专题06 平面向量和复数（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题06 平面向量和复数 4类高频考点 目 录 ✅考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 ✅考点二 平面向量的线性运算 ✅考点三 平面向量的数量积 ✅考点四 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示（共18题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）已知G是的重心，过点G的一条直线分别交边于点M，交边于点N，满足，则下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知向量，若，则实数（       ） A． B． C．1 D．4 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）已知平面向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知向量，，若，则（       ） A． B．1 C． D．4 5．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）下列向量中，与向量共线的是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（     ） A．5 B．15 C．40 D．60 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知点，点，则（     ） A． B． C． D． 8．（2025·浙江·学业水平合格考）已知向量，，且，则x的值是（       ） A．1 B． C．2 D． 9．（2025·陕西·学业水平合格考）已知平面向量，，若，则（       ） A． B． C． D． 10．（2025·河南·学业水平合格考）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（       ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州·学业水平合格考）向量，，则（       ） A． B． C． D． 12．（2025·贵州·学业水平合格考）已知向量，则（       ） A．1 B． C． D． 13．（2025·福建·学业水平合格考）已知，．则（       ） A． B． C． D． 14．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，则线段的中点坐标为　　　　　　　　　　. 15．（2025·河南·学业水平合格考）已知向量，，且，则　　　　　　． 16．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若与共线，则的值为　　　　　　　　 17．（2025·湖北·学业水平合格考）已知点．若是线段的中点，则（1）　　　　　　　　　　；（2）　　　　　　　　　　． 18．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知． （1）求点的坐标和； （2）求． 考点二 平面向量的线性运算（共13题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知为等边三角形的中心，则（       ） A． B． C． D． 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（       ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，在中，（       ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（     ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·学业水平合格考）在平行四边形中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏·学业水平合格考）在平行四边形中，为与的交点，则（     ） A． B． C． D． 7．（2025·福建·学业水平合格考）已知向量和，则，，则（       ） A． B． C． D． 8．（2025·湖北·学业水平合格考）如图，在中，，设，则（     ） A． B． C． D． 9．（2026·广东·学业水平合格考）如图，在中，，用表示，则　　　　　　． 10．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则　　　　　　． 11．（2025·福建·学业水平合格考）已知，，点P满足，求点到直线距离为　　　　　　　　　　 12．（2025·山东·学业水平合格考）已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为　　　　　　　　　. 13．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. （1）当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） （2）（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 考点三 平面向量的数量积（共26题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知向量，．若，则实数（       ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知，，向量与向量的夹角为，则（       ） A． B． C．1 D． 3．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知向量，则（       ） A． B． C． D． 4．（2026·广东·学业水平合格考）已知向量，且，则（       ） A． B．2 C． D．4 5．（2026·浙江·学业水平合格考）已知平面向量，若，则实数（     ） A． B．3 C． D． 6．（2026·湖南·学业水平合格考）已知向量与的夹角为，，，则（       ） A． B． C． D． 7．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知菱形的边长为2，，则（     ） A．4 B．2 C．1 D． 9．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知向量，向量，则（       ） A．20 B．17 C．8 D．0 10．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知向量，则向量的模（长度）为（       ） A． B．0 C． D．1 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知平面向量，.若，则（     ） A． B． C．1 D．2 12．（2025·浙江·学业水平合格考）在矩形中，，，F为上靠近点B的三等分点，E为上的中点，连接，，与交于点M，则（       ） A． B． C． D． 13．（2025·四川·学业水平合格考）已知，，且，则x等于（       ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 14．（2025·湖南·学业水平合格考）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·河南·学业水平合格考）已知向量满足，且与的夹角为，则（       ） A．6 B． C． D．12 16．（2025·贵州·学业水平合格考）在边长为2的正方形中，（       ） A． B．0 C．2 D．4 17．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若向量，满足，，，则（       ） A．6 B．5 C． D． 18．（2025·福建·学业水平合格考）已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（       ） A． B． C． D． 19．（2025·湖北·学业水平合格考）已知向量与的夹角为，且，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2025·山东·学业水平合格考）若向量，则（       ） A． B． C． D． 21．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（       ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 22．（2026·湖南·学业水平合格考）已知向量，．若，则实数x的值为　　　　　　　　． 23．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 24．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若向量，则　　　　　　　　　　　． 25．（2025·湖北·学业水平合格考）已知向量，且，则　　　　　　　　　　． 26．（2025·江苏·学业水平合格考）已知点，向量. （1）求向量与的夹角； （2）若点在轴上，且，求点的坐标. 考点四 复数（共26题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知复数，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·广东·学业水平合格考）已知复数，则在复平面上所对应的点为（       ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·学业水平合格考）复数在复平面内对应的点位于（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）记为虚数单位，复数，则（     ） A．5 B． C． D．2 6．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）记为虚数单位，则复数在复平面内的对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）复数在复平面的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知复数，，则（     ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江·学业水平合格考）在复数集中，为虚数单位，则（       ） A． B．0 C．2 D．3 10．（2025·辽宁·学业水平合格考）复数的虚部是（       ） A． B． C．2 D． 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，设复数，则的共轭复数（     ） A． B． C． D． 12．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，设复数，则（     ） A． B． C． D． 13．（2025·浙江·学业水平合格考）已知复数，则（       ） A． B． C． D．1 14．（2025·四川·学业水平合格考）在复平面内，对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2025·湖南·学业水平合格考）已知，则复数的实部为（   ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 16．（2025·江苏·学业水平合格考）若复数是实数，则实数（     ） A． B． C． D． 17．（2025·河南·学业水平合格考）（       ） A． B． C． D． 18．（2025·贵州·学业水平合格考）已知复数（为虚数单位），则（       ） A． B． C． D． 19．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（2025·福建·学业水平合格考）已知，，（，），若，则（       ） A．， B．， C．， D．， 21．（2025·湖北·学业水平合格考）若，则（     ） A． B． C． D． 22．（2025·山东·学业水平合格考）是虚数单位，，则复数的实部是（       ） A． B． C． D． 23．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（       ） A． B． C． D． 24．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知复数，则　　　　　　　　　　. 25．（2026·浙江·学业水平合格考）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则　　　　　　　． 26．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为　　　　　. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量和复数 4类高频考点 目 录 ✅考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 ✅考点二 平面向量的线性运算 ✅考点三 平面向量的数量积 ✅考点四 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示（共18题） 1．（2026·浙江·学业水平合格考）已知G是的重心，过点G的一条直线分别交边于点M，交边于点N，满足，则下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 首先利用重心的性质得到关于和的表达式，再结合已知条件将和用和表示，最后根据三点共线的性质列出等式求解. 【详解】 设的中点为，因为是的重心，根据重心的性质可知， 又因为是的中点，所以，则， 代入条件可得：， 根据三点共线，则，故. 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知向量，若，则实数（       ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】 本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】 根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）已知平面向量，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量共线的坐标表示直接列方程，解方程即可. 【详解】 由已知，，且， 则， 解得， 故选：B 4．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知向量，，若，则（       ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】 根据向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】 因为向量，，且， 所以，解得， 故选：A. 5．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）下列向量中，与向量共线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】 对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 6．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知向量与向量不共线，且向量与向量共线，，则（     ） A．5 B．15 C．40 D．60 【答案】B 【分析】 根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】 由于与共线，向量与向量不共线， 所以，所以. 故选：B. 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知点，点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据给定条件，利用向量的坐标表示求解. 【详解】 点，点，则. 故选：B 8．（2025·浙江·学业水平合格考）已知向量，，且，则x的值是（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】 由向量平行坐标表示可得答案. 【详解】 因，，且，则. 故选：D 9．（2025·陕西·学业水平合格考）已知平面向量，，若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】 已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 10．（2025·河南·学业水平合格考）平行四边形的两条对角线相交于点，．若用表示，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据平行四边形的性质，结合向量的加减法运算规则计算求解． 【详解】 是平行四边形，点是对角线的交点， ， ， ，故A正确． 故选：A． 11．（2025·贵州·学业水平合格考）向量，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用平面向量减法的坐标运算可得结果. 【详解】 因为向量，，则. 故选：A. 12．（2025·贵州·学业水平合格考）已知向量，则（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据平面向量模的坐标表示求解. 【详解】 因为， 所以， 故选：C 13．（2025·福建·学业水平合格考）已知，．则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由，．则. 14．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知，则线段的中点坐标为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用中点坐标公式计算即可. 【详解】 因为， 所以线段的中点坐标为， 故答案为： 15．（2025·河南·学业水平合格考）已知向量，，且，则　　　　　　． 【答案】3 【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案. 【详解】 根据题意，向量，， 若，则，解得. 故答案为：3 16．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若与共线，则的值为　　　　　　　　 【答案】4 【分析】 根据平面向量共线的坐标表示算出答案即可. 【详解】 若与共线，则，得， 故答案为：4 17．（2025·湖北·学业水平合格考）已知点．若是线段的中点，则（1）　　　　　　　　　　；（2）　　　　　　　　　　． 【答案】① 1    ② 【详解】 点，是线段的中点， 所以；. 18．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知． （1）求点的坐标和； （2）求． 【答案】（1），     （2）17      【分析】 （1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. (1)小问详解： 由题意，∴， 又，∴， 得 ，解得 ，即． 又，∴， ∴． (2)小问详解： 由（1）知，， ∴． 考点二 平面向量的线性运算（共13题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知为等边三角形的中心，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图所示，作BC中点D，则，因为为等边三角形的中心，则， 所以，，， 则. 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】 . 故选：D. 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，在中，（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】 由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 4．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量加法法则求解. 【详解】 由向量加法法则知. 故选：B 5．（2025·湖南·学业水平合格考）在平行四边形中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】 如图，    则， 故选：D 6．（2025·江苏·学业水平合格考）在平行四边形中，为与的交点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据向量加法法则和减法法则进行判断即可. 【详解】 对于A: 根据向量加法的平行四边形法则，得，A错误C正确； 根据向量减法的法则得，B错误D错误； 故选：C. 7．（2025·福建·学业水平合格考）已知向量和，则，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据向量加法运算求得正确答案. 【详解】 依题意，，， 所以. 8．（2025·湖北·学业水平合格考）如图，在中，，设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，且点在线段上，所以. 所以  . 9．（2026·广东·学业水平合格考）如图，在中，，用表示，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】 因为，由向量的三角形法则，得 ． 故答案为： 10．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 11．（2025·福建·学业水平合格考）已知，，点P满足，求点到直线距离为　　　　　　　　　　 【答案】1 【分析】 由，得到，将问题转化为求点A到直线距离求解. 【详解】 因为点P满足， 所以，即，则， 所以点到直线距离，即为点A到直线距离, 则, 故答案为：1 12．（2025·山东·学业水平合格考）已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用共线且方向相同的向量性质，设正实数比例系数使得，结合平面向量基本定理列方程求解，舍去反向解即可. 【详解】 因为向量与方向相同，故存在正实数，使得， 因为，，所以 ， 由于不共线，所以 且 ，将代入第二个方程，整理得，解得或， 当时，，此时与方向相反，不符合题意，舍去； 当时，，满足与方向相同， 故的值为. 13．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）给定正整数，按照一定顺序排列的向量记为向量序列，其中. 给出两个性质： ①，且中的向量互不相等； ②已知向量集合.记.对于中的任意两个向量，“” 的充要条件是“”. （1）当时，分别判断向量序列是否满足性质①；（结论无需证明） （2）（）当时，写出一个同时满足性质①和性质②的向量序列； （）当时，若向量不同时在向量序列中，且同时满足性质①和性质②，求证：的个数为偶数. 【答案】（1）不满足性质①，满足性质①     （2）（）.（答案不唯一）（）设向量序列.因为满足性质②，所以或.由性质①且可得，根据已知条件，存在正整数，使得.当时，可为或，因为向量不同时在向量序列中，所以，则末向量或，所以或.当时，可为或，因为向量不同时在向量序列中，所以，则末向量或，所以或.故当，且向量不同时在向量序列中使，向量序列成对出现.综上，任何满足条件的序列，在其第一个坐标为4的向量确定后（为或），都有两种方式延伸至终点.因此，所有满足条件的序列总数是所有可能的前缀路径（截止到第一个坐标为4的向量）数量的两倍，故总数为偶数.”      【分析】 （1）根据定义，结合给出的向量序列即可判断； （2）根据定义，（）任写一个同时满足性质①和性质②的向量序列即可， （）分情况讨论向量不同时在向量序列中的情况即可得证. (1)小问详解： 根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，且向量互不相等. 对于向量序列，其末向量不满足性质①，所以不满足性质①； 对于向量序列，其首向量为，末向量为，且向量互不相等，所以满足性质①. 综上，不满足性质①，满足性质①. (2)小问详解： （）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，，且向量互不相等. 根据性质②，当时，相邻向量差， 即相邻向量要么增加且不变，要么不变且根据前一向量增加或减小. 所以可写出向量序列，经验证，同时满足性质①和性质②. （）略 考点三 平面向量的数量积（共26题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知向量，．若，则实数（       ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】 因为，所以，解得. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知，，向量与向量的夹角为，则（       ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】 利用数量积公式得. 3．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知向量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，所以，C错； 对于D，，D错. 4．（2026·广东·学业水平合格考）已知向量，且，则（       ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】 根据题意结合平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】 因为， 则，解得． 故选：D. 5．（2026·浙江·学业水平合格考）已知平面向量，若，则实数（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】 利用向量垂直数量积为零，结合坐标运算列方程求解即可. 【详解】 由，，， 可得：，解得， 6．（2026·湖南·学业水平合格考）已知向量与的夹角为，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平面向量数量积的定义可直接求出结果. 【详解】 已知向量与的夹角为，，， 则，故B正确. 7．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】 已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知菱形的边长为2，，则（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】 根据数量积的定义求解. 【详解】 . 故选：B 9．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知向量，向量，则（       ） A．20 B．17 C．8 D．0 【答案】B 【分析】 利用向量数量积的坐标表示直接求解即可. 【详解】 因为向量，向量， 所以， 故选：B 10．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知向量，则向量的模（长度）为（       ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】 由模长公式即可求解. 【详解】 ， 故选：D 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知平面向量，.若，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】 根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】 向量，，由，得， 所以. 故选：A 12．（2025·浙江·学业水平合格考）在矩形中，，，F为上靠近点B的三等分点，E为上的中点，连接，，与交于点M，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题可得，然后由向量夹角公式可得答案. 【详解】 如图作，则， 又注意到，， ， 则 . 故选：A 13．（2025·四川·学业水平合格考）已知，，且，则x等于（       ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】 直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】 ∵，，且， ∴， 解得x＝2， 故选：C． 14．（2025·湖南·学业水平合格考）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】 因为，所以， 解得. 故选：D. 15．（2025·河南·学业水平合格考）已知向量满足，且与的夹角为，则（       ） A．6 B． C． D．12 【答案】C 【分析】 根据向量数量积的定义求解即可 【详解】 根据题意，. 故选：C 16．（2025·贵州·学业水平合格考）在边长为2的正方形中，（       ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】 根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】 因为正方形的边长为2，所以，所以； 故选：B. 17．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若向量，满足，，，则（       ） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】 根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解即可. 【详解】 因为，，， 则，所以. 故选：C. 18．（2025·福建·学业水平合格考）已知向量与的夹角的余弦值为，，．则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，，， 所以. 19．（2025·湖北·学业水平合格考）已知向量与的夹角为，且，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以，则. 20．（2025·山东·学业水平合格考）若向量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 21．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）在平行四边形中，对角线，相交于点，则（       ） A． B．与共线的单位向量为 C．若，则四边形是矩形 D．若，则四边形是菱形 【答案】ACD 【分析】 对于A，由向量加法的平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分即可判断；对于B，与共线的单位向量可能同向，可能反向，从而可判断；对于C，两边平方之后化简，再结合矩形的特征即可判断；对于D，根据数量积的运算展开，再结合菱形的特征即可判断. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，与共线的单位向量为和，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为矩形，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以， 所以平行四边形为菱形，故D正确. 故选：ACD. 22．（2026·湖南·学业水平合格考）已知向量，．若，则实数x的值为　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 因为，所以，所以. 23．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）如图是由六个边长为1的正六边形组成的蜂巢图形，其中正六边形的顶点称为“晶格点”，若四个不同的点均为“晶格点”，两点的位置如图所示， 给出下列三个结论： ①； ②的最大值为25； ③的最大值为． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 【答案】①②③ 【分析】 本题可通过建立平面直角坐标系，结合蜂巢的图形并利用向量的坐标运算来逐一分析三个结论． 【详解】 ①因为正六边形边长为1，由图形可知，该六边形最长的对角线为2，到在竖直方向上间隔2个最长对角线以及1个正六边形边长对应的距离，最长对角线， 故，①正确． ②建立如图所示平面直角坐标系，由且AB在竖直方向， 可得，则，设，那么，则， 要使最大，需要最大，结合图形，的最大值可达到5（例如当处于图中M点时）， 此时，即的最大值为25，②正确． ③同样基于②建立的平面直角坐标系，虽然C、D两点异于A、B两点，但因为图中蜂巢的对称性， C、D两点距离最远的问题仍可以等价为蜂巢中任意两点间距离最远的问题， 为使得C、D两点相距最远，两点之间应靠近边界，根据对称性，可假设C点位于原点A， 此时根据对称性只需要考虑D点位于y轴左边即可，所以. 由图观察可见，离C点最远的顶点应是六边形的顶点， 而对于正六边形MNPQRS，其中，U为PR中点，，，， 在正六边形MNPQRS中，外边界四点P、N、M、S离C点相对较远， 对应坐标为，即，，即， ，即，，即， 可知，，所以外边界四点P、N、M、S中，只需要考虑M、N两点， 因、，故应取更大的，③正确． 故答案为：①②③． 24．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若向量，则　　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题可根据向量数量积的坐标运算公式来计算. 【详解】 向量，， 根据向量数量积的坐标运算公式可得： 故答案为：. 25．（2025·湖北·学业水平合格考）已知向量，且，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 ，且，则， 即，解得. 26．（2025·江苏·学业水平合格考）已知点，向量. （1）求向量与的夹角； （2）若点在轴上，且，求点的坐标. 【答案】（1）     （2）或      【分析】 （1）根据向量的夹角公式计算即可； （2）设，再由向量垂直的坐标表示计算即可. (1)小问详解： ， 又，所以， 则向量与的夹角； (2)小问详解： 设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 考点四 复数（共26题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知复数，则（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 因为，所以. 2．（2026·广东·学业水平合格考）已知复数，则在复平面上所对应的点为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由复数的几何意义易得． 【详解】 因复数的实部为，虚部为， 故该复数在复平面内对应的点为. 故选：A. 3．（2026·湖南·学业水平合格考）复数在复平面内对应的点位于（        ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】 复数的实部为，虚部为，对应点的坐标为，故该点位于第一象限. 4．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用复数的几何表示即可得. 【详解】 因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 5．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）记为虚数单位，复数，则（     ） A．5 B． C． D．2 【答案】A 【分析】 利用复数模的计算公式求解. 【详解】 复数，则. 故选：A 6．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）记为虚数单位，则复数在复平面内的对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 直接写出复数对应的点的坐标，判断其所在象限即可. 【详解】 复数在复平面内对应的点的坐标为， 位于第二象限. 故选：B 7．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）复数在复平面的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】 复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 8．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知复数，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据复数加法运算法则求解. 【详解】 由，， 则， 故选：D 9．（2025·黑龙江·学业水平合格考）在复数集中，为虚数单位，则（       ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】A 【分析】 利用复数的运算性质求解即可. 【详解】 由复数运算性质得，故A正确. 故选：A 10．（2025·辽宁·学业水平合格考）复数的虚部是（       ） A． B． C．2 D． 【答案】C 根据复数的运算，求得，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】 由复数，所以复数的虚部为. 故选：C. 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，设复数，则的共轭复数（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用共轭复数的意义直接判断. 【详解】 由复数，得。 故选：D 12．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，设复数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用复数加减法运算求解. 【详解】 复数，得. 故选：A 13．（2025·浙江·学业水平合格考）已知复数，则（       ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】 由模的计算公式即可得解. 【详解】 已知复数，则. 故选：D. 14．（2025·四川·学业水平合格考）在复平面内，对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】 ，对应的点，位于第二象限. 故选：B 15．（2025·湖南·学业水平合格考）已知，则复数的实部为（   ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】 根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】 由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 16．（2025·江苏·学业水平合格考）若复数是实数，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用复数的概念可得出关于的等式，解之即可. 【详解】 因为复数是实数，则，解得. 故选：C. 17．（2025·河南·学业水平合格考）（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用复数的运算即可求解. 【详解】 ， 故选：D. 18．（2025·贵州·学业水平合格考）已知复数（为虚数单位），则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用复数的加法计算. 【详解】 ， . 故选：C. 19．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】 利用复数的几何意义求解. 【详解】 ，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 20．（2025·福建·学业水平合格考）已知，，（，），若，则（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】 由，得，. 21．（2025·湖北·学业水平合格考）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】  ，则共轭复数 . 22．（2025·山东·学业水平合格考）是虚数单位，，则复数的实部是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为，所以， 所以复数的实部是. 23．（多选题）（2025·陕西·学业水平合格考）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】 由模的计算公式判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数乘法、减法判断CD. 【详解】 对于A，，故A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 24．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知复数，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 由复数的加法运算即可求解. 【详解】 由题意得. 25．（2026·浙江·学业水平合格考）已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，则　　　　　　　． 【答案】 【分析】 将代入一元二次方程即可求解. 【详解】 代入方程可得：，化简可得：，解得. 26．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为虚数单位，设复数，，则复数的实部为　　　　　. 【答案】3 【分析】 利用复数的加法运算和复数的定义求解. 【详解】 因为复数，， 所以复数， 所以复数的实部为3， 故答案为：3 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量和复数·参考答案 4类高频考点 目 录 ✅考点一 平面向量的基本定理及坐标表示 ✅考点二 平面向量的线性运算 ✅考点三 平面向量的数量积 ✅考点四 复数 考点一 平面向量的基本定理及坐标表示（共18题） 1．A 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．A 11．A 12．C 13．D 14． 15．3 16．4 17．① 1    ② 18．【详解】 （1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. (1)小问详解： 由题意，∴， 又，∴， 得 ，解得 ，即． 又，∴， ∴． (2)小问详解： 由（1）知，， ∴． 考点二 平面向量的线性运算（共13题） 1．C 2．D 3．B 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B 9． 10． 11．1 12． 13．【详解】 （1）根据定义，结合给出的向量序列即可判断； （2）根据定义，（）任写一个同时满足性质①和性质②的向量序列即可， （）分情况讨论向量不同时在向量序列中的情况即可得证. (1)小问详解： 根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，且向量互不相等. 对于向量序列，其末向量不满足性质①，所以不满足性质①； 对于向量序列，其首向量为，末向量为，且向量互不相等，所以满足性质①. 综上，不满足性质①，满足性质①. (2)小问详解： （）根据性质①，当时，向量序列首向量为，末向量为，，且向量互不相等. 根据性质②，当时，相邻向量差， 即相邻向量要么增加且不变，要么不变且根据前一向量增加或减小. 所以可写出向量序列，经验证，同时满足性质①和性质②. （）略 考点三 平面向量的数量积（共26题） 1．A 2．C 3．B 4．D 5．B 6．B 7．A 8．B 9．B 10．D 11．A 12．A 13．C 14．D 15．C 16．B 17．C 18．A 19．A 20．C 21．（多选题）ACD 22． 23．①②③ 24．5 25． 26．【详解】 （1）根据向量的夹角公式计算即可； （2）设，再由向量垂直的坐标表示计算即可. (1)小问详解： ， 又，所以， 则向量与的夹角； (2)小问详解： 设， ，， ， ， 解得或， 所以点的坐标为或． 考点四 复数（共26题） 1．C 2．A 3．A 4．A 5．A 6．B 7．D 8．D 9．A 10．C 11．D 12．A 13．D 14．B 15．A 16．C 17．D 18．C 19．A 20．A 21．D 22．B 23．（多选题）AB 24． 25． 26．3 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $