期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+6压轴）-2026-2027学年人教版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、有理数的概念 易错题型二、数轴上两点之间的距离 易错题型三、绝对值非负性 易错题型四、有理数大小比较 易错题型五、相反数的定义 易错题型六、有理数幂的概念理解 易错题型七、用字母表示数 易错题型八、合并同类项 易错题型九、求代数式的值 易错题型十、单项式的系数、次数 易错题型十一、多项式的项、项数或次数 易错题型十二、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 易错题型十三、有理数的乘方运算 易错题型十四、求一个数的近似数 易错题型十五、有理数四则混合运算 易错题型十六、列代数式 易错题型十七、整式的加减运算 易错题型十八、整式加减中的无关型问题 压轴题型一、图形类规律探索 压轴题型二、数字类规律探索 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 压轴题型四、整式加减的应用 压轴题型五、数轴上点的平移（动点问题） 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 易错题型一、有理数的概念 1．（2026·上海静安·模拟预测）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）下列各数中：，，0，，，17，，；分数有___________个． 3．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号里（填序号）： ①；②；③；④0；⑤3.14159；⑥30%；⑦；⑧2026；⑨． 正有理数集合：{________________________…}； 负分数集合：{________________________…}； 非负数集合：{________________________…}． 易错题型二、数轴上两点之间的距离 4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖北·期末）在数轴上表示 5 的点与表示 的点之间的距离是 ________． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在和上．将木棒在数轴上水平移动，点的对应点分别为点． （1）若点表示的数为，在图中画出此时木棒的位置并标出点的位置． （2）若点与点的距离为，求点表示的数． 易错题型三、绝对值非负性 7．（25-26七年级上·福建福州·期中）若，则是（） A．非正数 B．正数 C．非负数 D．0 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）m为有理数，则的最小值：______． 9．（25-26七年级上·河南周口·期中）数轴上点A、点B对应的有理数a，b，且． (1)有理数____，____，在数轴上标出A、B对应的点； (2)在（1）问的条件下，数轴上有两点M、N，对应的数分别是m、n，其中M到A、B的距离相等，N到A的距离等于N到B的距离的2倍，求． 易错题型四、有理数大小比较 10．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）在有理数，0，，5中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D．5 11．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）大于且小于的负整数有________． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来： ． 易错题型五、相反数的定义 13．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）是的（    ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数 14．（25-26七年级上·广东河源·期中）______的相反数是． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）试回答下列问题： (1)什么数的相反数大于它本身？ (2)什么数的相反数等于它本身？ (3)什么数的相反数小于它本身？ 易错题型六、有理数幂的概念理解 16．（25-26七年级上·福建福州·期中）表示的意义是（　  ） A．5个3相乘 B．5个3相加 C．3个5相加 D．3个5相乘 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）关于式子，底数是____，指数是____；底数是，指数是2024的幂写作____． 18．（25-26七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 易错题型七、用字母表示数 19．（24-25七年级上·全国·课堂例题）夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 20．（24-25七年级上·四川德阳·期中）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价（单位：元）与日销数量（单位：个）之间有如下关系，则与成______关系（选填“正比例”或“反比例”）． 日销售单价/元 … 3 4 5 6 … 日销售量个 … 20 15 12 10 … 21．（26-27七年级上·北京·课后作业）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 易错题型八、合并同类项 22．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2026·天津宁河·二模）计算的结果为_________． 24．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）合并下列各式中的同类项： (1)； (2)． 易错题型九、求代数式的值 25．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 26．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如果与互为相反数，则的值为______． 27．（25-26七年级·全国·暑假作业）当，时，求多项式的值． 易错题型十、单项式的系数、次数 28．（25-26七年级上·广东广州·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 29．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）单项式的系数是__________，次数是__________． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各单项式的系数和次数： 系数 次数 易错题型十一、多项式的项、项数或次数 31．（25-26七年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的系数是 B．，，7是多项式的项 C．是二次二项式 D．单项式的系数是4，次数是7 32．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一次式中，一次项系数是_____． 33．（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式是几次几项式： (1)； (2)． 易错题型十二、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 34．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）多项式是（ ） A．按的升幂排列 B．按的降幂排列 C．按的升幂排列 D．按的降幂排列 35．（25-26七年级上·上海崇明·期中）把整式按字母的升幂排列是________________________． 36．（25-26七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 易错题型十三、有理数的乘方运算 37．（26-27七年级上·吉林·期中）在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 39．（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各式写成乘方的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错题型十四、求一个数的近似数 40．（25-26七年级上·云南玉溪·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到个位 B．万精确到千位 C．用四舍五入法对取近似数，精确到千位是 D．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 41．（25-26七年级上·江苏·期末）我国古代数学家祖冲之将π精确到小数点后7位，已知，则π精确到百分位的近似值为________． 42．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？ （1）小琳称得体重为； （2）现在的气温是； （3）等于； （4）某汽车集团去年累计汽车销量为280万辆． 易错题型十五、有理数四则混合运算 43．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出的结果是（    ） A．6 B．22 C．24 D．40 44．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 45．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两个错误，第一处是第___________步，错误的原因是___________________________________，第二处是第___________步，错误的原因是___________________________； (2)请写出正确的解答过程． 易错题型十六、列代数式 46．（2026七年级·贵州遵义·模拟预测）某商家将一件商品先按进价提价，再降价销售，则按此售出该商品的盈亏情况是（    ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．无法判断 47．（2026·湖南郴州·二模）某快递公司使用A、B两种型号机器人分拣包裹，A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件．若B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣__________件． 48．（2025七年级上·全国·专题练习）将x元钱按1年定期存入银行，到期后将本息再按2年定期存入银行．如果存款时1年定期存款的年利率是，2年定期存款的年利率是，那么到期后，本息共是多少元？ 易错题型十七、整式的加减运算 49．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个整式减去等于，则这个整式是（   ） A．0 B． C． D． 50．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 51．（25-26七年级上·河南新乡·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：其中，． 易错题型十八、整式加减中的无关型问题 52．（25-26七年级上·江西上饶·期中）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则______ 54．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择的一个值，求 甲说：“当时，原式” 乙说：“当时，原式” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 压轴题型一、图形类规律探索 1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）观察以下图形，回答问题： (1)图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． (2)按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④____________； (2)试用含有的式子表示这一规律：____；（为正整数） (3)请计算：． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依次类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是 阶方形； （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 阶方形． 【拓展】 （3）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 河南省淮滨县是远近闻名的“渔网之乡”，让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”． (1)观察与探究 图都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 网眼数F 边数E 结点数V 图1 2 5 4 图2 ______ 6 4 图3 4 ______ 5 图4 ______ 12 8 (2)猜想与验证 上述F、E、V之间具有的数量关系是______；请再画一个类似的平面图形，验证你的猜想． (3)应用与拓展 图5是小亮家渔网的一部分，已知该渔网有42478个结点，63717条边，渔网的网眼都是等大的正方形，整张渔网的面积是21240平方厘米，通过计算说明这张渔网能否捕获体宽2厘米的鱼．（假设渔网完全张开，鱼的体宽大于网眼的边长时，鱼将被捕获） 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）观察下列每个图形与其对应的等式之间的关系： 根据图形及其等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图形所对应的等式为： ； (2)第个图形所对应的等式为： ； (3)归纳上述规律，完成下列填空：设 ，则 ，所以 ． 压轴题型二、数字类规律探索 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）数学活动课上，老师列出了如下式子： ． (1)第5个式子为__________________，第2026个式子为__________________ (2)利用（1）中规律计算． (3)拓展：计算． 2．（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）将一串有理数按如图所示的规律排列，解答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？_______________ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？_______________ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 3．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下列等式，定义运算： ，，； ，，； 0 ，． (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算 ， 异号两数运算 ， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍 ． (2)计算： ① ； ② ． (3) 若，1，求的值． 4．（26-27七年级上·山东·阶段检测）如图，把数字，2，，4，，…，998，，1000，按下图的方式排成一个长方形的阵列．如图，用一个十字形框，可以框住5个数，平移十字形框，可以框住另外的5个数． (1)求图中框出的5个数之和； (2)设所框住的5个数中，中间的数字为a，求所框住的5个数之和； (3)所框住的5数之和能否等于861？若能请求出所框住的5个数，若不能，请说明理由． 5．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）为创建国家级卫生城，某天“创城办”人员乘车沿东西公路巡回指导，早晨从A地出发，傍晚到达B地结束，若规定向西为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，问B地在A地的何方，相距多少千米？如果汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升？ 2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）陕西米脂小米是中国国家地理标志产品，陕西米脂县特产．现有8袋米脂小米，以每袋25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 千克 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足的千克数 2 1.5 3 (1)你认为哪一袋米脂小米的质量更接近于标准的质量？请说明理由； (2)这8袋米脂小米总共重多少千克？ 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 5．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）在华师大七年级数学上册16页中，有这样一段文字： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（），记作．例如，在数轴上表示的点与原点的距离是5个单位长度，所以的绝对值是5，记作；在数轴上表示的点与原点的距离是6个单位长度，所以的绝对值是6． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作______；若数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为2，那么x为______； (2)①若点A表示的有理数为x，则当x的值为______时，； ②找出所有使得成立的整数x是______； ③的最小值是______． 压轴题型四、整式加减的应用 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 2．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段练习）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 3．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 压轴题型五、数轴上点的平移（动点问题） 1．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 3．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 4．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 5．（25-26七年级上·山西晋城·期中）综合与探究 【基础探究】 （1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是． 两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示） ②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）． 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 1．（26-27七年级上·浙江·阶段练习）新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． (1)李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ (2)王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 2．（26-27七年级上·全国·单元复习）我国海军航空特技飞行队应邀在某风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下（上升记为正，下降记为负）：，，，，． (1)此时这架飞机比起飞点高了还是低了？高了或低了多少千米？ (2)如果飞机平均上升1km需消耗4L燃油，平均下降1km需消耗2L燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 4．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）李叔叔家原来有一块边长12米的正方形菜地，今年他将这块菜地进行了扩建（如图中的涂色部分）． (1)原来这块菜地的面积是多少平方米？ (2)李叔叔今年扩建了多少平方米的菜地？ 5．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）水果店引进一批智利进口车厘子，一共盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（） 盒数（盒） (1)求这盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为元．若按上述标准分级销售，求这盒车厘子的总销售收入； (3)若这批车厘子按实际净重以元购进，且冷链运输及包装费用共元．求全部售完后的总利润． $期中重难点特训之易错压轴专项训练（18易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、有理数的概念 易错题型二、数轴上两点之间的距离 易错题型三、绝对值非负性 易错题型四、有理数大小比较 易错题型五、相反数的定义 易错题型六、有理数幂的概念理解 易错题型七、用字母表示数 易错题型八、合并同类项 易错题型九、求代数式的值 易错题型十、单项式的系数、次数 易错题型十一、多项式的项、项数或次数 易错题型十二、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 易错题型十三、有理数的乘方运算 易错题型十四、求一个数的近似数 易错题型十五、有理数四则混合运算 易错题型十六、列代数式 易错题型十七、整式的加减运算 易错题型十八、整式加减中的无关型问题 压轴题型一、图形类规律探索 压轴题型二、数字类规律探索 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 压轴题型四、整式加减的应用 压轴题型五、数轴上点的平移（动点问题） 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 易错题型一、有理数的概念 1．（2026·上海静安·模拟预测）下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2．（25-26七年级上·福建福州·期中）下列各数中：，，0，，，17，，；分数有___________个． 【答案】5 【分析】本题考查分数的定义，熟练掌握分数的定义是解题的关键． 根据正分数、负分数、有限小数、百分数的概念，逐项判断即可． 【详解】解：是正分数；是负分数；0是整数； 是负分数；是分数；17是整数； 是负分数；是整数； 综上，分数有，，，，，共5 个， 故答案为：5． 3．（26-27七年级上·湖南湘西·阶段检测）把下列各数填入相应的大括号里（填序号）： ①；②；③；④0；⑤3.14159；⑥30%；⑦；⑧2026；⑨． 正有理数集合：{________________________…}； 负分数集合：{________________________…}； 非负数集合：{________________________…}． 【答案】 正有理数集合： 负分数集合： 非负数集合： 【分析】根据正有理数是大于0的有理数，负分数是小于0的分数，非负数包括正有理数、正无理数和0，解答即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负分数集合：； 非负数集合：． 易错题型二、数轴上两点之间的距离 4．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 5．（24-25七年级上·湖北·期末）在数轴上表示 5 的点与表示 的点之间的距离是 ________． 【答案】20 【分析】本题考查了数轴上两点间距离的计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式——若两点表示的数分别为、，则两点距离为（或用较大数减去较小数）． 先明确数轴上两点距离的计算方法：两点表示的数的差的绝对值（或直接用大数减小数）；再确定两点表示的数分别为和，代入计算即可． 【详解】解：数轴上两点间距离为两点表示数的差的绝对值，   则表示的点与表示的点之间的距离为 故答案为：20． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）如下图，一根木棒放置在数轴上，它的两端分别落在和上．将木棒在数轴上水平移动，点的对应点分别为点． （1）若点表示的数为，在图中画出此时木棒的位置并标出点的位置． （2）若点与点的距离为，求点表示的数． 【答案】（1）木棒的位置及点的位置如图． （2）或 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上的平移规律是解题的关键； （1）根据点对应的点以及移动后对应的点所代表的数在数轴上对应标出即可；（2）根据点的距离确定移动的距离与方向，即可确定点所表示的数． 【详解】解：（1）略 （2）木棒平移有两个方向： ①当木棒向左平移个单位长度时， 点表示的数为， 此时点表示的数为； ②当木棒向右平移个单位长度时， 点表示的数为， 此时点表示的数为． 故答案为：点表示的数为或． 易错题型三、绝对值非负性 7．（25-26七年级上·福建福州·期中）若，则是（） A．非正数 B．正数 C．非负数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质，需分情况讨论，注意非正数包括负数和零．根据绝对值的定义，分情况讨论的符号，求解方程． 【详解】解：， 当时，， ，即， ； 当时，， ，恒成立。 ，即是非正数， 故选：A． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）m为有理数，则的最小值：______． 【答案】 【分析】这道题考查了绝对值的性质，解题关键是利用绝对值的非负性分析式子的取值范围． 利用绝对值的非负性，分析表达式的最小值． 【详解】因为对于任意有理数 ，有 ， 所以 ， 当 时，，此时 ． 故答案为． 9．（25-26七年级上·河南周口·期中）数轴上点A、点B对应的有理数a，b，且． (1)有理数____，____，在数轴上标出A、B对应的点； (2)在（1）问的条件下，数轴上有两点M、N，对应的数分别是m、n，其中M到A、B的距离相等，N到A的距离等于N到B的距离的2倍，求． 【答案】(1)，； 点A、B在数轴上的位置为： (2)或 【分析】本题考查绝对值的性质、偶次方的性质、有理数的运算，正确分类讨论是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，偶次方的结果大于等于零，据此列式，计算求解即可； （2）根据题意得到为点、的中点，则，且，解得或，将m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由于， 则且， 方程，解得， 方程，解得， 故答案为：，； （2）解：由于点M到、的距离相等，即为中点， 则， 点N到A的距离等于N到B的距离的2倍， 则， 解得或， 当时，， 当时，， 综上，的值为或． 易错题型四、有理数大小比较 10．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）在有理数，0，，5中，最小的数是（     ） A． B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】先利用有理数正负性排除正数与0，再比较两个负数的绝对值确定最小数． 【详解】解：∵正数大于0，0大于负数． ∴最小的数在与中． ∵，，． ∴． ∴四个数中最小的数是． 11．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）大于且小于的负整数有________． 【答案】，，，， 【详解】解：大于且小于的负整数有，，，，． 12．（26-27七年级上·全国·课后作业）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来： ． 【答案】 【详解】略． 易错题型五、相反数的定义 13．（2026·黑龙江大庆·模拟预测）是的（    ） A．倒数 B．绝对值 C．相反数 D．负倒数 【答案】C 【详解】解：与只有符号不同， 即是的相反数． 14．（25-26七年级上·广东河源·期中）______的相反数是． 【答案】 【分析】本题考查相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，由此可解． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 15．（26-27七年级上·全国·课后作业）试回答下列问题： (1)什么数的相反数大于它本身？ (2)什么数的相反数等于它本身？ (3)什么数的相反数小于它本身？ 【答案】(1)负数 (2) (3)正数 【详解】（1）解：负数的相反数大于它本身． （2）解：的相反数等于它本身． （3）解：正数的相反数小于它本身． 易错题型六、有理数幂的概念理解 16．（25-26七年级上·福建福州·期中）表示的意义是（　  ） A．5个3相乘 B．5个3相加 C．3个5相加 D．3个5相乘 【答案】D 【分析】根据幂的意义，表示n个a相乘解答即可． 本题考查了幂的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 选项D正确． 故选：D． 17．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）关于式子，底数是____，指数是____；底数是，指数是2024的幂写作____． 【答案】 3 【分析】本题考查了有理数乘方定义，熟练掌握有理数乘方的定义是解题的关键； n个相同的因数a相乘，记作，这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在乘方运算中，a叫做底数，n叫做a的幂的指数，据此即可解答． 【详解】解根据乘方的定义可知 ，底数是，指数是3；底数是，指数是2024的幂写作， 故答案为：，3， ． 18．（25-26七年级上·全国·假期作业）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 易错题型七、用字母表示数 19．（24-25七年级上·全国·课堂例题）夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，则6年后，爸爸比夏明大（ ）岁． A． B．21 C． D．6 【答案】B 【分析】本题题考查的是用字母表示数，熟练掌握用字母表示数及数量关系是解题的关键． 根据夏明今年a岁了，爸爸比夏明大21岁，分别用含有字母的式子表示出爸爸今年的岁数、夏明6年后的岁数、爸爸6年后的岁数，用减法即可计算出爸爸6年后比夏明大的岁数．本题还可以根据“年龄差不变”直接得出答案． 【详解】爸爸今年：岁； 6年后，夏明岁； 爸爸：岁； 爸爸比夏明大： （岁）； 故答案为：B 20．（24-25七年级上·四川德阳·期中）某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现，此贺卡的日销售单价（单位：元）与日销数量（单位：个）之间有如下关系，则与成______关系（选填“正比例”或“反比例”）． 日销售单价/元 … 3 4 5 6 … 日销售量个 … 20 15 12 10 … 【答案】反比例 【分析】本题考查了根据实际问题抽象反比例关系，解答本题的关键是仔细观察所给数据． 通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例． 【详解】解：∵ ∴x与y的乘积是相同的， ∴y与x成反比例关系． 故答案为：反比例． 21．（26-27七年级上·北京·课后作业）用字母表示： (1)加法结合律： ； (2)乘法结合律： ； (3)乘法对加法的分配律： ； (4)一个长方形的长为，宽是长的一半，它的周长是 ，面积是 ； (5)若，，分别表示梯形的上底、下底和高，则这个梯形的面积为 ； (6)一个平行四边形的一边长为，该边上的高是其长的，这个平行四边形的面积是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， (5) (6) 【分析】（）根据加法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法结合律用字母表示出即可求解； （）根据乘法对加法的分配律用字母表示出即可求解； （）用长方形的长除以计算出长方形的宽，再根据长方形的周长和面积公式即可解答； （）根据题意，可以用相应的代数式表示它的周长； （）先求出平行四边形的高，然后利用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：加法结合律：， 故答案为：； （2）解：乘法结合律：， 故答案为：； （3）解：乘法对加法的分配律：， 故答案为：； （4）解：长方形的宽是：， 周长是：， 面积是：， 故答案为：，； （5）解：梯形的面积为：， 故答案为：； （6）解：该边上的高是， 则这个平行四边形的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用字母表示运算定律，长方形周长和面积公式，列代数式，平行四边形的面积公式，解题的关键是熟练掌握相关内容． 易错题型八、合并同类项 22．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、去括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与不是同类项，不能合并，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项不合题意； D：根据去括号法则，，故该选项符合题意． 23．（2026·天津宁河·二模）计算的结果为_________． 【答案】 【详解】解：． 24．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）合并下列各式中的同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 易错题型九、求代数式的值 25．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【答案】B 【分析】将代数式变形为含的整体，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 26．（26-27七年级上·安徽阜阳·阶段检测）如果与互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据相反数的性质列等式，结合绝对值的非负性推导未知数满足的条件，求解出m、n的值，代入代数式计算结果即可． 【详解】解：互为相反数的两个数之和为0，因此可得： 任意实数的绝对值均为非负数，即与， 两个非负数的和为0时，仅当两个非负数同时为0， 因此：，， 计算得：， 将m、n的值代入： ． 27．（25-26七年级·全国·暑假作业）当，时，求多项式的值． 【答案】 【分析】直接把，分别代入 计算，即可作答． 【详解】解：∵， 则 ． 易错题型十、单项式的系数、次数 28．（25-26七年级上·广东广州·期末）单项式的系数和次数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了单项式系数与次数的定义，依据定义直接计算即可得出结果，掌握单项式系数与次数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵单项式中的数字因数是单项式的系数， ∴单项式的系数是， ∵单项式中所有字母指数的和是单项式的次数，的指数为，的指数为， ∴次数为， 综上，该单项式的系数和次数分别是和， 故选：． 29．（25-26七年级上·北京门头沟·期末）单项式的系数是__________，次数是__________． 【答案】 3 【分析】本题考查了单项式的相关概念，解决本题的关键是熟练掌握单项式的系数与次数． 单项式的系数是数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，由此求解即可． 【详解】解：单项式的数字因数为，即系数是； 字母的指数为1，的指数为2，指数之和为，即次数是3． 故答案为:；3． 30．（25-26七年级上·全国·课后作业）写出下列各单项式的系数和次数： 系数 次数 【答案】 解：如表. 系数 次数 【分析】本题考查的是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 根据单项式的系数和次数的概念解答即可． 【详解】略 易错题型十一、多项式的项、项数或次数 31．（25-26七年级上·四川成都·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．的系数是 B．，，7是多项式的项 C．是二次二项式 D．单项式的系数是4，次数是7 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数、次数及多项式的项、次数的相关概念，掌握这些概念是解题关键，需逐一分析选项判断正误． 【详解】解：A、单项式的系数是，故选项错误； B、多项式的项是、、7，故选项错误； C、，它包含两项，最高次项的次数为2，是二次二项式，故选项正确； D、单项式的系数是，次数是，故选项错误． 故选：C． 32．（25-26七年级上·湖北武汉·期末）一次式中，一次项系数是_____． 【答案】 【分析】本题考查多项式，先确定一次项，再根据系数为项中的数字因数，进行作答即可． 【详解】解：一次式中，一次项为， 其系数为． 故答案为：． 33．（26-27七年级上·全国·课后作业）指出下列多项式是几次几项式： (1)； (2)． 【答案】(1) 二次三项式； (2) 二次三项式． 【分析】 根据多项式的项数、次数的定义，分别确定两个多项式的项数和最高次项的次数即可． 【详解】（1）解：多项式的项为，，，共3项，最高次项为，次数为2， ∴该多项式是二次三项式. （2）解：多项式的项为，，，共3项，最高次项为，次数为2， ∴该多项式是二次三项式． 易错题型十二、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 34．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）多项式是（ ） A．按的升幂排列 B．按的降幂排列 C．按的升幂排列 D．按的降幂排列 【答案】D 【分析】先分清各项，再根据多项式幂的排列的定义解答．本题考查了多项式的知识，掌握多项式排列的知识是关键． 【详解】多项式是按的降幂排列． 故选：． 35．（25-26七年级上·上海崇明·期中）把整式按字母的升幂排列是________________________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按字母的升幂排列，即根据的指数从小到大的顺序排列各项． 【详解】解：整式中各项关于的指数分别为：中的指数为0，中的指数为1，中的指数为2，中的指数为4． 按字母的指数从小到大排列为． 故答案为：． 36．（25-26七年级上·广西来宾·期中）阅读理解：把一个多项式的各项按其中某个字母的指数由小到大排列叫做把这个多项式按字母升幂排列．如，叫做按字母x的升幂排列；叫做按字母y的升幂排列． 已知多项式． (1)该多项式是关于x，y的________次________项式；是关于字母x的________次________项式； (2)把该多项式按字母x做升幂排列． 【答案】(1)五，五；四，五 (2) 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的意义是解题的关键． （1）根据多项式的意义即可解答； （2）按字母x的指数从小到大重新排序即可． 【详解】（1）该多项式是关于x，y的五次五项式；是关于字母x的四次五项式， 故答案为：五，五，四，五； （2）把该多项式按字母x做升幂排列为：． 易错题型十三、有理数的乘方运算 37．（26-27七年级上·吉林·期中）在中，负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先把各数化简，再根据负数的定义，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， 是负数，共2个. 38．（25-26七年级上·新疆克孜勒苏·期末）观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 39．（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各式写成乘方的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据乘方的定义，确定相同因数和因数的个数，即可将乘积改写为乘方形式． 【详解】（1）解： 是3个6相乘，改写为乘方得． （2）解：是2个2.1相乘，改写为乘方得． （3）解：是4个相乘，改写为乘方得． （4）解：是5个相乘，改写为乘方得． 易错题型十四、求一个数的近似数 40．（25-26七年级上·云南玉溪·期末）下列说法正确的是（   ） A．近似数精确到个位 B．万精确到千位 C．用四舍五入法对取近似数，精确到千位是 D．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 【答案】B 【分析】本题考查近似数，近似数的精确位数由最后一位有效数字所在的位置决定；带单位的数(如“万”)需还原后判断精确位；四舍五入取近似值时，需看精确位的下一位数字．解答思路是逐一分析每个选项中近似数的精确位或四舍五入结果是否正确． 【详解】解：A、近似数的最后一位在十分位，精确到十分位，选项A错误； B、万，数字1在千位上，精确到千位，选项B正确； C、精确到千位时，百位数字为9，需向千位进1，结果为（或），不是，选项C错误； D、精确到百分位时，千分位数字为5，需向百分位进1，结果为，不是，选项D错误； 故选：B． 41．（25-26七年级上·江苏·期末）我国古代数学家祖冲之将π精确到小数点后7位，已知，则π精确到百分位的近似值为________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数． 精确到百分位需看千分位数字，根据四舍五入法则处理即可． 【详解】解：，千分位数字为1，，因此舍去， 故π精确到百分位的近似值为． 故答案为：． 42．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列各数据中，哪些数是准确数？哪些数是近似数？ （1）小琳称得体重为； （2）现在的气温是； （3）等于； （4）某汽车集团去年累计汽车销量为280万辆． 【答案】（1）是近似数． （2）是近似数． （3）等于中的和是准确数． （4）万辆是近似数． 【分析】在生活中有一些事物的数量，有时用比较准确的数表示，我们称之为精确数，有时不用准确的数表示，而用一个与它比较接近的数来表示，这样的数就是近似数．根据近似数和准确数的定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：（1）体重由称量得到，存在测量误差，所以是近似数． （2）气温由测量得到，存在测量误差，所以是近似数． （3）是长度单位的规定换算关系，数值完全准确， 所以其中的1和100是准确数． （4）280万辆是汽车销量近似到万位的统计结果，与实际销量存在偏差， 所以280万辆是近似数． 易错题型十五、有理数四则混合运算 43．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图所示是计算机某计算程序，若开始输入的值为2，则最后输出的结果是（    ） A．6 B．22 C．24 D．40 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握按照程序逐步计算的方法是解题的关键．按照计算程序，先将输入值代入计算，判断结果是否大于10，若不大于则将结果再次代入计算，直到结果大于10时输出． 【详解】解：第一次输入：，， 第二次输入：，， 故选： 44．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0，则数轴上的点3对应刻度尺上的______ ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，有理数的四则混合运算，根据题意可求出刻度尺上的长即为数轴上的1个单位长度，根据数轴上的点3在0的右边3个单位长度即可得到答案． 【详解】解：刻度尺上和对应数轴上的点表示的数分别为和0， 刻度尺上的长即为数轴上的个单位长度， 又数轴上的点3在0的右边3个单位长度，对应数轴上的点表示的数是0， 数轴上的点3对应刻度尺上的， 故答案为： 45．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）阅读下面解题过程： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)上面解题过程中有两个错误，第一处是第___________步，错误的原因是___________________________________，第二处是第___________步，错误的原因是___________________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；乘除同级运算应从左到右依次进行，错误地先计算除数与后面的乘法． 三；同号两数相除商为正，结果符号错误． (2)正确解答过程： ． 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则判断； （2）先计算括号内，然后从左到右依次进行计算． 【详解】（1）略 （2）略 易错题型十六、列代数式 46．（2026七年级·贵州遵义·模拟预测）某商家将一件商品先按进价提价，再降价销售，则按此售出该商品的盈亏情况是（    ） A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．无法判断 【答案】B 【分析】设商品进价为单位1，依次计算提价，再降价后的最终售价，将最终售价和进价比较大小，即可判断盈亏情况． 【详解】解：设该商品的进价为x， ∵先按进价提价，提价后的价格为， 再在提价后的价格基础上降价，最终售价为， ∴， ∴最终售价低于进价， ∴售出该商品亏损了． 47．（2026·湖南郴州·二模）某快递公司使用A、B两种型号机器人分拣包裹，A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件．若B型机器人每小时分拣x件，则A型机器人每小时分拣__________件． 【答案】 【详解】解：∵A型机器人每小时分拣数量是B型机器人的4倍多1件 ∴当B型机器人每小时分拣x件时，A型机器人每小时分拣件 ． 48．（2025七年级上·全国·专题练习）将x元钱按1年定期存入银行，到期后将本息再按2年定期存入银行．如果存款时1年定期存款的年利率是，2年定期存款的年利率是，那么到期后，本息共是多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了列代数式，存款利息的计算，根据题意，先计算1年定期存款的本息和，再以此作为本金计算2年定期存款的本息和，存款利息按单利计算，即利息=本金×年利率×时间． 【详解】解：1年后本息和为： （元） 将元存入2年定期，存款期限2年，到期本息和为：（元）， 故到期后本息共元． 易错题型十七、整式的加减运算 49．（25-26七年级上·江苏南京·期末）一个整式减去等于，则这个整式是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，根据被减数减数差的关系，将两个整式相加即可求出这个整式． 【详解】解：∵被减数减数差， ∴这个整式为 ． 故选：C． 50．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．王老师捂住的一次式是____． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴王老师捂住的一次式是． 故答案为：． 51．（25-26七年级上·河南新乡·期末）（1）化简：； （2）先化简，再求值：其中，． 【答案】（1）（2），5 【分析】本题考查了整式加减运算中的化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 当，时，原式． 易错题型十八、整式加减中的无关型问题 52．（25-26七年级上·江西上饶·期中）若代数式的值与x的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，代数式的值与x无关，则所有含x的项的系数必须为零，求出m、n的值，再代入求值即可． 【详解】解： ∵代数式的值与x无关， ∴， 解得：，， ∴． 故选：B． 53．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）已知，，若的值与字母x的取值无关，则______ 【答案】 【分析】本题考查了合并同类项以及代数式无关项求值，熟记合并同类项法则是解答本题的关键． 先计算的表达式，合并同类项后，令含的项的系数为零，从而求出的值． 【详解】解：∵，， 则， ． ∵的值与字母的取值无关， 则含的项的系数为零，即， 解得：． 故答案为：． 54．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择的一个值，求 甲说：“当时，原式” 乙说：“当时，原式” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 【答案】 三位同学的说法都正确，理由如下： ， 当或或为任何一个有理数时，原式， 三位同学的说法都正确． 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题．先去括号，然后合并同类项将原式化简结果为，即该多项式的结果与a的取值无关，据此可得结论． 【详解】略 压轴题型一、图形类规律探索 1．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）观察以下图形，回答问题： (1)图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． (2)按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】(1)3，5，7，13 (2) 【分析】本题考查了图形的变化类规律型，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形 （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第个图形中的三角形的个数． 【详解】（1）解：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形； ， 猜测第7个图形中共有13个三角形， 故答案为：3，5，7，13； （2）解：图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ， 第个图形中有个三角形． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④后面的横线上写出相应的等式： ①；②；③；④____________； (2)试用含有的式子表示这一规律：____；（为正整数） (3)请计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键． （1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案； （2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案． （3）根据（2）得出的一般规律，将，写成即可得到答案． 【详解】（1）解：由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； （2）由已知可知： 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 第个图案所代表的算式为：； 以此类推： 第个图案所代表的算式为：． 故答案为：． （3）根据（2）得出的一般规律， ， ， ． 3．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）【阅读】 邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第次操作依次类推，若第次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为阶方形． 如图，邻边长分别为和的长方形只需第次操作虚线为剪裁线，余下的四边形就是正方形，则这个长方形为阶方形；显然，图是一个阶方形． 【探索】 （1）如图，邻边长分别为和的长方形是 阶方形； （2）若长方形的邻边长分别为和，且满足，，则这个长方形是 阶方形． 【拓展】 （3）已知长方形的邻边长分别为和，且这个长方形是阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出的值． 【答案】（1）2； （2）8； （3）如图： 【分析】本题考查了图形规律问题，解题的关键是读懂新定义， （1）第一个最大正方形边长为2，第二个最大正方形边长为1，余下的正方形边长为1，所以邻边长分别为2和3的矩形是2阶方形； （2）先计算，前三个正方形边长都为，后三个正方形边长都为，所以长方形是8阶方形； （3）根据题意分4种情况讨论，分别画图即可． 【详解】解：（1）由图3可知，邻边为2和3的长方形经过两次操作剩下边长为1的正方形，故为2阶方形， 故答案为：2； （2），， ， 作图如下： 由图可知，这个长方形为8阶方形； （3）根据3阶方形的定义做出如下4种情况： 有四个值：当时，三个最大的正方形边长都为1，余下的正方形边长为1； 当时，第一个和第二个正方形边长都为1，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个和第三个正方形边长都为，余下的正方形边长为； 当时，第一个正方形边长为1，第二个正方形边长为，第三个正方形边长为，余下的正方形边长为． 4．（25-26七年级上·河南郑州·期中）综合与实践 河南省淮滨县是远近闻名的“渔网之乡”，让我们一起探索有趣的“渔网中的数学”． (1)观察与探究 图都是由绳索编织成的网状图形，我们把这种网状图形中的交叉点称为“结点”，把网中的洞称为“网眼”，把构成网眼的小段绳索称为“边”． 观察图形，补全下列表格： 序号 网眼数F 边数E 结点数V 图1 2 5 4 图2 ______ 6 4 图3 4 ______ 5 图4 ______ 12 8 (2)猜想与验证 上述F、E、V之间具有的数量关系是______；请再画一个类似的平面图形，验证你的猜想． (3)应用与拓展 图5是小亮家渔网的一部分，已知该渔网有42478个结点，63717条边，渔网的网眼都是等大的正方形，整张渔网的面积是21240平方厘米，通过计算说明这张渔网能否捕获体宽2厘米的鱼．（假设渔网完全张开，鱼的体宽大于网眼的边长时，鱼将被捕获） 【答案】(1)3，8，5； (2)1； 图形验证如下： (3)能捕获体宽2厘米的鱼 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及有理数的减法，能根据所给图形发现F，E，V之间的关系式是解题的关键． （1）根据所给图形，分别求出网眼数，边数及结点数即可； （2）结合（1）中的表格进行猜想，并画图验证即可； （3）根据上面发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给图形可知，图2中的网眼数为3，图3中的边数为8，图4中的网眼数为， 故答案为：3，8，5； （2）解：由（1）中表格猜想，， ，，，且， 所以符合猜想． 故答案为：1； （3）解：根据得， 这张渔网的网眼数为：个， 因为整张渔网的面积是21240平方厘米， 所以每个网眼的面积为：平方厘米， 因为网眼为正方形， 所以网眼的边长为1厘米， 因为2厘米厘米， 所以这张渔网能捕获体宽2厘米的鱼． 5．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）观察下列每个图形与其对应的等式之间的关系： 根据图形及其等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图形所对应的等式为： ； (2)第个图形所对应的等式为： ； (3)归纳上述规律，完成下列填空：设 ，则 ，所以 ． 【答案】(1) (2) (3)2026，2025，2024，2023，2026，2026 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出第5个图形对应的式子即可； （2）观察可知第n个图形对应的式子最左边的被减数为，减数为，第一个等号后边和第二个等号前边的式子为，据此求解即可； （3）根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意得第5个图形所对应的等式为； （2）解：第1个图形所对应的等式为； 第2个图形所对应的等式为； 第3个图形所对应的等式为； 第4个图形所对应的等式为； ……， 以此类推可知，第n个图形所对应的等式为； （3）解：由（2）可知： ， ∴ ∴ ． 压轴题型二、数字类规律探索 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）数学活动课上，老师列出了如下式子： ． (1)第5个式子为__________________，第2026个式子为__________________ (2)利用（1）中规律计算． (3)拓展：计算． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）总结出第个式子是，即可求解； （2）根据规律将原式变形为，即可求解； （3）将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， …， ∴第个式子是 故第5个式子为，第2026个式子为； （2）解： ； （3）解： ． 2．（26-27七年级上·陕西宝鸡·阶段检测）将一串有理数按如图所示的规律排列，解答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？_______________ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？_______________ (3)第2026个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)正数 (2)B、D (3)正数，C． 【分析】（1）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （2）观察规律，找出循环，注意符号，即得答案； （3）因为，根据规律，即得答案． 【详解】（1）解：由数字排列规律可知：A是正数，B是负数，C是正数，D是负数．每4个数一循环， 所以在A处的数是正数； （2）解：由（1）可知，负数排在B，D的位置上； （3）解：因为， 所以第个数是经历个循环后的第二个数根据（1）中数字排列规律可知，第个数是正数，排在对应C的位置上． 3．（26-27七年级上·辽宁大连·阶段检测）观察下列等式，定义运算： ，，； ，，； 0 ，． (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算 ， 异号两数运算 ， 特别地，0与任何数进行运算，或任何数与0进行运算，仍 ． (2)计算： ① ； ② ． (3)若，1，求的值． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据题干所给例子分析即可得出结果； （2）根据（1）中得出的运算法则计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再代入所求代数式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：两数进行运算时： 同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加； 异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）解：①； ②； （3）解：由条件可知m与同号，即， ∴． 由条件可知n与1异号，即， ∴． ∴． 4．（26-27七年级上·山东·阶段检测）如图，把数字，2，，4，，…，998，，1000，按下图的方式排成一个长方形的阵列．如图，用一个十字形框，可以框住5个数，平移十字形框，可以框住另外的5个数． (1)求图中框出的5个数之和； (2)设所框住的5个数中，中间的数字为a，求所框住的5个数之和； (3)所框住的5数之和能否等于861？若能请求出所框住的5个数，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)5数之和不能等于861，理由如下： 设所框住的5个数之和为861，则： 由于数列中每行有7个数，且，说明是第41行的最后一个数（第7列），十字形框需要框住中间数左右各一个数，但第7列右侧无数字，因此无法框住右侧数字，故所框住的5个数之和不能等于861． 【分析】（1）直接根据图形读取框内的5个数字，利用有理数加法法则求和． （2）观察数字排列规律，发现每行7个数，奇数为负，偶数为正，设中间数为a，根据上下左右位置关系及符号规律，用含a的代数式表示出其余4个数，进而求和． （3）根据第二问得出的和的表达式列方程求出中间数a，再根据a的绝对值判断其在阵列中  的位置（行、列），验证该位置是否能作为十字框的中心（即不能位于第一列或最后一列）． 【详解】（1）解： （2）由图可得，当中间数字为a时，其余四个数为：，，，，则这五个数的和为： （3）略 5．（26-27七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）数学中，我们经常用平移、旋转等方式将不规则图形转化成规则图形．观察下表中每组图形与算式的变化，你有什么发现？ 图形 算式 根据发现的规律填空： (1) ， ． (2) × ． 【答案】(1)； (2)99；101 【分析】（1）观察所给图形及算式可得； （2）利用发现的规律即可求解． 【详解】（1）解：由所给图形及算式可得， 因此，； （2）解：由（1）中发现规律可得： 即． 压轴题型三、绝对值的几何意义综合 1．（24-25七年级上·江苏南京·期末）为创建国家级卫生城，某天“创城办”人员乘车沿东西公路巡回指导，早晨从A地出发，傍晚到达B地结束，若规定向西为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，问B地在A地的何方，相距多少千米？如果汽车行驶每千米耗油a升，求该天共耗油多少升？ 【答案】B地在A地的东方，相距7千米 ；升 【分析】本题考查了正数和负数，根据有理数的加法运算，可得相应的位置，根据行车就耗油，可得耗油量．有理数的加法是解题关键，注意求耗油量时，要算绝对值． 【详解】解：（千米）， 答：地在地的东方，相距7千米； （升）， 答：该天共耗油升． 2．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数x与数 两点间的距离； (2)的最小值是 ； (3)计算的最小值． 【答案】(1)； (2)5 (3)1001000 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）当时，取得最小值5． （3）由题意得出当时，的值最小． 【详解】（1）解：表示数轴上数x与数两点间的距离， 故答案为：； （2）解：可理解为数轴上表示数  ��  的点到表示数和 2的点的距离之和，当点  ��  位于点数 和 2之间（含端点）时，该距离之和最小，最小值为点数和点2之间的距离，当时，取得最小值5． 故答案为：5； （3）解：表示数轴上x所对应的点到1、2、3、…、2001所对应的点的距离之和， 当时，距离之和最小， 最小值为： . 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）陕西米脂小米是中国国家地理标志产品，陕西米脂县特产．现有8袋米脂小米，以每袋25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下： 千克 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足的千克数 2 1.5 3 (1)你认为哪一袋米脂小米的质量更接近于标准的质量？请说明理由； (2)这8袋米脂小米总共重多少千克？ 【答案】(1)解：第8袋，理由如下： ∵， ∴第8袋米脂小米的质量更接近于基准的质量； (2)（千克） 【分析】此题考查了正负数的应用，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义是解题关键． （1）根据绝对值的意义即可求解； （2）利用表格中的数据先计算超出或不足的质量，再加上标准质量即可求出总质量； 【详解】（1）略 （2）解：∵（千克）， ∴这8袋米脂小米总共重为（千克） 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 【答案】(1)、，B (2)①甲：；乙：；②千米 (3) (4)， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据与，与之间的距离均为米，米千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解； （4）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：与，与之间的距离均为米，米千米， 、两点在数轴上所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车在数轴上表示的数为： ， 乙车在数轴上表示的数为：； ②当分钟时， 甲车在数轴上表示的数为：， 乙车在数轴上表示的数为：， 两车的距离：（千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为， 故答案为：； （4）表示数轴上点分别到，，，，，的距离之和， 该式子取得最小值时，应满足的条件是， 当时，取得最小值， 最小值为： ． 5．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）在华师大七年级数学上册16页中，有这样一段文字： 我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（），记作．例如，在数轴上表示的点与原点的距离是5个单位长度，所以的绝对值是5，记作；在数轴上表示的点与原点的距离是6个单位长度，所以的绝对值是6． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作______；若数轴上表示x与的两点A和B之间的距离为2，那么x为______； (2)①若点A表示的有理数为x，则当x的值为______时，； ②找出所有使得成立的整数x是______； ③的最小值是______． 【答案】(1)（或）；1或 (2)① （或）；②、0、1；③ 9 【分析】（1）对于两点距离类问题，因为数轴上两点A、B表示的数为a、b时，距离为，所以直接套用公式写出与的距离表达式，若已知距离值，列绝对值方程求解即可． （2）①对于形如的等式，因为等式几何意义是到和的距离相等，所以可以用几何意义找两点中点，也可以用绝对值代数意义平方去绝对值求解．②对于两个绝对值和等于定值的问题，因为其几何意义是到两个定点的距离之和，所以先计算两个定点之间的距离，再判断的取值范围，再筛选符合要求的整数．③对于两个绝对值和的最小值问题，因为其几何意义是到两个定点的距离之和，所以根据两点之间线段最短，可知在两个定点之间时和取最小值，最小值为两定点的距离． 【详解】（1）解：对应数为和的两点距离，代入距离公式得； ∵距离为2， 即， ∴几何意义是到的距离为2的点，在右侧2个单位是，左侧2个单位是． （2）解： ① ∵的几何意义是：数轴上到和到的距离相等的点， 也就是所表示的点和所表示的点的连线的中点， ∴． ② ∵的几何意义是：数轴上到所表示的点的距离与到所表示的点的距离之和为3的点． 且和本身的距离就是， ∴在和之间（包括端点）的所有点都满足等式， 其中的整数就是． ③ ∵的几何意义是：数轴上一点到所表示的点和到所表示的点的距离之和． 当这个点落在和之间（包括端点）时，距离和刚好等于到的总长度， 如果点落在区间外，距离和一定会大于9， ∴最小值是9． 压轴题型四、整式加减的应用 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的窗框，上部分为半圆，下部分为6个大小一样的长方形，长方形的长与宽的比为．如果长方形的长分别为、、等，那么窗框所需材料的长度分别是多少？如果长方形的长为呢？ 【答案】；；；. 【分析】先表示出长方形的宽，再根据所需材料的长度等于所有长方形的周长和半圆的周长以及三个半径的长度之和列式整理即可. 【详解】解：长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度， ， ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 ； 长方形的长和宽的比为，长方形的长为， 长方形的宽为， 所需材料的长度 . 2．（26-27七年级上·江苏徐州·阶段练习）某水泥厂在A市和B市各有一个仓库，现在X市和Y市各有一个工地需要水泥，X市需要100吨水泥，Y市需要60吨水泥．而该水泥厂在A市的仓库中只有库存90吨水泥，在B市的仓库中只有库存70吨水泥．已知每吨水泥在城市间的运费如下表所示（单位：元），该厂通过合理安排运输可以使总运费尽量少，请求出总运费最少为多少元？         终点起点 X市 Y市 A市 200 150 B市 120 90 【答案】 总运费最少为23400元． 【分析】设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨，根据题意，求出的范围，列出代数式，表示出总运费，即可得出结果． 【详解】解：设从A市仓库运到X市的水泥为吨，则从A市仓库运到Y市的水泥为吨，从B市仓库运到X市的水泥为吨，从B市仓库运到Y市的水泥为吨， 又因为运输到每个地方的水泥数量都为非负数， 所以， 由题意，总运费为 元； 因为， 所以当时，总运费最小为元． 答：总运费最少为23400元． 3．（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【问题呈现】在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式，要比较大小，只要计算的值，即若，则；若，则；若，则，反过来也成立． 【解决问题】例如比较和的大小，我们可以用，即． 【数学思考】依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则_______；（填“>”“<”或“=”） (2)比较与的大小； (3)已知，，若，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （2）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合平方数的非负性判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系； （3）先对两个代数式作差，通过整式加减化简差，再结合已知条件判断差的符号，即可得到两个代数式的大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）阅读与思考 如图是年月份的日历，乐乐在其中画出一个的方框（阴影框），框住九个数，计算其中如图所示位置的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图中的结果为 ． 将的方框移动到图的其他位置，通过计算可以发现的值为 ． (2)数学思考：乐乐认为（1）中的猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则， ， ． 所以，的值为 ． (3)迁移应用：某天，乐乐不小心将日历表撕掉了一块，使得某个方框中的日期看不到了，但他记得在探究过程中方框中，请你类比（2）中探究思路帮乐乐求出的值． 【答案】(1)， (2)， ， ， ， (3) 【分析】（1）根据有理数的运算规则运算即可；平移的方框，任选与图1位置不同的位置将值代入运算即可； （2）根据图像将表示出来，再代入进行运算即可； （3）根据（2）将用表示出来，再代入求解即可． 【详解】（1）解：； 当， 则． （2）解：设，则，，． ， ， ， ； 所以，的值为． （3）解：设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26七年级下·广东深圳·期末）某学校数学俱乐部组织了“数字变化引擎”设计大赛．引擎的核心是一个运算程序：输入一个数，按一定的运算规则进行运算后，输出结果． 【理解与思考】 (1)理解“循环—判断” 小福设计的“数字变化引擎”程序如下： 规定：程序每运行到“”为一次运行． ①若输入，则输出的值为________； ②若该程序第一次运行后就直接输出值，则可以为________（写出一个满足条件的整数）． 【迁移与应用】 (2)利用“循环—判断”进行程序设计 在进一步探究中，小田发现“循环—判断”可以使程序重复执行一段运算，直到满足指定条件为止．于是他设计了一个运算程序，该程序输入一个任意的两位数，输出结果为一个定值．程序流程如图： ①若输入的两位数是23，请根据小田设计的运算程序，写出输出结果和找到结果的过程． ②若输入的两位数十位数字用表示，个位数字用表示，试结合代数式解释：任意输入一个两位数，该运算程序的结果总是固定的值． 【答案】(1)①16；②6 (2)①输出的结果为6．过程如下： 23的十位数字为2，个位数字为3，第一次运算后得到 ， 因为12不是个位数，所以重复操作； 12的十位数字为1，个位数字为2，第二次运算后得到 ， 因为6是个位数，所以输出结果为6； ②因为十位数字为a，个位数字为b， 所以，，． 当时，为个位数，输出为定值6， 当时，为6的倍数，即每一次运行都能得到结果为6的倍数， 又因为只有个位数时才输出结果， 所以最后输出的结果为定值6． 【分析】（1）①将代入程序计算结果，再将代入程序可得答案；②根据程序得出不等式，求出解集可得答案； （2）①根据程序要求计算，再次计算可得答案；②根据程序要求说明即可． 【详解】（1）解：①当时，； 当时，， 所以输出的； ②根据题意，得， 解得， 所以的值可以为6（答案不唯一）； （2）①略 ②略 压轴题型五、数轴上点的平移（动点问题） 1．（26-27七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，点O表示原点． (1)求A，B两点间的距离； (2)点C是线段上的一点，且，求点C表示的数； (3)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．当秒时，求点P，Q表示的数及此时P，Q两点间的距离； (4)当秒时，求点P，Q两点间的距离，并判断此时点Q在点P的哪一侧． 【答案】(1)20 (2)点C表示的数是2 (3)P表示，Q表示3， (4)，点Q在点P的左侧 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （2）根据题意可知点C在线段上，且在点A的右侧，然后根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （3）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． （4）先表示出点P和点Q所代表的数，再根据数轴上两点之间的距离公式求解出P，Q两点间的距离，根据数轴判断两点之间的位置关系． 【详解】（1）解：． （2）解：∵点C在线段上，且在点A的右侧，， ∴点C表示的数为． （3）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴． （4）解：当时，点P表示的数为； 点Q表示的数为； ∴， 此时点Q在点P的左侧． 2．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 3．（26-27七年级上·河北沧州·阶段检测）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： ， 则点Ｏ即为所求． (2)，，3 (3)3， 【分析】（1）根据数轴的三要素，确定原点，并标识出来即可； （2）根据向右加，向左减，计算即可； （3）求出原点与点A的距离，用距离除以2即可得到按键的次数，再根据平移思想计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据题意，得点M表示的数为：，点N表示的数为：， M、N两点之间的距离是． （3）解：原点到点A的距离为：， 根据题意，得每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度， （次）， 故点N表示的数为：． 4．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 5．（25-26七年级上·山西晋城·期中）综合与探究 【基础探究】 （1）如图1，已知点，分别为数轴上的两点，点在点的右边，点对应的数是，点对应的数是．点是数轴上和之间的一动点，点对应的数是． 两点之间的距离是___________；两点之间的距离是___________．（用含的代数式表示） ②若，点到，两点的距离相等，则的值为____________． 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，点在移动的过程中，点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等，试判断两点之间的距离是不是定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，点和点在，两点之间（点在点的右边，点在点的右边），两点之间的距离是，两点之间的距离是，点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等，求两点之间的距离（用含和的代数式表示）． 【答案】（1）①；②1；（2）两点之间的距离是定值，值为；（3） 【分析】本题主要考查了用数轴上点表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题，理解题意是解决本题的关键． （1）①根据题意即可求解；②根据题意结合即可求解； （2）先表达出点D和点E的代数式，再根据数轴上两点间的距离进行求解判断即可； （3）根据题意得出，，两点之间的距离与，两点之间的距离和是和两点之间的距离与两点之间的距离和是，进而即可求解． 【详解】解：（1）①由题意可得，两点之间的距离是； 两点之间的距离是； 故答案为：； ②∵点到，两点的距离相等且， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）两点之间的距离是定值， ∵点到，两点的距离相等，点到两点的距离相等， ∴点D为，点E为， ∴两点之间的距离是，两点之间的距离是， ∴两点之间的距离是． （3），两点之间的距离与，两点之间的距离和是， ∵点到两点的距离相等，点S到两点的距离相等， ∴两点之间的距离与两点之间的距离和是， ∵两点之间的距离是， ∴两点之间的距离是． 压轴题型六、有理数四则混合运算的实际应用 1．（26-27七年级上·浙江·阶段练习）新会城区居民自来水执行阶梯收费标准： ①每户每月用水量15吨及以内，每吨元； ②超过15吨、不超过25吨的部分，每吨元； ③超出25吨的部分，每吨元． (1)李叔叔家上月用水12吨，应交水费多少元？ (2)王阿姨家上月缴费元，她家上月用水多少吨？ 【答案】(1)元 (2)24吨 【分析】（1）根据题意及有理数的乘法计算即可； （2）先计算第一阶梯满额水费，然后再计算第二阶梯满额累计水费，进行比较求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴全部按第一阶梯单价收费：（元） 答：李叔叔家上月应交水费元． （2）解：第一阶梯满额水费：（元） 再计算第二阶梯满额累计水费（即用水25吨时的费用）： （元） ∵， ∴王阿姨家用水量超过15吨但不超过25吨，处于第二阶梯． 第二阶梯部分的水费：（元） 第二阶梯部分的用水量：（吨） 总用水量：（吨） 答：王阿姨家上月用水24吨． 2．（26-27七年级上·全国·单元复习）我国海军航空特技飞行队应邀在某风景区进行特技表演，一架飞机起飞后的高度变化如下（上升记为正，下降记为负）：，，，，． (1)此时这架飞机比起飞点高了还是低了？高了或低了多少千米？ (2)如果飞机平均上升1km需消耗4L燃油，平均下降1km需消耗2L燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)此时这架飞机比起飞点高了，高了1km (2)一共消耗37L燃油 【分析】（1）把飞机起飞后的高度变化求和，根据计算结果进行解答即可； （2）分别求出飞机上升消耗的燃油和飞机下降消耗的燃油，求和即可得到答案． 【详解】（1）解：． 因为上升记为正，下降记为负， 所以此时这架飞机比起飞点高了，高了1km． （2）解：飞机上升消耗的燃油为． 飞机下降消耗的燃油为． ， 所以这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗37L燃油． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 【答案】42000元 【分析】先算出草坪的面积，然后再利用“铺草坪平均每平方米需要花费100元”列式计算即可． 【详解】解：草坪的面积为：（平方米）， ∴铺设该草坪一共需要花费（元）． 4．（26-27七年级上·贵州遵义·阶段检测）李叔叔家原来有一块边长12米的正方形菜地，今年他将这块菜地进行了扩建（如图中的涂色部分）． (1)原来这块菜地的面积是多少平方米？ (2)李叔叔今年扩建了多少平方米的菜地？ 【答案】(1)原来这块菜地的面积是平方米 (2)李叔叔今年扩建了平方米的菜地 【详解】（1）解：（平方米）， 答：原来这块菜地的面积是平方米； （2）解：， ， ， （平方米）． 答：李叔叔今年扩建了平方米的菜地． 5．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）水果店引进一批智利进口车厘子，一共盒，每盒标准净重．超过记为正数，不足记为负数，称重后得到如下记录： 每盒与标准质量的差（） 盒数（盒） (1)求这盒车厘子的总净重； (2)水果店按每盒实际净重分级销售：单盒净重不低于的定为“特级果”，售价为元；单盒净重低于定为“一级果”，售价为元．若按上述标准分级销售，求这盒车厘子的总销售收入； (3)若这批车厘子按实际净重以元购进，且冷链运输及包装费用共元．求全部售完后的总利润． 【答案】(1) (2)元 (3)元 【分析】（1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）先分别求出特级果净重、一级果净重，然后再列式求销售总收入即可； （3）先求出总成本，再用总销售收入减去总成本即可解答． 【详解】（1）解：． 答：盒车厘子的总净重． （2）解：特级果净重：； 一级果净重：； 销售总收入：元． 答：销售总收入元． （3）解：总成本：元； 总利润：元． 答：全部售完后的总利润为元． $