 9．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列直线中，是函数图象对称轴的为（       ） A． B． C． D． 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数，则的值域为（       ） A． B． C． D． 12．（2025·福建·学业水平合格考）函数的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（2025·湖北·学业水平合格考）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 14．（2025·陕西·学业水平合格考）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过　　　　　　　　　可以达到最高点（精确到1s）. 15．（2025·河南·学业水平合格考）已知函数，其中，若的图象经过点，则　　　　　　　　　　． 16．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 17．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数. （1）写出的最小正周期； （2）求在区间上的最小值. 18．（2026·浙江·学业水平合格考）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数图象的对称轴方程； （3）若，求的最大值． 19．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 20．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数. （1）写出的一个周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 21．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知函数. （1）求函数的最小值： （2）求使成立的的取值集合. 22．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）记锐角三角形的内角分别为，，，平面向量，平面向量，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 23．（2025·湖南·学业水平合格考）已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 24．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数的最小正周期与值域. 考点六 三角函数图像变换（共6题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 2．（2026·广东·学业水平合格考）为了得到的图像，只需将的图像（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 4．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．（2025·浙江·学业水平合格考）若想要得到函数的图象，只需要将的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 6．（2025·江苏·学业水平合格考）要得到函数的图像，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 考点七 三角恒等变换（共17题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）（     ） A． B． C． D．1 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（     ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）若，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（     ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏·学业水平合格考）已知，，，，则（     ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州·学业水平合格考）若，则（       ） A．0 B． C． D．1 9．（2025·湖北·学业水平合格考）已知，则的值为（       ） A． B． C． D． 10．（2025·山东·学业水平合格考）（       ） A． B． C． D． 11．（2025·山东·学业水平合格考）设则（       ） A． B． C． D． 12．（2025·湖南·学业水平合格考）　　　　　． 13．（2025·河南·学业水平合格考）已知，则　　　　　　　　　　. 14．（2026·广东·学业水平合格考）在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 15．（2025·浙江·学业水平合格考）已知函数，，． （1）已知，，求的值； （2）若的最小值为0，求a的值； （3）若对任意，存在，使得恒成立，求a的取值范围． 16．（2025·四川·学业水平合格考）已知． （1）求的值； （2）求的值． 17．（2025·福建·学业水平合格考）在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: （1）若，求． （2）若为角平分线，求的取值范围． 考点八 解三角形（共27题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）在中，，，，则（       ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在平行四边形中，，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．7 3．（2026·浙江·学业水平合格考）在中，角的对边分别为，已知，则边a的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·学业水平合格考）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（       ） A．1 B． C．2 D． 5．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）在中，，则（     ） A． B． C．4 D．6 6．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）在中，内角的对边分别为．若，则（     ） A．7 B． C． D．2 7．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（     ） A．9 B．12 C．15 D．18 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 9．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（     ） A． B． C． D．1 10．（2025·陕西·学业水平合格考）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（       ） A． B． C． D． 11．（2025·四川·学业水平合格考）在中，下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 12．（2025·江苏·学业水平合格考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（     ） A． B． C． D． 13．（2025·江苏·学业水平合格考）海上A，B两个小岛相距20 n mile，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离是（     ） A． mile B． mile C． mile D． mile 14．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（       ） A．4 B． C．3 D．2 15．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（       ） A． B． C． D． 16．（2025·湖北·学业水平合格考）在中，下列关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 17．（2025·山东·学业水平合格考）在中，角的对边分别为.若，则（       ） A．1 B． C． D．7 18．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知中，已知，则　　　　　　. 19．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则　　　　　　. 20．（2025·四川·学业水平合格考）在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为　　　　　　　　　. 21．（2025·河南·学业水平合格考）在中，内角的对边分别为，若，则　　　　　　　　　　． 22．（2025·山东·学业水平合格考）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是　　　　　　　　　. 23．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）在中，已知，，． （1）求； （2）如为的中点，求的长． 24．（2025·辽宁·学业水平合格考）在中，角的对边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求的面积． 25．（2025·湖南·学业水平合格考）已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 26．（2025·贵州·学业水平合格考）记的内角、、所对的边分别为、、，，. （1）若，求； （2）求的最大值； （3）若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 27．（2025·湖北·学业水平合格考）记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长． ①的面积为；②． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数 8类高频考点 目 录 ✅考点一 任意角和弧度制 ✅考点二 任意角的三角函数 ✅考点三 同角三角函数的关系 ✅考点四 三角函数的诱导公式 ✅考点五 三角函数的图像与性质 ✅考点六 三角函数图像变换 ✅考点七 三角恒等变换 ✅考点八 解三角形 考点一 任意角和弧度制（共5题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）如图，，，，是半径为1的圆上的四等分点，圆与数轴相切于原点．数轴上的点对应的数为，把数轴看成一个“皮尺”，将线段按逆时针方向缠绕到圆上，则点与圆上重合的点是（       ） A．点O B．点P C．点Q D．点R 【答案】C 【详解】 圆的半径，周长， 已知，，，是圆上的四等分点，则， 线段长度为，沿圆逆时针缠绕，从出发，走到，再走到， 故点与圆上重合的点是． 2．（2026·湖南·学业水平合格考）将化为弧度是（        ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 3．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）在平面直角坐标系中，角以为顶点，为始边，终边经过点，则角可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】 由角终边经过点，知，且为第四象限角. 故选：B 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则是第（       ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】 利用象限角的概念可得出结论. 【详解】 因为，故是第一象限角. 故选：A. 5．（2025·江苏·学业水平合格考）将时钟拨慢15分钟，分针转过的弧度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用分针转一周为60分钟，转过的角度的大小为，根据分钟占分钟的比例，即可得解. 【详解】 时间过去1小时，相当于分针转一圈，一圈的弧度为， 故将时钟拨慢15分钟，分针逆时针转过的弧度数为. 故选：D. 考点二 任意角的三角函数（共12题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知，则可以是（       ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以，当时，. 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用特殊角的三角函数值计算得解. 【详解】 依题意，. 故选：B 3．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）若，则角可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据特殊角的三角函数值，即可确定答案. 【详解】 由于， 故，则角可以为， 故选：C 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若，则为（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】 根据各象限三角函数符号特征判断即可 【详解】 由，得角的终边在y轴左侧，即第二或第三象限，或x轴负半轴， 由，得角的终边在第一或第三象限， 所以当时，为第三象限角. 故选：C 5．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数，函数可看作向左平移个单位得到，（     ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角函数图象的平移可得，进而求解. 【详解】 由题意知，图象向左平移个单位得， 即，所以. 故选：A 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知点是角终边上的点，则（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】 利用三角函数的定义直接求解. 【详解】 依题意，. 故选：B 7．（2025·陕西·学业水平合格考）已知角的终边过点，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用三角函数的定义求解. 【详解】 因为角的终边经过点， 所以. 故选：B 8．（2025·四川·学业水平合格考）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】 由已知得，. 故选：D. 9．（2025·江苏·学业水平合格考）已知角的终边经过点，且，则实数（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】 根据正切的定义求解即可. 【详解】 因为角的终边经过点， 所以，因为，所以， 解得. 故选：B. 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知是角终边上的一点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用任意角的三角函数的定义：若是角终边上的一点，则，求解 【详解】 是角终边上的一点，，. 故选：B. 11．（2025·福建·学业水平合格考）已知，则是（       ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【分析】 由三角函数的符号确定角所在的象限. 【详解】 由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 12．（2026·广东·学业水平合格考）已知角的终边过点，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据三角函数的定义求三角函数值. 【详解】 已知角的终边过点．可得，，则． 故答案为： 考点三 同角三角函数的关系（共10题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）已知α为第二象限角，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件和α为第二象限角确定值，即可求出. 【详解】解：由可得， 又α为第二象限角，所以. 所以. 故选：C. 【点睛】本题考查象限角的正切值求法，属于基础题. 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 借助同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】 . 故选：B. 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，，则（       ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】 利用同角三角函数关系求解即可. 【详解】 因为，， 所以， 故选：B 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为第一象限角.若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用同角的平方和为1，结合为第一象限角，可求的值. 【详解】 因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以. 故选：D. 5．（2025·贵州·学业水平合格考）已知是函数的最小值，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用辅助角化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值、诱导公式化简可得的值. 【详解】 因为， 其中为锐角，且，， 因为为函数的最小值，所以， 所以， 故，， 故. 故选：D. 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知，若是第二象限角，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题得，再利用同角的平方关系化简即得解. 【详解】 因为是第二象限角，所以. 故选：A. 7．（2025·福建·学业水平合格考）已知是第一象限角，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】 因为是第一象限角，所以. 8．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知，则　　　　　　． 【答案】## 【分析】 利用弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】 因为，则. 故答案为：. 9．（2025·陕西·学业水平合格考）已知锐角满足，则　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 先由同角三角函数的基本关系得出；再根据二倍角的正切公式得出；最后根据两角和的正切公式可求解. 【详解】 由锐角满足可得：，， 则， 所以. 故答案为： 10．（2025·河南·学业水平合格考）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用同角三角函数的基本关系求解即可. （2）利用诱导公式求解即可. (1)小问详解： 已知，则． 又，所以． (2)小问详解： ． 考点四 三角函数的诱导公式（共7题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知，则（       ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】 借助诱导公式计算即可得. 【详解】 . 2．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用诱导公式化简可得的值. 【详解】 由诱导公式可得. 故选：A. 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据诱导公式计算即可. 【详解】 因为，则. 故选：B 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用诱导公式直接计算即可. 【详解】 由诱导公式知. 故选：A 5．（多选题）（2026·浙江·学业水平合格考）在中，下列恒等式一定成立的有（     ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 由以及诱导公式即可求解. 【详解】 对于A选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 由诱导公式可得，故B错误； 对于C选项， 因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故C错误； 对于D选项，因为，所以，所以， 由诱导公式可得，故D正确. 6．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数.给出下列三个结论： ①； ②； ③. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　. 【答案】①②③ 【分析】 由三角函数的周期性结合诱导公式即可判断①②，对于③，额外讨论的正负并结合辅助角公式即可求解. 【详解】 ①，故①正确； ②， ， 所以，故②正确； ③若，即， 则， 则，此时， 若，即， 则， 则，此时， 综上，，故③正确. 7．（2026·广东·学业水平合格考）已知，求　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据三角函数的诱导公式计算即可. 【详解】 由三角函数的诱导公式可知，则． 故答案为：. 考点五 三角函数的图像与性质（共24题） 1．（2026·广东·学业水平合格考）函数，的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】 解：函数，的最小正周期为：. 故选：C. 【点睛】 本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题. 2．（2026·浙江·学业水平合格考）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ，， ，当且仅当时取等． 3．（2026·湖南·学业水平合格考）函数在区间上的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 令，当时，可得，原函数转化为，， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，；当时，； 当时，,因此在上的最大值为1，最小值为0， 故原函数的值域为 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】 由题结合正弦函数最小正周期计算公式可得答案. 【详解】 因，则最小正周期为：. 故选：C 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的最小正周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用余弦型函数周期公式列式得解. 【详解】 函数的最小正周期为. 故选：B 6．（2025·湖南·学业水平合格考）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】 先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】 因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 7．（2025·江苏·学业水平合格考）下表给出了某港口在某天几个时刻的水深： 时刻 水深／m 时刻 水深／m 时刻 水深／m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:00 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 以下函数中最能刻画水深与时刻之间的关系的是（     ） A．幂函数 B．指数函数 C．三角函数 D．对数函数 【答案】C 【分析】 根据因变量的数据的规律判断即可. 【详解】 根据表格的数据可以看出，因变量水深从0：00到3：00上升，从3：00到6：00下降， 从6：00到9：00下降，从9：00到12：00上升，从12：00到15：00上升，从15：00到18：00下降， 可以看出，符合三角函数的单调性规律，而幂函数、指数函数和对数函数没有这样的规律. 故选：C. 8．（2025·河南·学业水平合格考）若命题“”为真命题，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先分离参数构造函数，利用辅助角公式结合三角函数的图象即可求解. 【详解】 命题“”为真命题， 即在上恒成立， 设，则， 因为，则， 所以当即时，取得最小值为， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：B. 9．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的最小正周期为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，利用余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】 由函数，可得函数的最小正周期为. 故选：D. 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列直线中，是函数图象对称轴的为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据最值点与对称轴之间的关系，直接代入检验即可. 【详解】 对于选项A：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故A错误； 对于选项B：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故B错误； 对于选项C：因为，为最大值， 所以是函数的对称轴，故C正确； 对于选项D：因为，不为最值， 所以不是函数的对称轴，故D错误； 故选：C. 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数，则的值域为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用辅助角公式合成，再利用三角函数的值域求法可得答案. 【详解】  ， 因为，所以  的值域为 ， 故选：B. 12．（2025·福建·学业水平合格考）函数的图象是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据正弦函数的值域及函数图像的平移变换规律，结合特殊点坐标进行判断. 【详解】 由正弦函数的性质可知 ， 所以 ， 即函数  的值域为 ， 这意味着函数的图像应全部位于  轴上方（包含与  轴相切的情况），且最大值为 ， 观察四个选项： A 选项：图像过原点，且有负值，不符； B 选项：图像有负值，不符； D 选项：图像过原点，且有负值，不符； C 选项：图像全部在  轴上方，最大值为 ，且当  时 ，符合函数  的特征. 13．（2025·湖北·学业水平合格考）已知函数在一个周期内的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由图象可知函数的最小正周期， 所以，解得. 14．（2025·陕西·学业水平合格考）如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为2m. 设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）. 若以盛水筒刚出水面开始计时，则与时间（单位：s）之间的关系为（，，）．则盛水筒出水后至少经过　　　　　　　　　可以达到最高点（精确到1s）. 【答案】 【分析】 根据实际含义分别求的值，列方程，解简单三角方程得结果. 【详解】 振幅即为半径，即； 因为逆时针方向每分转1.5圈，所以； ； ， 所以，将代入， 可得， 得， 当时，. 故答案为： 15．（2025·河南·学业水平合格考）已知函数，其中，若的图象经过点，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据题意，得到，求得，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】 由函数的图象经过点，可得， 即，可得， 因为，所以，所以， 可得 故答案为：. 16．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦和角公式得即可求. （2）利用正弦型函数的性质即可. (1)小问详解： 因为， 所以. 所以． (2)小问详解： 因为，所以． 所以． 当，即时，取得最大值． 所以在区间上的最大值为． 17．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数. （1）写出的最小正周期； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）     （2）      【详解】(1)小问详解： 的最小正周期； (2)小问详解： 由，可得. 则当或， 即或时，取得最小值． 18．（2026·浙江·学业水平合格考）已知函数． （1）求的最小正周期； （2）求函数图象的对称轴方程； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）（2）先利用辅助角公式将化为正弦型标准形式，再根据正弦型函数的周期、对称轴性质求解即可； （3）通过降幂公式结合已知角的关系化简表达式，利用余弦函数的值域求最值即可. (1)小问详解：  ，故； (2)小问详解： 由（1）知，令，解得， 即图象的对称轴方程为； (3)小问详解：   ， 因此， 由得，代入得 ： ， 代入原式得，因为， 故，所以的最大值是8. 19．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的最大值，并写出取得最大值时的一个值. 【答案】（1）     （2）2，0（答案不唯一）      【分析】 （1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式求解. （2）利用余弦函数的最值及取最值的条件求解. (1)小问详解： 函数， 所以的最小正周期为. (2)小问详解： 函数的定义域为，则，， 当，即时，取得最大值2， 所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一） 20．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数. （1）写出的一个周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）(答案不唯一)     （2），.      【分析】 （1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. (1)小问详解： 因为， 所以为函数的一个周期. (2)小问详解： 当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，. 21．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知函数. （1）求函数的最小值： （2）求使成立的的取值集合. 【答案】（1）最小值是；     （2）      【分析】 （1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. (1)小问详解： 因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. (2)小问详解： 令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 22．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）记锐角三角形的内角分别为，，，平面向量，平面向量，已知. （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）因为，所以，所以.因为为锐角的内角，所以，所以，所以，所以.     （2）      【分析】 （1）首先对题干中的等式进行化简，求出的值，进而可求出的正切值. （2）首先将向量的数量积表示出来，并进行化简，然后根据角的范围求出向量数量积的范围即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 因为， 所以. 又，，所以， 而，所以， 所以. 所以，所以的取值范围为. 23．（2025·湖南·学业水平合格考）已知函数． （1）若，求函数的值域； （2）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. (1)小问详解： 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. (2)小问详解： 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 24．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数的最小正周期与值域. 【答案】最小正周期为，值域为. 【分析】 根据平移规则求得的表达式，再由周期公式和余弦函数值域求解即可. 【详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得到 ，所以最小正周期 ； 又因，故. 考点六 三角函数图像变换（共6题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 2．（2026·广东·学业水平合格考）为了得到的图像，只需将的图像（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】 根据三角函数平移变换求解即可. 【详解】 解：因为 所以，为了得到的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度． 故选：C． 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）要得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】D 【分析】 根据平移变换的原则即可得解. 【详解】 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位. 故选：D. 4．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有点（       ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】 借助平移变换的性质计算即可得. 【详解】 由， 故想要得到函数的图象， 只需要把函数的图象上所有点向左平移个单位长度. 故选：C. 5．（2025·浙江·学业水平合格考）若想要得到函数的图象，只需要将的图象（       ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】 由三角函数图象平移变换法则即可求解. 【详解】 由于， 所以若想要得到函数的图象， 只需要将的图象向左平移个单位. 故选：C. 6．（2025·江苏·学业水平合格考）要得到函数的图像，只需将函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】 根据平移变换“左加右减”的原则即可得解. 【详解】 根据平移变换“左加右减”的原则， 要得到函数的图像，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可. 故选：A. 考点七 三角恒等变换（共17题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）已知，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 直接利用余弦二倍角公式，代入已知的的值计算即可求解. 【详解】 因为，所以 ， 因此. 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】 由. 故选：B. 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：B 4．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据两角和的正弦公式化简后，根据正弦值求角即可. 【详解】 因为， 所以， 故选：B 5．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用同角的正余弦的平方关系，以及二倍角的正弦公式可求解. 【详解】 . 故选：A. 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 逆用两角和的正弦公式可得答案. 【详解】 由两角和的正弦公式可得：. 故选：A 7．（2025·江苏·学业水平合格考）已知，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值. 【详解】 因为，，，， 所以，， 所以. 故选：B. 8．（2025·贵州·学业水平合格考）若，则（       ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】 利用三角函数的二倍角公式，代入已知值求解即可. 【详解】 因为： 所以：. 故选：B. 9．（2025·湖北·学业水平合格考）已知，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用二倍角余弦公式计算可得. 【详解】 因为， 所以. 故选：C. 10．（2025·山东·学业水平合格考）（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 11．（2025·山东·学业水平合格考）设则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 结合二倍角的余弦公式即可求出结果. 【详解】 因此， 故选：D. 12．（2025·湖南·学业水平合格考）　　　　　． 【答案】#.5 【分析】 根据两角和的余弦公式即可求得． 【详解】 根据两角和的余弦公式可知． 故答案为：． 13．（2025·河南·学业水平合格考）已知，则　　　　　　　　　　. 【答案】## 【分析】 由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故答案为： 14．（2026·广东·学业水平合格考）在中，角所对的边分别是，且． （1）求边长的值； （2）求的面积． 【答案】（1）；     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理易得； （2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得. (1)小问详解： 由正弦定理得，， 则； (2)小问详解： 由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 15．（2025·浙江·学业水平合格考）已知函数，，． （1）已知，，求的值； （2）若的最小值为0，求a的值； （3）若对任意，存在，使得恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）首先求得，，然后代入函数表达式求解即可； （2）利用辅助角公式可得即，进而可得结果； （3）当时，求得，从而存在，使得，分离参数得，故只需求即可. (1)小问详解： ，且，，； (2)小问详解： 令，则，即， 根据辅助角公式（其中）， 可得：，其中， 则， 因为，所以，两边平方可得：，展开得，化简得，即， 因为的最小值为，所以，即，解得， 综上所述，； (3)小问详解： 对任意，存在，都有． 由于，当时，单调递增，单调递增，所以单调递减， 则， 即存在，使得，即， 而，则，， 所以， 其中， 则， 令， 又，所以，检验可知等号能够成立， 所以 ， 其中， 所以 ， 所以． 16．（2025·四川·学业水平合格考）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）直接用二倍角余弦公式即可得结果； （2）由三角恒等式求出，再根据两角差的正弦公式即可得结果. (1)小问详解： 因为， 所以. (2)小问详解： 因为，所以， 所以. 17．（2025·福建·学业水平合格考）在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: （1）若，求． （2）若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 (1)根据余弦定理代入求解. (2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解. (1)小问详解： 根据余弦定理，， 因为，，所以，解得. (2)小问详解： 设，由题意得，，，， 因为，所以， ， ， 因为，所以. 又因为，所以，. 考点八 解三角形（共27题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）在中，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 根据正弦定理得. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）如图，在平行四边形中，，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】 利用余弦定理直接求解即可. 【详解】 在中，， 由余弦定理可得 . 3．（2026·浙江·学业水平合格考）在中，角的对边分别为，已知，则边a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由正弦定理知. 4．（2026·湖南·学业水平合格考）记的内角，，的对边分别为，，．若，，则（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】 在中，，， 由余弦定理 ，得， 故. 5．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）在中，，则（     ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用余弦定理求解即可. 【详解】 依题意，. 故选：B 6．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）在中，内角的对边分别为．若，则（     ） A．7 B． C． D．2 【答案】B 【分析】 借助余弦定理计算即可得. 【详解】 ，则. 故选：B. 7．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）在中，内角的对边分别为．若，则的面积为（     ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】 由平方关系求出，利用三角形面积公式求解. 【详解】 ，， ， . 故选：A. 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）在中，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由正弦定理求解即可. 【详解】 由正弦定理，， 所以， 故选：D 9．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】 在中，由正弦定理得. 故选：C 10．（2025·陕西·学业水平合格考）在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由正弦定理、三角形内角和定理即可求解. 【详解】 由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以. 故选：D. 11．（2025·四川·学业水平合格考）在中，下列结论正确的是（       ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】 根据余弦函数、正切函数在上的单调性可分别判断A、B，根据诱导公式可判断C,利用正弦定理和三角形边角关系即可判断D.. 【详解】 对于A，因函数在上单调递减，且则.故A错误； 对于B，函数在上单调递增且大于零，在上单调递增且小于零. 所以当时，.故B错误； 对于C，因为，所以.故C错误； 对于D，因，则，由正弦定理，，可得，则，故D正确. 故选：D. 12．（2025·江苏·学业水平合格考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】 由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 13．（2025·江苏·学业水平合格考）海上A，B两个小岛相距20 n mile，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离是（     ） A． mile B． mile C． mile D． mile 【答案】A 【分析】 由正弦定理求边长即可． 【详解】 根据题意，作图如下： 则，故， 由正弦定理得，即， ． 故选：A． 14．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（       ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】 运用余弦定理进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 15．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】 由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 16．（2025·湖北·学业水平合格考）在中，下列关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据三角形的内角和定理与三角函数的诱导公式即可判断. 【详解】 依题意，在中，，所以，； 对于A，因为，所以A错误； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C错误； 对于D，因为，所以D错误. 故选：B. 17．（2025·山东·学业水平合格考）在中，角的对边分别为.若，则（       ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【详解】 在中，根据余弦定理：  ， 代入已知条件，且， 得：  ， 故. 18．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知中，已知，则　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用余弦定理即可得出结果 【详解】 中，， 根据余弦定理可得： 故 故答案为 【点睛】 本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握定理解决本题的关键，属于基础题． 19．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则　　　　　　. 【答案】#.25 【分析】 应用余弦定理计算求解. 【详解】 因为， 则. 故答案为：. 20．（2025·四川·学业水平合格考）在中,内角所对应的边分别为，若，，则的面积为　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】分析：由，，利用余弦定理可得，结合三角形的面积公式进行求解即可. 详解：因为，， 所以由余弦定理得：，即， 因此的面积为， 故答案为. 点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 21．（2025·河南·学业水平合格考）在中，内角的对边分别为，若，则　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据余弦定理列出关于的方程，然后解方程得到的值. 【详解】 在中，由余弦定理得， 得， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 故答案：2 22．（2025·山东·学业水平合格考）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是　　　　　　　　　. 【答案】## 【分析】 利用平行线的性质求出 和 的内角，结合正弦定理求出 的长，最后根据线段的和差关系求得 的长度. 【详解】 由题意可知 ， 所以 ，， 又因为 ，所以 ， 在 中，，， 由正弦定理 ， 得 ， 在 中，， 由正弦定理 ， 得 ， 因为 四点共线，且顺序如图所示， 所以 ， 故隧道 的长度是 . 23．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）在中，已知，，． （1）求； （2）如为的中点，求的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角； （2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. (1)小问详解： 因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. (2)小问详解： 由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 24．（2025·辽宁·学业水平合格考）在中，角的对边分别为，且满足． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：根据正弦定理，又，所以，而，∴或，∵，且，∴舍去，即成立．     （2）      【分析】 （1）由正弦定理可得，进而可求解； （2）由正弦定理可求得，可求面积. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： ∵，∴， 又，∴根据正弦定理可得：， ∴． 25．（2025·湖南·学业水平合格考）已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若的面积为，求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. (1)小问详解： 因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. (2)小问详解： 因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 26．（2025·贵州·学业水平合格考）记的内角、、所对的边分别为、、，，. （1）若，求； （2）求的最大值； （3）若内角的角平分线交边于点，且，求的面积. 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）利用正弦定理可求得的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值； （3）利用结合三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的值，结合三角形的面积公式可求得答案. (1)小问详解： 因为，，，由正弦定理，则. (2)小问详解： 由余弦定理结合基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. (3)小问详解： 因为内角的角平分线交边于点，且， 由，即， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，故，所以. 27．（2025·湖北·学业水平合格考）记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，再从条件①和条件②中选择一个作为已知，求的周长． ①的面积为；②． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）     （2）选条件①或②，周长均为      【详解】(1)小问详解： 由余弦定理可得，由题可知， 则，是的内角，，故. (2)小问详解： 选择条件①： 三角形面积公式为：，已知，，， 代入得：. 由余弦定理， 则，，， 则周长. 选择条件②： 已知，，， 根据正弦定理， 由余弦定理， 解得或，，，则周长. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数·参考答案 8类高频考点 目 录 ✅考点一 任意角和弧度制 ✅考点二 任意角的三角函数 ✅考点三 同角三角函数的关系 ✅考点四 三角函数的诱导公式 ✅考点五 三角函数的图像与性质 ✅考点六 三角函数图像变换 ✅考点七 三角恒等变换 ✅考点八 解三角形 考点一 任意角和弧度制（共5题） 1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 考点二 任意角的三角函数（共12题） 1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．B 10．B 11．A 12． 考点三 同角三角函数的关系（共10题） 1．C 2．B 3．B 4．D 5．D 6．A 7．D 8．## 9． 10．【详解】 （1）利用同角三角函数的基本关系求解即可. （2）利用诱导公式求解即可. (1)小问详解： 已知，则． 又，所以． (2)小问详解： ． 考点四 三角函数的诱导公式（共7题） 1．D 2．A 3．B 4．A 5．（多选题）AD 6．①②③ 7． 考点五 三角函数的图像与性质（共24题） 1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B 9．D 10．C 11．B 12．C 13．C 14． 15． 16．【详解】 （1）利用正弦和角公式得即可求. （2）利用正弦型函数的性质即可. (1)小问详解： 因为， 所以. 所以． (2)小问详解： 因为，所以． 所以． 当，即时，取得最大值． 所以在区间上的最大值为． 17．【详解】 (1)小问详解： 的最小正周期； (2)小问详解： 由，可得. 则当或， 即或时，取得最小值． 18．【详解】 （1）（2）先利用辅助角公式将化为正弦型标准形式，再根据正弦型函数的周期、对称轴性质求解即可； （3）通过降幂公式结合已知角的关系化简表达式，利用余弦函数的值域求最值即可. (1)小问详解：  ，故； (2)小问详解： 由（1）知，令，解得， 即图象的对称轴方程为； (3)小问详解：   ， 因此， 由得，代入得 ： ， 代入原式得，因为， 故，所以的最大值是8. 19．【详解】 （1）根据给定的函数，利用余弦函数的周期公式求解. （2）利用余弦函数的最值及取最值的条件求解. (1)小问详解： 函数， 所以的最小正周期为. (2)小问详解： 函数的定义域为，则，， 当，即时，取得最大值2， 所以取得最大值2时的一个值是0.（答案不唯一） 20．【详解】 （1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. (1)小问详解： 因为， 所以为函数的一个周期. (2)小问详解： 当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，. 21．【详解】 （1）利用二倍角的正弦公式化简原函数，结合正弦函数性质求解即可. （2）利用正弦函数性质求解不等式即可. (1)小问详解： 因为， 所以， 因为，所以， 故函数的最小值是. (2)小问详解： 令，则， 即，得到， 故，解得， 故使成立的的取值集合为. 22．【详解】 （1）首先对题干中的等式进行化简，求出的值，进而可求出的正切值. （2）首先将向量的数量积表示出来，并进行化简，然后根据角的范围求出向量数量积的范围即可. (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 因为， 所以. 又，，所以， 而，所以， 所以. 所以，所以的取值范围为. 23．【详解】 （1）通过三角恒等式、诱导公式、二倍角公式以及降幂公式进行化简，代入即可. （2）求解零点的分布，解得通解，再分析解的分布即可. (1)小问详解： 化简函数， 利用恒等式，，， 得到： ， 当时，，在的值域为， 所以若，函数的值域为. (2)小问详解： 令，解得， 则或， 即或， 在区间内，前两个非负解为，，后续解依次为，等， 为使恰好有两个零点，需满足， 因此，的取值范围为. 24．【详解】 根据平移规则求得的表达式，再由周期公式和余弦函数值域求解即可. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得到 ，所以最小正周期 ； 又因，故. 考点六 三角函数图像变换（共6题） 1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 考点七 三角恒等变换（共17题） 1．B 2．B 3．B 4．B 5．A 6．A 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．#.5 13．## 14．【详解】 （1）利用正弦定理易得； （2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得. (1)小问详解： 由正弦定理得，， 则； (2)小问详解： 由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 15．【详解】 （1）首先求得，，然后代入函数表达式求解即可； （2）利用辅助角公式可得即，进而可得结果； （3）当时，求得，从而存在，使得，分离参数得，故只需求即可. (1)小问详解： ，且，，； (2)小问详解： 令，则，即， 根据辅助角公式（其中）， 可得：，其中， 则， 因为，所以，两边平方可得：，展开得，化简得，即， 因为的最小值为，所以，即，解得， 综上所述，； (3)小问详解： 对任意，存在，都有． 由于，当时，单调递增，单调递增，所以单调递减， 则， 即存在，使得，即， 而，则，， 所以， 其中， 则， 令， 又，所以，检验可知等号能够成立， 所以 ， 其中， 所以 ， 所以． 16．【详解】 （1）直接用二倍角余弦公式即可得结果； （2）由三角恒等式求出，再根据两角差的正弦公式即可得结果. (1)小问详解： 因为， 所以. (2)小问详解： 因为，所以， 所以. 17．【详解】 (1)根据余弦定理代入求解. (2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解. (1)小问详解： 根据余弦定理，， 因为，，所以，解得. (2)小问详解： 设，由题意得，，，， 因为，所以， ， ， 因为，所以. 又因为，所以，. 考点八 解三角形（共27题） 1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A 8．D 9．C 10．D 11．D 12．C 13．A 14．C 15．C 16．B 17．C 18． 19．#.25 20． 21．2 22．## 23．【详解】 （1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角； （2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. (1)小问详解： 因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. (2)小问详解： 由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 24．【详解】 （1）由正弦定理可得，进而可求解； （2）由正弦定理可求得，可求面积. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： ∵，∴， 又，∴根据正弦定理可得：， ∴． 25．【详解】 （1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式求出的值，再利用余弦定理可求得的值. (1)小问详解： 因为，由正弦定理可得， 所以， ， 因为、，则，可得，故. (2)小问详解： 因为，可得， 由余弦定理可得 ， 因此，. 26．【详解】 （1）利用正弦定理可求得的值； （2）由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值； （3）利用结合三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可得出关于的方程，解出的值，结合三角形的面积公式可求得答案. (1)小问详解： 因为，，，由正弦定理，则. (2)小问详解： 由余弦定理结合基本不等式可得，即， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. (3)小问详解： 因为内角的角平分线交边于点，且， 由，即， 即，所以， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，故，所以. 27．【详解】 (1)小问详解： 由余弦定理可得，由题可知， 则，是的内角，，故. (2)小问详解： 选择条件①： 三角形面积公式为：，已知，，， 代入得：. 由余弦定理， 则，，， 则周长. 选择条件②： 已知，，， 根据正弦定理， 由余弦定理， 解得或，，，则周长. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $