2026-2027学年人教版数学九年级上册武汉期中23题复习训练

2026年九年级上册武汉期中23题复习答案 1.如图，已知正方形FGCE与正方形ABCD共顶点c(GC<BC),且CG在正方形ABCD的内部，连接 DE、BG BG DE ,直线交 于点H 1) (2) (1)如图(I),求证：△BGC≌aDEC (2)如图(2)，连接CH,请用一个等式表示线段DH、BH、CH之间的数量关系，并证明你的结论： (3)如图(2)，若BC=V0,CE=2,当线段CH的长最大时，直接写出线段DH的长 【答案】(1) 证明：，正方形FGCE与正方形ABCD, BC=CD,∠BCD=90°，CG=CE,∠GCE=90° .∠BCG=∠DCE=90°-∠DCG. :△BGC≌aDEC(SAS) (2) BH-DH=2CH ,证明如下： 在BH上截取BM=DH,如图， G M B 第1页共38页 △BGC≌△DEC(SAS) 由(1)可知： .∠CBM=∠CDH, 又：BC=CD, :△CBM≌aCDH(SAS) ∠BCM=∠DCH,CM=CH .∠DCH+∠DCM=LBCM+∠DCM=∠BCD=90°， .∠HCM=90°， MH=CH2+CM2=2CH HM BH-BM, :BH-DH-2CH 3)DH=6-2 【解析】 【分析】(I)利用SAS证明△BGC≌△DEC即可； (2)在BH上藏取BM=DH,证明△CBM≌aCDH(SAS.得到∠BCM=∠DCH,CM=CH,推出 ∠HCM=90°，勾股定理得到MH=VCH+CM=√2CH,再根据线段的和差关系进行求解即可； (3)连接CF,证明点 ,H,F,G C在以CF为直径的圆上，进而得到当F,H重合时，此时CH为直径，最大， F,H 勾股定理求出CH和BG的长，进而求出BH的长，根据(2)中的结论进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 第2页共38页 略 【小问3详解】 连接CF, D B 由(2)可知：△CMH为等腰直角三角形， ∠CHG=45°， ,'正方形CEFG, .∠CFG=45°=∠CHG,∠CGF=90°，CG=CE=HG=2, C,H,F,G 点 C在以CF为直径的圆上， F,H 当 重合时，此时CH为直径，最大，如图： D F(0 G E B .·∠CGF=90°，CG=CE=HG=2, :∠BGC=90°，CH=V2CG=2√2 BG=BC2-CG2=6 :BH=BC+GH=6+2 第3页共38页 由(2)可知： BH DH+2CH :6+2=DH+V2x2V2 :DH=V6-2 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理 等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形和特殊图形，确定动点的位置，是解题的关 键。 2.问题背景如图1，在△ABC与△ADE中，若AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,则存在一对全等三角形， 请直接写出这对全等三角形 尝试运用如图2，在等边△ABC中，BC=12,点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADE,F是DE的中 点，连接BF,若BD=4,求BF的长. 拓展创新如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12,点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰 Rt△ADE,连接BE.设BD=x,BE=y,直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）· D 图1 图2 图3 +6x+36. y= 【答案】问题背景：△ABD≌△ACE;尝试运用：BF=2√21；拓展创新2 【解析】 ∠BAD=∠CAE, SAS 【分析】问题背景：先证明 再利用 A证明△ABD2△ACE 即可 尝试运用：如图，连接CE,过F作M18C于M,过E作EH L BC交BC的延长线于H , 再证明 △BAD≌△CAE, ∠ACE=∠ABD=60°，BD=CE=4,∠DCE=120°，∠ECH=60°， 可得： 再求解 DF DM FM 1 CH=2,EH=2V3,证明DE DH EH2'求解FM=V5,DM=5,再利用勾股定理可得答案： 第4页共38页 拓展创新：如图，延长DE至H,使DE=EH,连接H,CH,过E作EW1DC于M,证明 △BAD≌△CAH(SAS), 结合(2)的思路与方法可得答案。 3R1△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在△ABC ，点在 内. △CDB, 90° D E 动手操作：如图1，将 绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形： B 图1 图2 实践运用：如图2，连CD,将CD绕点C逆时针旋转9O°得线段CE,连BE,射线AD交BE于点F,连CF, 若BF=1,AC=5,求CF的长. 【答案】画图见解析， CF=3/2 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键. 动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可： 实践运用：过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N,证得△ECB≌aDCA,进而证得四边形CMFV 是正方形，设正方形的边长为x,列方程求解即可. 【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图： E 图1 实践应用： 过点C作CM⊥AD于点M,CN⊥BE于点N, 第5页共38页 B M 图2 :∠DCE=∠ACB=90° ∴.∠BCE=∠ACD .CE=CD CB=CA ∴.△ECB≌△DCA(SAS) .∠E=∠ADC ,∠ADC+∠FDC=180° ∴.∠FDC+∠E=180° ∴.∠ECD+∠EFD=180° ∴.∠EFD=90°， :CN⊥BECM⊥AD ∴.CN=CM ,∠MFN=∠CNF=∠CMF=90° CMFN ‘四边形 是正方形， ∴.∠AMC=BNC=90° 设CM=CN=NF=MF=x, .AC=BC=5∠ACB=90° 第6页共38页 :AB=52 :∠AFB=90°BF=1 AF=VAB2-BF-(52)-1=7 在Rt△AMC中，AM2+CM2=AC2 即(7-x)}+x2=52 解得X=3或x=4, 当x=3时， 在RtABCN中，BN=BF+FN=1+3=4、CN=3、BC=5, 满足BN2+CW2=8C,即4+32=5， 则x=3符合题意， 当x=4时， 在Rt△BCN中，BN=1+4=5、CN=4、BC=5, 由于5+4=20≠5，与8c=5矛盾， 则x=4不符合题意，故舍去， ∴.CW=NF=3 ∴.CF=√2CN=3V2 答：CF的长为3W2 4.点D是等边△ABC内一点，点E是边AC的中点，∠ADC=120°，连接BD、CD、DE. 第7页共38页 图1 图2 1)如图L,若将△1DC袋 C绕点C递时针60°得△8C7T与D对应)，连接9 C DT 得 ①直接写出∠BTD=: ②证明：BD=2DE: (2)如图2，若AB=4,直接写出 BD+ 3CD+)DE的最小值 2 【答案】(1)①60：②见详解 (2)V21 【解析】 【分析】(1)①可得 CD=CT,∠DCT=60°，∠BTC=∠ADC=120°，LCTD=60°，CD=DT ，进而得出结 果 @延长DE至尸，使EF=DE,连接CF,可符出四边形1DC AD=CF,AD∥CF 是平行四边形，从而 进而得出△DCF≌△DTB,从而得出BD=DF=2DE: (2)段CD的中点，CE的中点”，连接”，将C旋 3C旋转60°至CX,连接X,作吹1XC于R,连按 .从WV-DE.ABCDANXCT周=DW: 2 2 5cD,从丽科出 CT= 2 BD+ CD+DE=XT+TW+WV≥XW,解三角形求出XW即可得出结果， 【小问1详解】 第8页共38页 解：①如图，：△1DC绕点C道时针60°得△BCT, ∴.CD=CT,∠DCT=60°，∠BTC=∠ADC=120° .△DCT￥ 等边三角形， .∠CTD=60°，CD=DT :∠BTD=∠BTC-∠DTC=60°， 故答案为：60； ②证明：如图1， 延长DE至F,使EF=DE,连接CF,4F, B 图1 .AE=CE .四边形ADCF是平行四边形， ∴.AD=CF,AD∥CF ∴.∠DCF=180°-∠ADC=60° 第9页共38页 CD=DT,AD=BT,∠BTD=60° 由(1)知： ∴∠BTD=∠DCF,CF=BT .∴，△DCF≌ADTB(SAS) .BD=DF =2DE 【小问2详解】 解：如图2， CE的中点”，连接聊，将BC旋转60°至CX,连按K,作R上XC于R,连接X”, W,CE 取CD的中点 V BC A W R B 图2X BC=CX,∠BCX=60°，∠R=90° W.V CD,CE 分别是 中点， ·T=DE 2 :△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC=4,∠ACB=60° CD=CT,∠DCT=60° 由(1)①得 第10页共38页 .∠DCB=∠TCX=60°-∠BCT, CD=CT,BC=CX=4,∠DCB=∠TCX :aBCD≌aXCT(SAS) ∴.TX=BD, :△CDT是等边三角形，W是CD中点， :TW LCD,CD=CT-DT,DW-CW-1CD :m=g5cr=5。 D 2 2 BDCD+DE-XT+TW4WV2XV 2 :CY=CE=AC=AB=x4=l,∠VCR=180°-∠ACB-∠BCX=60° 2 4 4 4 .0R=Cr=顶=5cR=9 2 2, ·XR=CX+CR= 2, 9)2 ..XV=VXR2+VR2 2+ 2 ..BD+ 5cD+DE的最小值为：， 2 故答案为： √21 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，平行四边形的性质和判定，含30 度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全 第11页共38页 等三角形. 5.问题提出 如图(I),△DBA和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠DEC=90°，连接AE,BC,T是BC的中点， 过T作TO⊥AE于点O,探究AO与EO的数量关系. B T D (1) (2) 问题探究 (1)先将问题特殊化，如图(2)，令B,D,C三点共线，连接AT,把△TBA绕点T旋转180°得到△TCF, 连接EF.请画出图形并证明：△ADE≌aFCE; (2)如图(1)，若B,D,C三点不共线，求证：AO=EO: 问题拓展 (3)若BD=6,DE=2,将△DEC绕点D旋转，直接写出TO的最大值和最小值. 32+23V2-2 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 2；2 【解析】 【分析】(I)根据提示作出图形，由题得△TBA≌ATCF,再利用边角边△ADE≌△FCE(SAS): (2)连接AT并延长至点F,使TF=AT,连接，，CF,EF,ET.易证△TAB≌aTFC(SAS),再证 △ADE≌△FCE SAS、 MS),则1E=FE,∠AED=∠FEC,ET=A ,进而即可得证： (3)易得 ,由AD-DE≤AE≤AD+DE即可得解. 第12页共38页 【详解】(1)解：作图如下： 证明：连接AT,把△TBA绕点T旋转180°得到△TCF,连接EF,. .△DBA.△DCE ∠BAD=∠DEC=90° 和 都是等腰直角三角形， .AB=ADED=EC∠B=∠ADB=∠EDC=∠ECD=45° ∴.∠ADE=90° ·△TBA△TCF T 和 关于点对称， ∴.△TBA≌△TCF .AB=CF=AD∠B=∠FCT=45° ∴.∠ECF=∠ECD+∠FCT=90° 在△ADE和△FCE。 中， AD=CF∠ADE=∠FCE ED=EC ∴.△ADE≌AFCE(SAS) (2)证明：连接AT并延长至点F,使TF=AT,连接CF,EF,ET. 第13页共38页 D B :T。BC 是的中点， ∴.TB=TC :∠ATB=∠FTC TA=TF ∴.△TAB≌△TFC .AB=FC,∠ABT=∠FCT, AB=AD. ∴.AD=FC ,∠ADE=360°-∠ADB-∠EDC-∠BDC=270°-∠BDC ∠FCE=∠ECD+∠DCB+∠FCT =45°+∠DCB+∠ABT =270°-∠BDC ∴.∠ADE=∠FCE ED=EC ,且 △ADE≌△FCE ∴AE=FE∠AED=∠FEC ∴.∠AEF=∠DEC=90° .ET=AT, 第14页共38页 .TO⊥AE.O 于点， ∴.AO=EO (3)由(2)知AE=EF,T为AF中点， ET11F,即∠4=90. 又：AO=EO, 六T0=4E 2, .BD=6 4D-BD-3 2 :AD-DE≤AE≤AD+DE, .3V2-2≤AE≤3W2+2 35-2≤0≤35+2 2 2 3V2+2 3√2-2 :T0的最大值为2，最小值为2· 30° 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、含有直角三角形的性质、全等三角形的判定和 性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 6.在等边△ABC中，点F是AC延长线上一点，点D是线段BC上一点，将DF绕点D逆时针旋转I20°得到 DE. 第15页共38页 B D D 图1 图2 图3 ()如图1，若点E拾好落在AB边上，点D是BC的中点，DG1F交4B于点C,求证：△CDF≌△GDE (2)如图2，若CF=BD,且CD>BD,连接AE、AD,求证：CD=AE+CF (3)如图3，若CD=3BD,4B=4W5,连接CE、AE,当CE最小时.直接写出四边形4CDE的面积 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析： 63√5 (3)当CE最小时，四边形ACDE的面积4· 【解析】 【分析】(1)由等边三角形的性质，结合平行线的性质，可得△BDG为等边三角形，∠CDG=120°，结合已知 可得DC=DG,由旋转可得DF=DE,∠FDE=120°，可得∠CDF=∠GDE，,即可证得结论： (2)在AC上截取CG=DC,则△DCG为等边三角形，BD=AG,证明△CDF≌△GDA(SMS),可得 DF=DA,∠CDF=∠GDA,证明△CDF≌△HED(SMS),可得∠DCF=∠EHD=120°，CF=HD,由平 行四边形的别定和性质，可符10GH,设∠CDF=“,则∠CDF=∠GD1=a,∠B1D=a,可符 △AEQ 为等边三角形，可得4E=A0=HG 由线段之间关系，等量代换，即可证得结论： (3)由等边三角形的性质，统合旋转的性质，证明△CDF2aNDE(S1S),可得∠DCF=∠DNE=-120°，延 长CB至M,使得DM=CD,则DM=CD=DN,可得△DMN为等边三角形，延长MN交CA延长线于点 第16页共38页 P,△CMP CN⊥MP DN/∥CP P,由垂线段录短可知，当点E与点重合时， N ,则 为等边三角形，结合已知可得 最小，过点D作DT11C,则∠CD7=90-60°=30°，由30 C ,由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股 定理，可得DT,即可得四边形ACDE的面积. 【小问1详解】 解：在等边△ABC中，AB=BC=AC,∠B=∠A=∠ACB=60°， :点D是BC中点， .BD=CD, 又：.DG∥AF .∠BDG=∠ACB=60°， 则△BDG为等边三角形，∠CDG=120°， RD=DG-CD-GR ,则BG=AG, 由旋转可知，DF=DE,∠FDE=120°， ,∠CDF+∠CDE=∠CDE+∠GDE, .∠CDF=∠GDE, :△CDF≌aGDE(SAS) 【小问2详解】 证明：在等边△ABC中，AB=BC=AC,∠B=∠BAC=∠ACB=60°， 在AC上截取CG=DC,则△DCG为等边三角形，BD=AG, .∠DCG=∠DGC=∠CDG=60°，DC=DG,则∠DCF=∠DGA=120°， 第17页共38页 ·CF=BD,则CF=BD=AG. :△CDF≌aGDA(SAS) .DF=DA,∠CDF=∠GDA, 由旋转可知，DF=DE,∠FDE=120°，则DF=DA=DE, 在DG上截取DH=CF,连接EH交AB于Q, :∠CDF+∠HDE=∠FDE-∠CDG=60°，∠CDF+∠F=∠DCG=60°， .∠F=∠HDE. :△CDF≌aHED(SAS) .∠DCF=∠EHD=120°，CF=HD. 又：∠DGA=120°， .HE∥AC, 又：∠BAC=∠DGC=60°， .DG∥AB, AQHG 则四边形 为平行四边形， AO=GH B D 设∠CDF=a,则∠CDF=∠GDA=a, ∠F=60°-a, .DF =DA, 第18页共38页 :∠F=∠DAC=60°-a,则∠BAD=a, :'∠ADE=∠FDE-∠CDF-∠CDG-∠GDA=60°-2a,DE=DA, ,∠DAB=180°-∠ADE=60°+a=∠BAD+∠Ea0 2 ∠EAQ=60° .∠GAE=120°， ∠AEQ=60°△AEQ ,则 为等边三角形， AE=AO=HG CD=DG=DH+HG=CF+AE .CD=AE+CF 【小问3详解】 解：在等边△MBC中，B=BC=AC=4V5,∠ACB=60°，则∠DCF=120°， CD=3BD, BD=45×5.cD=5. 由旋转可知，DF=DE,∠FDE=120°， 将DC绕点D逆时针旋转120°得到DN,则DC=DN=3N5,∠CDN=120, .∠CDF=∠WDE,∠NDB=60°， :△CDF≌aNDE(SAS) ∴∠DCF=∠DNE=120°， 延长CB至M,使得DM=CD,则DM=CD=DN, 第19页共38页 .△DMN为等边三角形， ÷∠M=∠MND=60,MW=DM=CM 2 则∠MND+∠DNE=18O°，即点E在直线MN上， M B D F C 延长MN交CA延长线于点P,则△CMP为等边三角形， .CM=MP. MN=DM=1CM 2 ,即N为MP的中点， .CN⊥MP,DN∥CP, 由垂线段最短可知，当点E与点V重合时，CE最小， 过点D作DT⊥AC,则∠CDT=90°-60°=30°， .CT-CD-x 22 963V3 四边形ACDN的面积=S.4cn+S,DN=)×4V3x号+x3W5x9 1 9,1、 2 22 24, 63V5 ∴.当CE最小时，四边形ACDE的面积4· 第20页共38页 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含 30° 角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，与三角形的高有关的计算， 7.如图(1)，点O在正方形ABCD内，连接OA,OB,OC,OD,OA=OD. (1) (2) (1)求证：OB=OC: (2)若∠AOD=135°，探究OC与OA的数量关系，并给出证明： (3)如图(2)，若∠AOD=150°，求∠B0C的大小. 【答案】(1)见解析 (2)0C=V30A,理由见解析 (3)60° 【解析】 【分析】(1)根据ABCD为正方形，得出AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°，根据OA=OD,得出 ∠OAD=∠ODA,∠BAO=∠CDO△ABO≌△DCO OB=OC ,则 ,证明 即可证 (2)过点A作AN⊥AO交DO的延长线于N,连接BN.根据∠AOD=135°，得出∠AON=45°， ∠ANO=45°，AN=A ,则 0,正明 △ABN≌△ADO BN=OD∠ANB=∠AOD=135 ,得出 ,则 ∠ONB=90°，设O1=OD=AN=BN=a,则ON=V2a.勾股定理求出OB=V3a,即可得OC=VB0A (3)以AO为边在AO的下方作等边△AOM,连接BM.根据∠AOD=150°，OA=OD,得出 ∠OAD=15 ∠OAM=60° ∠MAB=15°=∠OAD △ABM≌△ADO ,结合 ,得出 ,证明 得出 第21页共38页 ∠AMB=∠AOD=150°，，∠AMO=60°，∠OMB=150°=∠AMB ABM≌AOBM ，结合 ,得出 ,证明 得出 OB=OC=BC,证出△OBC为等边三角形，则∠BOC=60°. 【小问1详解】 证明：：ABCD为正方形， .AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°， 又OA=OD, .∠OAD=∠ODA. .∠BAD-∠OAD=∠CDA-∠ODA, 即∠BAO=∠CDO. :△ABO≌aDCO(SAS) ..OB=OC. 【小问2详解】 解：过点A作AN⊥AO交DO的延长线于N,连接BN. .∠AOD=135°. .∠A0N=45°，∠AN0=45°， .AN=A0. :∠BAN=90°-∠BAO=∠DAO,AB=AD, :△ABN≌△ADO(SMS) 第22页共38页 .BN=OD,∠ANB=∠AOD=135°， ∴.∠OWB=90° 设OA=OD=AN=BN=a, 则Ow-V2a :OB=JON2+BN2 =V2a2+a=3a .OC=OB=304 【小问3详解】 解：以AO为边在AO的下方作等边△AOM,连接BM. M :∠AOD=150°，OA=OD. .∠0AD=15°， .∠OAM=60°， .∠MAB=15°=∠OAD. AM=AO,AB=AD, :△ABM≌aAD0(SAS) .∠AMB=∠AOD=150°， .∠AMO=60° .∠OMB=150°=∠AMB. AM=OM,BM BM, :△ABM≌aOBM(SAS) 第23页共38页 ..OB=AB, ..OB=OC=BC, .△OBC为等边三角形， ∴.∠B0C=60° 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理等知识点， 解题的关键是掌握以上知识点， 8.在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转Q°得到△DEC,点A的对应点D落在边AB上，连 接BE E 图1 图2 (1)如图1，求证：AB⊥BE (2)如图2，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F. AD=2,EF=3 ①有 3,求4F的长. ②若AB=2W2,当△BDE的面积最大时，直接写出△ACD的面积 【答案】(1)见解析 (204F=25:@2-1 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定 与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键 1 ∠A=∠CBE=90°-二a° (1)根据旋转性质和等腰三角形的性质得到 2,进而求得∠EBA=90°即可： (2)①连接DF,先证明△CBD≌ACEF(AAS)得到BD=EF=3,则ED=AB=5,利用勾股定理求得 第24页共38页 BE=4,再证明四边形 BEFD 是矩形得 EB=FD=4∠ADF=∠BDF=90°左Rt△ADF ，在 中，利用勾 股定理求解即可； 连接BE,先得到当D=BE时，ABDE的面积最大，出时BD=BE=片DE=2,BDE=4S9,多 2 根据等腰三角形的性质求得∠ABF=2∠ABC=45°，过A作AH⊥BF于H,则△ABH是等腰直角三角形， H=BH= AB=2,然后利用三角形的面积关系求解即可. 【小问1详解】 证明：由旋转性质，得CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE, :∠A=∠CDA=∠CBE=∠CEB=90°- 2a :∠ACB=90°， ∴.∠EBA=∠ABC+∠CBE=∠ABC+∠A=90°， .AB⊥BE; 【小问2详解】 解：①连接DF, B :EF∥AB, .∠A+∠EFA=180°，∠FEB+∠ABE=180°， .∠A=∠ADC,∠ABE=90°，∠ADC+∠BDC=180°， 第25页共38页 .∠EFC=∠BDC,∠FEB=∠ABE=90°， .∠CBE=∠CEB, ∴.∠CBD=∠CEF, 又CB=CE, CBDACEF(AAS) .BD=EF=3, 又AD=2, .ED=AB=5. 在Rt△EBD中，BE=VED2-BD2=4 .EF∥AB,EF=BD, .四边形BEFD是平行四边形， 又∠ABE=90°， ∴.四边形BEFD是矩形， .EB=FD=4,∠ADF=∠BDF=90°， 在Rt△ADF中，AF=VAD2+FD2=V22+42=25」 ②连接BF, B ∠DBE=90°.AB=DE=22 当BD=BE,ABDE的面积最太，此时BD=BE=片DE=2，∠BDE=450, 2 第26页共38页 ∠ADC=∠A=∠DE=80-∠BDE)=675”,AD=MB-BD=2N5-2. .∠ABC=90°-∠A=22.5°. 由①知△CBD≌aCEF, .CF=CD=CA, 又∠BCF=∠ACB=90°， .BC垂直平分AF, :BF=AB=25,则∠ABF=2∠ABC=45°， 过A作AH⊥BF于H, 则△ABH是等腰直角三角形， AH-BH= -AB=2 2 B邵.AH=x22x2=2W2 2 2 22-2 S4cD= 2W2 S.AC=2-1 即当△BDE的面积最大时，△MCD的面积是V2-1。 9在等边△ABC中，AB=6N5,AD LBC于D,点E为AB边上一点，点F为线段AD上一点，连接EF, 将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG. 第27页共38页 A(E) A(E) G B B D D D 图1 图2 图3 图4 (1)当点E与点A重合时， O如图1，连接GF,若GF的延长线过点C,连接BG,则线段BG=一： AF=三AD ②如图2，若 31 ,连接BG,CF,M,N,分别为BG,CF的中点，连接AM,AN和MN,求 线段MN的长： 1 (2)如图3，点E不与点A,B重合，若 F=2AD,GF延长线交AC边于点H,连接EH,DG.当 2 △EGH DG= 的周长最小时， 3V19 【答案】(1)①6：②2 95 (2) 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理； (4)①由等边三角形和旋转证明△1GB≌a4FC(SAS),得到∠AFC=∠AGB=120°，再证明 ∠BCF=∠ACF=30°，得到∠GBC=∠90°，根据30°直角三角形和勾股定理得到(2BG=BG2+(65, 解方程即可； ②先证明△GAB2△FAC(SAS),得到GB=CF，,∠AGB=∠AFC,再证明△GAM≌aFAN(SAS),得到 第28页共38页 ∠GAM=∠FAW .△AMN NH ，即可证明是等边三角形，得到 M=N=MN,取DF中点H,连接 ,则 NM是aDCF中位线，利用勾股定理求出4W=VAH+HN_3 2，即可得到MN=AW=39 2 (2)取AB中点N,AN中点M,连接FM,FN,GN,DN,过F作FP⊥GD于P,先证明 △EFM≌aGFN(SAS),得到∠EMF=∠GNF=120°，∠GNF+∠DNF=120°+60°=180°，则G、N、 D三点共线，即G点运动轨迹在直线DN上，再证明△DFG2△1FH(ASA),得到GF=FH,即可得到 △EGH是30°直角三角形，设GF=FH=EF=x,则GE=GF=FH=EF=x,GH=2x,EH=V5x, AEGH的周长=GE+GH+EH=x+2x+V5x=(3+V5)x,当G与P重合时，GF=x=FP最小，此时 △EGH DG=DP 的周长最小，求出 即可. 【小问1详解】 解：①：等边△ABC中，AB=63,AD LBC &4B=AC=BC=6N5BD=CD=BC=3N3.∠B4D=2DMC=30°，∠BAC=60P AD=AB2-BD2=9 :当点E与点A重合时，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG, :AG=AF∠GAF=600 .∠AGF=∠AFG=60°，∠GAB=∠GAF-∠BAD=30°=∠DAC, :△AGB≌aMFC(SAS),∠ACF=∠AFG-∠DAC=30°，∠AFC=180°-∠AFG=I20,. 第29页共38页 .∠AFC=∠AGB=120°， ∴.∠BGC=∠AGB-∠AGF=60°， :∠BCF=∠ACB-∠ACF=30°， .∠GBC=180°-∠BGC-∠BCG=∠90°， CG=2BG CG2=BG2+BC2 :(2BG=BG2+(63, 解得BG=6(负值舍去)， 故答案为：6： ②.∠GAF=∠BAC=60°， .∠GAB=∠FAC=60°-∠BAF, AG=AF,AB=AC, 片△GAB≌aFAC(SAS) ,GB=CF∠AGB=∠AFC .M N BG CF ,分别为， 的中点， GM-3G8 FN-FC 2 .FN=GM .∠AGB=∠AFC,AG=AF, :△GAM≌aFAW(SAS) 第30页共38页 :∠GAM=∠FAN &∠GAF=60°=∠GAM+∠MAF=∠FAN+∠MAF=∠MAN .:AMN 是等边三角形， .AM=AN MN, 取DF中点H,连接NH,则NH是△DCF中位线， A(E) G D :H=cD=35 2,NH∥CD, :∠AHN=∠ADC=900 F-4D 3 DF=AD-AF=6, DH=HF-IDF=3 AH=FH+AF=6 2319 2 .MN AN 3v19 2, 【小问2详解】 第31页共38页 解：取AB中点N,AN中点M,连接FM,FN,GN,DN,过F作FP⊥GD于P,则 AM=MN=号ANBD=BN=AB 1 2 A E M G H D ∠ABC=60° .BDN 是等边三角形， :∠BND=60 4-40 :FN是△ABD 是 中位线， :H∥CD :.∠AFN=∠ADB=90°∠AWF=∠ABC=60 FM-AM-MN-1AN 2 ,∠FND=180°-∠BND-∠ANF=60°， FMN 是等边三角形， .FM=FN,∠MFN=∠NMF=60°， .∠EMF=120°， :将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG, 第32页共38页 :EF=FG∠EFG=60 ∴.△GEF是等边三角形， ∴.GE=GF=EF,∠EFG=∠FEG=60°， :∠EFM=∠GFN=60°-∠GFM :△EFM≌aGFN(SAS) :∠EMF=∠GNF=120 :∠GNF+∠DNF=120°+60°=1800 :G、N、D三点共线，即C点运动轨迹在直线 G N 上， c∠ADG=90二∠BDN=30°=∠DAC,DF=AF=2AD,∠DFG=∠4EZ :.△DFG≌△AFH(ASA) .GF=FH GF=FH=EF :∠GHE=∠FEH=30° 、∠GEH=∠GEF+∠FEH=90° GF=FH=EF=x,GE=GF=FH=EF=x,GH=GF+FH=2x,EH=GH2-GE2=3x ·AEGH的周长=GE+GH+EH=x+2x+V3x=(3+V5)x, .FP⊥GD. :GF=x≥FP 第33页共38页 当G与P重合时，GF=x=FP最小，此时△EGH的周长最小， 比时=F-0r-号0？.nG=DP-orPm-5 21 41 95 ·当△EGH的周长最小时，DG= 9 故答案为：4. 10.如图，△ABC中，∠ABC=45°」 问思背景如图1，将CA绕点C逆时针能转90°得到线段CE,作EDLBC于点D,求：证AB=V2CD。 问题探究如图2，将CA绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连AE,过AE中点F作FH⊥BC于点H,求 证：BH=CH; 问题拓展如图3，将AC绕点A逆时针旋转90°得到线段AM,连BM,点NP分别为BM、AC中点，连 NP,若AB=V2,BC=3,则NP= M 图1E B 图2 图3 【答案】(1)见解析：（②）见解析；(3)V2 【解析】 【分析】I)作AK⊥BC于点K,易得△ABK是等腰直角三角形，再证△ACK≌△CED(AAS),即可得证， (2)连接CF,作AK L BC-于点K,过点F作AK的垂线交AK的延长线于点G,证△AGF≌aCHF(AAS), 第34页共38页 可得矩形FGKH是正方形，可得AG=BH=CH: (3)作MH⊥BC于点H,过M作ME L BC于点B,过A作40LME于点Q,易证△MHC≌aAOM(AAS), 可得点MQ、P、E四点共线，延长BA交M0于点D,易得△B14≌aMOD(AAS),可证点NA、H三点共 线，再利用其线段长求解即可. 【详解】解：(1)证明：作AK⊥BC于点K, .∠AKB=∠AKC=90°， :∠B=45°， :.△ABK是等腰直角三角形， .AK=BK AB=2AK ED⊥BC于点D, .∠EDC=∠AKC=∠ACE=90°， .∠ACK+∠DCE=∠E+∠DCE=90°， .∠ACK=∠E, .CA=CE, :△ACK2aCED(AAS) .AK=CD 第35页共38页 AB=AK=V2CD (2)证明：连接CF,作AK⊥BC于点K,过点F作AK的垂线交AK的延长线于点G. E :FH⊥BC于点H, .∠G=∠GKH=∠FHK=90°. 四边形FGKH是矩形， :CA=CE,∠ACE=90°，点F为AE中点， .AF=CF=EF,∠AFC=90°， ∠G=∠AFC=90°，∠GAF=∠HCF, :△AGF≌aCHf(AAS) .AG=CH,FG=FH 矩形FGKH是正方形， .KG=KH, .AK+KG=BK+KH. .AG=BH, .BH=CH. 第36页共38页 (3)作H1BC于点H,过M作ME L BC于点B,过A作 A0LME于点e, M D H ∠AHC=∠AQM=90° 则 :AB=V2.∠ABC=450 .AH BH=1,CH=BC-BH=2. 由题可知AC=AM,∠CAM=90°， ∠CAM=∠QAH ∠CAH=∠MAQ=90°-∠PAQ :△MHC≌aAQM(AAS) 、AH=AQ=1,MQ=CH=2 AOEH 四边形 为正方形， EH=EC=1,AP=CP, .PE是△ACH的中位线，即PE∥AH, PE=1AH .ME∥AH,且 2 点M、Q、P、E四点共线， 延长BM交M 于点D,连AW 第37页共38页 ∠BAH=∠ADQ,∠AHB=∠AQD,BH=AQ=1 :△BHA≌△AQD(AAS) BD=AD,DO=AH=1 DM=DO=1 则 BN NM, .NA是△BMD中位线， ÷NA/I DM, NA=IDM=1 2 2, 点N、A、H三点共线， 过P作PF⊥NH于点F, M D H PF-1CH= 则 2 1,NF=AN+AF=0.5+AH-FH=0.5+1-PE=0,5+1-0.5=L, :P=VPF2+F2=2: √2 故答案为： 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、正方 形的判定和性质、中位线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键. 第38页共38页2026年九年级上册武汉期中23题复习 1(25.26九年级上学期期中东湖高新区)·如图，已知正方形FGCE与正方形ABCD共顶点c(GC<BC),且 CG ABCD DE、BG 在正方形 的内部，连接 线BG交DE于点H ,直线交 (1) (2) (1)如图(1)，求证：△BGC≌aDEC (2)如图(2)，连接CH,请用一个等式表示线段DH、BH、CH之间的数量关系，并证明你的结论： (3)如图(2)，若BC=V10,CE=2,当线段CH的长最大时，直接写出线段DH的长. 2(25-26九年级上学期期中东西湖区)·问题背景如图1，在△ABC与△ADE中，若AB=AC,AD=AE,∠BAC =∠DAE,则存在一对全等三角形，请直接写出这对全等三角形 尝试运用如图2，在等边△ABC中，BC-12,点D在BC上，以AD为边在其右侧作等边△ADP,F是DE的中 点，连接BF,若BD=4,求BF的长 拓展创新如图3，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=12,点D在BC上，以AD为斜边在其右侧作等腰 Rt△ADE,连接BE.设BD=x,BP=y,直接写出y关于x的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）· D B D B B 图1 图2 图3 1 3(25-26九年级上学期期中汉阳区)，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D在△ABC内. △CDB,,( C .90° D E 动手操作：如图1，将 绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形： B D C 图1 图2 实践运用：如图2，连CD,将CD绕点C逆时针旋转90°得线段CE,连BE,射线AD交BE于点F,连CF, 若BF=1,AC=5,求CF的长 4(25-26九年级上学期期中洪山区)·点D是等边△ABC内一点，点E是边AC中点，∠ADC=120°，连接 BD CD DE A 图1 图2 山如网1，若将△10C光色C延时60有△8CT,I与D对)，达拉D7 ①直接写出∠BTD=: ②证明：BD=2DE； 1 2)如图2，若B=4,直接写出BD+之CD+2DE的最小角 2 5(25-26九年级上学期期中江汉区)·问题提出 如图(1)，△DBA和△DCE都是等腰直角三角形，∠BAD=∠DEC=90°，连接AE,BC,，T是BC的中点， 过T作TO⊥AE于点O,探究AO与EO的数量关系. D B B (1) (2) 问题探究 (1)先将问题特殊化，如图(2)，令B,D,C三点共线，连接AT,把△TBA绕点T旋转180°得到△TCF, 连接EF.请画出图形并证明：△ADE≌△FCE: (2)如图(1)，若B,D,C三点不共线，求证：AO=EO: 问题拓展 (3)若BD=6,DE=2,将△DEC绕点D旋转，直接写出TO的最大值和最小值. 6(25-26九年级上学期期中江夏区)·在等边△ABC中，点F是AC延长线上一点，点D是线段BC上一点，将 DF D 120°，DE 绕点逆时针旋转得到 B B B D D D G E E 图1 图2 图3 ()如图1，若点E恰好落在4B边上，点D是BC的中点， DGLAF交AB 于点G,求证：aCDF2aGDE (2)如图2，若CF=BD,且CD>BD,连接AE、AD,求证：CD=AE+CF. (3)如图3，若CD=3BD,AB=4W5,连接CE、AE,当CE最小时.直接写出四边形ACDE的面积. 7(25-26九年级上学期期中硚口区)·如图(1)，点O在正方形ABCD内，连接OA,OB,OC,OD, OA=OD (1) (1)求证：OB=OC: (2)若∠AOD=135°，探究OC与OA的数量关系，并给出证明； (3)如图(2)，若∠AOD=150°，求∠B0C的大小. 8(25-26九年级上学期期中青山区)·在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C逆时针旋转Q°得到△DEC, 点A的对应点D落在边AB上，连接BE. B E D 图1 图2 (1)如图1，求证：AB⊥BE: (2)如图2，过点E作EF∥AB交AC的延长线于点F. D=2EF=3,求4F的长. ①有 ②若MB=2V2,当△BDE的面积最大时，直接写出△ACD的面积。 9(25:26九年级上学期期中武昌区)·在等边△MBC中，4B=65,AD LBC于D,点E为AB边上一点， 点F为线段AD上一点，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EG. A(E) A(E) E G G H M B D D B D 图1 图2 图3 (1)当点E与点A重合时， ①如图1，连接GF,若GF的延长线过点C,连接BG,则线段BG=一 1 AF=三AD ②如图2，若 3,连接BG、CF.M、N分别为BG、CF的中点，连接AM、AN和MN,求线 段MN的长； 1 AF=二AD (2)如图3，点E不与点A、B重合，若 2 ,GF的延长线交AC边于点H,连接EH、DG.当 △EGH DG= 的周长最小时， 10(25-26九年级上学期期中江岸区)·如图，△ABC中，∠ABC=45°. 问题背泉如图1，将CA绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,作ED1BC于点D,求证：AB=V2CD。 问题探究如图2，将CA绕点C逆时针旋转90°得到线段CE,连AE,过AE中点F作FH⊥BC于点H,求 证：BH=CH: 问题拓展如图3，将AC绕点A逆时针旋转9O°得到线段AM,连BM,点NP分别为BM、AC中点，连 NP,若AB=V2,BC=3,则P= M N F 图1E B 图2 E 图3