专题02 一元二次函数、方程和不等式（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题02 一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点 目 录 ✅考点一 不等式的性质 ✅考点二 一元二次不等式 ✅考点三 基本不等式 考点一 不等式的性质（共13题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明. 【详解】 对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 2．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】 因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】 因为，则当时，，A说法错误； 因为，所以，B说法错误； 因为，所以，C说法错误，D说法正确； 故选：D 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）在配平化学方程式的过程中，可利用方程式两边同种原子数目相等建立等式关系．如对于，可建立关系式： ，则对于，建立关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用方程式两边同种原子数目相等可得结论. 【详解】 由，可得 . 故选：B. 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知，，都是实数.若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用不等式的性质推理判断AB；举例说明判断CD. 【详解】 对于AB，，，A正确，B错误； 对于CD，当时，，都无意义，CD错误. 故选：A 6．（2025·湖南·学业水平合格考）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 取特殊值判断ABC，利用作差法判断D. 【详解】 当时，，即，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 因为，所以，故D正确. 故选：D 7．（2025·河南·学业水平合格考）若，则下列命题为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】 根据不等式的性质对各个选项分析判断可得结果. 【详解】 对于A：取，显然有，所以A不正确； 对于B：取，则，所以B不正确； 对于C：因为，由不等式的性质，得，所以C不正确； 对于D：由，由不等式的传递性得，故D正确. 故选：D. 8．（2025·贵州·学业水平合格考）若，，则下列结论一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用特殊值法、不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】 因为，， 对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，当时，由不等式的基本性质可得，B错； 对于C选项，由不等式的基本性质得，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：C. 9．（2025·福建·学业水平合格考）已知，则不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据不等式的性质，结合特殊值法，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】 选项A：由，得，故A正确； 选项B：由，得，故B错误； 选项C：若，满足，但，故C错误； 选项D：若，满足，但，故D错误. 10．（2025·湖北·学业水平合格考）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于A，由于，取特殊值验证，令， 计算可得此时，不满足； 对于B，由，不等式两边同时乘，不等式方向改变， 得与对应相乘，得，则， 对于C.取上述A中特殊值验证选项C，， 此时不满足题意大小关系，排除C； 对于D，由，不等式两边同时加,不等式方向不变，得， 由，不等式两边同时加，不等式方向不变，可得， 联立两个不等式得，因此 11．（2025·山东·学业水平合格考）若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 12．（多选题）（2025·浙江·学业水平合格考）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（       ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】AB 【分析】 由不等式性质判断AB正确，举反例说明CD错误即可. 【详解】 由不等式性质可知AB正确； 对于C，当，时，不成立，故C错误； 对于D，当时，不成立，故D错误. 故选：AB. 13．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知，则　　　　　　，　　　　　　．（两空均填“”或“”） 【答案】①     ② 【详解】 因为，所以； 因为，所以. 考点二 一元二次不等式（共12题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）已知关于x的不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 不等式移项得； 由于系数，不等式两边同时除以2，不等号方向不变，得解集为. 由题意知该不等式的解集为，故两个解集的边界值相等，即，解得. 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】 解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 3．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）不等式的解集是（       ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】 解二次不等式即可得解. 【详解】 由， 所以不等式的解集是， 故选：C 4．（2025·四川·学业水平合格考）不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据一元二次不等式解的性质即可求解. 【详解】 由可得， 所以不等式的解集为， 故选：A 5．（2025·湖南·学业水平合格考）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先解不等式得，再结合选项及充分、必要条件的定义判断各选项即可. 【详解】 由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 6．（2025·江苏·学业水平合格考）若，都有，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由题意可知，，都有，结合可求得实数的取值范围. 【详解】 由题意可知，，都有，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 7．（2025·贵州·学业水平合格考）不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用一元二次不等式解法即可求解. 【详解】 由，解得，所以不等式的解集为. 故选：B. 8．（2025·福建·学业水平合格考）不等式的解集是（       ） A．或 B．或 C． D．． 【答案】D 【详解】 该不等式对应的方程的两个根分别为， 则不等式解得. 9．（2026·广东·学业水平合格考）不等式的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用因式分解解一元二次不等式. 【详解】 ∵，∴， ∴ 即不等式的解集为． 故答案为：. 10．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 由，则，即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 11．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）不等式的解集为　　　　　　. 【答案】或 【分析】 直接求解一元二次不等式即可. 【详解】 ，解得或， 故解集为或. 故答案为：或. 12．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若，则的取值范围为　　　　　　. 【答案】 【分析】 首先利用平方差公式分解因式，再根据一元二次不等式与方程的关系，即可求解. 【详解】 ，方程的两根分别是和2， 所以不等式的取值范围是. 故答案为： 考点三 基本不等式（共14题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知a＞0，则a＋的最小值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 利用基本不等式即得. 【详解】 根据题意，，则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是2； 故选：B. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）若实数满足，则的最大值是（       ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】 使用换元法将转化为关于的二次函数，再根据二次函数图象性质即可求解. 【详解】 因为，则， 则， 设，易得是开口向下的二次函数，对称轴为， 则. 3．（2026·广东·学业水平合格考）已知，若，则的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】 根据基本不等式求最值即可. 【详解】 因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（     ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 【答案】B 【分析】 设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】 设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 5．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知，且，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】 直接利用基本不等式求解即可. 【详解】 因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 6．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知，且，则的最大值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】 由基本不等式求最值即可. 【详解】 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】 由基本不等式可得答案. 【详解】 ，当且仅当，即时取等号. 故选：C 8．（2025·四川·学业水平合格考）已知，且，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】 应用基本不等式“1”的代换求最小值，注意取值条件. 【详解】 由题设， 当且仅当时等号成立，故目标式的最小值为9. 故选：D 9．（2025·湖南·学业水平合格考）若是正数，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】 利用均值不等式即可求解． 【详解】 由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，也即， 再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值是4. 故选：C 10．（2025·江苏·学业水平合格考）函数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用基本不等式可求出函数的最小值. 【详解】 当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 11．（2025·贵州·学业水平合格考）已知，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 直接由基本不等式运算即可. 【详解】 因为，所以，即的最小值为4， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 12．（多选题）（2025·浙江·学业水平合格考）如图所示，矩形（）的周长为4，将沿着矩形的对角线翻折至，交于点F，则下列说法中正确的是（       ） A．是等腰三角形 B．的周长为2 C．面积的最小值为 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】 对于A，由题可得，从而，据此可判断选项正误；对于B，由A分析可得，据此可判断选项正误；对于C，设，由题可得，然后举特例可得答案；对于D，由C分析可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】 对于A，因沿着矩形的对角线翻折至， 则，又易得，则， 从而，即是等腰三角形，故A正确； 对于B，由A分析，，则的周长为，故B正确； 对于C，设，由B分析可得， 因， 则， 则， 当时，则，C错误； 对于D，由C分析，，. 则， 当且仅当时取等号.故D正确. 故选：ABD 13．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若，则的最小值为　　　　　. 【答案】 【分析】 由基本不等式求得最小值. 【详解】 ∵，∴， ∴，当且仅当，即时，取等号， 故答案为：. 14．（2025·山东·学业水平合格考）已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是　　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 利用基本不等式可得的最小值，从而得到，求出答案 【详解】 ，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点 目 录 ✅考点一 不等式的性质 ✅考点二 一元二次不等式 ✅考点三 基本不等式 考点一 不等式的性质（共13题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知，则下列不等式中一定成立的是（       ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）若，则（       ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）在配平化学方程式的过程中，可利用方程式两边同种原子数目相等建立等式关系．如对于，可建立关系式： ，则对于，建立关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知，，都是实数.若，则（     ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·学业水平合格考）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·学业水平合格考）若，则下列命题为真命题的是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2025·贵州·学业水平合格考）若，，则下列结论一定成立的是（       ） A． B． C． D． 9．（2025·福建·学业水平合格考）已知，则不等式正确的是（       ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北·学业水平合格考）若，则（     ） A． B． C． D． 11．（2025·山东·学业水平合格考）若，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 12．（多选题）（2025·浙江·学业水平合格考）对于实数a、b、c、d，下列选项中正确的是（       ） A．， B．，， C．， D．，， 13．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知，则　　　　　　，　　　　　　．（两空均填“”或“”） 考点二 一元二次不等式（共12题） 1．（2026·湖南·学业水平合格考）已知关于x的不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）不等式的解集为（     ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）不等式的解集是（       ） A． B． C． D．或 4．（2025·四川·学业水平合格考）不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南·学业水平合格考）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·江苏·学业水平合格考）若，都有，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州·学业水平合格考）不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 8．（2025·福建·学业水平合格考）不等式的解集是（       ） A．或 B．或 C． D．． 9．（2026·广东·学业水平合格考）不等式的解集为　　　　　　． 10．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）若，则的取值范围为　　　　　　　　　　　． 11．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）不等式的解集为　　　　　　. 12．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若，则的取值范围为　　　　　　. 考点三 基本不等式（共14题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知a＞0，则a＋的最小值是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）若实数满足，则的最大值是（       ） A．4 B．6 C．7 D．9 3．（2026·广东·学业水平合格考）已知，若，则的最小值为（       ） A．1 B． C．2 D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（     ） A．2100元 B．1980元 C．1870元 D．1760元 5．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知，且，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．4 6．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知，且，则的最大值是（     ） A． B． C．1 D． 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知，则的最小值为（     ） A．1 B．4 C．8 D．16 8．（2025·四川·学业水平合格考）已知，且，则的最小值为（       ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（2025·湖南·学业水平合格考）若是正数，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C．4 D．8 10．（2025·江苏·学业水平合格考）函数的最小值为（     ） A． B． C． D． 11．（2025·贵州·学业水平合格考）已知，则的最小值为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（多选题）（2025·浙江·学业水平合格考）如图所示，矩形（）的周长为4，将沿着矩形的对角线翻折至，交于点F，则下列说法中正确的是（       ） A．是等腰三角形 B．的周长为2 C．面积的最小值为 D．面积的最大值为 13．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）若，则的最小值为　　　　　. 14．（2025·山东·学业水平合格考）已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是　　　　　　　　　. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式·参考答案 3类高频考点 目 录 ✅考点一 不等式的性质 ✅考点二 一元二次不等式 ✅考点三 基本不等式 考点一 不等式的性质（共13题） 1．B 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．D 8．C 9．A 10．D 11．A 12．（多选题）AB 13．①     ② 考点二 一元二次不等式（共12题） 1．A 2．B 3．C 4．A 5．C 6．A 7．B 8．D 9． 10． 11．或 12． 考点三 基本不等式（共14题） 1．B 2．D 3．C 4．B 5．B 6．D 7．C 8．D 9．C 10．B 11．D 12．（多选题）ABD 13． 14．4 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $