5.4用一次函数解决问题（分层作业练题型）数学新教材苏科版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.4用一次函数解决问题 题型一简单实际问题 题型二方案选择问题 题型三费用最值问题 题型四利润最值问题 基础达标题 题型五阶梯计费问题 题型六单人s-图象 题型七双人s-t图象 题型八几何问题 用一次函数解决 题型九一次函数与几何综合 问题 题型一方案选择与最值问题综合 能力提升题 题型二相遇/追及问题 拓展培优题 题型一一次函数与几何综合（升级）】 基础达标题 题型一简单实际问题 1.(25-26八年级上江苏徐州阶段检测)徐州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元， 超过的部分按每千米2元收费。已知李老师乘出租车行驶了(>3》干米，付车费'元，则所付车费》 (元)与出租车行驶的路程x(千米)之间的关系式为 一.（不要求写出自变量x的取值范围） 2.(25-26八年级上江苏无锡期末)已知从山脚起每升高100m,气温就下降0.6℃.若测得山脚处的气 温为20℃，当从山脚起上升的高度为m,所在位置的气温是℃，则y关于x的函数表达式为」 3.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图是一家公司绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根 据趋势图可预测当广告支出为2.5万元时，销售收入是一万元. 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个销售收入/万元 50 45 40 35 30 25 20 1 10 5 0 2345678广告支出/万元 题型二方案选择问题 1.(25-26八年级下江苏南通期末)为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 A 基础费用每月30元（包含15GB通用流量），超过部分每GB收费1元： 通用流量2.5元/GB,当月使用流量达到20GB后不再收取额外费用 (I)请分别写出A,B套餐所需费用y(单位：元)与当月使用流量x(单位：GB)之间的函数关系式： (2)某消费者每月使用流量超过20GB，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由. 题型三费用最值问题 1.(25-26八年级上江苏宿迁阶段检测)某学校积极响应号召，绿化校园.计划购进A,B两种树苗，共 21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元.设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y 元 (I)求y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围： (②)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用， 2.(25-26九年级下江苏盐城期中)随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体 验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷.已 知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共 需6400元， (1)求A,B两种型号的帐篷的单价： 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)据统计，该景区需购买A,B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量 的3：请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用.。 3.(25-26八年级上江苏盐城期末)根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人， 工书能文，对书法造诣很深.宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了 能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产 品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等. 素材1 志 利 勿蜀山楼 、生只 中 磁 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸， 共花费了110元： 素材2 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元. 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备 任务2 探究函数关系 同时购买书签和贴纸两种商品共20套.设数学王老师准备购买 书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式. 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能 任务3 拟定购买方案 使总费用最低？总费用最低是多少元？ 题型四利润最值问题 1.(2026江苏南通模拟预测)一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 获利的情况如下表所示： 粗加工后销 销售方式 精加工后销售 售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的 限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完. (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工.若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进 行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？ 2.(25-26八年级下·江苏南通阶段检测)某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元kg;乙种 产品的进货总金额y(单位：元)与乙种产品进货量x(单位：kg)之间的关系如图所示.已知甲、乙两 种产品的售价分别为12元kg和18元kg. (1)求y关于x的函数解析式： (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共600kg,并能全部售出.其中乙种产品的进货量不低于200kg,且不 高于40g,经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 题型五阶梯计费问题 1.(25-26八年级上江苏泰州期末)小明使用出行软件打车回家的行程详情如图(1)所示，爱动脑筋的 小明查看了计价规则，如图(2)所示.他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段( 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19:00:00-23:00:00),3公里以内（含3公里）的起步价为8.6元：超过3公里的部分，按1.2元/公里的 标准收取里程费。 工作日 休息日 实际用车 行程详情 时间段 00:00-05:00:00 8.7元 预估路线4.43公里，7分钟|实际路线4.2公里，7分钟 05:00-07:00:00 8.5元 07:00-09:00:00 9.7元 09:00-17:00:00 6.5元 17:00-19:00:00 6.7元 19:00-23:00:00 8.6元 23:00-00:00:00 8.7元 开始计费 超过3公里，每公里增加的费用 21.0822:00:16 时间段 结束计费 00:00-05:00:00 2.5元/公里 21.0822:27:56 05:00-07:00:00 1.3元/公里 07:00-09:00:00 1.3元/公里 09:00-17:00:00 1.2元/公里 17:00-19:00:00 1.6元/公里 19:00-23:00:00 1.2元/公里☐ 23:00-00:00:00 2.3元/公里 图(1)》 图(2) ()当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示： (2)如图(1)所示，小明此次行程的实际路线为4.2公里，那么打车费用是多少元？ 2.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y(元)与用水 量x(吨)之间的函数关系如图所示.请你观察函数图象，回答下列相关问题. 元 25 1015 (1)若用水不超过10吨，水费为 元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式： (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 3.某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单 补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥9月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ (②)设某外卖小哥10月份送餐单 (x>500) 所得工资'元，请写出'与的函数关系式 (3)若某外卖小哥11月份的工资总额为5650元，那么他11月份外卖送餐多少单？ 题型六单人s-t图象 1.(25-26八年级上江苏无锡阶段检测)如图1，公路上有A、B、C三个车站，一辆汽车从A站以速度 ”匀速驶向B站，到达B站后不停留，以速度”匀速驶向C站，汽车行驶路程'（千米）与行驶时间 (小时)之间的函数图象如图2所示.若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，则这段路程 开始时x的值为 270 180 60 图1 图2 2.(25-26八年级下江苏南通期中)“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑 行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶 往学校.以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图.根据图中提供的 信息回答下列问题： 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 离家距离（米） 1500------------------------- 1200 900 600 300 0 24681012141618时间（分钟） (1)小华家到学校的距离是 米，她们中途停留了 分钟. (②)本次上学途中，她们一共用了 分钟，一共骑行了 米. (3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米分就超越了安全限度.问：在整个上学的 途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好 的建议. 题型七双人s-t图象 1.(25-26八年级下江苏南通期末)姐弟两人一起去离家2400m的图书馆，在图书馆阅读30min后原路 返回.姐姐以60m/min的速度直接回家，弟弟在返回途中在离家l800m的文具超市停留20min.设弟弟从 家出发到返回家中所用时间为x(min)，离家的距离为'(m),y与x的函数图象如图所示.当姐弟 两人在返回途中相距900m时，时间x的取值范围是（) Ay/m 2400 1800 10 404565 95 x/min A.45≤x≤65 B.50≤x≤65 C.65≤x≤80 D.50≤x≤95 2.(25-26八年级下江苏连云港开学考试)如图①所示，在A、B两地之间有一车站C,甲车从A地出发 经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 离C站的路程k)与行驶时 x(h) 之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3； y(km) ③小时后，乙车离C站的路程 与行驶时间之间的函数关系为：y=80x-120:④乙车到达4 9 7 地前，两车与车站C的路程之和不超过30Okm时行驶时间x的取值范围为7≤x≤) 2.其中正确的有()》 ◆y/km 360 a C B m 68x/h 图① 图② A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型八几何问题 1.(2025江苏连云港·中考真题)如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬 纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等. 甲种纸盒 乙种纸盒 硬纸片 (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张 正方形硬纸片？ 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型九一次函数与几何综合 1.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，在平面直角坐标系x0中，正比例函数y=2的图像为直线 A(0,1)B(0,5) 1,已知两点 y B (①)在直线I位于第一象限的部分找一点C,使得∠CAB=∠CBA.用直尺和圆规作出点C(不写画法，保留 作图痕迹)； (2)直接写出点C的坐标为. (3)点P在x轴上，PB+PC的最小值为一 2.(2526八年级上江苏泰州期未)如图，直线的解折式为-+2，与*辅交于点B,直线。 为=+经过点D0,5),与直线交于点C-1m 经过点 ,且与轴交于点A。 A OB (1)直接写出点C的坐标： (2)求直线‘的解析式； ③)点P是直线上一点（不与点4重合），当△PBC与△1BC的面积相等时，求点P的坐标， 3.(25-26八年级上江苏连云港·期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=+b的图象经过点 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E(Q,4),与箱相交于点B,与正比例商数'=3 的图象相交于点C,点C的纵坐标为3. y=kx+b (I)求一次函数y=G+b的表达式： ②若点D在'轴上，满足 SaD=2Sa00,求点D的坐标 D B 能力提升题 题型一方案选择与最值问题综合 1.(2026江苏南通一模)某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满： 信息2超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 单个容量（千克） 3 单价（元) 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）. 设购买甲型号玻璃罐x个，购买乙型号玻璃罐y个，所需总费用为w元， (1)当x=6时，y的值为 (②)求w关于x的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案。 2.(25-26七年级下·江苏南通期中)某物流公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种物资共100吨到某地， 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且都刚好装满.根据下表提供的信息，解答下列 问题： 物资种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 6 5 每吨所需运费（元吨) 120 160 100 (1)设装运甲种物资的车辆数为x,装运乙种物资的车辆数为'，求'与x的关系式： (2)如果装运甲种物资的车辆数不少于5，装运乙种物资的车辆数不少于6，那么车辆的安排有几种方案？ (3)在(2)的条件下，若要求总运费最少，请写出采用的具体安排方案，并求出最少总运费. 题型二相遇/追及问题 1.(25-26八年级上：江苏连云港期末)如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程 中，甲、乙两车离开A城的距离'（千米）与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示，则下 列结论： ①A,B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车： 1525 ④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，t= 4或6· 其中正确的结论有() ↑y(km) 300------ 45th) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(25-26八年级上江苏盐城期末)在一条笔直的公路上有A,B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地 步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地.乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二 人到达A地后均停止运动)，甲、乙二人之间的距离y(米)与出发时间x(分钟)之间的函数关系如图所 示，请结合图象解答下列问题： 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Ay/米 1200 960 20m15 Px/分 3 (1)A,B两地之间的距离是 米，乙的步行速度是 米分： (2)图中m= ,n= (3)求线段EF的函数表达式： (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 拓展培优题 题型一一次函数与几何综合（升级） 4 1.(25-26八年级上江苏无锡期末)如图1，直线y=一3x+4与X、y轴分别交于A,B两点，以AB为直 角边在第一象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°，AC=AB】 B B B E M A A 图1 图2 图3 (1)C点坐标为 (2)如图2，点E为线段BO上的一个动点(E不与B、O重合)，连接AE,将AE绕点A逆时针旋转90°得 AF,连接CF交x轴于G,求证：G是FC的中点： (3)如图3，将△ABC沿着x轴向左平移得到△ABC',直线AB'与y轴交于点M,当以A、B、M为顶点的 三角形是等腰三角形时，请求出点A的坐标 2.(25-26八年级上江苏盐城期末)在平面直角坐标系中有A、P、Q三个点，如图1所示，如果将点 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P绕点A旋转90°后得到点Q,则称点P与点Q关于点A互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于 点A的“垂链点”. A(0,1)P(1,0)Q(-1,0 例如：对于平面直角坐标系中的三个点 ,因为点巴可以看作是将点P绕点1旋 转90°后得到的一个点，所以点Q是点P关于点A的“垂链点”. 探究任务一： y=2x-8 图1 图2 备用图 ①已知点P的坐标为2-)，点4的坐标为0,0)，则点2) 点P关于点A的“垂链点”： (填“是”或“不是”) (2)已知点P的坐标为 0),点4的坠标为02)，若友巴是点P关于点4的“垂链点”，那么点巴的华标 3, 是 探究任务二： 已知点 P(5,0 ,并且点4在'轴上. 3)如图2所示，在一次函数y=2x-8的图象上存在点Q,且点Q是点P关于点A的“垂链点”，求点的 坐标； (④)若在一次函数 y=x+b(k>0) 的图象上存在无数个点P,且点巴是点P关于点4的“垂链点” ①直接写出这个一次函数的表达式 ②若一次函数'=+6(k>0 的图象与'轴交于点B,与'轴交于点C,点M是△BOC内部一点，且 MO=3,MB=4,若点N是线段BC上的一个动点，设点N的横坐标为n,求△BMN的面积S与n的函数 关系式 13/13 5.4用一次函数解决问题 题型一 简单实际问题 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）徐州市出租车价格是这样规定的：不超过3千米，付车费8元，超过的部分按每千米2元收费．已知李老师乘出租车行驶了千米，付车费元，则所付车费（元）与出租车行驶的路程（千米）之间的关系式为______．（不要求写出自变量的取值范围） 【答案】 【详解】解：由题意，． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）已知从山脚起每升高，气温就下降．若测得山脚处的气温为，当从山脚起上升的高度为，所在位置的气温是，则关于的函数表达式为___________． 【答案】 【详解】解：每升高，气温下降， 每升高，气温下降， 升高，气温下降， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图是一家公司绘制的销售收入随广告支出增加的变化趋势图，根据趋势图可预测当广告支出为2.5万元时，销售收入是____万元． 【答案】22.5 【详解】解：设销售收入为万元，广告支出为万元，由函数图象可设， 代入，得，解得， ∴， 当时，， 故答案为：． 题型二 方案选择问题 1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐： 套餐种类 计费方式 基础费用每月30元（包含通用流量），超过部分每收费1元； 通用流量元/，当月使用流量达到后不再收取额外费用． (1)请分别写出，套餐所需费用（单位：元）与当月使用流量（单位：）之间的函数关系式； (2)某消费者每月使用流量超过，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由． 【答案】(1)A套餐：当时，；当时，；B套餐：当时，；当时，． (2)当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． 【详解】（1）解：A套餐：当时，；当时，； B套餐：当时，；当时，； （2）解：当时，此时A套餐费用为，B套餐费用为， 当，即，解得：， 当，即，解得：， 当，即，解得：， 又因为， ； 当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． 题型三 费用最值问题 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段检测）某学校积极响应号召，绿化校园．计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元. (1)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)若购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)（且为整数）； (2)当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 【详解】（1）解：由题意得，（且x为整数）； （2）解：∵购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量， ∴，解得， ∴（x为整数）， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，最小为1690，此时， ∴当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得：，解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：，解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）根据以下素材，探索完成任务. 如何设计采购方案？ 素材1 宋曹是明末清初时期的大书法家，字彬臣，又字臣，号射陵，盐城郊区北宋庄人，工书能文，对书法造诣很深．宋曹故居纪念馆位于江苏省盐城市儒学街4号，为了能更好地宣传优秀传统文化以及宋曹的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有宋曹书法手袋、宋曹书签、宋曹书法贴纸等． 素材2 小明在本店购买了3套书签和4套贴纸，一共花费了110元； 小丽在本店购买了5套书签和2套贴纸，一共花费了90元． 问题解决 任务1 确定单价 求购买1套书签和1套贴纸分别需要多少元？ 任务2 探究函数关系 临近期末考试，数学王老师打算提前给学生准备奖品，他准备同时购买书签和贴纸两种商品共20套．设数学王老师准备购买书签x套，总费用为y元，请你求出y与x的函数关系式． 任务3 拟定购买方案 现要求贴纸的数量不少于13套，应该怎样选择购买方案，才能使总费用最低？总费用最低是多少元？ 【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元；（2）； （3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元， 根据题意得，解得， ∴购买1套书签10元，1套贴纸20元； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套， ∴总费用为元； （3）根据题意得，解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为（元）， ∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 题型四 利润最值问题 1．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？ 【答案】(1)应安排4天精加工，8天粗加工；(2)加工这批蔬菜最多获得145000元利润． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天粗加工， 根据题意得，解得， 答：应安排4天进行精加工，8天粗加工； （2）解：设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨， ∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， ，解得， ， 根据题意得， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， 答：加工这批蔬菜最多获得145000元利润． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元；乙种产品的进货总金额（单位：元）与乙种产品进货量（单位：）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元和18元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于，且不高于，经销商该如何进货，才能使总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)； (2)购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 【详解】（1）解：当时，设， 根据题意可得，解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，解得， ∴； ∴综上，y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意可知，设利润为w元，购进乙种产品x千克，则购进甲种产品千克， 乙种产品进价为(元/千克)， ①当时，； ②当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为(元)， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 题型五 阶梯计费问题 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）小明使用出行软件打车回家的行程详情如图（1）所示，爱动脑筋的小明查看了计价规则，如图（2）所示．他发现，在不考虑其他因素的情况下，在其打车的时间段（），3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分，按元/公里的标准收取里程费． (1)当行程超过3公里时，判断实际打车费用y元是否是里程x公里的函数，并用含x的代数式表示y； (2)如图（1）所示，小明此次行程的实际路线为公里，那么打车费用是多少元？ 【答案】(1)y是x的函数，；(2)元． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 2．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨； (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式； (3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5；(2)；(3)该户居民8月共用水25吨． 【详解】（1）解：由图象可得：若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入，得，解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 3．某公司招聘外卖送餐员为居家办公的人员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元/单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥9月份送餐400单，则他这个月的工资总额为多少元？ (2)设某外卖小哥10月份送餐单，所得工资元，请写出与的函数关系式． (3)若某外卖小哥11月份的工资总额为5650元，那么他11月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)他这个月的工资总额为2900元； (2)当时，；当时，； (3)他11月份外卖送餐950单． 【详解】（1）解：（元）， 答：他这个月的工资总额为2900元； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：（元），（元）， 元元， 他11月份送餐单数超过900单，即； ，解得， 他11月份外卖送餐950单． 题型六 单人s-t图象 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图1，公路上有、、三个车站，一辆汽车从站以速度匀速驶向站，到达站后不停留，以速度匀速驶向站，汽车行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数图象如图2所示．若汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米，则这段路程开始时的值为______． 【答案】 【详解】解：当汽车从A站以速度匀速驶向B站时，设， 由图象可知：时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， 当汽车以速度匀速驶向C站时，设， 把，代入，得：，解得：， ∴， ∴； ∴汽车在段上的速度为千米/小时，在段上的速度为千米/小时， ∴当汽车从到时，50分钟行驶的路程为：， 当汽车从到时，50分钟行驶的路程为：， ∵汽车在某一段路程内刚好用50分钟行驶了60千米， ∴汽车一段时间在上，一段时间在上， ∴设汽车在段行驶了分钟，则在段上行驶了分钟， 则：，解得：， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟． (2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米． (3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议． 【答案】(1)1500，；(2)18，2700； (3)分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 【详解】（1）解：由图像可知：小华家到学校的距离为图像终点纵坐标：1500 米．中途停留时间为水平线段对应的时间差：（分钟）， 故答案为：1500，； （2）解：总用时为图像终点横坐标：18分钟， 总骑行路程为各段行驶路程之和：（米）， 故答案为：18；2700； （3）解：分段计算各时间段速度: 0～6分钟:（米/分）， 分钟:（米/分）， 分钟:（米/分）， ， 分钟速度最快，为300米/分, ∵， 超过安全限度，不在安全限度内， 建议：骑电瓶车时要控制车速，不超速行驶，自觉遵守交通法规． 答：分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 题型七 双人s-t图象 1．（25-26八年级下·江苏南通·期末）姐弟两人一起去离家的图书馆，在图书馆阅读后原路返回．姐姐以的速度直接回家，弟弟在返回途中在离家的文具超市停留．设弟弟从家出发到返回家中所用时间为（），离家的距离为（），与的函数图象如图所示．当姐弟两人在返回途中相距时，时间的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意及图象可知：姐姐返程的速度为，从开始返程， 姐姐返程的函数解析式为， 弟弟在段从处回家， 弟弟该段的速度为， 弟弟在时的函数解析式为， 当时，，， 此时两人相距， 当时，姐弟两人的速度均为， 两人之间的距离保持不变，始终为， 当时，姐姐到家，，此时，距离仍为， 当时，姐姐停止运动，弟弟继续向家走，距离小于， 当姐弟两人在返回途中相距时，的取值范围是， 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：，解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：，解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为， 由题意可得：，解得：， ∴， 综上，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 故选：B． 题型八 几何问题 1．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片？ 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个；(2)至少需要134张正方形硬纸片． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意得，解得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片， 则， 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值， 根据题意得，解得， 其中最小整数解为34， 即当时，， 答：至少需要134张正方形硬纸片． 题型九 一次函数与几何综合 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图像为直线l，已知两点、． (1)在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为______； (3)点P在x轴上，的最小值为______． 【答案】(1)作图详见解析；(2)；(3)10． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线交直线于点即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点是线段的中点，轴， ∵、， ∴，即， 将代入得，，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴要使的值最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是10， 故答案为：10． 2．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线：经过点，与直线交于点，且与轴交于点． (1)直接写出点的坐标； (2)求直线的解析式； (3)点P是直线上一点（不与点重合），当与的面积相等时，求点P的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：把，，代入，得：，解得， ∴； （3）解：∵与的面积相等，且点P与点不重合， ∴点在点上方，为的中线， ∴为的中点， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，即． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的纵坐标为． (1)求一次函数的表达式； (2)若点在轴上，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)或． 【详解】（1）解：把代入正比例函数，得， ∴， ∴， 把和代入一次函数，得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上，如图， ∴， 即，解得， ∴或， ∴点的坐标为或． 题型一 方案选择与最值问题综合 1．（2026·江苏南通·一模）某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】(1)；(2)； (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 【详解】（1）解：由题意可知：，当时，； （2）解：由（1）可知：，为3的倍数， 当时，， 当时， 综上，； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，， 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）某物流公司组织辆汽车装运甲、乙、丙三种物资共吨到某地，按计划辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且都刚好装满．根据下表提供的信息，解答下列问题： 物资种类 甲 乙 丙 每辆汽车运载量（吨） 每吨所需运费（元/吨） (1)设装运甲种物资的车辆数为，装运乙种物资的车辆数为，求与的关系式； (2)如果装运甲种物资的车辆数不少于，装运乙种物资的车辆数不少于，那么车辆的安排有几种方案？ (3)在（2）的条件下，若要求总运费最少，请写出采用的具体安排方案，并求出最少总运费． 【答案】(1)；(2)车辆的安排共有种方案； (3)安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 【详解】（1）解：根据题意，装运丙种物资的车辆数为， ∴，化简得； （2）解：∵， ∴装运丙种物资的车辆数为， 根据题意，可列不等式， 解得，其中整数解为，，， 答：车辆的安排共有3种方案． （3）解：设总运费为元， 根据题意，， ∵， ∴随着的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 题型二 相遇/追及问题 1．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论： ①两城相距千米；②乙车比甲车晚出发小时，却早到小时；③乙车出发后小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距千米时，或． 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵甲、乙两车从城到城的最大距离为千米， ∴①、两城相距千米，正确； ∵甲车在时出发，时到达，乙车在时出发，时到达， ∴②乙车比甲车晚出发小时，早到小时，正确； ∵甲车速度千米/小时， ∴甲车函数解析式为． ∵乙车速度千米/小时， ∴乙车函数解析式为（）． 联立，解得， ∴乙车出发后小时追上甲车，故③错误； 当乙车追上甲车后，，解得； 当乙车到达城后，，解得， 故④中或正确； 综上，①②④正确，共个． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80；(2)，；(3)；(4)分钟和7分钟． 【详解】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米， 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）， 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知：经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则，解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12，900； （3）解：设线段的解析式为， 则有，解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：，解得：； 相遇后：，解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 题型一 一次函数与几何综合（升级） 1．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，直线与x、y轴分别交于A，B两点，以为直角边在第一象限内作等腰直角，，． (1)C点坐标为_________； (2)如图2，点E为线段上的一个动点（E不与B、O重合），连接，将绕点A逆时针旋转得，连接交x轴于G，求证：G是的中点； (3)如图3，将沿着x轴向左平移得到，直线与y轴交于点M，当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)；(2)证明详见解析；(3)点坐标为或或或． 【详解】（1）解：过点C作轴，交x轴于点D， ∵与x、y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴C点坐标为， 故答案为：； （2）证明：在x轴上截取，连接， 在等腰直角中，， 由（1）可得， ∴， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即G是的中点； （3）解：由平移的性质，设直线的解析式为， 当时，， 当时，， ∴M点坐标为，点坐标为， 又∵， ∴， 当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时， ①当时，，解得：， ∴此时点坐标为； ②当时，，解得：（与B重合，舍去），， 此时点坐标为； ③当时，，解得：或， 此时点坐标为或， 综上，点坐标为或或或． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中有、、三个点，如图1所示，如果将点绕点旋转后得到点，则称点与点关于点互为“垂链点”，其中一个点叫做另一个点关于点的“垂链点”． 例如：对于平面直角坐标系中的三个点，，，因为点可以看作是将点绕点旋转后得到的一个点，所以点是点关于点的“垂链点”． 探究任务一： (1)已知点的坐标为，点的坐标为，则点___________点关于点的“垂链点”；（填“是”或“不是”） (2)已知点的坐标为，点的坐标为，若点是点关于点的“垂链点”，那么点的坐标是___________； 探究任务二： 已知点，并且点在轴上． (3)如图2所示，在一次函数的图象上存在点，且点是点关于点的“垂链点”，求点的坐标； (4)若在一次函数的图象上存在无数个点，且点是点关于点的“垂链点”． ①直接写出这个一次函数的表达式___________； ②若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点是内部一点，且，，若点是线段上的一个动点，设点的横坐标为，求的面积与的函数关系式． 【答案】(1)是；(2)或；(3)或；(4)①；②． 【详解】（1）解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴点可看作将点绕点逆时针旋转后得到，满足“垂链点”的定义， ∴点是点关于点的“垂链点”， 故答案为：是； （2）解：①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图， 此时点与点关于点对称， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：设， ①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理（2）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理①可得：， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或； （4）解：①设 由（3）可知：点的坐标为或， 消去可得，或， ∴点在直线或直线上， ∵， ∴一次函数的解析式为； ②如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵点的横坐标为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4用一次函数解决问题 题型一 简单实际问题 1．【答案】 2．【答案】 3．【答案】22.5 题型二 方案选择问题 1． 【答案】(1)A套餐：当时，；当时，；B套餐：当时，；当时，． (2)当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． 【详解】（1）解：A套餐：当时，；当时，； B套餐：当时，；当时，； （2）解：当时，此时A套餐费用为，B套餐费用为， 当，即，解得：， 当，即，解得：， 当，即，解得：， 又因为， ； 当时，选择A套餐更省钱；当时，两种套餐费用相同；当时，选择B套餐更省钱． 题型三 费用最值问题 1． 【答案】(1)（且为整数）； (2)当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 【详解】（1）解：由题意得，（且x为整数）； （2）解：∵购买B种树苗的数量不大于A种树苗的数量， ∴，解得， ∴（x为整数）， ∵，， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最小，最小为1690，此时， ∴当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时，费用最省，此时费用为1690元． 2． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得：，解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：，解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 3． 【答案】（1）购买1套书签10元，1套贴纸20元；（2）； （3）购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 【详解】解：（1）设购买1套书签元，1套贴纸元， 根据题意得，解得， ∴购买1套书签10元，1套贴纸20元； （2）设数学王老师准备购买书签x套，则购买贴纸为套， ∴总费用为元； （3）根据题意得，解得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最小，最小值为（元）， ∴购买书签7套，贴纸套，总费用最低，总费用最低是330元． 题型四 利润最值问题 1． 【答案】(1)应安排4天精加工，8天粗加工；(2)加工这批蔬菜最多获得145000元利润． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天粗加工， 根据题意得，解得， 答：应安排4天进行精加工，8天粗加工； （2）解：设精加工的蔬菜吨数为m吨，销售利润为元，则粗加工的蔬菜吨数为吨， ∵要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完， ，解得， ， 根据题意得， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W最大，最大值为， 答：加工这批蔬菜最多获得145000元利润． 2． 【答案】(1)； (2)购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 【详解】（1）解：当时，设， 根据题意可得，解得， ∴； 当时，设， 根据题意可得，解得， ∴； ∴综上，y关于x的函数解析式为； （2）解：根据题意可知，设利润为w元，购进乙种产品x千克，则购进甲种产品千克， 乙种产品进价为(元/千克)， ①当时，； ②当时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，w的最大值为(元)， 综上，购进甲产品200千克，乙产品400千克时利润最大，最大利润为2600元． 题型五 阶梯计费问题 1． 【答案】(1)y是x的函数，；(2)元． 【详解】（1）解：由题可得，当里程x超过3公里时，其中3公里以内（含3公里）的起步价为元；超过3公里的部分里程为公里，费用为元， 则实际打车费用，即， 对于每一个超过3公里的x值，都有唯一的y值与之对应， y是x的函数，； （2）当时，， 则打车费用是元． 2． 【答案】(1)2.5；(2)；(3)该户居民8月共用水25吨． 【详解】（1）解：由图象可得：若用水不超过10吨，水费为（元/吨）， 故答案为：2.5； （2）解：设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为， ∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨， 将代入，得，解得， 答：该户居民8月共用水25吨． 3． 【答案】(1)他这个月的工资总额为2900元； (2)当时，；当时，； (3)他11月份外卖送餐950单． 【详解】（1）解：（元）， 答：他这个月的工资总额为2900元； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：（元），（元）， 元元， 他11月份送餐单数超过900单，即； ，解得， 他11月份外卖送餐950单． 题型六 单人s-t图象 1．【答案】 2． 【答案】(1)1500，；(2)18，2700； (3)分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 【详解】（1）解：由图像可知：小华家到学校的距离为图像终点纵坐标：1500 米．中途停留时间为水平线段对应的时间差：（分钟）， 故答案为：1500，； （2）解：总用时为图像终点横坐标：18分钟， 总骑行路程为各段行驶路程之和：（米）， 故答案为：18；2700； （3）解：分段计算各时间段速度: 0～6分钟:（米/分）， 分钟:（米/分）， 分钟:（米/分）， ， 分钟速度最快，为300米/分, ∵， 超过安全限度，不在安全限度内， 建议：骑电瓶车时要控制车速，不超速行驶，自觉遵守交通法规． 答：分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规． 题型七 双人s-t图象 1．【答案】C 2．【答案】B 题型八 几何问题 1． 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个；(2)至少需要134张正方形硬纸片． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意得，解得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个； （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片， 则， 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值， 根据题意得，解得， 其中最小整数解为34， 即当时，， 答：至少需要134张正方形硬纸片． 题型九 一次函数与几何综合 1． 【答案】(1)作图详见解析；(2)；(3)10． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线交直线于点即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是线段的垂直平分线， ∴点是线段的中点，轴， ∵、， ∴，即， 将代入得，，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴要使的值最小，即的值最小， ∴当、、三点共线时，的值最小，最小值为的长度， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是10， 故答案为：10． 2． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴； （2）解：把，，代入，得：，解得， ∴； （3）解：∵与的面积相等，且点P与点不重合， ∴点在点上方，为的中线， ∴为的中点， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴，即． 3． 【答案】(1)；(2)或． 【详解】（1）解：把代入正比例函数，得， ∴， ∴， 把和代入一次函数，得，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上，如图， ∴， 即，解得， ∴或， ∴点的坐标为或． 题型一 方案选择与最值问题综合 1． 【答案】(1)；(2)； (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 【详解】（1）解：由题意可知：，当时，； （2）解：由（1）可知：，为3的倍数， 当时，， 当时， 综上，； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，， 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 2． 【答案】(1)；(2)车辆的安排共有种方案； (3)安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 【详解】（1）解：根据题意，装运丙种物资的车辆数为， ∴，化简得； （2）解：∵， ∴装运丙种物资的车辆数为， 根据题意，可列不等式， 解得，其中整数解为，，， 答：车辆的安排共有3种方案． （3）解：设总运费为元， 根据题意，， ∵， ∴随着的增大而减小， 又∵， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：安排辆汽车装运甲种物资，辆汽车装运乙种物资，辆汽车装运丙种物资，总运费最少，最少费用为元． 题型二 相遇/追及问题 1．【答案】C 2． 【答案】(1)1200，80；(2)，；(3)；(4)分钟和7分钟． 【详解】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米， 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）， 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知：经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则，解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12，900； （3）解：设线段的解析式为， 则有，解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：，解得：； 相遇后：，解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 题型一 一次函数与几何综合（升级） 1． 【答案】(1)；(2)证明详见解析；(3)点坐标为或或或． 【详解】（1）解：过点C作轴，交x轴于点D， ∵与x、y轴分别交于A，B两点， 当时，， 当时，，解得：， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴C点坐标为， 故答案为：； （2）证明：在x轴上截取，连接， 在等腰直角中，， 由（1）可得， ∴， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即G是的中点； （3）解：由平移的性质，设直线的解析式为， 当时，， 当时，， ∴M点坐标为，点坐标为， 又∵， ∴， 当以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形时， ①当时，，解得：， ∴此时点坐标为； ②当时，，解得：（与B重合，舍去），， 此时点坐标为； ③当时，，解得：或， 此时点坐标为或， 综上，点坐标为或或或． 2． 【答案】(1)是；(2)或；(3)或；(4)①；②． 【详解】（1）解：如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、， ∵，， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴点可看作将点绕点逆时针旋转后得到，满足“垂链点”的定义， ∴点是点关于点的“垂链点”， 故答案为：是； （2）解：①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图， 此时点与点关于点对称， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； （3）解：设， ①当点由点绕点逆时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理（2）可得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为； ②当点由点绕点顺时针旋转后得到时，如图，作轴，垂足为， 同理①可得：， ∴，， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或； （4）解：①设 由（3）可知：点的坐标为或， 消去可得，或， ∴点在直线或直线上， ∵， ∴一次函数的解析式为； ②如图，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，作，垂足为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得，解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵点的横坐标为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $