精品解析：湖北省武汉市汉阳区四校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

九年级上学期期中水平数学测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. E. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 4. 若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可． 【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键． 5. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 函数的最小值是y=1，故选项B正确， 图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误， 故选：B． 【点睛】考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6. 如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 7. 抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大，进而由即可判断求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的点离对称轴的水平距离越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 8. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，先找到旋转角，再根据进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知旋转角， 所以． 故选：C． 9. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分． 10. 已知点和点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于原点对称的点的坐标特点， 根据关于原点对称的点，横坐标和纵坐标都互为相反数求出，，然后代数求解即可． 【详解】∵点和点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为_____米． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据顶点坐标公式求出点的坐标，进而求出的坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴点的坐标为， 由题意，点和点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为（米）； 故答案为：20． 12. 如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理，结合题意可知，以及，，再结合的周长为12，即可求出的长． 【详解】解：是的切线，切点分别为A，B， ， 又切于点E， ，， 的周长为12， ， ， ． 故答案为：6． 13. 如图，这个滑轮的半径是，当它的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 求得半径为、圆心角为的弧长，即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，重物上升的高度就是滑轮旋转角度为时所对应的弧长， ， 当滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升， 故答案为：． 14. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 【答案】或或 【解析】 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为， 当点在的延长线上时，如图所示，则 当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形， 综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 三、解答题 15. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 ，， ∴ 解得，． 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由有实数根可推出，代入对应的系数即可求得m的取值范围； （2）利用根与系数的关系：，即可求得m的值． 【小问1详解】 解： 有实数根 解得：； 【小问2详解】 解： ， 又 解得：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，熟知一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）写出点坐标为________；点坐标为________． 【答案】（1） 解：如图，△即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 点坐标为，点坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，再连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （3）由（1）（2）作图求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，中，于点，点为上一点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵， ∴， ． 又∵和都对着， ． （2） 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理、 圆周角定理、勾股定理等知识． （1）连接．根据垂径定理得到，则，由圆周角定理得到，即可证明结论成立； （2）设，则，由垂径定理得到．在中，由，列方程并解方程即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则， ∵， ． 在中，由， 得， 解得， ． 19. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长． 【答案】剪去小正方形的边长是5cm 【解析】 【分析】设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是600cm2，即可得出关于x的一元二次方程并解答． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（40﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， 根据题意得：（30﹣2x）（40﹣2x）＝600． 整理得：（x﹣5）（x﹣30）＝0． 解得：x1＝30（舍去），x2＝5， 答：剪去小正方形的边长是5cm． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，其中涉及正方形的面积、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 如图，是的内接三角形，点E是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角得，，结合圆周角定理得，进行角的等量代换，则，即可作答． （2）因为，且在中，，推导出，则，运用勾股定理得，代入数值进行计算得，则，结合割补法列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接，如下图， ∵， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 设的半径为r，， 则， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积，30度所对的直角边是斜边的一半，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21. 某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 【答案】（1） （2）第35天时，最大利润为4050元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，利用函数的性质求最值，求出函数的解析式是关键． （1）根据单个利润乘以数量，可得利润，列出函数关系式可得答案； （2）分两种情况，分别得出最大值，比较可得答案； （3）根据题意表示出，然后根据二次函数的性质和最大利润为3872列方程求出或，然后根据排除不符合的答案即可． 【小问1详解】 当时，； 【小问2详解】 当时， ， ∵二次项系数为， 二次函数开口向下，二次函数对称轴为， 当时，， 当时，，随的增大而减小， 当时，， 综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元； 【小问3详解】 解：∵在销售的前45天内 ∴ 根据题意得，， 函数的对称轴， 当时，， ∴， 解得或， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴舍去， ． 22. 在和中，，，，旋转，使点在内． （1）如图1，求证：； （2）当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． （2）①； ②， 理由如下： 如图3，延长交于点． AI ∵， ∴，． ∴． ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，再利用已知，，即可证明结论； （2）①求出，．证明．则．得到，由（1）可知，，即可得到答案；②延长交于点．证明四边形是正方形．则，．证明，得到．得到，．即可证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即． ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：①∵， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴ 同（1）可知，， ∴． ②略 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 【答案】（1） （2），S的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可； （2）过M作y轴的平行线，与直线交于点N．先求出直线的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段的长度，进而求出S的最大值； （3）根据中心对称的性质，明确与平行且相等，待定点的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可． 【小问1详解】 解：由，且可得， 设抛物线解析式为， 将代入解析式得，，解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 如图1， 设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， 则， ， ∴， ， ∴时，此时S最大， ∴四边形的最大面积． 【小问3详解】 如图2中，旋转后，对应线段互相平行且相等，则与互相平行且相等． ∵， 设，则， ∵在抛物线上，则， 解得，，则的坐标为， P是点和点的对称中心， ，， ∴． 【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期中水平数学测试 一、选择题：本题共10小题，每小题3分． 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. E. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 4. 若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 5. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 6. 如图，的半径是3，点O到的距离是2，弦的长是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线经过，两点，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分． 10. 已知点和点关于原点对称，则________． 11. 如图，某拱桥的主桥拱近似的看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为20米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为，则主桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为_____米． 12. 如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为_____． 13. 如图，这个滑轮的半径是，当它的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度为时，重物上升______（结果保留）． 14. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为_______． 三、解答题 15. 解方程： （1） （2） 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕点B逆时针旋转后的； （3）写出点坐标为________；点坐标为________． 18. 如图，中，于点，点为上一点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 如图，把一块长为40cm，宽为30cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm2，求剪去小正方形的边长． 20. 如图，是的内接三角形，点E是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 21. 某商店销售进价为20元/件的某种商品，在第天的售价与销量的相关信息如下表：设销售商品的每天利润为y元． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该商店决定每销售1件该商品就捐赠a元给贫困地区，在销售的前45天内该商店当日最大利润为3872元，求a的值． 22. 在和中，，，，旋转，使点在内． （1）如图1，求证：； （2）当时，延长交于点． ①如图2，若，，求的长； ②如图3，连接，若点是的中点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 23. 如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线解析式； （2）点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $