2026-2027学年人教版数学九年级上学期期中训练（第25-27章）

新人教版九上期中训练（第25-27章） 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则( ) A．a>1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0 2．函数y＝－的图象大致是( ) 3．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝( ) A．－1 B．－ C．－ D．－4 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(b，c)所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 　　　　　　　　　 5．如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若S△ACB＝6，则k的值为( ) A．－6 B．6 C．3 D．－3 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，关于该函数在－5≤x≤0范围内的函数值，下列说法正确的是( ) A．有最小值－5，最大值0 B．有最小值－3，最大值6 C．有最小值0，最大值6 D．有最小值2，最大值6 7．汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s＝－6t2＋15t，则汽车刹车后到停下来需要( ) A． s B． s C． s D． s 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是( ) A．该蓄电池的电压是36 V B．当R＝10时，I＝3.6 C．当R<9时，I<4 D．当电阻R(Ω)越大时，蓄电池的电流I越小 9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)和点(0，3)，且对称轴在y轴的右侧，则下列结论错误的是( ) A．a<0 B．a－b＝－3 C．抛物线经过点(1，0) D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1有两个不等的实数根 10．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→B→C，A→D→C的方向，都以1 cm/s的速度运动，到达点C时运动终止，连接PQ，设运动的时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( ) 　　 　　 　　 　　 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．请写出一个对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式：_ _． 12．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为 ． 13．若二次函数y＝4x2－6x－3的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为_ __． 14．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，将线段OA沿x轴向右平移3个单位宽度得到线段O′A′，其中点O，A与点O′，A′对应，若O′A′的中点D恰好也在该反比例函数的图象上，则k的值为__ __． 15．如图，抛物线L：y＝x2＋bx－3(b为常数)，当抛物线L经过点M(－4，m)，N(6，m)时．(1)抛物线L的顶点坐标为_ _； (2)若0≤x≤n时，函数y＝x2＋bx－3的最大值与最小值的差总为，n的取值范围_ _． 三、解答题(共75分) 16．(6分)解下列方程： (1)x2－2x＝4; (2)(x－1)(x＋3)＝5x＋15. 17．(6分)将二次函数y＝－2x2＋8x－5化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出它的图象的顶点坐标，对称轴及当x取何值时y随x的增大而减小． 18．(6分)已知关于x的方程(m－2)x2－3x－2＝0， (1)若该方程有两个不等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若该方程的一个根为x＝－1，求m的值及该方程的另一个根． 19．(8分)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A(m，2)和B两点．(1)求点B的坐标； (2)根据图象直接写出y1<y2的自变量x的范围． 20．(8分)已知抛物线y＝－x2＋2x＋m. (1)若该抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围； (2)如图，该抛物线与x轴的一个交点为点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 21．(8分)某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为120 m2的矩形车棚，其中一面靠墙(墙的可用长度为15 m)，另外三面用29 m长的木板材料新建板墙．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个3 m宽的门． (1)求这个矩形车棚相邻两边的长； (2)为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建3条如图所示等宽的小路，使得停放自行车的面积为64 m2，则小路的宽度为多少米？ 22．(10分)某网店专门销售某纪念品套装，成本为每件30元，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式；(不要求写自变量的取值范围) (2)若该网店每天销售该纪念品套装的数量不低于250件． ①当销售单价为多少时，该网店每天销售该纪念品套装获得的利润最大？最大利润是多少？ ②如果该网店每天销售该纪念品套装获得的利润不低于3 000元，请直接写出销售单价x(元/件)的取值范围． 23．(11分)项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在24～32 ℃，夜间温度不低于15 ℃. 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y(℃)随时间x(时)变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为16 ℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时，温度降到16 ℃. 问题解决： (1)观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高________℃；智能控制系统设定的恒温温度是________℃； (2)观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于24 ℃的时间共有多久； (3)某地日出时间为7：30，日落时间为17：30.为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于24 ℃.小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 24．(12分)综合与探究： 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点C，与y轴交于点B(0，3)，点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A，点C). (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图②，过原点O作直线l交抛物线于M，N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n.求证：mn是一个定值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 新人教版九上期中训练（第25-27章）答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．若关于x的方程(a－1)x2＋4x－3＝0是一元二次方程，则(C) A．a>1 B．a＝1 C．a≠1 D．a≥0 2．函数y＝－的图象大致是(A) 3．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝(C) A．－1 B．－ C．－ D．－4 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(b，c)所在的象限是(C) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 　　　　　　　　　 5．如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象经过A点，AC⊥x轴，CO＝BO，若S△ACB＝6，则k的值为(A) A．－6 B．6 C．3 D．－3 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，关于该函数在－5≤x≤0范围内的函数值，下列说法正确的是(B) A．有最小值－5，最大值0 B．有最小值－3，最大值6 C．有最小值0，最大值6 D．有最小值2，最大值6 7．汽车刹车后行驶的距离s(单位：m)关于行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s＝－6t2＋15t，则汽车刹车后到停下来需要(B) A． s B． s C． s D． s 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，根据图象可知，下列说法不正确的是(C) A．该蓄电池的电压是36 V B．当R＝10时，I＝3.6 C．当R<9时，I<4 D．当电阻R(Ω)越大时，蓄电池的电流I越小 9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)和点(0，3)，且对称轴在y轴的右侧，则下列结论错误的是(C) A．a<0 B．a－b＝－3 C．抛物线经过点(1，0) D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝1有两个不等的实数根 10．如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→B→C，A→D→C的方向，都以1 cm/s的速度运动，到达点C时运动终止，连接PQ，设运动的时间为x s，△APQ的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是(A) 　　 　　 　　 　　 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．请写出一个对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式：__y＝(x－3)2(答案不唯一)__． 12．我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”其大意为：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为__x(x＋12)＝864__． 13．若二次函数y＝4x2－6x－3的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则＋的值为__－2__． 14．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A，将线段OA沿x轴向右平移3个单位宽度得到线段O′A′，其中点O，A与点O′，A′对应，若O′A′的中点D恰好也在该反比例函数的图象上，则k的值为__4__． 15．如图，抛物线L：y＝x2＋bx－3(b为常数)，当抛物线L经过点M(－4，m)，N(6，m)时． (1)抛物线L的顶点坐标为(1,-) (2)若0≤x≤n时，函数y＝x2＋bx－3的最大值与最小值的差总为，n的取值范围__1≤n≤2__． 三、解答题(共75分) 16．(6分)解下列方程： (1)x2－2x＝4; (2)(x－1)(x＋3)＝5x＋15. 解：x1＝1＋，x2＝1－； 解：x1＝－3，x2＝6. 17．(6分)将二次函数y＝－2x2＋8x－5化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出它的图象的顶点坐标，对称轴及当x取何值时y随x的增大而减小． 解：∵y＝－2x2＋8x－5＝－2(x－2)2＋3，∴该二次函数的图象的顶点坐标为(2，3)，对称轴为直线x＝2.∴当x≥2时，y随x的增大而减小． 18．(6分)已知关于x的方程(m－2)x2－3x－2＝0， (1)若该方程有两个不等的实数根，求实数m的取值范围； (2)若该方程的一个根为x＝－1，求m的值及该方程的另一个根． 解：(1)根据题意，得m－2≠0且Δ＝(－3)2－4×(m－2)×(－2)＞0，解得m＞且m≠2，∴实数m的取值范围为m＞且m≠2； (2)将x＝－1代入该方程，得m－2＋3－2＝0，解得m＝1，∴该方程为－x2－3x－2＝0.∴它的另一个根为－－(－1)＝－2. 19．(8分)如图，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A(m，2)和B两点． (1)求点B的坐标； (2)根据图象直接写出y1<y2的自变量x的范围． 解：(1)将点A的坐标代入一次函数解析式，得m＋1＝2，解得m＝2，∴点A的坐标为(2，2).将点A的坐标代入反比例函数解析式，得k＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，令x＋1＝，解得x＝2或－4，将x＝－4代入反比例函数解析式得，y＝＝－1，∴点B的坐标为(－4，－1)； (2)x<－4或0<x<2. 20．(8分)已知抛物线y＝－x2＋2x＋m. (1)若该抛物线与x轴有两个交点，求m的取值范围； (2)如图，该抛物线与x轴的一个交点为点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与该抛物线的对称轴交于点P，求点P的坐标． 解：(1)根据题意可知方程－x2＋2x＋m＝0有两个不等的实数根，∴Δ＝22－4×(－1)×m＞0，解得m＞－1； (2)将点A(3，0)代入y＝－x2＋2x＋m，得－9＋6＋m＝0，解得m＝3，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.∴该抛物线的对称轴为直线x＝1.当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，∴点B(0，3).∴直线AB的函数解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－x＋3＝2，∴点P的坐标为(1，2). 21．(8分)某学校计划利用一片空地为学生建一个面积为120 m2的矩形车棚，其中一面靠墙(墙的可用长度为15 m)，另外三面用29 m长的木板材料新建板墙．根据学校的要求，在与墙平行的一面开一个3 m宽的门． (1)求这个矩形车棚相邻两边的长； (2)为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建3条如图所示等宽的小路，使得停放自行车的面积为64 m2，则小路的宽度为多少米？ 解：(1)设这个矩形车棚与墙垂直的边长为x m，则与墙平行的边长为(29＋3－2x)＝(32－2x)m，则解得8.5≤x＜14.5.根据题意，得x(32－2x)＝120，整理，得x2－16x＋60＝0，解得x1＝6(不符合题意，舍去)，x2＝10，∴32－2x＝12.∴这个矩形车棚相邻两边的长分别为10 m，12 m； (2)设小路的宽度为y m，则解得0＜y＜6.根据题意，得(10－y)(12－2y)＝64，整理，得y2－16y＋28＝0，解得y1＝2，y2＝14(不符合题意，舍去)，∴小路的宽度为2 m． 22．(10分)某网店专门销售某纪念品套装，成本为每件30元，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式；(不要求写自变量的取值范围) (2)若该网店每天销售该纪念品套装的数量不低于250件． ①当销售单价为多少时，该网店每天销售该纪念品套装获得的利润最大？最大利润是多少？ ②如果该网店每天销售该纪念品套装获得的利润不低于3 000元，请直接写出销售单价x(元/件)的取值范围． 解：(1)设y＝kx＋b，将(40，300)，(55，150)分别代入y＝kx＋b，得解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700； (2)根据题意，得y＝－10x＋700≥250，解得x≤45.设该网店每天销售该纪念品套装获得的利润为w元．根据题意，得w＝y(x－30)＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1 000x－21 000＝－10(x－50)2＋4 000. ①∵x≤45＜50，∴当x＝45时，w取最大值，w最大＝－10×(45－50)2＋4 000＝3 750.∴当销售单价为45元/件时，该网店每天销售该纪念品套装获得的利润最大，最大利润是3 750元； ②当w＝－10(x－50)2＋4 000＝3 000时，解得x1＝40，x2＝60.∵－10＜0，x≤45，∴如果该网店每天销售该纪念品套装获得的利润不低于3 000元，则销售单价x(元/件)的取值范围为40元/件≤x≤45元/件． 23．(11分)项目式学习 项目主题：利用温室智能控制系统为大棚中黄瓜生长设置最优环境温度． 项目背景：为了促进温室大棚中黄瓜的光合作用和生长发育，需要控制环境温度在适宜的范围内．通常白天温度需保持在24～32 ℃，夜间温度不低于15 ℃. 数据搜集：某“综合与实践”小组搜集了某温室大棚智能控制系统测试阶段0—24时的温度变化，并绘制出大棚内的温度y(℃)随时间x(时)变化的图象．如图所示，点A表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为16 ℃，线段AB表示升温阶段，线段BC表示恒温阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段，点D表示24时，温度降到16 ℃. 问题解决： (1)观察图象，在上午7时，大棚内的温度达到智能控制系统设定的恒温温度，并开启恒温模式．请问：系统在升温阶段、每小时能将大棚内的温度提高________℃；智能控制系统设定的恒温温度是________℃； (2)观察图象，求该大棚在0—24时内，温度不低于24 ℃的时间共有多久； (3)某地日出时间为7：30，日落时间为17：30.为保证该大棚中的黄瓜至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于24 ℃.小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，请直接写出最少推迟多长时间能满足上述要求． 解：(1)2　30； (2)设CD段函数解析式为：y＝(k1≠0)，将(24，16)代入得：y＝，∴当y＝24时，x＝16，∴CD段温度为24°的时刻为16时，易得直线AB的一次函数解析式为y＝2x＋16，把y＝24代入函数y＝2x＋16，得24＝2x＋16，解得x＝4，AB段温度为24°的时刻为4时，∴16－4＝12，∴大棚在0—24时内，温度不低于24 ℃的时间一共有12小时； (3)日出时间为7：30，此时大棚气温是30 ℃，符合要求，由(2)得到16时后，大棚气温低于24 ℃，因此符合要求的时间只有16－7.5＝8.5(小时)，9－8.5＝0.5(小时)，故至少需要推迟0.5小时． 24．(12分)综合与探究： 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点C，与y轴交于点B(0，3)，点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A，点C). (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，动点P在抛物线上，且在直线AB上方，求△ABP面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图②，过原点O作直线l交抛物线于M，N两点，点M的横坐标为m，点N的横坐标为n.求证：mn是一个定值． 解：(1)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点C，与y轴交于点B(0，3)，把点A(－3，0)和点B(0，3)的坐标代入，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3； (2)如图所示，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，把点A和点B的坐标代入，得解得∴直线AB的解析式为y＝x＋3，点P是抛物线上点A与点C之间的动点(不包括点A，点C).设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为－x2－2x＋3，∴点H的横坐标为x，点H的纵坐标为x＋3，∴PH＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x.∵S△APB＝S△APH＋S△BPH＝×[0－(－3)](－x2－3x)＝－x2－x，整理，得S△APB＝－x2－x＝－(x2＋3x)＝－(x＋)2＋，∴可知当x＝－时，△APB的面积有最大值，最大值是，当x＝－时，y＝－x2－2x＋3＝－(－)2－2×(－)＋3＝，此时点P的坐标为(－，)； (3)证明：设直线MN的解析式为y＝hx，解方程组 可得－x2－2x＋3＝hx，整理得x2＋(2＋h)x－3＝0，在一元二次方程x2＋(2＋h)x－3＝0中，Δ＝b2－4ac＝(2＋h)2＋12>0，∴一元二次方程x2＋(2＋h)x－3＝0有两个不相等的实数根，这两个不相等的实数根分别为m，n，则有mn＝＝＝－3，∴mn是一个定值． 学科网（北京）股份有限公司 $