5.4用一次函数解决问题（分层作业，14大题型）数学新教材苏科版八年级上册

分层作业 5.4 用一次函数解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 销售利润问题 题型02 收费方案问题 题型03 行程问题 题型04 分段计费问题 题型05 工程问题 题型06 计时问题 B组 能力进阶 题型01 最大利润问题 题型02 方案选择问题 题型03 费用最少问题 题型04 行程的图象分析问题 题型05 调运问题 题型06 分配问题 题型07 体积问题 C组 思维拔高 题型 借助函数图象解决实际问题 销售利润问题题型01 1．某影院昨天甲、乙两种电影票共售出203张，甲票售出张，每张35元，乙票每张20元，票房总额，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得：y＝35x＋20(203−x)， 整理，得：15x−y＋4060＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(    ) A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 【答案】B 【分析】观察图象，我们可知当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是1300，所以每销售1万，可多得1300-800=500，即可得到结果． 【详解】解： 由图象可知，当销售量为1万时，月收入是800，当销售量为2万时，月收入是1300， 所以每销售1万，可多得1300-800=500，因此营销人员没有销售业绩时收入是800-500=300． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，需仔细观察图象，从中找寻信息，并加以分析，从而解决问题． 3．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得 解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 4．（2025·山东济南·一模）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量 x（万人） 之间的关系如图 1 所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法 1 ：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价． 两种解决办法的具体措施如下： 方法 1 ：票价不变，将运营成本降低到 0.5 万元； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到 0.75 万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为____万人． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，先用待定系数法求得两个一次函数解析式，再y值相等可得解． 【详解】解：依题意可得，点点, 设直线的解析是为：， 把点，点代入解析式可得： ，解得：， ∴直线的解析是为：， ①当方法时，依题意可得：， ②当方法时，依题意可得：， 令，可得：， 解得：， 故答案为：． 5．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息： 信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件） 生产乙产品数（件） 所用时间（分钟） 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元． 信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟； （2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？ 【答案】（1）生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分；（2）小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件． 【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分，利用待定系数法求出x，y的值． （2）设生产甲种产品用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品． 【详解】（1）设生产一件甲种产品需x分，生产一件乙种产品需y分． 由题意得：， 解这个方程组得：， 答：生产一件甲产品需要15分，生产一件乙产品需要20分． （2）设生产甲种产品共用x分，则生产乙种产品用（25×8×60-x）分． 则生产甲种产品件，生产乙种产品件． ∴w总额=1.5×+2.8×=0.1x+×2.8=0.1x+1680-0.14x=-0.04x+1680， 又≥60，得x≥900， 由一次函数的增减性，当x=900时w取得最大值，此时w=0.04×900+1680=1644（元）， 则小王该月收入最多是1644+1900=3544（元）， 此时甲有=60（件）， 乙有：=555（件）， 答：小王该月最多能得3544元，此时生产甲、乙两种产品分别60，555件． 【点睛】考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 收费方案问题题型02 1．暑假里父母带小明外出旅行，了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票，则孩子的 费用可按全票价七折优惠（即优惠30%）；而光明旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按全票价的90%收费，若已知旅行社的全票价相同，则实际收费(    ) A．东方旅行社比光明旅行社低 B．东方旅行社与光明旅行社相同 C．东方旅行社比光明旅行社高 D．谁高谁低视全票价多少而定 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列代数式，可设出原价，七折优惠即按原价的计算，则东方旅行社收费为，光明旅行社收费为，再化简进行比较即可． 【详解】解：设原价为元，根据题意， 则东方旅行社收费． 光明旅行社收费． 故甲、乙两家旅行社的实际收费相同． 故选：B． 2．（2025·山东济南·一模）电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_________元． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 设类收费的解析式为，类收费的解析式为，分别用待定系数法求出函数解析式，当时，求出的值，计算即可得到答案． 【详解】解：设类收费的解析式为， 把代入得， 解得：， 类收费的解析式为； 设类收费的解析式为， 把代入得， 解得， 设类收费的解析式为； 当时， ， ， （元）， 当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为元， 故答案为：． 3．某校组织学生到距离学校6千米的博物馆去参观，小磊准备乘出租车去，出租车的收费标准如下：3千米以下收费8元；3千米以上，每增加1千米，加收1.2元． (1)写出出租车行驶的里程数（大于3千米）与费用（元）之间的关系式； (2)小磊只带10元钱，到博物馆够用吗？ 【答案】(1) y=1. 2x+4.4 (x>3);  (2) 小磊只带10元钱，到博物馆不够用 【分析】对于(1)，当里程数x>3时，车费为8元与3千米以上的收费的和，据此即可得到答案; 对于(2)，将x=6代入(1)中得到的函数关系式，再与10比较，如果车费大于10元，则不够支付乘出租车到博物馆的车费，否则够. 【详解】(1)当x> 3时，y=8+1. 2(x－3)=1.2x+4.4， ∴出租车行驶的里程数与费用之间的关系为： y=1. 2x+4.4 (x>3) . (2)当x=6千米时，y=1.2×6+4.4=11.6> 10, ∴小磊只带10元钱，到博物馆不够用. 【点睛】本题最主要考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到变量之间的关系. 4．三月底，油菜逐渐进入花期，处于春季油菜管理的关键阶段．某种植基地准备购进一批农用无人机，为油菜的成长“保驾护航”．有两家专卖店的同一款农用无人机的报价均为5000元，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 甲专卖店 每台农用无人机打八五折出售 乙专卖店 第一台按原价收费，其余每台打八折出售 该种植基地选择哪家专卖店购买支付的费用较少？ 【答案】当小于4台时，到甲专卖店购买更优惠；当等于4台时，到两专卖店购买费用一样；当大于4台时，到乙专卖店购买更优惠． 【分析】本题考查一次函数的应用．设买x台时，到甲专卖店购买的费用为，到乙专卖店购买的费用为，根据题意列得相关的函数关系式，分类求解即可得到答案． 【详解】解：设买x台时，到甲专卖店购买的费用为，到乙专卖店购买的费用为， 由题意可得，， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 答：当小于4台时，到甲专卖店购买更优惠；当等于4台时，到两专卖店购买费用一样；当大于4台时，到乙专卖店购买更优惠． 5．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】（1）y1=4500x+1500；y2=4800x； （2）设学校购买x台电脑， 若到甲商场购买更优惠，则： 4500x+1500＜4800x， 解得：x＞5， 即当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠； 若到乙商场购买更优惠，则： 4500x+1500＞4800x， 解得：x＜5， 即当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠； 若两家商场收费相同，则： 4500x+1500=4800x， 解得：x=5， 即当购买5台时，两家商场的收费相同； （3）从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元 【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可； （2）①若甲商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案； ②若乙商场购买更优惠，可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案； ③若两家商场收费相同，可得方程4500x+1500=4800x，解此方程，即可求得答案； （3）根据题意列出函数解析式，再根据增减性即可进行解答． 【详解】解：（1）y1=6000+（1-25%）×6000（x-1）=4500x+1500； y2=（1-20%）×6000x=4800x； （2）略 （3）w=50a+（10-a）60=600-10a， 当a取最大时，费用最小， ∵甲商场只有4台， ∴a取4，W=600-40=560， 即从甲商场买4台，从乙商场买6台时，总运费最少，最少运费是560元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式实际应用问题，涉及了不等式与方程的解法，解题的关键是理解题意，根据题意求得函数解析式，然后利用函数的性质求解． 行程问题题型03 1．（24-25八年级下·广西桂林·期末）小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用． 根据“小林距离B地路程为”结合求解即可． 【详解】解：∵小林距离B地路程为， ∴当小林骑行从A地到达B地时，， 此时 解得： 故选：C． 2．某人开车由运城出发前往的目的地太原，车速为时，则他距太原的路程与行驶的时间x小时之间的关系式为__________． 【答案】 【分析】由题意可得，他距太原的路程于行驶的时间x小时之间的关系式为：，根据两地相距，减去汽车行走的路程即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．已知A，B，C是一条铁路线(直线)上的顺次三个站，A，B两站相距，现有一列火车从B站出发，以的速度向C站驶去．设表示火车行驶的时间，表示火车与A站的距离，则y与x之间的函数解析式是________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：， 故y与x之间的关系式是：． 故答案为． 4．一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼___________米处． 【答案】150 【详解】假设车站距离1号楼x米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论x的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 解：假设车站距离1号楼x米， 则总距离S=|x|+2|x-50|+3|x-100|+4|x-150|+5|x-200|， ①当0≤x≤50时，S=2000-13x，最小值为1350； ②当50≤x≤100时，S=1800-9x，最小值为900； ②当100≤x≤150时，S=1200-3x，最小值为750（此时x=150）； 当150≤x≤200时，S=5x，最小值为750（此时x=150）． ∴综上，当车站距离1号楼150米时，总距离最小，为750米． 故答案为150． 5．A，B两地相距，甲车从A地出发，以的速度匀速行驶到B地，设甲车与B的路程为，行驶的时间为，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】y关于x的函数解析式为：，自变量x的取值范围为：． 【分析】由题意得：甲车的行驶速度×行驶时间，根据等量关系可得，然后再变形可得． 【详解】解：由题意得：， ， 又∵ ， 解得：， 由 ∵， ∴． 答：y关于x的函数解析式为：，自变量x的取值范围为：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数关系式，解题关键是掌握路程的等量关系． 分段计费问题题型04 1．（2026·广东汕头·一模）某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 【答案】B 【分析】根据费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，设出一次函数解析式，代入求值即可． 【详解】解：设， 由题意知，， 解得， ， 当时，， 答：该停车场免费停车时间为1小时． 2．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了一次函数的应用，根据出租车收费标准，建立费用与行驶里程的函数关系式即可，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． 【分析】解：当行驶里程（为正整数）时，费用由起步价和超出部分费用组成： 起步价：以内，包含为元， 超出部分：超出部分每千米加收元，超出里程为，费用为元， ∴关于的函数关系式是， 故选：． 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）某市出租车的白天平峰时段收费规则：起步价8元（不超过3公里），行驶里程超3公里后每公里收取2元，设行驶总路程为x公里，则车费y与x的函数关系式是______． 【答案】 【分析】根据收费规则，总车费由起步价和超出3公里部分的费用两部分组成，先表示出超出部分的费用，再整理即可得到y与x的函数关系式. 【详解】解：由题意，. 4．重庆出租车计费的方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象解答下列问题： (1)该地出租车起步价是_____元； (2)当x＞2时，求y与x之间的关系式； (3)若某乘客一次乘出租车的里程为18km，则这位乘客需付出租车车费多少元？ 【答案】(1)10；(2)y＝2x+6；(3)这位乘客需付出租车车费42元． 【分析】(1)由图象知x＝0时，y＝10可得答案； (2)先求得出租车每公里的单价，根据车费＝起步价+超出部分费用可得函数解析式； (3)将x＝18代入(2)中所求函数解析式． 【详解】解：(1)由函数图象知，出租车的起步价为10元， 故答案为10； (2)当x＞2时，每公里的单价为(14﹣10)÷(4﹣2)＝2， ∴当x＞2时，y＝10+2(x﹣2)＝2x+6； (3)当x＝18时，y＝2×18+6＝42元， 答：这位乘客需付出租车车费42元． 【点睛】此题考查了函数图象，由函数值求自变量的值的运用，解答时理解函数图象是重点，求出函数的解析式是关键． 5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克. (1)根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 … 甲公司收费（元） 22 … 乙公司收费（元） 11 51 67 … (2)设甲快递公司收费y1元，乙快递公司收费y2元，分别写出y1,y2关于x的函数关系式； (3)当x>3时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由. 【答案】（1）11,19,52,67；（2）；y2=16x+3；（3）当3＜x＜4时，小明应选择乙公司省钱；当x=4时，两家公司费用一样；当x＞4，小明应选择甲公司省钱． 【分析】（1）根据甲、乙公司的收费方式，求出y值即可； （2）根据甲、乙公司的收费方式结合数量关系，找出y1、y2（元）与x（千克）之间的函数关系式； （3）x＞3，分别求出y1＞y2、y1=y2、y1＜y2时x的取值范围，综上即可得出结论． 【详解】解：（1）当x=0.5时，y甲=22×0.5=11； 当x=1时，y乙=16×1+3=19； 当x=3时，y甲=22+15×2=52； 当x=4时，y甲=22+15×3=67. 故答案为11；19；52；67． （2）当0＜x≤1时，y1=22x； 当x＞1时，y1=22+15（x-1）=15x+7． ∴ y2=16x+3（x＞0）； （3）当x＞3时， 当y1＞y2时，有15x+7＞16x+3， 解得：x＜4； 当y2=y2时，有15x+7=16x+3， 解得：x=4； 当y1＜y2时，有15x+7＜16x+3， 解得：x＞4． ∴当3＜x＜4时，小明应选择乙公司省钱；当x=4时，两家公司费用一样；当x＞4，小明应选择甲公司省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据甲、乙公司的收费方式求出y值；（2）根据甲、乙公司的收费方式结合数量关系，找出、（元）与x（千克）之间的函数关系式；（3）分情况考虑＞、=、＜时x的取值范围． 工程问题题型05 1．已知某海水淡化厂淡水储备量为20吨时，刚开始以每小时10吨的淡化的速度加工生产淡水，2小时后，在继续原速度的生产的前提下，为供给市场以每小时15吨的速度运出淡水，则储备淡水量（吨与时间（时之间的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出各段对应的函数解析式，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时，， 当时，，当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 2．油箱装满45升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽．那么油箱中剩油量y（升）与流出时间x（分钟）之间的表达式是_________________． 【答案】y =45-0.5x 【分析】根据油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽，可得每分钟流出升油，由此即可得到答案． 【详解】解：由油箱装满45升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽， 得每分钟流出升油， ， 故答案为： 【点睛】本题考查实际问题与函数关系式，理解题意并找到等量关系式解题关键． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是______．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 【答案】④ 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，求出甲，乙两队的挖掘速度，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，甲的挖掘速度为，乙队在的挖掘速度为：，之后的挖掘速度为， 故当甲队开挖到时，用了；故①错误； 由图象可知开挖时甲队比乙队多挖了；故②错误； 由图象可知，乙队在的时段，为分段函数，当时，，不是，故③错误； 当时，甲挖掘的长度为，乙挖掘的长度为，甲、乙两队所挖的河渠长度相等，故④正确； 故答案为：④． 4．浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题： （1）甲队每小时施工_________米； （2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________； （3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米. 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【分析】（1）用甲的工作总量60工作的时间6，即可得到答案； （2）设函数解析式y=kx，将点（2，30）代入求k的值即可； （3）根据图象分别求出甲、乙的工作效率即可得到答案； （4）设铺设的彩色道砖路面的长度为a米，根据两队同时完成了任务列出方程求出a的值. 【详解】（1）甲每小时施工：606=10（米）， 故答案为：10 （2）当时，设y=kx， 将（2，30）代入，得2k=30， 解得k=15， 故答案为：y=15x； （3）当时，甲每小时的工作量为10米； 乙每小时的工作量为： （米）， ∴甲队比乙队每小时快10-5=5米， 故答案为：5； （4）设铺设的每条彩色道砖路面的长度为a米， 由题意得： ， 解得a=110， 经检验，a=110是原方程的解， 故答案为：110. 【点睛】此题考查一次函数的应用，对图象上点的意义的理解，利用待定系数法求函数解析式，（4）中根据设修路的总长度是解题的关键，利用时间相等得到方程，再解方程即可. 5．（24-25八年级下·陕西·期中）某食品加工厂需要一批包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒购买的费用为5元，不需要缴纳其他费用； 方案二：租赁机器自己加工，生产包装盒的费用为每个元，租赁机器的费用为20000元． (1)请分别求出方案一所需的费用、方案二所需的费用与包装盒数的函数关系式； (2)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【答案】(1)， (2)当包装盒的数量为8000个时，方案一与方案二所需费用一样；当包装盒的数量大于8000个时，选择方案二更省钱；当包装盒的数量小于8000个时，选择方案一更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，不等式的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． （1）根据方案一和方案二求出函数解析式即可； （2）分别求出时，时，时，x的值或x的取值范围，然后得出答案即可． 【详解】（1）解：方案一所需的费用， 方案二所需的费用； （2）解：令，解得：； 令，解得：； 令，解得：； 答：当包装盒的数量为8000个时，方案一与方案二所需费用一样；当包装盒的数量大于8000个时，选择方案二更省钱；当包装盒的数量小于8000个时，选择方案一更省钱． 计时问题题型06 1．据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位 h（cm）与时间 t（min） 满足 h=0.4t+2，当 h 为 6cm时，时间 t 的值为（       ） A．4.4min B．10min C．15min D．20min 【答案】B 【分析】将代入中，求出t即可； 【详解】当 h 为 6cm时，即， 解得：min． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．理解题意是解题关键． 2．14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图是 (    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得：y1=0.5x+60（0≤x≤30），y2=6x（0≤x≤30）， ∴得出y1是一次函数，y1随x的增大而增大，与y轴的交点是（0，60）， y2是正比例函数，y2随x的增大而增大， 故选：C． 【点睛】本题考查了时钟问题的时针和分针的速度的关系，一次函数的解析式和正比例函数的解析式与图象的关系的运用，解答时根据时钟问题的数量关系求出函数的解析式是关键． 3．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为___________． t（min） … 1 2 3 … h（cm） … 2.4 2.8 3.2 … 【答案】 【分析】由题意可得，设，求得一次函数解析式，即可求解． 【详解】解：由题意可得，设， 将，代入可得： 解得，即 将代入可得，， 故答案为． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意，求得一次函数解析式． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为时，对应的高度为________．    t/min … 1 2 3 … h/cm … 2 2.3 2.6 … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据题意求得一次函数解析式．设一次函数解析式为，利用待定系数法求出一次函数解析式，进而求出当为时，对应的高度，即可解题． 【详解】解：设一次函数解析式为， 根据表中数据可知，， 解得， 一次函数解析式为， 当为时，（）， 故答案为：． 5．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）是时间（）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误． （） （） 解答下列问题： (1)记录错误的的值是__________，正确的值应该是__________； (2)求水位（）与时间（）的一次函数关系式； (3)当为时，求对应的时间为多少． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加分钟，增加，据此可知是错误的值； （2）设水位（）与时间（）的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式即可； （3）利用（2）的关系式求解值即可． 【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加分钟，增加， 是错误的值，正确的值应该是 故答案为：，； （2）解：设水位（）与时间（）的一次函数关系式为， 代入表中数据得， 解得， ∴水位（）与时间（）的一次函数关系式为； （3）解：由（2）知， 当时，， 解得， 故答案为：． 最大利润问题题型01 1．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期末）某超市以每千克元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．当销售此种水果的利润为元时，销售量为________千克． 【答案】180 【分析】经过分析，销售此种水果的利润为元是在降价后，先求出降价后的函数关系式，然后根据题意列方程即可． 【详解】解：降价前最大利润为（元）， ∴销售此种水果的利润为元是在降价后， 设降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是， 段过点，， ， 解得，， 即降价后销售额（元与销售量（千克）之间的函数表达式是； 设当销售量为千克时，某超市销售此种水果的利润为150元， ， 解得，． 3．（25-26八年级·福建·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 【答案】(1) (2)万元 【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：每月销售甲特产吨，乙特产吨， ∴总利润 ． （2）解：若甲特产的销售量不超过20吨，即， ∵总利润为， 其中，故随的增大而增大， 若总利润最大，则应最大， 最大为， ∴总利润最大为万元 4．某市扶贫办在精准扶贫工作中，组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售．按计划30辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题： 产品名称 核桃 花椒 甘蓝 每辆汽车运载量（吨） 10 6 4 每吨土特产利润（万元） 0.7 0.8 0.5 若装运核桃的汽车为x辆，装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1，假设30辆车装运的三种产品的总利润为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若装花椒的汽车不超过8辆，求总利润最大时，装运各种产品的车辆数及总利润最大值． 【答案】(1)y=﹣3.4x+141.2；(2)当装运核桃的汽车为9辆、装运甘蓝的汽车为19辆、装运花椒的汽车为2辆时，总利润最大，最大利润为117.4万元． 【分析】（1）根据题意可以得装运甘蓝的汽车为（2x+1）辆，装运花椒的汽车为30﹣x﹣（2x+1）=（29﹣3x）辆，从而可以得到y与x的函数关系式； （2）根据装花椒的汽车不超过8辆，可以求得x的取值范围，从而可以得到y的最大值，从而可以得到总利润最大时，装运各种产品的车辆数． 【详解】(1)若装运核桃的汽车为x辆，则装运甘蓝的汽车为（2x+1）辆，装运花椒的汽车为30﹣x﹣（2x+1）=（29﹣3x）辆， 根据题意得：y=10×0.7x+4×0.5（2x+1）+6×0.8（29﹣3x）=﹣3.4x+141.2． (2)根据题意得：， 解得：7≤x≤， ∵x为整数， ∴7≤x≤9． ∵10.6＞0， ∴y随x增大而减小， ∴当x=7时，y取最大值，最大值=﹣3.4×7+141.2=117.4，此时：2x+1=19，29﹣3x=2． 答：当装运核桃的汽车为9辆、装运甘蓝的汽车为19辆、装运花椒的汽车为2辆时，总利润最大，最大利润为117.4万元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用. 5．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，然后利用题目的数量关系列出函数解析式． （1）设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元列出关系式即可； （2）首先利用不等式组得出x的取值范围，再根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：设生产A型皮鞋的双数为x双，则生产B型皮鞋双，根据题意得： ， ∵A型皮鞋不得少于， ∴， 即， ∴y（元）与x（双）之间的函数解析式为， （2）解：∵中，， ∴随x的增大而减小， ∴当时，获得利润最大，且最大值为： （元）， （双）， 答：生产A型皮鞋320双，B型皮鞋480双时，才能使该皮革厂获得最大的利润，且最大利润是元． 方案选择问题题型02 1．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金__ 元． 【答案】3520 【分析】若只租甲种客车需要辆．若只租乙种客车需要8辆，但有一辆不能坐满．只租甲种客车正好坐满，这种方式一定最贵．因而两种客车用共租8辆．两种客车的载客量大于360，根据这个不等关系，就可以求出两种客车各自的数量，进而求出租金． 【详解】解：若只租甲种客车需要辆．若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆． 设甲车有x辆，乙车有辆，则， 解得：， 整数解为1、2、3、4． 设汽车的租金为， 则：，即， 的值随的增大而减小，因而当时，最小． 故取，的最小值是3520元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，以及一次函数的实际应用．找准等量关系，正确的列出一元一次不等式和一次函数解析式，是解题的关键． 2．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题：    (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； (2)当入园次数12次时选择哪种卡消费比较合算． 【答案】(1)， (2)甲种卡消费比较合算 【分析】（1）运用待定系数法，即可求出与之间的函数表达式； （2）代入，即可求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设，根据题意得：， 解得， ∴； 设， 根据题意得：， 解得：， ∴； （2）解：当时，，， ， ∴甲种卡消费比较合算． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，由图象得出正确信息是解题关键， 3．涟水外卖市场竞争激烈，美团、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m元．    （1）若某“外卖小哥”某月送了500单，收入　 　元； （2）若“外卖小哥”每月收入为y（元），每月送单量为x单，y与x之间的关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； （3）若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单，且甲送单量低于乙送单量，共收入5000元，问：甲、乙送单量各是多少？ 【答案】（1）2000；（2）y＝5x﹣750；（3）甲送250单，乙送950单 【分析】（1）根据题意可以求得“外卖小哥”某月送了500单的收入情况； （2）分段函数，运用待定系数法解答即可； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得甲、乙送单量各是多少． 【详解】解：（1）由题意可得， “外卖小哥”某月送了500单，收入为：4×500＝2000元， 故答案为：2000； （2）当0≤x＜750时，y＝4x 当x≥750时， 当x＝4时，y＝3000 设y＝kx+b，根据题意得， 解得， ∴y＝5x﹣750； （3）设甲送a单，则a＜600＜750， 则乙送（1200﹣a）单， 若1200﹣a＜750，则4a+4（1200﹣a）＝4800≠5000，不合题意， ∴1200﹣a＞750， ∴4a+5（1200﹣a）﹣750＝5000， ∴a＝250， 1200﹣a＝950， 故甲送250单，乙送950单． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及二元一次方程组，从函数图象中找出有用的信息是解此题的关键． 4．在六一儿童节到来之际，某校特举行书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具作为奖品，奖励在活动中获得优秀的同学．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元． （1）问：购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，则有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？ 【答案】（1）购买一个甲种文具元，一个乙种文具元；（2）有种购买方案；（3）购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少是元． 【分析】（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元”列方程组解答即可； （2）根据题意列不等式组解答即可； （3）求出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）设购买一个甲种文具元，一个乙种文具元 由题意，得， 解得 答：购买一个甲种文具元，一个乙种文具元． （2）根据题意，得， 解得， 是整数， 、、、、、， 有种购买方案． （3）， ，随的增大而增大， 当时，（元）， ． 答：购买甲种文具个，乙种文具个时需要的资金最少，最少是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出W关于x的一次函数关系式． 5．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 【答案】(1)， (2)当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算 【分析】此题考查了一次函数的综合运用，解题关键是用待定系数法求出一次函数的解析式． （1）根据两家公司的费用计算方法求解即可； （2）结合两个一次函数解析式，分为三种情况：，，，分别求出对应x的值可判断哪个方案合算． 【详解】（1）解：根据题意，， 当时，， ∴，； （2）解：时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算， 时，，选择乙公司比较合算； 当时， 当时，， 解得， 此时选择甲乙公司一样合算； 当时，且， 解得， 此时选择乙公司合算； 当时，， 解得， 此时选择甲公司合算； ∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算． 费用最少问题题型03 1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断． 【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确． B、设25小时之后A方式的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴函数关系式为， 令，解得， ∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误． C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确． D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确． 故选：B． 2．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 3．某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 【答案】当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． 【分析】先设定印刷份数为变量，分别写出甲、乙两厂的费用函数；再分三种情况(费用相等、甲费用更低、乙费用更低)列方程或不等式，求解对应的印刷份数范围；最后根据求解结果给出不同情况下的选择方案． 【详解】解：设要印刷的说明书份数为份，甲印刷厂的总费用为元，乙印刷厂的总费用为元． 根据题意，甲印刷厂收取每份1元印刷费和元制版费， ∴； 乙印刷厂仅收取每份元印刷费，无制版费， ∴． 当时，即，解得． 此时甲、乙两印刷厂的费用相同． 当时，即， 解得． 此时选择甲印刷厂的总费用更低，更节省费用． 当时，即， 解得． 此时选择乙印刷厂的总费用更低，更节省费用． 答：当印刷说明书份数为份时，选择甲、乙印刷厂费用相同；当印刷份数大于份时，选择甲印刷厂更节省费用；当印刷份数小于份时，选择乙印刷厂更节省费用． 4．（25-26八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题情境】 为弘扬“裴氏文化”，我县某学校计划组织八年级师生开展“裴氏家训润故土，崇文尚德兴闻喜”的研学活动．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用中型、大型两种型号的客车用于接送师生． 【实践信息】 信息①：该客运公司有中型、大型两种型号的客车共25辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示． 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 30 40 日租金（元/辆） 500 800 信息②：在这25辆客车都坐满的情况下，共载客900人． (1)求该旅游客运公司中型、大型两种型号的客车各有多少辆？ (2)该学校计划租用中型、大型两种型号的客车共12辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过8500元． ①至少要租用多少辆中型客车？ ②若八年级的师生共有420人，请直接写出最省钱的租车方案． 【答案】(1)中型客车10辆，大型客车15辆． (2)①至少租用4辆中型客车；②最省钱的租车方案为租用中型客车6辆，大型客车6辆． 【分析】（1）根据车辆总数和总载客量两个条件列二元一次方程组求解； （2）①根据总费用不超过预算列一元一次不等式，求出中型客车的最少租用数量； ②结合载客量要求得到所有可行方案，根据总费用随中型客车数量的变化规律得到最省钱方案． 【详解】（1）解：设该旅游客运公司中型客车有辆，大型客车有辆， 根据题意得：， 解得． 答：该旅游客运公司中型客车10辆，大型客车15辆； （2）解：①设租用中型客车辆，则租用大型客车辆， 根据租车总费用不超过8500元得：， 解得， ∵是正整数， ∴的最小值为4， 答：至少要租用4辆中型客车； ②根据师生共420人，可得载客量要求：， 解得， 结合①可知， 设租车总费用为元，则， ∵， ∴随的增大而减小， 因此当取最大值6时，最小，此时． 答：最省钱的租车方案为租用中型客车6辆，大型客车6辆． 5．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元 (2)《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元， 根据题意，得： 解得， 答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元． （2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套， 根据题意得， 解得． 设所需费用为W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最小值为（元） 此时，（套）． 答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元． 行程的图象分析问题题型04 1．如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）   A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米 【答案】A 【详解】解：由图象可以看出菜地离小徐家1.1千米．故选A． 点睛：本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键． 2．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（   ） A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间 B．张大爷在公园锻炼了40分钟 C．张大爷去时走上坡路，回家时直下坡路 D．张大爷去时速度比回家时的速度慢 【答案】D 【分析】根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据图象信息无法判断走上坡路还是走下坡路． 【详解】解：如图， A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故选项错误，不符合题意； B、张大爷在公园锻炼了分钟，故选项错误，不符合题意； C、根据图象信息无法判断走上坡路还是走下坡路，故选项错误，不符合题意； D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，解题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 3．笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①由(0,400)可知A，B港口相距400km； ②甲船4个小时行驶了400km，可以求出甲船的速度； ③先求出乙船的速度，再根据两船同时到达目的地列出等式，可求出B，C港口的距离； ④乙船出发4h时，计算两船与B港口的距离，再相加即可． 【详解】解：由题意和题图，可知A，B港口相距400km，故①正确； 甲船4个小时行驶了400km，故甲船的速度为，故②正确； 乙船的速度为，设B、C港口的距离为skm， 则，解得，故③正确； 乙船出发4h时，两船的距离是，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用---路程问题，解答此类问题的关键是根据图像找到一些关键点（如与x轴、y轴的交点，两图像的交点等），分析关键点的实际意义，转化为路程或速度或时间的关系，然后利用题中的等量关系进行解答．这种题型属于常考题型，属较难题. 4．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是_____升. 【答案】20 【分析】根据题意得出汽车耗油量，进而得出到达乙地时邮箱剩余油量． 【详解】解：由图象可得出：行驶，耗油（升， 行驶，耗油（升， 到达乙地时邮箱剩余油量是（升． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了一函数应用，解题的关键是根据已知图象获取正确信息． 5．甲、乙两人骑自行车同时分别从相距的A，B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数，如图所示，经过多长时间两人相遇？此时距B地多远？ 【答案】经过两人相遇，此时距B地多远． 【分析】本题考查了正比例函数，一次函数解析式的确定，一元一次方程的解法，函数的图像，熟练掌握待定系数法确定函数的解析式，正确读取图像的信息，灵活运用转化思想是解题的关键． 根据待定系数法求出和的表达式，然后联立求出，然后代入解析式求解即可． 【详解】设的表达式为 将代入得， 解得 ∴的表达式为； 设的表达式为 将，代入得， 解得 ∴的表达式为； ∴令，即 解得 将代入 ∴ ∴经过两人相遇，此时距B地． 调运问题题型05 1．一辆甲种车每次可运货物 3 吨，一辆乙种车每次可运货物 2 吨，某公司有 20 吨货物，计划同时租用两种车一次运完，且每辆车都装满货物，一共有（    ）种租车方案． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设租用甲种车x辆，即乙种车辆，根据x，均为正整数求出所有的租车方案即可． 【详解】设租用甲种车x辆，即乙种车辆 ∵x，均为正整数 ∴当成立 故存在3种租车方案 故答案为：C． 【点睛】本题考查了租车方案的问题，掌握正整数的性质列出所有租车方案是解题的关键． 2．A公司有疫苗200万剂，B公司有疫苗100万剂．现要把这些疫苗全部运往郑州和新乡，从A公司往郑州、新乡运疫苗的费用分别为700元/万剂、800元/万剂；从B公司往郑州、新乡运疫苗的费用分别为500元/万剂、400元/万剂．若郑州需要疫苗240万剂，新乡需要疫苗60万剂，怎样调运可使总运费最少？ 【答案】A公司运往郑州200万剂疫苗，新乡0万剂疫苗；B公司运往郑州40万剂疫苗，新乡60万剂疫苗时费用最少 【分析】设A公司运往郑州x万剂疫苗，则运往新乡万剂疫苗，B公司运往郑州万剂疫苗，运往新乡万剂疫苗，设所需总费用为w，根据题意，列出w关于x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：解：设A公司运往郑州x万剂疫苗，则运往新乡万剂疫苗，B公司运往郑州万剂疫苗，运往新乡万剂疫苗， 设所需总费用为w，由题意得： ， ∵， ∴w随x的增大而减小． 根据题意得：， ∴当时，w有最小值，最小值为184000， 答：A公司运往郑州200万剂疫苗，新乡0万剂疫苗；B公司运往郑州40万剂疫苗，新乡60万剂疫苗时费用最少． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系，列出函数关系式是解题的关键． 3．如图是甲、乙两家运输公司规定每位旅客携带行李的费用与所带行李质量之间的关系图． (1)由图可知，行李质量只要不超过______kg，甲公司就可免费携带，如果超过了规定的质量，则每超过1 kg要付运费_______元； (2)解释图中点M所表示的实际意义； (3)若设旅客携带的行李质量为x(kg)，所付的行李费是y（元），请分别写出y甲与y乙（元）随x(kg)之间变化的关系式； (4)若你准备携带45 kg的行李出行，在甲、乙两家公司中你会选择哪一家？应付行李费多少元？ 【答案】（1）20，0.5；（2）甲、乙两运输公司收费相同，均为10元；（3），；（4）选择甲公司，应付行李费12.5元． 【分析】（1）结合函数图象得出甲公司当在20以下时y=0，即不收费；由图象得出甲公司图象（40，10），（50，15），得出每超过1kg要付运费0.5元； （2）由纵坐标相同，得出甲、乙两运输公司收费相同； （3）由图象得出甲公司图象（40，10），（50，15），与乙公司图象（30，0），（40，10），分别代入y=kx+b，求出即可； （4）由（3）式将两式联立，分析两式大小关系即可． 【详解】解：（1）甲公司当在20以下时y=0， 当x=40时，y=10，当x=50时，x=15， 得出每超过1kg要付运费0.5元， 故答案为20，0.5； （2）当行李质量为40千克时，纵坐标相等得出：甲、乙两运输公司收费相同，均为10元； （3）当x20时，y甲=0， 当x＞20时，将（40，10），（50，15），代入y=kx+b得： ， 解得：； ∴， ∴； 当x30时，y乙=0， 当x＞30时将（30，0），（40，10），代入y=kx+b， ， 解得：k=1，b=-30， ∴， ∴； （4）结合图象或者直接将两函数式进行比较大小，得出： 当x≤20时或x=40时，两公司收费相同； 当20＜x＜40时，乙公司付费较少； 当x＞40时，甲公司付费较少，则准备携带45kg的行李出行，在甲公司中费用较少， ∴． 答：选择甲公司，应付行李费12.5元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的应用，主要有利用图象分析获取信息与由点的坐标求函数解析式，以及分析函数式的大小关系． 4．已知A城有物资200吨，B城有物资300吨，现在要把这些物资全部运往C、D两个仓库，C仓库能装240吨物资，D仓库能装260吨物资． （1）如果A城运往C仓库100吨物资，那么B城运往D仓库多少吨物资？ （2）设A城运往C仓库x吨物资，如果从A城运物资往C、D两个仓库的运费分别为20元/吨和25元/吨；从B城运物资往C、D两个仓库的运费分别为15元/吨和24元/吨，求A、B两城运送物资的总费用； （3）若A、B两城运送物资的总费用为10200元，求从A、B两城分别运往C、D两仓库各多少吨物资？ 【答案】（1）B城运往D仓库160吨物资；（2）A、B两城运送物资的总费用总运费为（）元；（3）从A城运往C仓库40吨物资，A城运往D仓库160吨物资，B城运往C仓库200吨物资，B城运往D仓库100吨物资． 【分析】（1）根据A城有物资200吨，运往C仓库100吨物资，可先计算A城运往D仓库100吨，再由D仓库能装260吨物资，继而解题； （2）设A城运往C仓库x吨物资，计算A城运往D仓库吨物资，再计算B城运往C仓库吨物资，B城运往D仓库吨物资，继而根据题意求得总费用； （3）将总费用为10200元，代入（2）中所得的结果即可解题． 【详解】（1）∵A城运往C仓库100吨物资，则A城运往D仓库：200-100=100（吨）物资， ∴B城运往D仓库：260-100=160（吨）物资， 答：B城运往D仓库160吨物资． （2）∵A城运往C仓库x吨物资，则A城运往D仓库吨物资； ∴B城运往C仓库吨物资，运往D仓库吨物资， ∴总运费：； （3）由题意可得：， 解得：， 答：从A城运往C仓库40吨物资，A城运往D仓库160吨物资，B城运往C仓库200吨物资，B城运往D仓库100吨物资． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）城有水果，城有水果，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果，乡需要水果，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． (1)分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 【答案】(1)，， (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 (3)当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少， 【分析】（1）根据题意分别列出的函数关系式，根据题意列出不等式组求得的取值范围； （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，进而根据一次函数的性质，即可求解． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，结合一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：据题意得：， ． ， ． （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， ，随的增大而增大， 由，且要求无吨调配，均大于且为整数， 当时，， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， 当，即时，随的增大而减小， 由，要运费最少，取最大值（保证城运往乡）． 当时，． 当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，． 分配问题题型06 1．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【答案】10400 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式组的解法，先根据题意列出不等式组，求出解集，再设总费用为列出一次函数，根据函数的性质得到最小值即可求解； 【详解】解:设从北京运往深圳台，北京运往广州为台，上海运往深圳为台，上海运往广州为台，运费为元，则 解得：， ， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，有最小值， ∴当时，（元） 故答案为：10400 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）一家健身中心为会员提供两种健身课程计费方式．方式：每节课程收费100元，按参加的课程节数计费；方式；每月固定会员费500元，每节课程收费50元． (1)设会员参加的课程节数为节，选择方式时，总费用为元，选择方式时总费用为元，请分别写出与之间的关系式； (2)会员准备在两种计费方式中选择一种，请你帮助会员选择更经济的方案． 【答案】(1)， (2)当会员参加的课程节数超过10节时，选择方式B总费用少；当会员参加的课程节数为10节时，两种方式收费相同；当会员参加的课程节数少于10节时，选择方式A总费用少 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的方案分配问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方式：每节课程收费100元，按参加的课程节数计费；方式；每月固定会员费500元，每节课程收费50元，进行列式，即可作答． （2）因为选择更经济的方案，故进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：依题意，当时，即，解得：； 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 答：当会员参加的课程节数超过10节时，选择方式B总费用少；当会员参加的课程节数为10节时，两种方式收费相同；当会员参加的课程节数少于10节时，选择方式A总费用少． 3．某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． (1)如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案． 【答案】(1)①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆；②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆；③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆． (2)最省钱的租车方案是：租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆． 【分析】本题主要考查了应用一元一次不等式组解决方案设计问题，一次函数的性质等， 对于（1），先根据题意列出不等式组得求出解集，再确定的取值，进而确定出具体方案； 对于（2），先求出关于租车总费用的函数关系式，再根据一次函数的增减性确定总费用最小的租车方案． 【详解】（1）解：设安排辆甲型汽车，安排辆乙型汽车， 由题意得，解得： ∴整数可取8、9、10． ∴共有三种方案： ①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆； ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆； ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆． （2）解：设租车总费用为元，则 ∴随的增大而增大， ∴当时，， ∴最省钱的租车方案是：租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆． 4．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1)（，且x为整数） (2)当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次一不等式组，根据题意列出函数关系式以及熟练掌握一次函数增减性是解题的关键， （1）根据题意，可得函数关系式，根据，即可求自变量取值范围； （2）在自变量取值范围内根据一次函数增减性即可求出最低费用及其方案． 【详解】（1）解：设租用型号客车辆，则租用型号客车辆， 由题意得：， 即与的函数解析式为：， 由题意得：，解得：， 即自变量的取值范围为，且x为整数； （2）解：由（1）得：费用为（，且x为整数） ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，费用最小， 最低为（元）， 答：当租用型号客车辆，型号客车辆时，租车费用最低，最低费用元． 5．为绿化校园，重庆一中计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元： (1)求A、B两种树苗单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】(1)90元，70元 (2)A种树苗11棵，B种树苗10棵，1690元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），一次函数的实际应用（分配方案问题），一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式、方程组和不等式是解题的关键． （1）设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元，列出方程组求解即可； （2）根据“所需费用种树苗的费用种树苗的费用”列出函数解析式，然后根据一次函数的增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种树苗单价为a元，B种树苗单价为b元， 由题意可得： ， 解得：， 答：A种树苗单价为90元，B种树苗单价为70元； （2）解：由题意可得： ， ， ， ， 随的增大而减小， 当时，元， 当购买A种树苗11棵，B种树苗10棵时费用最小，为1690元． 体积问题题型07 1．研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． （2）解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 2．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【答案】（1）2；（2）y＝2x+30；（3）10 【分析】（1）比较第一、二两个量桶可知，放入三个球，水面上升6cm，由此可求放入一个小球量桶中水面升高的高度； （2）根据（1）的结论可知，放入小球x（个）后，量桶中水面的高度，即可得到y与x的一次函数关系式； （3）根据（2）可以得出y＞49，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：（1）36-30=6（cm）, 6÷3=2（cm） 故答案为：2； （2）设y＝kx+b，把（0，30），（3，36）， 代入得：， 解得， 即y＝2x+30； （3）由2x+30＞49， 得x＞9.5， 即至少放入10个小球时有水溢出． 【点睛】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． 借助函数图象解决实际问题题型 1．（2026·河南信阳·模拟）物理学中，有很多量之间的关系可以用函数来描述，比如通过定值电阻的电流（单位：）是电阻两端的电压（单位：）的正比例函数．观察下图，计算电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：设电流关于电压的函数解析式为， 把代入得， 解得：， ∴电流关于电压的函数解析式为， 当时，． 2．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是_____． 【答案】﹣1 【分析】直接把点（m，n）代入函数y=2x+1即可得出结论． 【详解】解：∵点（m，n）在函数y=2x+1的图象上， ∴2m+1=n，即2m﹣n=﹣1． 故答案为﹣1． 3．（24-25九年级下·浙江宁波·月考）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时， _______L． 【答案】38 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：设当时的直线方程为：． 图象过、， 可得． 解得． 直线解析式为． 令， ． 故答案为：38． 4．跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 【答案】任务1：如图所示： 任务2：；任务3： 【分析】本题考查了求一次函数解析式及实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键； 任务1：根据表格数据在平面直角坐标系中描点，连线即可； 任务2：设T与h之间的函数关系式为，运用待定系数法求一次函数解析式即可； 任务3：首先将1500米转化为15百米，然后代入函数解析式即可解答． 【详解】解：任务1： 略 任务2：设T与h之间的函数关系式为， 把，分别代入关系式，得： ， 解得， 所以，T与h之间的函数关系式为； 任务三： 1500米百米， 将代入得 ， 答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为． 5．为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元．设准备购买A种器材x（件），学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y（元）． （1）写出总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值． 【答案】（1），且x为正整数；（2）． 【分析】（1）根据题中条件，可用表示购买种器材件数，同时还要求出的取值范围，再根据购买单价建立关于的解析式； （2）要对实际购买时，所得到得关于的解析式取到的最值时，进行分类讨论． 【详解】解：（1）设购买A种器材x（件），则购买种器材件． 由题意：要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，则，解得：， 根据A，B两种器材的单价分别是16元和4元，建立购买器材的总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式如下： ，； ,且x为正整数． （2）根据实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，得 ，． 此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，进行分类讨论； 第一类：当时，解得． 根据一次函数的图像及性质知：随着的增大而增大， 当时，取到最小值，即： ， 解得：（不符合，故舍去） 第二类：当当时，解得． （不符合题意，舍去） 第三类：当时，解得， 根据一次函数的图像及性质知：随着的增大而减小， 当时，取到最小值，即： ， 解得：． 综上所述：． 【点睛】本题考查了一次函数在生活中的实际应用，解题的关键是：理清楚题中变量之间的关系，列出解析式，不要忽略自变量的取值范围，关于一次函数的最值问题，通常要进行分类讨论． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 用一次函数解决问题 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 销售利润问题 题型02 收费方案问题 题型03 行程问题 题型04 分段计费问题 题型05 工程问题 题型06 计时问题 B组 能力进阶 题型01 最大利润问题 题型02 方案选择问题 题型03 费用最少问题 题型04 行程的图象分析问题 题型05 调运问题 题型06 分配问题 题型07 体积问题 C组 思维拔高 题型 借助函数图象解决实际问题 销售利润问题题型01 1．某影院昨天甲、乙两种电影票共售出203张，甲票售出张，每张35元，乙票每张20元，票房总额，则（    ） A． B． C． D． 2．某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(    ) A．310元 B．300元 C．290元 D．280元 3．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________． 4．（2025·山东济南·一模）某公共汽车线路收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量 x（万人） 之间的关系如图 1 所示． 目前这条线路是亏损运营，为了扭亏，公交公司提出了以下两种解决方法： 方法 1 ：票价不变，节约能源，改善管理，降低运营成本； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价． 两种解决办法的具体措施如下： 方法 1 ：票价不变，将运营成本降低到 0.5 万元； 方法 2 ：运营成本不变，只提高票价；使每万人收支差额提高到 0.75 万元． 则两种解决方法的收支差额相等时的乘客数量为____万人． 5．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息： 信息一：工人工作时间：每天上午8：00﹣12：00，下午14：00﹣18：00，每月工作25天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件） 生产乙产品数（件） 所用时间（分钟） 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50元，每生产一件乙种产品得2.80元． 信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900元，请根据以上信息，解答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟； （2）2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？ 收费方案问题题型02 1．暑假里父母带小明外出旅行，了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票，则孩子的 费用可按全票价七折优惠（即优惠30%）；而光明旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按全票价的90%收费，若已知旅行社的全票价相同，则实际收费(    ) A．东方旅行社比光明旅行社低 B．东方旅行社与光明旅行社相同 C．东方旅行社比光明旅行社高 D．谁高谁低视全票价多少而定 2．（2025·山东济南·一模）电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_________元． 3．某校组织学生到距离学校6千米的博物馆去参观，小磊准备乘出租车去，出租车的收费标准如下：3千米以下收费8元；3千米以上，每增加1千米，加收1.2元． (1)写出出租车行驶的里程数（大于3千米）与费用（元）之间的关系式； (2)小磊只带10元钱，到博物馆够用吗？ 4．三月底，油菜逐渐进入花期，处于春季油菜管理的关键阶段．某种植基地准备购进一批农用无人机，为油菜的成长“保驾护航”．有两家专卖店的同一款农用无人机的报价均为5000元，并分别给出以下优惠方案： 专卖店 优惠方案 甲专卖店 每台农用无人机打八五折出售 乙专卖店 第一台按原价收费，其余每台打八折出售 该种植基地选择哪家专卖店购买支付的费用较少？ 5．某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一种型号的电脑报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.各商场的优惠条件如下表所示： 商场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余的每台优惠25% 乙商场 每台优惠20% (1)设学校购买台电脑，选择甲商场时，所需费用为元，选择乙商场时，所需费用为元，请分别求出，与之间的关系式. (2)什么情况下，两家商场的收费相同？什么情况下，到甲商场购买更优惠？什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)现在因为急需，计划从甲乙两商场一共买入10台电脑，已知甲商场的运费为每台50元，乙商场的运费为每台60元，设总运费为元，从甲商场购买台电脑，在甲商场的库存只有4台的情况下，怎样购买，总运费最少？最少运费是多少？ 行程问题题型03 1．（24-25八年级下·广西桂林·期末）小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　） A． B． C． D． 2．某人开车由运城出发前往的目的地太原，车速为时，则他距太原的路程与行驶的时间x小时之间的关系式为__________． 3．已知A，B，C是一条铁路线(直线)上的顺次三个站，A，B两站相距，现有一列火车从B站出发，以的速度向C站驶去．设表示火车行驶的时间，表示火车与A站的距离，则y与x之间的函数解析式是________． 4．一条直街上有5栋楼，按从左至右顺序编号为1、2、3、4、5，第k号楼恰好有k（k=1、2、3、4、5）个A厂的职工，相邻两楼之间的距离为50米．A厂打算在直街上建一车站，为使这5栋楼所有A厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼___________米处． 5．A，B两地相距，甲车从A地出发，以的速度匀速行驶到B地，设甲车与B的路程为，行驶的时间为，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 分段计费问题题型04 1．（2026·广东汕头·一模）某停车场实行计时收费，即规定时间内免费停车，超出规定时间后按时收费（24小时封顶50元）．已知费用y（元）与时间x（小时）满足一次函数，若停车5小时收费16元，停车8小时收费28元，则该停车场免费停车时间为（    ） A．0.5小时 B．1小时 C．2小时 D．3小时 2．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）某市出租车收费标准如下：起步价元（以内，包含），超出部分每千米加收元（不足按计算）．设乘坐出租车行驶（为正整数且）的费用为元，则关于的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东阳江·期末）某市出租车的白天平峰时段收费规则：起步价8元（不超过3公里），行驶里程超3公里后每公里收取2元，设行驶总路程为x公里，则车费y与x的函数关系式是______． 4．重庆出租车计费的方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象解答下列问题： (1)该地出租车起步价是_____元； (2)当x＞2时，求y与x之间的关系式； (3)若某乘客一次乘出租车的里程为18km，则这位乘客需付出租车车费多少元？ 5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲乙两家快递公司比较合适.甲公司表示：快递物品不超过1千克的,按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费，乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元，设小明快递物品x千克. (1)根据题意，填写下表： 快递物品重量（千克） 0.5 1 3 4 … 甲公司收费（元） 22 … 乙公司收费（元） 11 51 67 … (2)设甲快递公司收费y1元，乙快递公司收费y2元，分别写出y1,y2关于x的函数关系式； (3)当x>3时，小明应选择哪家快递公司更省钱？请说明理由. 工程问题题型05 1．已知某海水淡化厂淡水储备量为20吨时，刚开始以每小时10吨的淡化的速度加工生产淡水，2小时后，在继续原速度的生产的前提下，为供给市场以每小时15吨的速度运出淡水，则储备淡水量（吨与时间（时之间的大致图象为（　　） A． B． C． D． 2．油箱装满45升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽．那么油箱中剩油量y（升）与流出时间x（分钟）之间的表达式是_________________． 3．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图所示，根据图象所提供的信息，以下说法中正确的是______．（填序号） ①甲队开挖到时，用了． ②开挖时甲队比乙队多挖了． ③乙队在的时段，与之间的关系式． ④为时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 4．浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题： （1）甲队每小时施工_________米； （2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________； （3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米； （4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米. 5．（24-25八年级下·陕西·期中）某食品加工厂需要一批包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒购买的费用为5元，不需要缴纳其他费用； 方案二：租赁机器自己加工，生产包装盒的费用为每个元，租赁机器的费用为20000元． (1)请分别求出方案一所需的费用、方案二所需的费用与包装盒数的函数关系式； (2)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 计时问题题型06 1．据史书记载，漏刻是中国古代的一种计时工具，是古代人民对函数思想的创造性应用．研究发现水位 h（cm）与时间 t（min） 满足 h=0.4t+2，当 h 为 6cm时，时间 t 的值为（       ） A．4.4min B．10min C．15min D．20min 2．14：00时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线OA上），设经过xmin（0≤x≤30），时针、分针与射线OA所成角的度数分别为y1°、y2°，则y1、y2与x之间的函数关系图是 (    ) A． B． C． D． 3．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）是时间t（min）的一次函数，如下表是小明记录的部分数据，当时间t为8时，对应的高度h为___________． t（min） … 1 2 3 … h（cm） … 2.4 2.8 3.2 … 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为时，对应的高度为________．    t/min … 1 2 3 … h/cm … 2 2.3 2.6 … 5．漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用，小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（）是时间（）的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误． （） （） 解答下列问题： (1)记录错误的的值是__________，正确的值应该是__________； (2)求水位（）与时间（）的一次函数关系式； (3)当为时，求对应的时间为多少． 最大利润问题题型01 1．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期末）某超市以每千克元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额（元）与销售量（千克）之间的关系如图所示．当销售此种水果的利润为元时，销售量为________千克． 3．（25-26八年级·福建·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元；乙特产每吨成本价为万元，每吨销售价为万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是吨．设该公司每月销售甲特产吨，销售这两种特产所能获得的总利润为万元． (1)求与的函数解析式． (2)若甲特产的销售量不超过20吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 4．某市扶贫办在精准扶贫工作中，组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售．按计划30辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题： 产品名称 核桃 花椒 甘蓝 每辆汽车运载量（吨） 10 6 4 每吨土特产利润（万元） 0.7 0.8 0.5 若装运核桃的汽车为x辆，装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1，假设30辆车装运的三种产品的总利润为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若装花椒的汽车不超过8辆，求总利润最大时，装运各种产品的车辆数及总利润最大值． 5．（24-25八年级下·上海·月考）某皮革厂承接A、B两种型号800双皮鞋的加工任务，其中A型皮鞋不得少于．经测算，加工A型皮鞋，每双可获利250元；加工B型皮鞋，每双可获利300元． (1)设生产A型皮鞋的双数为x双，生产两种皮鞋所获得的总利润为y元，求y（元）与x（双）之间的函数解析式． (2)安排生产A型、B型皮鞋各多少双时，才能使该皮革厂获得最大的利润？最大利润是多少元？ 方案选择问题题型02 1．假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金__ 元． 2．某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为时所需费用为元，选择这两种卡消费时，与的函数关系如图所示，解答下列问题：    (1)分别求出选择这两种卡消费时，关于的函数表达式； (2)当入园次数12次时选择哪种卡消费比较合算． 3．涟水外卖市场竞争激烈，美团、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m元．    （1）若某“外卖小哥”某月送了500单，收入　 　元； （2）若“外卖小哥”每月收入为y（元），每月送单量为x单，y与x之间的关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； （3）若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单，且甲送单量低于乙送单量，共收入5000元，问：甲、乙送单量各是多少？ 4．在六一儿童节到来之际，某校特举行书画大赛活动，准备购买甲、乙两种文具作为奖品，奖励在活动中获得优秀的同学．已知购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元；购买个甲种文具、个乙种文具共需花费元． （1）问：购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元？ （2）若学校计划购买这两种文具共个，投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种文具个，则有多少种购买方案？ （3）设学校投入资金元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？ 5．国庆节期间，小明和家人乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用一辆新能源汽车自驾出游，两家公司的租赁信息如下： 甲公司：按日收取固定租金84元，另外再按每小时租费20元计费（不足一小时按一小时计费） 乙公司：无固定租金，三小时以内每小时的租费40元，超过三小时，超过部分以每小时的租费32元计费（不足一小时按一小时计费）． 根据以上信息，解决下列问题： (1)设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数关系式； (2)请你帮助小明通过计算说明选择哪家租车公司出游比较合算． 费用最少问题题型03 1．某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 2．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 3．某单位要印刷产品说明书，甲印刷厂提出，每份说明书收取1元印刷费，另收取元制版费；乙印刷厂提出，每份说明书收取元印刷费，不收取制版费．请选取适当的变量建立函数，给出最节省费用的印刷厂选择方案． 4．（25-26八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题情境】 为弘扬“裴氏文化”，我县某学校计划组织八年级师生开展“裴氏家训润故土，崇文尚德兴闻喜”的研学活动．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用中型、大型两种型号的客车用于接送师生． 【实践信息】 信息①：该客运公司有中型、大型两种型号的客车共25辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示． 中型客车 大型客车 载客量（人/辆） 30 40 日租金（元/辆） 500 800 信息②：在这25辆客车都坐满的情况下，共载客900人． (1)求该旅游客运公司中型、大型两种型号的客车各有多少辆？ (2)该学校计划租用中型、大型两种型号的客车共12辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过8500元． ①至少要租用多少辆中型客车？ ②若八年级的师生共有420人，请直接写出最省钱的租车方案． 5．（24-25八年级下·江西吉安·期中）2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 行程的图象分析问题题型04 1．如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家．其中x表示时间，y表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（ ）   A．1.1千米 B．2千米 C．15千米 D．37千米 2．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（   ） A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间 B．张大爷在公园锻炼了40分钟 C．张大爷去时走上坡路，回家时直下坡路 D．张大爷去时速度比回家时的速度慢 3．笔直的海岸线上依次有A，B，C三个港口，甲船从A港口出发，沿海岸线匀速驶向C港口，1小时后乙船从B港口出发，沿海岸线匀速驶向A港口，两船同时到达目的地．甲船的速度是乙船的1.25倍，甲、乙两船与B港口的距离y（km）与甲船行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①A，B港口相距400km；②甲船的速度为100km/h；③B，C港口相距200km；④乙船出发4h时，两船相距220km．其中正确的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是_____升. 5．甲、乙两人骑自行车同时分别从相距的A，B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数，如图所示，经过多长时间两人相遇？此时距B地多远？ 调运问题题型05 1．一辆甲种车每次可运货物 3 吨，一辆乙种车每次可运货物 2 吨，某公司有 20 吨货物，计划同时租用两种车一次运完，且每辆车都装满货物，一共有（    ）种租车方案． A．1 B．2 C．3 D．4 2．A公司有疫苗200万剂，B公司有疫苗100万剂．现要把这些疫苗全部运往郑州和新乡，从A公司往郑州、新乡运疫苗的费用分别为700元/万剂、800元/万剂；从B公司往郑州、新乡运疫苗的费用分别为500元/万剂、400元/万剂．若郑州需要疫苗240万剂，新乡需要疫苗60万剂，怎样调运可使总运费最少？ 3．如图是甲、乙两家运输公司规定每位旅客携带行李的费用与所带行李质量之间的关系图． (1)由图可知，行李质量只要不超过______kg，甲公司就可免费携带，如果超过了规定的质量，则每超过1 kg要付运费_______元； (2)解释图中点M所表示的实际意义； (3)若设旅客携带的行李质量为x(kg)，所付的行李费是y（元），请分别写出y甲与y乙（元）随x(kg)之间变化的关系式； (4)若你准备携带45 kg的行李出行，在甲、乙两家公司中你会选择哪一家？应付行李费多少元？ 4．已知A城有物资200吨，B城有物资300吨，现在要把这些物资全部运往C、D两个仓库，C仓库能装240吨物资，D仓库能装260吨物资． （1）如果A城运往C仓库100吨物资，那么B城运往D仓库多少吨物资？ （2）设A城运往C仓库x吨物资，如果从A城运物资往C、D两个仓库的运费分别为20元/吨和25元/吨；从B城运物资往C、D两个仓库的运费分别为15元/吨和24元/吨，求A、B两城运送物资的总费用； （3）若A、B两城运送物资的总费用为10200元，求从A、B两城分别运往C、D两仓库各多少吨物资？ 5．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）城有水果，城有水果，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果，乡需要水果，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． (1)分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 分配问题题型06 1．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）一家健身中心为会员提供两种健身课程计费方式．方式：每节课程收费100元，按参加的课程节数计费；方式；每月固定会员费500元，每节课程收费50元． (1)设会员参加的课程节数为节，选择方式时，总费用为元，选择方式时总费用为元，请分别写出与之间的关系式； (2)会员准备在两种计费方式中选择一种，请你帮助会员选择更经济的方案． 3．某校组织学生到外地进行社会实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． (1)如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ (2)如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案． 4．为健全高考考务工作制度，规范考试管理，保障高考的正常实施，维护高考的公平性、严肃性、权威性，按照教育部高考考务工作规定：高考只能在县级及以上设立考区．因而我县高考全部安排在祥云一中进行，执行统的考试操作流程和规则，确保考试公平和公正．据悉，今年祥云四中参加高考的学生及带队教师约人，经过研究，学校决定租用A、B两种型号共辆客车作为交通工具将师生载至目的地．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：（注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数） 型号 载客量 租金单价 A 人/辆 元/辆 B 人/辆 元/辆 (1)设租用型号客车辆，租车总费用为元，求与的函数解析式及自变量x的取值范围； (2)请你帮忙设计出一种最省钱的租车方案，并求出最低费用． 5．为绿化校园，重庆一中计划购进A、B两种树苗，若购买A树苗10棵，B树苗20棵，需要2300元，若购买A树苗20棵，B树苗10棵，需要2500元： (1)求A、B两种树苗单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种树苗，共21棵，且购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，设购买B种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 体积问题题型07 1．研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 2．小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 借助函数图象解决实际问题题型 1．（2026·河南信阳·模拟）物理学中，有很多量之间的关系可以用函数来描述，比如通过定值电阻的电流（单位：）是电阻两端的电压（单位：）的正比例函数．观察下图，计算电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 2．若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m﹣n的值是_____． 3．（24-25九年级下·浙江宁波·月考）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时， _______L． 4．跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 5．为锻炼学生体质，某中学准备购买A，B两种体育器材共30件，从市场了解到A，B两种器材的单价分别是16元和4元．设准备购买A种器材x（件），学校要求购买B种器材的数量多于总器材数量的一半，但不高于A种器材数量的2倍，购买两种器材的总费用为y（元）． （1）写出总费用y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． （2）实际购买时，每件A种器材下降了元，每件B种器材上涨了元，此时购买这两种商品所需的最少费用为378元，求a的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $