专题03 函数的概念与性质（学考真题汇编，全国通用）2027年高中数学

专题03 函数的概念与性质·参考答案 9类高频考点 目 录 ✅考点一 函数的定义 ✅考点二 函数的定义域 ✅考点三 函数的单调性 ✅考点四 函数的奇偶性 ✅考点五 函数的图像 ✅考点六 函数的最值 ✅考点七 分段函数 ✅考点八 函数与方程 ✅考点九 函数模型的应用 考点一 函数的定义（共4题） 1．D 2．A 3．【详解】 （1）根据取整函数的定义计算即可； （2）利用取整函数判断，进而代入即可判断； （3）首先判断函数本身的奇偶性，进而将零点问题进行化简，通过讨论不同范围的取值即可求解. (1)小问详解： 由题意得，. (2)小问详解： 因为，因此，即，即函数值域为. (3)小问详解： 函数的定义域为，且， 即函数为定义在实数域上的偶函数，则其零点关于原点对称， 因此恰有个零点等价于时，恰有个零点，且不是零点， 时，，即， 当时，设， 故若时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， ， 若函数恰有4个零点，即方程有2个正根， 所以. 4．【详解】 （1）利用对数的运算性质求解； （2）利用作差法求证. (1)小问详解： ． (2)小问详解： 略. 考点二 函数的定义域（共15题） 1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．C 10．C 11．D 12．A 13． 14．【详解】 （1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. (1)小问详解： 由，所以，解得， 所以函数定义域为. (2)小问详解： 在上单调递增，证明略. 15．【详解】 （1）把点代入解析式求出后可得答案； （2）利用奇偶性的定义判断即可. (1)小问详解： 因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； (2)小问详解： 略 考点三 函数的单调性（共10题） 1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．D 7．D 8．（多选题）AC 9．【详解】 （1）利用基本不等式解答. （2）（ⅰ）由题知，解不等式即可，用定义法求的单调区间. （ⅱ）结合单调性和值域可以得出，当时，能让对恒成立，然后分离参数，结合函数最值即可求出的取值范围. (1)小问详解： 当时，，由 ，，当即时等号成立. 当时，的最小值为. (2)小问详解： （ⅰ）由或，. 设，， 当时， ，函数在区间上单调递减； 当时， ，函数在区间上单调递减， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （ⅱ）由，， 令 函数的值域为. 当，时，令，，当时，， 当，由， 由， 当时，，对不恒成立. 当时，由，由， 令，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立，在区间上恒成立. 由，由， 令，，函数在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立在区间上恒成立. 综上所述，存在，当时，对恒成立. 的取值范围为. 10．【详解】 （1）根据给定的定义，及指数函数的单调性直接判断即可； （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集即可； （3）先根据既是关联，得到，，再根据是关联得到是增函数，进而根据关联的定义即可证明． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 由是关联，则对于任意，都有， 即对于任意，都有，即，即， 的图象是开口向上的二次曲线，当时，单调递增， 则在的值域为， 又，则在的值域为， 所以仅在上有解， 当时，， 令，解得， 所以不等式的解是． (3)小问详解： 略 考点四 函数的奇偶性（共22题） 1．A 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．D 8．A 9．B 10．B 11．D 12．B 13．（多选题）BD 14． 15．（答案不唯一，形如均符合要求） 16．【详解】 （1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性； （2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集． (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 17．【详解】 因为，所以不满足奇函数的要求，即：，即：，所以不是奇函数； 因为是分段函数，所以需要分段分析图象的特点， 当时，，在区间上为对称轴是的抛物线，且开口朝上， 所以在区间上单调递减，所以在该区间上； 当时，，在区间上为底数是2的指数函数， 所以在区间上单调递增，，所以； 综上所述，的最小值为. 18．【详解】 （1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 19．【详解】 根据奇函数的定义与性质解奇函数的函数值、奇函数的解析式及解指数不等式即可. （1）∵当时， ，∴，故①选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ∵当时，，所以，故④选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. 20．【详解】 (1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. (1)小问详解： 由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. (2)小问详解： 在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 21．【详解】 （1）根据奇偶性定义判断即可； （2） 求导得在上单调递增，利用奇函数将不等式化为，得恒成立，再根据基本不等式求的取值范围. (1)小问详解： 略. (2)小问详解： 对求导得恒成立，因此是上的单调增函数. 原不等式，结合是奇函数，即， 不等式可化为，由是增函数，不等式等价于在上恒成立. 由基本不等式，，当且仅当时取等号，即的最小值为. 因此，即的取值范围是. 22．【详解】 （1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． (1)小问详解： 因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． (2)小问详解： 已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时， ，解得； （2）当时， ，此时无解； （3）当时， ，此时无解； （4）当时， ，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 考点五 函数的图像（共8题） 1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B 考点六 函数的最值（共5题） 1．C 2．C 3． 4．【详解】 （1）由题意知，与互为反函数，求解即可． （2）（i）设，，则，利用二次函数可求值域；（ii）由题意可得，进而参变分离可得，可求的取值范围． (1)小问详解： 由题意知，与互为反函数． 将替换为，替换为得：，即， 所以． (2)小问详解： （i）对于， 由，，则，， 所以的值域为． （ii）∵，使得恒成立， ∴． 即在上恒成立，得：在上恒成立， 参变分离得：． ∵在上单调递增，∴．∴， ∴的取值范围为． 5．【详解】 （1）根据二次函数开口及对称轴即可确定最小值； （2）由题意利用单调性得到，结合即可证明． (1)小问详解： 若，则，， 开口向上，对称轴为， ， 故的最小值为； (2)小问详解： 略 考点七 分段函数（共13题） 1．D 2．A 3．C 4．A 5．C 6．D 7．D 8． 9．①②③ 10．2 11．0 12． 13． 考点八 函数与方程（共16题） 1．B 2．A 3．D 4．D 5．B 6．D 7．B 8．B 9．A 10．A 11．B 12．1 13． 14．（或填，答案不唯一） 15．【详解】 （1）把代入函数解析式，可求的值； （2）由，得是方程的根，又，故，由等号不成立，展开可得结论. (1)小问详解： ，由，解得. (2)小问详解： 由，得方程，即， 所以是方程的根，有， 由，得， ，故，， 因此， 当且仅当或时取等号， 由于，等号不成立，故， 展开得，即. 16．【详解】 （1）由题意可知为函数的一个零点，代入求值，即得答案； （2）假设存在满足题意的b，结合二次函数性质列出不等式组，即可得结论，求得答案. (1)小问详解： 由题意知，即为函数的一个零点， 则； (2)小问详解： 假设存在实数，使，， 则 ，解得， 即存在实数，使，，此时. 考点九 函数模型的应用（共6题） 1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 9类高频考点 目 录 ✅考点一 函数的定义 ✅考点二 函数的定义域 ✅考点三 函数的单调性 ✅考点四 函数的奇偶性 ✅考点五 函数的图像 ✅考点六 函数的最值 ✅考点七 分段函数 ✅考点八 函数与方程 ✅考点九 函数模型的应用 考点一 函数的定义（共4题） 1．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知函数，则（       ） A．1 B． C． D． 2．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数的图象关于轴对称.若，则（     ） A． B． C．0 D．2 3．（2026·浙江·学业水平合格考）已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. （1）求的值； （2）求函数的值域； （3）若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 4．（2025·河南·学业水平合格考）已知函数． （1）求的值； （2）证明：对． 考点二 函数的定义域（共15题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）函数在人工智能领域有广泛应用．对于函数，下列结论正确的是（       ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．当时， D．当时， 3．（2026·浙江·学业水平合格考）已知函数（且），则该函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 7．（2025·浙江·学业水平合格考）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏·学业水平合格考）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 9．（2025·河南·学业水平合格考）已知函数，给出下列四个结论： ①的定义域为；       ②在上是减函数； ③是奇函数；             ④在上的最小值为2． 其中所有正确结论的序号为（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．（2025·贵州·学业水平合格考）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 11．（2025·福建·学业水平合格考）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 12．（2025·山东·学业水平合格考）函数的定义域是（       ） A． B． C． D．或 13．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）若，则的定义域为　　　　　　　　　　. 14．（2026·广东·学业水平合格考）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的单调性． 15．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知函数的图象经过． （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性，并说明理由． 考点三 函数的单调性（共10题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）下列函数中，在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）下列函数中，在区间上单调递减的是（       ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知函数，则正确的是（       ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）下列函数中，在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，函数的单调递减区间为（       ） A． B．和 C． D． 6．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数，为的根，下列说法正确的是（     ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列函数中，在上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 8．（多选题）（2026·浙江·学业水平合格考）已知函数，下列说法正确的有（     ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 9．（2026·湖南·学业水平合格考）已知函数，． （1）当时，求的最小值； （2）记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 10．（2025·湖北·学业水平合格考）已知函数的定义域为，如果，当时，都有，那么就称是关联． （1）是关联吗？是关联吗？请说明理由； （2）已知是关联，当时，，解不等式； （3）证明：若既是关联，又是关联，则是关联． 考点四 函数的奇偶性（共22题） 1．（2026·广东·学业水平合格考）下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南·学业水平合格考）下列函数是偶函数的为（        ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的为（     ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·学业水平合格考）对于函数，下列说法正确的是（       ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 6．（2025·四川·学业水平合格考）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 7．（2025·四川·学业水平合格考）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 8．（2025·湖南·学业水平合格考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（       ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 9．（2025·江苏·学业水平合格考）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（     ） A． B． C． D． 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列函数中，是偶函数的为（       ） A． B． C． D． 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数是定义域为的奇函数.若，则（       ） A． B． C． D． 12．（2025·山东·学业水平合格考）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10) A．-10 B．2 C．0 D．10 13．（多选题）（2025·湖北·学业水平合格考）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．是增函数 D．的值域为 14．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，　　　　　　　　　　　． 15．（2025·湖北·学业水平合格考）写出一个同时具有性质①②的函数　　　　　　　　　　． ①；②是奇函数． 16．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数（a为常数）的图象过点． （1）求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； （2）求不等式的解集． 17．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）阅读下面题目及其解答过程. 已知函数 （1）判断是否为奇函数，并说明理由； （2）求的最小值. 解：（1）因为，所以__________①，所以______②奇函数. （2）当时，，所以在区间__________③. 所以__________④；当时，，所以__________⑤，所以的最小值为__________⑥. 以上题目的解答过程中，设置了①~⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理!请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置.（只需填写“A”或“B”） 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）是 （B）不是 ③ （A）单调递增 （B）单调递减 ④ （A） （B） ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 18．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）当时，求的最小值. 19．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ，（1） 求的值；（2） 求不等式的解集.解：（1） 因为当时， 所以            ①          .因为是奇函数， 所以          ②          .（2）当时，           ③          ，所以恒成立.当时，，所以          ④          .因为是奇函数，所以          ⑤          .所以.由， 解得.综上，不等式的解集为          ⑥          . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A.       B. ② A.       B. ③ A.       B. ④ A.     B. ⑤ A.     B. ⑥ A.       B. 20．（2025·四川·学业水平合格考）已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，用定义法判断在的单调性. 21．（2025·福建·学业水平合格考）已知函数． （1）判断的奇偶性，并加以证明． （2）若在上恒成立，求的取值范围． 22．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值； （2）若函数，，，使得，求实数的取值范围． 考点五 函数的图像（共8题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 2．（2026·湖南·学业水平合格考）函数的图象是（        ） A.  B.  C.  D.  3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，该图象对应的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（2025·河南·学业水平合格考）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（2025·贵州·学业水平合格考）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（2025·湖北·学业水平合格考）图1是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．目前本条线路运营处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，公司有关人员提出了两种建议，如图2和图3所示． 下列说法中正确的是（     ） A．图2表示减少支出和提高票价 B．图2表示减少支出和降低票价 C．图3表示支出不变和提高票价 D．图3表示减少支出和票价不变 8．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（       ） A． B． C． D． 考点六 函数的最值（共5题） 1．（2025·浙江·学业水平合格考）已知定义在上的函数满足：，且当时，，若在上恒成立，则实数a的最大值为（       ） A． B．3 C． D． 2．（2025·陕西·学业水平合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（       ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 3．（2026·浙江·学业水平合格考）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为　　　　　　　　． 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式； （2）若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 5．（2025·江苏·学业水平合格考）已知函数. （1）若，求的最小值； （2）当时，证明：对任意，都有. 考点七 分段函数（共13题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数 则（       ） A． B．0 C．1 D．2 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数 ，则（       ） A．0 B．1 C．3 D． 3．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数 则的最小值是（     ） A． B． C．0 D．1 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）设函数 ，则（     ） A．10 B．7 C．5 D．3 5．（2025·江苏·学业水平合格考）已知函数 若存在实数满足，则（     ） A．8 B．10 C．12 D．16 6．（2025·贵州·学业水平合格考）已知函数 ，则（       ） A． B． C． D． 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数 ，则（       ） A． B．0 C． D．4 8．（2026·湖南·学业水平合格考）已知函数 则　　　　　　　　． 9．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数，.设函数 ， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　. 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知 ，则　　　　　　. 11．（2025·浙江·学业水平合格考）函数 ，已知，则　　　　　　　　． 12．（2025·福建·学业水平合格考）函数 ，则　　　　　　　　　　． 13．（2025·山东·学业水平合格考）若函数 是增函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　. 考点八 函数与方程（共16题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）设函数，则函数的零点所在的区间为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知 若函数有三个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数.下列区间中包含的零点的是（     ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江·学业水平合格考）设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是（       ） A． B． C． D． 6．（2025·湖南·学业水平合格考）函数在区间上的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025·湖南·学业水平合格考）函数的零点为（       ） A． B． C． D． 8．（2025·江苏·学业水平合格考）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 9．（2025·河南·学业水平合格考）已知是函数 的零点，则（       ） A． B． C．0 D．3 10．（2025·贵州·学业水平合格考）函数的零点所在区间为（       ） A． B． C． D． 11．（2025·福建·学业水平合格考）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 12．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知函数，则函数的零点个数为　　　　　　　　　　. 13．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 14．（2025·陕西·学业水平合格考）函数 的零点是　　　　　　　　　(写出满足条件的一个零点即可). 15．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）已知，实数为常数，都为实数，且． （1）若，求的值； （2）若，且，比较与的大小． 16．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为实数，函数，,是函数的零点. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 考点九 函数模型的应用（共6题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（     ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 2．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（     ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（       ） A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 4．（2025·湖南·学业水平合格考）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（   ）（默认） A． B． C． D． 5．（2025·河南·学业水平合格考）某市持续扩大绿色空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从年的增长到年的．设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为，则（       ） A． B． C． D． 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）一种产品原来的年产量是件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（       ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 9类高频考点 目 录 ✅考点一 函数的定义 ✅考点二 函数的定义域 ✅考点三 函数的单调性 ✅考点四 函数的奇偶性 ✅考点五 函数的图像 ✅考点六 函数的最值 ✅考点七 分段函数 ✅考点八 函数与方程 ✅考点九 函数模型的应用 考点一 函数的定义（共4题） 1．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知函数，则（       ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 将直接代入解析式即可. 【详解】 因为函数，所以， 故选：D 2．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数的图象关于轴对称.若，则（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】 根据偶函数定义计算求解. 【详解】 函数的图象关于轴对称，所以函数是 偶函数， 因为，则. 故选：A. 3．（2026·浙江·学业水平合格考）已知高斯函数（取整函数）表示不超过实数x的最大整数，函数. （1）求的值； （2）求函数的值域； （3）若函数恰有4个零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据取整函数的定义计算即可； （2）利用取整函数判断，进而代入即可判断； （3）首先判断函数本身的奇偶性，进而将零点问题进行化简，通过讨论不同范围的取值即可求解. (1)小问详解： 由题意得，. (2)小问详解： 因为，因此，即，即函数值域为. (3)小问详解： 函数的定义域为，且， 即函数为定义在实数域上的偶函数，则其零点关于原点对称， 因此恰有个零点等价于时，恰有个零点，且不是零点， 时，，即， 当时，设， 故若时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， 当时，，，此时函数在上单调递增，值域为， ， 若函数恰有4个零点，即方程有2个正根， 所以. 4．（2025·河南·学业水平合格考）已知函数． （1）求的值； （2）证明：对． 【答案】（1）     （2）证明：，因为，所以，等号成立时，所以，故对.      【分析】 （1）利用对数的运算性质求解； （2）利用作差法求证. (1)小问详解： ． (2)小问详解： 略. 考点二 函数的定义域（共15题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为，所以的取值范围是，则定义域为：. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）函数在人工智能领域有广泛应用．对于函数，下列结论正确的是（       ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】 选项A：分母中，对任意实数都有意义，故的定义域为，故A错误； 选项B：，， ，故不是偶函数，故B错误； 选项C：当时，，， ，故C错误； 选项D：当时，， ，，即，故D正确． 3．（2026·浙江·学业水平合格考）已知函数（且），则该函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由对数函数的定义，真数，解得. 所以函数的定义域为. 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由求解即可. 【详解】 由题可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D 5．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）函数的定义域是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由可求函数的定义域. 【详解】 由. 所以函数的定义域为：. 故选：C 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）函数的定义域是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据偶次根式有意义的条件计算可得结果. 【详解】 由题意，令，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 7．（2025·浙江·学业水平合格考）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题结合区间定义，二次不等式解法可得定义域. 【详解】 或，则定义域为. 故选：C 8．（2025·江苏·学业水平合格考）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的具体表达式和对数函数的定义域求解函数的定义域即可. 【详解】 因为函数，则要使函数有意义， 那么 ，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 9．（2025·河南·学业水平合格考）已知函数，给出下列四个结论： ①的定义域为；       ②在上是减函数； ③是奇函数；             ④在上的最小值为2． 其中所有正确结论的序号为（       ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】 根据对勾函数的图象和性质逐项判断. 【详解】 函数的定义域为，故①正确； 根据对勾函数的性质，函数在上单调递减，在上单调递增，所以②错误； 因为，所以函数是奇函数，故③正确； 根据函数的单调性可知，在上，函数的最小值为，故④正确. 故选：C 10．（2025·贵州·学业水平合格考）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数解析式有意义可得出关于的不等式，即可解得原函数的定义域. 【详解】 对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 11．（2025·福建·学业水平合格考）函数的定义域为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 要使函数有意义，需使，解得， 则函数的定义域为. 12．（2025·山东·学业水平合格考）函数的定义域是（       ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】 函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 13．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）若，则的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 结合根式求解具体函数的定义域. 【详解】 因为，所以的定义域为. 故答案为：. 14．（2026·广东·学业水平合格考）已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的单调性． 【答案】（1）；     （2）单调递增，证明如下：的定义域为，∴任取，则，，，又有，所以，即，是上的单调递增.      【分析】 （1）根据二次根式的被开方数大于等于0，列式求解； （2）利用函数单调性的定义判断证明. (1)小问详解： 由，所以，解得， 所以函数定义域为. (2)小问详解： 在上单调递增，证明略. 15．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知函数的图象经过． （1）求的解析式； （2）判断的奇偶性，并说明理由． 【答案】（1）     （2）函数为奇函数，理由：函数为上的奇函数.由（1）可知，由于，其定义域关于原点对称，，所以为奇函数.      【分析】 （1）把点代入解析式求出后可得答案； （2）利用奇偶性的定义判断即可. (1)小问详解： 因为函数的图象经过， 所以，解得， 所以； (2)小问详解： 略 考点三 函数的单调性（共10题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）下列函数中，在区间上单调递增的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在上单调递减，选项A错误； 开口向下，对称轴是轴，在区间上单调递减，选项B错误； 是指数函数，底数，在上单调递减，选项C错误； 是对数函数，底数，在区间上单调递增，选项D正确. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）下列函数中，在区间上单调递减的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 对于A：在上单调递增，所以A错误； 对于B：在上单调递增，所以B错误； 对于C：在上单调递减，所以C正确； 对于D：在上单调递增，所以D错误. 3．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知函数，则正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 分别计算出、、、即可得. 【详解】 对A、B：，，故A、B错误； 对C、D：，，则，故C正确、D错误. 故选：C. 4．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）下列函数中，在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据基本初等函数的单调性直接得解. 【详解】 因为，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上不单调， 故选：B 5．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，函数的单调递减区间为（       ） A． B．和 C． D． 【答案】B 【分析】 根据函数图象判断单调区间即可. 【详解】 由函数图像可知函数在和上单调递减，在上单调递增， 故选：B 6．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数，为的根，下列说法正确的是（     ） A． B． C．的解集为 D．的解集为 【答案】D 【分析】 在上单调递增，结合零点存在性定理计算可判断结论. 【详解】 因为在上单调递增，所以至多一个零点， 又， 又为的根，所以，故A错误； 又， 又为的根，所以，故B错误； 由，又为的根，可得，故C错误，D正确. 故选：D. 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列函数中，在上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 结合指数函数、对数函数单调性逐项判断. 【详解】 函数、、在上都单调递减，ABC不是； 函数在上单调递增，D是. 故选：D 8．（多选题）（2026·浙江·学业水平合格考）已知函数，下列说法正确的有（     ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 【答案】AC 【分析】 由导数判断A项，由判断B项，利用函数的单调性可判断CD项． 【详解】 对于A项，由已知，又函数为增函数， 所以函数为减函数，所以函数在上单调递增，故A项正确； 对于B项，，则函数的图象关于点中心对称，故B项错误； 对于C项，因为在上单调递增，所以当时，得，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 当时，得， 因为在上单调递增，所以， 则,故D项错误． 9．（2026·湖南·学业水平合格考）已知函数，． （1）当时，求的最小值； （2）记的定义域为． （ⅰ）求，并写出的单调区间； （ⅱ）若存在使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）（ⅰ），函数的单调递减区间为，无单调递增区间.（ⅱ）      【分析】 （1）利用基本不等式解答. （2）（ⅰ）由题知，解不等式即可，用定义法求的单调区间. （ⅱ）结合单调性和值域可以得出，当时，能让对恒成立，然后分离参数，结合函数最值即可求出的取值范围. (1)小问详解： 当时，，由 ，，当即时等号成立. 当时，的最小值为. (2)小问详解： （ⅰ）由或，. 设，， 当时， ，函数在区间上单调递减； 当时， ，函数在区间上单调递减， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （ⅱ）由，， 令 函数的值域为. 当，时，令，，当时，， 当，由， 由， 当时，，对不恒成立. 当时，由，由， 令，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立，在区间上恒成立. 由，由， 令，，函数在区间上单调递减，， 当时，在区间上恒成立在区间上恒成立. 综上所述，存在，当时，对恒成立. 的取值范围为. 10．（2025·湖北·学业水平合格考）已知函数的定义域为，如果，当时，都有，那么就称是关联． （1）是关联吗？是关联吗？请说明理由； （2）已知是关联，当时，，解不等式； （3）证明：若既是关联，又是关联，则是关联． 【答案】（1）当时，即，又在上单调递增，则，即，所以；而若时，不妨取，，所以，所以是关联；不是关联．     （2）     （3）由是关联，即对于任意，都有，即对于任意，都有，所以.又是关联，即对于任意，成立，所以是增函数，任取，则，所以，所以，所以，故是关联．      【分析】 （1）根据给定的定义，及指数函数的单调性直接判断即可； （2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集即可； （3）先根据既是关联，得到，，再根据是关联得到是增函数，进而根据关联的定义即可证明． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 由是关联，则对于任意，都有， 即对于任意，都有，即，即， 的图象是开口向上的二次曲线，当时，单调递增， 则在的值域为， 又，则在的值域为， 所以仅在上有解， 当时，， 令，解得， 所以不等式的解是． (3)小问详解： 略 考点四 函数的奇偶性（共22题） 1．（2026·广东·学业水平合格考）下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】 A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 故选：A 2．（2026·湖南·学业水平合格考）下列函数是偶函数的为（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 选项A：函数的定义域为，关于原点对称，且，满足偶函数判定条件，是偶函数； 选项B：函数的定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合要求； 选项C：函数的定义域为，关于原点对称，由诱导公式得，为奇函数，不符合要求； 选项D：函数的定义域为，关于原点对称，由诱导公式得，为奇函数，不符合要求. 3．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）下列函数中，既是奇函数，又是减函数的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 结合奇函数的定义及常见函数的性质逐项判断即可. 【详解】 设，其定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 函数为一次函数，， 所以函数在定义域上是减函数，故A正确； 函数在定义域上是增函数，故B错误； 函数在定义域上是增函数，故C错误； 函数的图象开口向上，对称轴是， 所以函数在上单调递减，在单调递增，故D错误， 故选：A. 4．（2025·黑龙江·学业水平合格考）下列函数为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据奇函数的定义求解即可. 【详解】 选项A：令，则，所以不是奇函数； 选项B：令，则，所以不是奇函数； 选项C：令，则，且定义域为R，所以是奇函数； 选项D：令，则，所以不是奇函数； 故选：C 5．（2025·浙江·学业水平合格考）对于函数，下列说法正确的是（       ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是偶函数，且在上单调递减 C．是奇函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】 由奇偶函数定义结合复合函数单调性可得答案. 【详解】 因，则 ，即定义域关于原点对称， 又令，则为偶函数. 又， 当，， 在上单调递增，又在上单调递增，则在上单调递增. 故选：A 6．（2025·四川·学业水平合格考）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据奇偶性的判断即可排除AB，根据值域即可排除D. 【详解】 对于A, 定义域为R，但是是偶函数，故A错误， 对于B，，所以是非奇非偶函数，B错误， 对于C，定义域为R，但是是奇函数，且值域为R，故C正确， 对于D，中，由于，故值域不为R，故D错误， 故选：C 7．（2025·四川·学业水平合格考）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据偶函数性质及区间单调性可得，两边平方求解集. 【详解】 依题意，得在上为增函数，且为偶函数， 所以，即， 所以，两边平方得，解得． 故选：D 8．（2025·湖南·学业水平合格考）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（       ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 【答案】A 【分析】 根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】 因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 9．（2025·江苏·学业水平合格考）已知函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性比较大小即可逐项判断． 【详解】 函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递减， ，故A错误； ，又，即，故B正确； ，故C，D错误. 故选：B． 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）下列函数中，是偶函数的为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据偶函数的定义或性质，逐一判断各选项，即可得答案. 【详解】 函数的定义域为，函数为非奇非偶函数，A错误； 的定义域为R，，则，故该函数为偶函数，B正确； 的定义域为R，令，则，函数不是偶函数，C错误； 的定义域为R，其图象为直线，不关于y轴对称，故函数不是偶函数，D错误， 故选：B 11．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数是定义域为的奇函数.若，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】 因为函数是定义域为的奇函数，可得， 又因为，可得. 故选：D. 12．（2025·山东·学业水平合格考）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10) A．-10 B．2 C．0 D．10 【答案】B 【分析】由是定义域为的奇函数，可得,结合可得为周期为4的函数,分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和. 【详解】是定义域为的奇函数， 所以 可得， 即有， 即， 进而得到， 为周期为4的函数， 若，可得， ， 则， 可得，故选B. 【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 13．（多选题）（2025·湖北·学业水平合格考）已知函数，则（     ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．是增函数 D．的值域为 【答案】BD 【详解】 A选项：， ， 所以不是奇函数，故选项A错误； B选项：，，，故选项B正确； C选项：因为正弦型函数具有周期性，且只在部分区间上单调递增，所以在上不是增函数，故选项C错误； D选项：因为，所以，故选项D正确. 14．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知为定义域为的奇函数，当时，；当时，　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，则，代入时解析式，利用奇函数的定义，即可求得答案. 【详解】 设，则，代入时解析式可得， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 15．（2025·湖北·学业水平合格考）写出一个同时具有性质①②的函数　　　　　　　　　　． ①；②是奇函数． 【答案】（答案不唯一，形如均符合要求） 【分析】 首先确定满足乘积运算性质的初等函数为幂函数，再结合奇函数的条件选取指数为奇数的幂函数即可. 【详解】 选取，验证如下： 验证性质①：对任意，有，，， 所以，因此，所以函数满足性质①. 验证性质②：的定义域为，关于原点对称，且对任意，， 因此是奇函数，满足性质②. 因此同时具有性质①②的一个函数为. 16．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数（a为常数）的图象过点． （1）求a的值，判断的奇偶性，并说明理由； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）因为函数的图象过点．所以，解得．因此，．是偶函数，理由如下：因为，都有，所以是偶函数．     （2）或      【分析】 （1）将点代入函数解析式求出，再验证即可判断奇偶性； （2）将不等式移项整理为二次不等式，因式分解后写出解集． (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 由，得， 所以，即． 所以或． 所以原不等式的解集为或． 17．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）阅读下面题目及其解答过程. 已知函数 （1）判断是否为奇函数，并说明理由； （2）求的最小值. 解：（1）因为，所以__________①，所以______②奇函数. （2）当时，，所以在区间__________③. 所以__________④；当时，，所以__________⑤，所以的最小值为__________⑥. 以上题目的解答过程中，设置了①~⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理!请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置.（只需填写“A”或“B”） 空格序号 选项 ① （A） （B） ② （A）是 （B）不是 ③ （A）单调递增 （B）单调递减 ④ （A） （B） ⑤ （A） （B） ⑥ （A） （B） 【答案】（1）①A       ②B（2）③B       ④A       ⑤B       ⑥B 【详解】 因为，所以不满足奇函数的要求，即：，即：，所以不是奇函数； 因为是分段函数，所以需要分段分析图象的特点， 当时，，在区间上为对称轴是的抛物线，且开口朝上， 所以在区间上单调递减，所以在该区间上； 当时，，在区间上为底数是2的指数函数， 所以在区间上单调递增，，所以； 综上所述，的最小值为. 18．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1）证明：因的定义域为.对于任意，都有，且，故是奇函数.     （2）4      【分析】 （1）根据奇函数定义即可得证； （2）利用基本不等式即可求解. (1)小问详解： 略； (2)小问详解： 已知，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 19．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ，（1） 求的值；（2） 求不等式的解集.解：（1） 因为当时， 所以            ①          .因为是奇函数， 所以          ②          .（2）当时，           ③          ，所以恒成立.当时，，所以          ④          .因为是奇函数，所以          ⑤          .所以.由， 解得.综上，不等式的解集为          ⑥          . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A.       B. ② A.       B. ③ A.       B. ④ A.     B. ⑤ A.     B. ⑥ A.       B. 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A 【分析】 根据奇函数的定义与性质解奇函数的函数值、奇函数的解析式及解指数不等式即可. 【详解】 （1）∵当时， ，∴，故①选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ∵当时，，所以，故④选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. 20．（2025·四川·学业水平合格考）已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，用定义法判断在的单调性. 【答案】（1）奇函数     （2）单调递减      【分析】 (1)用函数奇偶性的定义可判断. (2)根据单调性的定义判断并证明即可. (1)小问详解： 由题意知：的定义域为，定义域关于原点对称， 为定义在上的奇函数. (2)小问详解： 在上单调递减.证明如下： 任取， ，且 ，即. 在上单调递减.. 21．（2025·福建·学业水平合格考）已知函数． （1）判断的奇偶性，并加以证明． （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）是奇函数，证明如下：的定义域为，关于原点对称. 对任意，有，满足奇函数定义，因此是奇函数.     （2）      【分析】 （1）根据奇偶性定义判断即可； （2） 求导得在上单调递增，利用奇函数将不等式化为，得恒成立，再根据基本不等式求的取值范围. (1)小问详解： 略. (2)小问详解： 对求导得恒成立，因此是上的单调增函数. 原不等式，结合是奇函数，即， 不等式可化为，由是增函数，不等式等价于在上恒成立. 由基本不等式，，当且仅当时取等号，即的最小值为. 因此，即的取值范围是. 22．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值； （2）若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． (1)小问详解： 因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． (2)小问详解： 已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时， ，解得； （2）当时， ，此时无解； （3）当时， ，此时无解； （4）当时， ，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 考点五 函数的图像（共8题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（       ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 【答案】A 【详解】 根据图形平移变换 “左加右减”的规则，可得：向左平移一个单位得到的图像. 2．（2026·湖南·学业水平合格考）函数的图象是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【详解】 由绝对值的定义可知，  ， 当 时，函数 的图象是一条射线，过点 和 ，且单调递增； 当时，函数的图象是一条射线，过点 且单调递减， 综上所述，函数图象的折点（最低点）坐标为，且过点 ， 观察各选项，只有C选项符合上述特征. 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）如图所示，该图象对应的函数解析式是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数图象判断函数的性质，再结合幂函数的性质判断即可. 【详解】 由函数图象可知，该函数的定义域为，函数图象关于原点对称，故为奇函数， 且函数在，上单调递减，故符合题意的只有A. 函数、在定义域上单调递增，不符合题意； 函数为偶函数，不符合题意； 故选：A 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）某盛水容器如图所示，可看作是上下对称的两个圆台，如果向该容器内倒水，在任意相等的时间间隔内所倒水的体积相等，那么该容器内的水面高度与时间的函数图象大致是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 考虑相同的变化时间内高度变化的快慢后可得正确的选项. 【详解】 由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越大， 然后高度的增加量越来越小，最后高度一定，故C符合题意. 故选：C. 5．（2025·河南·学业水平合格考）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，化简函数为分段函数，结合一次函数的图像与性质，即可求解. 【详解】 由函数 ，且， 结合一次函数的图像与性质，可得选项B符合题意. 故选：B. 6．（2025·贵州·学业水平合格考）函数的图象大致为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 写出分段函数形式，结合单调性作出判断. 【详解】 ， 当时，单调递增，当时，单调递减， 故A选项满足要求，其他选项均不合要求. 故选：A 7．（2025·湖北·学业水平合格考）图1是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．目前本条线路运营处于亏损状态，为了实现扭亏为盈，公司有关人员提出了两种建议，如图2和图3所示． 下列说法中正确的是（     ） A．图2表示减少支出和提高票价 B．图2表示减少支出和降低票价 C．图3表示支出不变和提高票价 D．图3表示减少支出和票价不变 【答案】C 【分析】 根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明． 【详解】 根据题意和图2知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量相同时，收支差额变大，即支出变少了， 说明了此建议是减少支出而保持票价不变，B选项错误，A选项错误； 由图3看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了， 即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，C选项正确，D选项错误； 8．（2025·山东·学业水平合格考）已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 选项A：函数在和上单调递减，与图象不符合，故A错误； 选项B：由对勾函数性质，时，在上递减，在上递增； 时，在上递增，在上递减，故B正确； 选项C：在上单调递增，在和上单调递增， 故在和上单调递增，故C错误； 选项D：，则不是奇函数或偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 考点六 函数的最值（共5题） 1．（2025·浙江·学业水平合格考）已知定义在上的函数满足：，且当时，，若在上恒成立，则实数a的最大值为（       ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】 利用换元递推得到的最大值表达式，求解得到区间范围，再解方程即可得到a的最大值. 【详解】 ①对于，令，则， 则， 在，即时，取得最大值. 当时，，当时，， 令得：， ， ②对于，令，则， ， 在时，取得最大值. 在上恒成立， 的最大值是， 故选：C 2．（2025·陕西·学业水平合格考）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一. 以其名命名的函数称为高斯函数，其中，表示不超过的最大整数，如，. 则（       ） A．是奇函数且为递增函数 B．的值域为且为周期函数 C．若，则的最小值为 D．，满足的实数的取值范围是 【答案】C 【分析】 通过举例可判断A；取，求出值域可判断；依据，可得，利用基本不等式可判断C；使用等价转换得，然后利用基本不等式以及题干定义可知D. 【详解】 对A，，所以函数不是增函数，故错误； 对B，当，，且，故错误； 对C，由，所以，， 由，所以，则， 当且仅当时，取等号，故正确； 对D，，满足恒成立，等价于，恒成立, 由，当且仅当，即处取等号， 所以，所以，故错误. 故选：C 3．（2026·浙江·学业水平合格考）已知，若不等式恒成立，则m的最小值为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 以为主元，即恒成立，进行求解． 【详解】 以为主元，即恒成立， 即， 设， 因为，所以， 因此需要满足 ，得 ， 由，得， 得，故m的最小值为. 4．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称． （1）求函数的解析式； （2）若． （i）求的值域； （ii）若对于，使得恒成立，求所有满足条件的的取值范围． 【答案】（1）     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）由题意知，与互为反函数，求解即可． （2）（i）设，，则，利用二次函数可求值域；（ii）由题意可得，进而参变分离可得，可求的取值范围． (1)小问详解： 由题意知，与互为反函数． 将替换为，替换为得：，即， 所以． (2)小问详解： （i）对于， 由，，则，， 所以的值域为． （ii）∵，使得恒成立， ∴． 即在上恒成立，得：在上恒成立， 参变分离得：． ∵在上单调递增，∴．∴， ∴的取值范围为． 5．（2025·江苏·学业水平合格考）已知函数. （1）若，求的最小值； （2）当时，证明：对任意，都有. 【答案】（1）     （2）函数，对称轴，，，故，当时，，此时，又因为，对称轴，所以在上单调递减，故；当时，此时；又因为，对称轴，所以在上单调递增，故；综上，当时，对任意，都有．      【分析】 （1）根据二次函数开口及对称轴即可确定最小值； （2）由题意利用单调性得到，结合即可证明． (1)小问详解： 若，则，， 开口向上，对称轴为， ， 故的最小值为； (2)小问详解： 略 考点七 分段函数（共13题） 1．（2026·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数 则（       ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】 由函数 ，所以. 2．（2026·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数 ，则（       ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】A 【详解】 因为，所以. 3．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数 则的最小值是（     ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】 数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】 根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 4．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）设函数 ，则（     ） A．10 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【分析】 根据分段函数，代入求值. 【详解】 . 故选：A 5．（2025·江苏·学业水平合格考）已知函数 若存在实数满足，则（     ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】 根据解析式,画出函数图像.去绝对值并结合对数的运算性质求得,根据正弦函数的对称性求得,即可得解. 【详解】 函数 ,画出函数图像如下图所示: 由函数图像可知,若,则 因为,与关于对称 则 去绝对值化简可得 即,由对数运算可得 所以， 则． 故选：C ． 6．（2025·贵州·学业水平合格考）已知函数 ，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数的解析式代值计算可得所求代数式的值. 【详解】 因为 ，则. 故选：D. 7．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知函数 ，则（       ） A． B．0 C． D．4 【答案】D 【分析】 根据分段函数解析式，代入即可求解. 【详解】 因为函数 ， 所以. 故选：D 8．（2026·湖南·学业水平合格考）已知函数 则　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 . 9．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数，.设函数 ， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　. 【答案】①②③ 【分析】 作出函数的草图，数形结合，判断①②③的准确性即可. 【详解】 根据题意，作出函数的草图如下： 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以方程只有一解，为，且. 所以函数的图象，如图所示， 所以在区间上单调递增，故①正确； 函数的最大值是时取得的，为，故②正确； 因为函数的图象与直线的交点有两个，所以方程有两个不同的根，故③正确. 故答案为：①②③ 10．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知 ，则　　　　　　. 【答案】2 【分析】 根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】 因为 ， 所以, 故答案为：2 11．（2025·浙江·学业水平合格考）函数 ，已知，则　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 分别讨论，，代入求解即可. 【详解】 时，，； 时，，. 综上所述，. 故答案为：0 12．（2025·福建·学业水平合格考）函数 ，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】 因为 ，所以. 13．（2025·山东·学业水平合格考）若函数 是增函数，则实数的取值范围是　　　　　　　　　. 【答案】 【详解】 因为函数 是增函数， 所以函数在范围内是单调递增， 范围内也要保持单调递增，则， 还需要在处保持单增，即，可得， 所以的取值范围是. 考点八 函数与方程（共16题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】 由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 2．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）设函数，则函数的零点所在的区间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由，求解可得结论. 【详解】 令，可得，所以. 故选：A. 3．（2025·广东·学业水平合格考·第一次）已知 若函数有三个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】 由函数在上单调递增，且值域为， 故必有唯一解， 故当时，有两不同根， 即有两不同非正根， 即有，解得， 由，则，解得， 故. 故选：D. 4．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）已知函数.下列区间中包含的零点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出函数零点即可得解. 【详解】 因为，解得， 所以， 故选：D 5．（2025·浙江·学业水平合格考）设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用零点存在定理求出、的方程，直接解出的值，即可得出结论. 【详解】 设，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 由零点存在定理可得， 由题意知，解得，因此，. 故选：B. 6．（2025·湖南·学业水平合格考）函数在区间上的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】 令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【详解】 令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 7．（2025·湖南·学业水平合格考）函数的零点为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】 因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 8．（2025·江苏·学业水平合格考）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据零点存在定理即可判断. 【详解】 ，且， ，． 在区间内存在零点．故选B． 9．（2025·河南·学业水平合格考）已知是函数 的零点，则（       ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】 分类解方程即可. 【详解】 若，则由，得，不符合题意，故舍去； 若，则由，得（正值舍去）， 故. 故选：A 10．（2025·贵州·学业水平合格考）函数的零点所在区间为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用函数的单调性与零点存在定理可得结果. 【详解】 函数在上为增函数，且，， 所以，由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为. 故选：A. 11．（2025·福建·学业水平合格考）函数的零点所在的区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题直接使用零点存在性定理求解即可. 【详解】 解：∵ ∴ ，，， ， ∴ 根据零点存在性定理：的零点所在的区间是：. 故选：B. 【点睛】 本题考查零点存在性定理，是基础题. 12．（2025·黑龙江·学业水平合格考）已知函数，则函数的零点个数为　　　　　　　　　　. 【答案】1 【分析】 利用零点存在性定理求解即可. 【详解】 因为函数在上单调递增且连续， 且，， 所以函数有1个零点， 故答案为：1 13．（2025·辽宁·学业水平合格考）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 由题意可得在上有两个根，由二次函数的根的分布可求得的取值范围. 【详解】 由函数在上有两个零点， 可得在上有两个根，令 则 ，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025·陕西·学业水平合格考）函数 的零点是　　　　　　　　　(写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【分析】 求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】 当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 15．（2025·云南·学业水平合格考·下学期）已知，实数为常数，都为实数，且． （1）若，求的值； （2）若，且，比较与的大小． 【答案】（1）3     （2）      【分析】 （1）把代入函数解析式，可求的值； （2）由，得是方程的根，又，故，由等号不成立，展开可得结论. (1)小问详解： ，由，解得. (2)小问详解： 由，得方程，即， 所以是方程的根，有， 由，得， ，故，， 因此， 当且仅当或时取等号， 由于，等号不成立，故， 展开得，即. 16．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）已知为实数，函数，,是函数的零点. （1）若，求的值； （2）是否存在实数，使，？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）存在，      【分析】 （1）由题意可知为函数的一个零点，代入求值，即得答案； （2）假设存在满足题意的b，结合二次函数性质列出不等式组，即可得结论，求得答案. (1)小问详解： 由题意知，即为函数的一个零点， 则； (2)小问详解： 假设存在实数，使，， 则 ，解得， 即存在实数，使，，此时. 考点九 函数模型的应用（共6题） 1．（2025·北京·学业水平合格考·第二次）某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（     ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 【答案】D 【分析】 根据分段函数的概念即可逐一判断. 【详解】 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故A错误； 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故B错误； 对于第一阶梯，用户缴费的最大值为元，而第二阶梯用户缴费必然大于元，所以若某户居民自来水年缴费为元，则他来自第一阶梯，故C错误. 由C可知：元费用必在第二阶梯或以上，设用水量为，则，解得，因为，故D正确 故选：D 2．（2025·北京·学业水平合格考·第一次）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】 根据题意列方程：. 故选：C 3．（2025·黑龙江·学业水平合格考）某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（       ） A．一次函数 B．二次函数 C．指数型函数 D．对数型函数 【答案】D 【分析】 细读题目，可知初期增长迅速，后来增长越来越慢，只有对数函数最符合题意. 【详解】 由题目信息可得：初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用对数型函数模型来反映y与x的关系. 故选：D. 【点睛】 本题考查函数模型的选择与应用，考查逻辑思维能力，考查学生对实际问题的分析和解决能力，属于常考题. 4．（2025·湖南·学业水平合格考）一个矩形的周长是10，则矩形的长关于宽的函数解析式为（   ）（默认） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据矩形的周长可列出之间的关系式，求出x的范围，即得答案. 【详解】 由题意可得，则， 其中，则，则， 故矩形的长关于宽的函数解析式为. 故选：A 5．（2025·河南·学业水平合格考）某市持续扩大绿色空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从年的增长到年的．设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据年平均增长率的定义直接计算可得年人均公园绿地面积，进而可得结果. 【详解】 因为年人均公园绿地面积为，且该市人均公园绿地面积的年平均增长率为， 所以年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 因为年人均公园绿地面积为，所以. 故选：C. 6．（2025·云南·学业水平合格考·上学期）一种产品原来的年产量是件，今后10年内，计划使产量平均每年比上一年增加，则年产量（单位：件）关于经过的年数的函数解析式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意结合指数函数模型直接写出解析式即可. 【详解】 由题意可得年产量关于经过的年数的函数解析式为. 故选：A 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $