23.4 实际问题与一次函数（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

23.4 实际问题与一次函数 知识点一 方案分配问题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变） (1)，两种树苗每棵的单价分别是多少元？ (2)若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】(1)种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元 (2)，购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用及其性质、不等式的解法及应用．解题的关键在于准确建立方程组求解树苗单价，利用一次函数模型结合实际问题中的约束条件，确定变量的合理取值范围，进而通过分析函数的单调性找到使总费用最小的购买方案． （1）设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据两次购买的总费用建立方程组，解方程组即可求出单价； （2）根据题意，设购买A种树苗t棵，则B种树苗为棵．由条件“B的数量不超过A的2倍”得，解得t的范围，总费用W由两种树苗的单价和数量计算得出，再结合一次函数的单调性确定最省费用的方案． 【详解】（1）解：设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据题意得： ， 解得， 答：种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元； （2）设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵， 种树苗的数量不超过种树苗数量的倍， ， 解得：， 是正整数， ， 设购买树苗总费用为， ， 随的增大而增大， 当时，元． 答：购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元． 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． (1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 【答案】(1)甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元； (2)购买这批树苗的最低费用为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵，设购买这批树苗的费用为元，利用总价单价数量，列出关于的一次函数，结合题意和函数图象，得时，最小，将代入即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元． （2）解：设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵， 设购买这批树苗的费用为元， 根据题意得：， ， 随的减小而减小， 根据题意得：，解得：， 取整数， 最小值为， 当时，最小，最小值为， 答：购买这批树苗的最低费用为元． 4．（24-25八年级下·山西忻州·月考）新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 【答案】(1) (2)若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的应用——方案问题，结合临界点分析，明确了不同充电量下的最优选择．关键在于正确理解方案的费用结构，并通过方程求解临界值． （1）根据方案一为直接折扣，方案二含固定费用加折扣直接写出答案即可； （2）分情况讨论：通过建立一次函数关系式，并求解临界点，确定不同充电量时的最优方案即可． 【详解】（1）解： 方案一白天时段每度电享受九折优惠， . 方案二先花元，然后白天时段每度电享受七五折优惠， . （2）分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算． 知识点二 行程问题 1．（24-25八年级下·河北衡水·期末）李明家、体育用品商店和体育馆位于一条直线上．周日上午，李明骑自行车去体育馆游泳．行驶一段时间后发现没带泳镜，于是原路返回到刚刚经过的体育用品商店去购买泳镜，在体育用品商店停留了一段时间，为赶时间，李明把骑行速度提高到，正好赶上此场游泳．如图反映了这个过程中李明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)李明家到体育用品商店的距离是_________，体育用品商店到体育馆的距离是_________； (2)李明在体育用品商店停留的时间为_________； (3)当时，李明骑行速度为_________； (4)请求出从第28分钟至到达体育馆时，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象提供的数据，直接得出答案即可； （2）根据图象求出体育用品商店停留的时间即可； （3）根据图象中的数据，结合路程、速度、时间的关系计算即可； （4）根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： 李明家到体育用品商店的距离是，体育用品商店到体育馆的距离是； （2）解：李明在体育用品商店停留的时间为：； （3）解：当时，李明骑行速度为：； （4）解：设函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴． 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 【答案】(1)40，70 (2)8 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由姐姐从离家到回到家，共用，即可求出，而小亮比姐姐早到家，故，即可解答； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为，根据题意列方程可解得答案． 【详解】（1）解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用， ∴， ∵小亮比姐姐早到家， ∴， 故答案为：40，70； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为， 根据题意得：， 解得， ∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他离家距离与骑车所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是___________，函数是___________； (2)小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了___________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)骑车所用时间，离家的距离 (2)1500，4 (3)分钟时速度最快，速度在安全限度内 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用路程与时间的关系是解题的关键． （1）根据函数图象可知纵坐标是距离，横坐标是时间，从而得出自变量是骑车所用时间，函数是离家的距离； （2）因为轴表示距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的距离是1500米；由图象中距离没有变化的时间段可以得到小明在书店停留的时间； （3）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是骑车所用时间，因变量是离家的路程． 故答案为：骑车所用时间，离家的距离； （2）轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是1500米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：1500，4； （3）由图象可知分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 在整个上学的途中分钟时速度最快且小于300米/分，在安全限度内． 4．（24-25八年级下·广西防城港·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)从图象中可以看出自变量是________，点D的坐标为________； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟； (4)求线段所在直线的函数表达式． 【答案】(1)时间t (2)5 (3)25 (4) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数解析，结合题意准确识图是解题的关键． （1）根据图象信息得出自变量，写出点D的坐标即可； （2）根据图象信息可得无人机在75米高的上空停留的时间； （3）根据“速度路程时间”计算即可； （4）先求出点E的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； 【详解】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为； （2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）， （3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分）， 故答案为：25； （4）解：图中 b表示的数是， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为． 知识点三 最大利润问题 1．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 2．（2025·云南临沧·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元 (2)A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案； （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，根据题意得出，根据一次函数的性质可得出答案． 【详解】解：（1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元． （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元， 根据题意得：， ∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍， ∴， 解得：， 又，， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w取得最大值，（万元）， ∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 【答案】(1)330，660 (2) (3)720 【分析】（1）先确定第24天处于段，利用段“时间每增加1天，日销售量减少5件”的规律计算日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润； （2）分段和段分别求函数关系式：段为正比例函数，通过图像上已知点求解析式；段为一次函数，利用待定系数法求解析式，再确定两段的取值范围； （3）根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润． 【详解】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件）， 第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元． 故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得， 段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为， 由（1）知，当时，， 将代入，得， 解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，， 综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小， 因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件， 日销售最大利润 元， 【点睛】本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图像的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值． 知识点四 梯度计价问题 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【答案】(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）某玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象．如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象： 付款金额（元） 7．5 10 12 购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3 (1)直接写出表中a、b的值：_____；_____． (2)求出当时，y关于x的函数解析式； (3)甲农户将8．8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4．5千克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额． 【答案】(1)5，14 (2) (3)甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法求出函数解析式等知识点，观察函数图象找出点的坐标并利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可求出a值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可求出b值； （2）设当时，y关于x的函数解析式为，再根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）由，利用“购买量钱数单价”即可得出甲农户的购买量，再将代入（2）的解析式中即可求出乙农户的付款金额． 【详解】（1）解：结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x， ∵， ∴，． 故答案为：5，14． （2）解：设当时，y关于x的函数解析式为， 将点代入中， 得：，解得：， ∴当时，y关于x的函数解析式为． （3）解：∵， ∴甲农户的购买量为：（千克）． 当千克时，． 答：甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元． 3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 【答案】(1) (2)行驶的路程为 (3)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，画函数图象； （1）根据分段函数的计算方法列函数关系式即可； （2）把代入，求出x值即可； （3）根据函数的解析式画函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上； （2）解：∵， ∴， 解得； ∴行驶的路程为； （3）解：函数图象为： 4．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 知识点一 其他问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为30cm、宽为10cm的矩形白纸按下图所示的方法黏合后得到一个大矩形，黏合部分的宽是3cm．设x张白纸黏合后的总长度为ycm． (1)求y与x之间的函数关系式，并判断y是不是x的一次函数． (2)当时，求y的值． (3)白纸黏合后的总长度能为2024cm吗？请说明理由． 【答案】(1)（且x是整数），y是x的一次函数． (2) (3)不能．理由见解析 【分析】（1）先计算张白纸的原始总长度，再减去黏合部分的重叠长度，从而得到总长度的函数关系式，再根据一次函数定义判断类型； （2）将直接代入（1）中得到的函数表达式，计算对应的总长度； （3）假设总长度为，代入函数式解方程，通过判断解是否为正整数来确定是否可行． 【详解】（1）解：根据题意，得张白纸黏合，需黏合次，黏合部分的总宽是， ∴（且是整数）， ∴是的一次函数． （2）解：把代入， 得． （3）解：不能． 理由：把代入， 得， 解得． 因为为整数， 所以白纸黏合后的总长度不能为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，掌握黏合问题中重叠次数与纸张数的关系，以及利用整数性判断实际问题的可行性是解题的关键． 2．（24-25八年级下·全国·期中）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量y（L）与时间x（）之间的关系如图所示． (1)该机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L； (2)求该机器工作时y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)求出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值． 【答案】(1)3； (2) (3)5或40 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、分段函数的应用及一元一次方程的求解，解题的关键是从图象中获取有效信息，区分加油阶段与工作阶段的不同变化规律，并结合一次函数表达式进行计算， （1） 加油阶段：用总加油量除以加油时间得每分钟加油量；工作阶段：用总耗油量除以工作时间得每分钟耗油量； （2） 工作阶段为一次函数，利用图象上两点坐标，用待定系数法求函数表达式，并确定自变量的取值范围； （3） 油箱容积的一半为，需分加油阶段和工作阶段分别列方程求解的值． 【详解】（1）解：每分钟加油量， 工作时间， 总耗油量， 每分钟耗油量， 故答案为：；； （2）解：设机器工作时y关于的函数表达式为， 将点、代入，得， ，解得. ， 自变量的取值范围为； （3）解：油箱容积为，其一半为， ① 加油阶段（）：，令，解得， ② 工作阶段（）：，令，解得， 综上，的值为或40． 3．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）以下是某品牌鞋子的尺码对照表的一部分： 鞋长x（厘米） … 23 24 25 25.5 … 鞋子的码数y（码） … 36 38 40 41 … 已知鞋子的码数y与鞋长x之间是一种函数关系． (1)根据表格数据猜想鞋子的码数y与鞋长x之间是怎样一种函数关系？ (2)求鞋子的码数y与鞋长x之间的函数表达式； (3)请在表格剩下的数据中找一组来验证你求出的函数表达式． 【答案】(1) 一次函数关系 (2) (3) 见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键． （1）通过比较发现鞋长每多1厘米，码数增加2，故鞋子的码数y与鞋长x是一次函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）代入，验证即可． 【详解】（1）解：根据表格可知：鞋长每多1厘米，码数增加2， 故鞋子的码数y与鞋长x是一次函数关系； （2）解：根据题意，设，当时，；当时，； 故有， 解得， ∴鞋子的码数y与鞋长x之间的函数表达式为：； （3）解：表格中找到数据，鞋长，码数， ∴当时，， ∴符合表格数据． 4．（23-24八年级下·海南海口·期末）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（待定系数法求解析式、函数交点、函数值差的问题），熟练掌握一次函数的图象与性质及方程思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法，根据乙蜡烛图象经过的两个点的坐标，设出一次函数解析式，代入求解． （2）联立甲、乙蜡烛的函数关系式，求解方程得到燃烧时间． （3）分两种情况讨论，即甲蜡烛剩余高度比乙蜡烛高和乙蜡烛剩余高度比甲蜡烛高，分别列方程求解． 【详解】（1）解：设乙蜡烛的函数关系式为：． ∵ 乙蜡烛图象过和， ∴ ， 解得， ∴． （2）解：联立，得， ， ， ∴燃烧时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样； （3）解：分两种情况： 情况一：，即， ， ， ； 情况二：，即， ， ， ． ∴甲蜡烛燃烧或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差． 知识点二 一次函数与几何综合 1．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【分析】（1）设直线l的解析式为，将点，代入求解即可得到答案；（2）根据解析式求出点D的坐标，再根据对称求出点B的坐标，再根据平移得到平行四边形，设出点E坐标，根据平移线段相等列式求解求出E点坐标，最后根据三角形面积即可求出答案；（3）设出点F的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分求出点G的坐标，最后根据矩形对角线相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，矩形的性质，平移的性质，中心对称的性质，解题的关键是根据平移、对称的性质及平行四边形对角线互相平分表示出点的坐标，分类讨论的思想． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，点是直线上一点，点D在线段上，且． (1)直接写出： ； (2)求所在直线的解析式； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)直线的解析式为 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点坐标代入直线解析式即可求出a值； （2）利用直线解析式求出点坐标，再利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （3）设点P的坐标为，根据，求出m值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入直线可得：， 解得； 故答案为：4； （2）由一次函数可知当时，；当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由条件可知， 解得 ∴直线的解析式为； （3）存在，或，理由如下： 设点P的坐标为， ∵， 解得或14， ∴或． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． (1)若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； (2)如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 【答案】(1)A，C (2)①（2，2）；②当2＜a＜6时；当a≥6时 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算． （1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断； （2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定的坐标，再根据三角形面积公式求解； 【详解】（1）解：，‘ 点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义； 点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，，不满足“1阶界点”定义； 点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0，，满足“1阶界点”定义； 故答案为：； （2）①直线与直线相交于点， 解方程组， 解得，， 点E的坐标为； ②直线上有两个“阶界点”， ， 如图， 对于，若到轴距离为，则或， 当时，即， ， 此时过作轴交于点，则， ， ； 当时， 当时，解得； 当时，解得， ，， 对于，若到轴距离为，则或， ，； 以为底，高为，的长度为， ， 综上，． 4．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或者 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入正比例函数解析式中计算即可； （2）根据题意得到，根据几何图形的面积计算即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在点上方；当点在线段上时；点在轴下方；结合图形，面积的计算方法列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数中得，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设， 如图所示，，当点在点上方，    ∴， ， 解得，， ∴； 如图所示，当点在线段上时，则，    ∴， ， 解得，，不符合题意， ∴点在线段上的情况不存在； 如图所示，点在轴下方，    ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 1．（2022八年级下·吉林长春·专题练习）如图，直线与直线相交于点，交轴于点，动点M在直线上运动，过点M作轴交直线 于点 N，设点M的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)设线段的长为（），求与之间的函数关系式； (3)当＝________时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； (4)在轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)点或点 【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，结合题意可知点M和点N的横坐标，代入求得对应的点坐标，再利用两点之间的距离求解即可； （3）结合坐标系的性质和平行四边形的性质即可得到，结合点坐标即可求得对应的m； （4）根据题意可得或为直角，当为直角时，则，求得和，可证明为等腰直角三角形，那么为等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质和点坐标的性质求得点；当为直角时，同理可得为等腰直角三角形，，求得，进一步求得，即可利用得到． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点，交轴于点， ∴，解得， 则直线的解析式； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∵点M的横坐标为． ∴， ∵过点M作轴交直线 于点 N， ∴， 则， 那么，当时，；当时，； （3）解：∵直线的解析式， ∴， ∵以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形 ∴， 则当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 那么，当时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； （4）解：存在，理由如下， ∵是以为直角边的直角三角形 ∴或为直角， 如图， 当为直角时， 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 则点； 当为直角时，同理可得为等腰直角三角形，， ∵点，， ∴， 则， ∴， 则点； 故点或点． 【点睛】本题主要考查一次函数和三角形的结合，涉及待定系数法求解析式、一次函数的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、两点之间的距离等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 3．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当在轴上时，此时点坐标为___________； (2)①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是___________； A．点可能是原点 B．线段有最大值 C．点可能出现在第三象限 D．随着的变化，点在直线上运动 ②如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①D②5 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）①A、假设点P是原点，则，求得，得到点P不可能是原点；故不符合题意；B、根据勾股定理得到，根据二次函数的性质得到有最小值，故不符合题意；C、根据题意列不等式得到点P不可能出现在第三象限，故不符合题意；D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当在轴上时， ∴， ∴， ∴P点坐标为； （2）解：①A、假设点是原点，则， ∴ ∴点P不可能是原点；故不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴有最小值， ∴有最小值，故不符合题意； C、假设点P可能出现在第三象限，则， ∴ ∴， ∴点P不可能出现在第三象限，故不符合题意； D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②不变，为5， 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∵， ∴点在直线上， 当点在第二象限时，如图， ∴ ； 当点在第一象限时，如图， ∴ ； 当点在第四象限时，如图， ∴ ； 同理可得，当点在坐标轴上时，的面积为5； 综上，的面积不变，为5； （3）解：∵, ∴点C在直线上运动， 过点O作于点H，则， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的另一个解析式为， 联立方程组得或， 解得，， ∴点C的坐标为或． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4 实际问题与一次函数 知识点一 方案分配问题 1．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）某小区为了绿化环境，分两次购买，两种树苗，第一次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元；第二次购买种树苗棵，种树苗棵，共花费元．（两次购买的，两种树苗各自的单价均不变） (1)，两种树苗每棵的单价分别是多少元？ (2)若购买，两种树苗共棵，总费用为元，购买种树苗棵，种树苗的数量不超过种树苗数量的倍．求与的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 3．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）生态优先，绿色发展，让美丽的地球添上更多“中国绿”．东港市某小区为抓好“园区绿化”，购买了甲，乙两种树苗，已知购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元，购买棵甲种树苗和棵乙种树苗共需元． (1)求甲，乙两种树苗单价分别是多少元？ (2)为扩大园区绿化面积，该小区准备购进甲，乙两种树苗共100棵，且甲种树苗的棵数不少于乙种树苗棵数的一半，求购买这批树苗的最低费用． 4．（24-25八年级下·山西忻州·月考）新能源汽车不仅能缓解城市空气污染，还能优化电网负荷．某新能源汽车充电站白天时段（）每度电元，为增加人气，该充电站提供两种优惠方案． 方案一：白天时段每度电享受九折优惠． 方案二：先花元购买一次性充电优惠卡（充电费额外计算），然后白天时段每度电享受七五折优惠． (1)请分别写出方案一的充电费用（元）、方案二的充电费用（元）与充电数量（度）之间的函数表达式． (2)小张的爸爸某天白天来到该充电站给新能源汽车充电，请你帮小张的爸爸想想选择哪种方案更划算． 知识点二 行程问题 1．（24-25八年级下·河北衡水·期末）李明家、体育用品商店和体育馆位于一条直线上．周日上午，李明骑自行车去体育馆游泳．行驶一段时间后发现没带泳镜，于是原路返回到刚刚经过的体育用品商店去购买泳镜，在体育用品商店停留了一段时间，为赶时间，李明把骑行速度提高到，正好赶上此场游泳．如图反映了这个过程中李明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)李明家到体育用品商店的距离是_________，体育用品商店到体育馆的距离是_________； (2)李明在体育用品商店停留的时间为_________； (3)当时，李明骑行速度为_________； (4)请求出从第28分钟至到达体育馆时，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． 2．（24-25八年级下·山西大同·期末）小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早40到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（）与所用时间t（）之间的关系图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)填空： ______， ______； (2)求出小亮从体育场出发的过程中，小亮与姐姐第一次相遇距出发的时间． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·月考）小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他离家距离与骑车所用时间的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是___________，函数是___________； (2)小明家到学校的路程是___________米．小明在书店停留了___________分钟； (3)我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．请计算比较，在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？ 4．（24-25八年级下·广西防城港·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)从图象中可以看出自变量是________，点D的坐标为________； (2)无人机在75米高的上空停留的时间是________分钟； (3)在上升或下降过程中，无人机的速度为________米/分钟； (4)求线段所在直线的函数表达式． 知识点三 最大利润问题 1．（24-25八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 2．（2025·云南临沧·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．（24-25八年级下·广东惠州·期末）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 4．（24-25八年级下·四川成都·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 知识点四 梯度计价问题 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）某玉米种子的价格为元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折．某科技人员对付款金额和购买量这两个变量的对应关系用列表法做了分析，并绘制出函数图象．如表是该科技人员绘制的图象和表格的不完整资料，已知点A的坐标为（2，10）．请你结合表格和图象： 付款金额（元） 7．5 10 12 购买量（千克） 1 1．5 2 2．5 3 (1)直接写出表中a、b的值：_____；_____． (2)求出当时，y关于x的函数解析式； (3)甲农户将8．8元钱全部用于购买玉米种子，乙农户购买了4．5千克该玉米种子，分别计算他们的购买量和付款金额． 3．（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 4．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 知识点一 其他问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）将长为30cm、宽为10cm的矩形白纸按下图所示的方法黏合后得到一个大矩形，黏合部分的宽是3cm．设x张白纸黏合后的总长度为ycm． (1)求y与x之间的函数关系式，并判断y是不是x的一次函数． (2)当时，求y的值． (3)白纸黏合后的总长度能为2024cm吗？请说明理由． 2．（24-25八年级下·全国·期中）某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作，当停止工作时，油箱中油量为．在整个过程中，油箱里的油量y（L）与时间x（）之间的关系如图所示． (1)该机器每分钟加油量为________L，机器工作的过程中每分钟耗油量为________L； (2)求该机器工作时y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)求出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值． 3．（24-25八年级下·四川攀枝花·期中）以下是某品牌鞋子的尺码对照表的一部分： 鞋长x（厘米） … 23 24 25 25.5 … 鞋子的码数y（码） … 36 38 40 41 … 已知鞋子的码数y与鞋长x之间是一种函数关系． (1)根据表格数据猜想鞋子的码数y与鞋长x之间是怎样一种函数关系？ (2)求鞋子的码数y与鞋长x之间的函数表达式； (3)请在表格剩下的数据中找一组来验证你求出的函数表达式． 4．（23-24八年级下·海南海口·期末）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 知识点二 一次函数与几何综合 1．（25-26八年级下·上海浦东新·开学考试）已知：在直角坐标系中，直线l经过点，，且与y轴交于点D，点B与点D关于原点对称，将线段沿射线的方向平移，当点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处． (1)求直线l的解析式； (2)求平移过程中线段所扫过的面积； (3)已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求点F的坐标． 2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于两点，点是直线上一点，点D在线段上，且． (1)直接写出： ； (2)求所在直线的解析式； (3)在直线上是否存在一点P，使得的面积为18？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． (1)若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； (2)如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 4．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 1．（2022八年级下·吉林长春·专题练习）如图，直线与直线相交于点，交轴于点，动点M在直线上运动，过点M作轴交直线 于点 N，设点M的横坐标为． (1)求直线的解析式； (2)设线段的长为（），求与之间的函数关系式； (3)当＝________时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； (4)在轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 3．（25-26八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当在轴上时，此时点坐标为___________； (2)①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是___________； A．点可能是原点 B．线段有最大值 C．点可能出现在第三象限 D．随着的变化，点在直线上运动 ②如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 4．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4 实际问题与一次函数 知识点一 方案分配问题 1． 【答案】(1)种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元 (2)，购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用及其性质、不等式的解法及应用．解题的关键在于准确建立方程组求解树苗单价，利用一次函数模型结合实际问题中的约束条件，确定变量的合理取值范围，进而通过分析函数的单调性找到使总费用最小的购买方案． （1）设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据两次购买的总费用建立方程组，解方程组即可求出单价； （2）根据题意，设购买A种树苗t棵，则B种树苗为棵．由条件“B的数量不超过A的2倍”得，解得t的范围，总费用W由两种树苗的单价和数量计算得出，再结合一次函数的单调性确定最省费用的方案． 【详解】（1）解：设种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元，根据题意得： ， 解得， 答：种树苗每棵的价格元，种树苗每棵的价格元； （2）设种树苗的数量为棵，则种树苗的数量为棵， 种树苗的数量不超过种树苗数量的倍， ， 解得：， 是正整数， ， 设购买树苗总费用为， ， 随的增大而增大， 当时，元． 答：购进种树苗的数量为棵、种棵，费用最省；最省费用是元． 2． 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 3． 【答案】(1)甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元； (2)购买这批树苗的最低费用为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵，设购买这批树苗的费用为元，利用总价单价数量，列出关于的一次函数，结合题意和函数图象，得时，最小，将代入即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种树苗单价为元，乙种树苗单价为元． （2）解：设该小区准备购进甲种树苗棵，则乙种树苗棵， 设购买这批树苗的费用为元， 根据题意得：， ， 随的减小而减小， 根据题意得：，解得：， 取整数， 最小值为， 当时，最小，最小值为， 答：购买这批树苗的最低费用为元． 4． 【答案】(1) (2)若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的应用——方案问题，结合临界点分析，明确了不同充电量下的最优选择．关键在于正确理解方案的费用结构，并通过方程求解临界值． （1）根据方案一为直接折扣，方案二含固定费用加折扣直接写出答案即可； （2）分情况讨论：通过建立一次函数关系式，并求解临界点，确定不同充电量时的最优方案即可． 【详解】（1）解： 方案一白天时段每度电享受九折优惠， . 方案二先花元，然后白天时段每度电享受七五折优惠， . （2）分情况讨论： ①当时，，解得； ②当时，，解得； ③当时，，解得. 综上所述，若小张的爸爸计划充电小于20度，选择方案一更划算；若小张的爸爸计划充电等于20度，两种方案都一样；若小张的爸爸计划充电大于20度，选择方案二更划算． 知识点二 行程问题 1． 【答案】(1)； (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象提供的数据，直接得出答案即可； （2）根据图象求出体育用品商店停留的时间即可； （3）根据图象中的数据，结合路程、速度、时间的关系计算即可； （4）根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由图可知： 李明家到体育用品商店的距离是，体育用品商店到体育馆的距离是； （2）解：李明在体育用品商店停留的时间为：； （3）解：当时，李明骑行速度为：； （4）解：设函数解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴． 2． 【答案】(1)40，70 (2)8 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）由姐姐从离家到回到家，共用，即可求出，而小亮比姐姐早到家，故，即可解答； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为，根据题意列方程可解得答案． 【详解】（1）解：根据已知，姐姐从离家到回到家，共用， ∴， ∵小亮比姐姐早到家， ∴， 故答案为：40，70； （2）设小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为， 根据题意得：， 解得， ∴小亮与姐组第一次相遇距出发的时间为． 3． 【答案】(1)骑车所用时间，离家的距离 (2)1500，4 (3)分钟时速度最快，速度在安全限度内 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用路程与时间的关系是解题的关键． （1）根据函数图象可知纵坐标是距离，横坐标是时间，从而得出自变量是骑车所用时间，函数是离家的距离； （2）因为轴表示距离，起点是家，终点是学校，故小明家到学校的距离是1500米；由图象中距离没有变化的时间段可以得到小明在书店停留的时间； （3）观察图象分析每一时段所行路程，然后计算出各时段的速度进行比较即可． 【详解】（1）解：根据图象，纵坐标为离家的距离，横坐标为离家的时间，故图中自变量是骑车所用时间，因变量是离家的路程． 故答案为：骑车所用时间，离家的距离； （2）轴表示路程，起点是家，终点是学校， 小明家到学校的路程是1500米， 由图象可知：小明在书店停留了（分钟）， 故答案为：1500，4； （3）由图象可知分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 分钟时，平均速度（米/分）， 在整个上学的途中分钟时速度最快且小于300米/分，在安全限度内． 4． 【答案】(1)时间t (2)5 (3)25 (4) 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，求一次函数解析，结合题意准确识图是解题的关键． （1）根据图象信息得出自变量，写出点D的坐标即可； （2）根据图象信息可得无人机在75米高的上空停留的时间； （3）根据“速度路程时间”计算即可； （4）先求出点E的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； 【详解】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，高度是随时间的变化而变化，所以自变量是时间t，点D的坐标为； （2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是（分钟）， （3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度为：（米/分）， 故答案为：25； （4）解：图中 b表示的数是， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段所在直线的函数表达式为． 知识点三 最大利润问题 1． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. 【详解】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 2． 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 3． 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元 (2)A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案； （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，根据题意得出，根据一次函数的性质可得出答案． 【详解】解：（1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元． （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元， 根据题意得：， ∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍， ∴， 解得：， 又，， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w取得最大值，（万元）， ∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 4． 【答案】(1)330，660 (2) (3)720 【分析】（1）先确定第24天处于段，利用段“时间每增加1天，日销售量减少5件”的规律计算日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润； （2）分段和段分别求函数关系式：段为正比例函数，通过图像上已知点求解析式；段为一次函数，利用待定系数法求解析式，再确定两段的取值范围； （3）根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润． 【详解】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件）， 第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元． 故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得， 段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为， 由（1）知，当时，， 将代入，得， 解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，， 综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小， 因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件， 日销售最大利润 元， 【点睛】本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图像的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值． 知识点四 梯度计价问题 1． 【答案】(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 2． 【答案】(1)5，14 (2) (3)甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法求出函数解析式等知识点，观察函数图象找出点的坐标并利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）结合函数图象与表格即可得出购买量为函数的自变量，再根据购买2千克花了10元钱即可求出a值，结合超过2千克部分的种子价格打8折可求出b值； （2）设当时，y关于x的函数解析式为，再根据点的坐标利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）由，利用“购买量钱数单价”即可得出甲农户的购买量，再将代入（2）的解析式中即可求出乙农户的付款金额． 【详解】（1）解：结合函数图象以及表格即可得出购买量是函数的自变量x， ∵， ∴，． 故答案为：5，14． （2）解：设当时，y关于x的函数解析式为， 将点代入中， 得：，解得：， ∴当时，y关于x的函数解析式为． （3）解：∵， ∴甲农户的购买量为：（千克）． 当千克时，． 答：甲农户的购买量为千克，乙农户的付款金额为20元． 3． 【答案】(1) (2)行驶的路程为 (3)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，画函数图象； （1）根据分段函数的计算方法列函数关系式即可； （2）把代入，求出x值即可； （3）根据函数的解析式画函数图象即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 综上； （2）解：∵， ∴， 解得； ∴行驶的路程为； （3）解：函数图象为： 4． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 知识点一 其他问题 1． 【答案】(1)（且x是整数），y是x的一次函数． (2) (3)不能．理由见解析 【分析】（1）先计算张白纸的原始总长度，再减去黏合部分的重叠长度，从而得到总长度的函数关系式，再根据一次函数定义判断类型； （2）将直接代入（1）中得到的函数表达式，计算对应的总长度； （3）假设总长度为，代入函数式解方程，通过判断解是否为正整数来确定是否可行． 【详解】（1）解：根据题意，得张白纸黏合，需黏合次，黏合部分的总宽是， ∴（且是整数）， ∴是的一次函数． （2）解：把代入， 得． （3）解：不能． 理由：把代入， 得， 解得． 因为为整数， 所以白纸黏合后的总长度不能为． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，掌握黏合问题中重叠次数与纸张数的关系，以及利用整数性判断实际问题的可行性是解题的关键． 2． 【答案】(1)3； (2) (3)5或40 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、分段函数的应用及一元一次方程的求解，解题的关键是从图象中获取有效信息，区分加油阶段与工作阶段的不同变化规律，并结合一次函数表达式进行计算， （1） 加油阶段：用总加油量除以加油时间得每分钟加油量；工作阶段：用总耗油量除以工作时间得每分钟耗油量； （2） 工作阶段为一次函数，利用图象上两点坐标，用待定系数法求函数表达式，并确定自变量的取值范围； （3） 油箱容积的一半为，需分加油阶段和工作阶段分别列方程求解的值． 【详解】（1）解：每分钟加油量， 工作时间， 总耗油量， 每分钟耗油量， 故答案为：；； （2）解：设机器工作时y关于的函数表达式为， 将点、代入，得， ，解得. ， 自变量的取值范围为； （3）解：油箱容积为，其一半为， ① 加油阶段（）：，令，解得， ② 工作阶段（）：，令，解得， 综上，的值为或40． 3． 【答案】(1) 一次函数关系 (2) (3) 见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是本题的关键． （1）通过比较发现鞋长每多1厘米，码数增加2，故鞋子的码数y与鞋长x是一次函数关系； （2）利用待定系数法求解即可； （3）代入，验证即可． 【详解】（1）解：根据表格可知：鞋长每多1厘米，码数增加2， 故鞋子的码数y与鞋长x是一次函数关系； （2）解：根据题意，设，当时，；当时，； 故有， 解得， ∴鞋子的码数y与鞋长x之间的函数表达式为：； （3）解：表格中找到数据，鞋长，码数， ∴当时，， ∴符合表格数据． 4． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（待定系数法求解析式、函数交点、函数值差的问题），熟练掌握一次函数的图象与性质及方程思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法，根据乙蜡烛图象经过的两个点的坐标，设出一次函数解析式，代入求解． （2）联立甲、乙蜡烛的函数关系式，求解方程得到燃烧时间． （3）分两种情况讨论，即甲蜡烛剩余高度比乙蜡烛高和乙蜡烛剩余高度比甲蜡烛高，分别列方程求解． 【详解】（1）解：设乙蜡烛的函数关系式为：． ∵ 乙蜡烛图象过和， ∴ ， 解得， ∴． （2）解：联立，得， ， ， ∴燃烧时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样； （3）解：分两种情况： 情况一：，即， ， ， ； 情况二：，即， ， ， ． ∴甲蜡烛燃烧或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差． 知识点二 一次函数与几何综合 1． 【答案】(1)； (2)平移过程中线段所扫过的面积为； (3)，，，； 【分析】（1）设直线l的解析式为，将点，代入求解即可得到答案；（2）根据解析式求出点D的坐标，再根据对称求出点B的坐标，再根据平移得到平行四边形，设出点E坐标，根据平移线段相等列式求解求出E点坐标，最后根据三角形面积即可求出答案；（3）设出点F的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分求出点G的坐标，最后根据矩形对角线相等列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设直线l的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线l的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴， ∵点B与点D关于原点对称， ∴， ∵线段沿射线的方向平移，点C恰好落在y轴上的点D处，点B落在点E处， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， 设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴平移过程中线段所扫过的面积为； （3）解：设点F的坐标为，， ∵，，且以点C、E、F、G为顶点的四边形是矩形， ∴对角线互相平分且相等， ①当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ②当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ③当为对角线时， ， 解得： ，， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述点F可能为：，，，． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的性质，矩形的性质，平移的性质，中心对称的性质，解题的关键是根据平移、对称的性质及平行四边形对角线互相平分表示出点的坐标，分类讨论的思想． 2． 【答案】(1)4 (2)直线的解析式为 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）将点坐标代入直线解析式即可求出a值； （2）利用直线解析式求出点坐标，再利用待定系数法求出所在直线的解析式即可； （3）设点P的坐标为，根据，求出m值即可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入直线可得：， 解得； 故答案为：4； （2）由一次函数可知当时，；当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 由条件可知， 解得 ∴直线的解析式为； （3）存在，或，理由如下： 设点P的坐标为， ∵， 解得或14， ∴或． 3． 【答案】(1)A，C (2)①（2，2）；②当2＜a＜6时；当a≥6时 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算． （1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断； （2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定的坐标，再根据三角形面积公式求解； 【详解】（1）解：，‘ 点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义； 点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，，不满足“1阶界点”定义； 点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0，，满足“1阶界点”定义； 故答案为：； （2）①直线与直线相交于点， 解方程组， 解得，， 点E的坐标为； ②直线上有两个“阶界点”， ， 如图， 对于，若到轴距离为，则或， 当时，即， ， 此时过作轴交于点，则， ， ； 当时， 当时，解得； 当时，解得， ，， 对于，若到轴距离为，则或， ，； 以为底，高为，的长度为， ， 综上，． 4． 【答案】(1)1 (2) (3)或者 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入正比例函数解析式中计算即可； （2）根据题意得到，根据几何图形的面积计算即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在点上方；当点在线段上时；点在轴下方；结合图形，面积的计算方法列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数中得，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设， 如图所示，，当点在点上方，    ∴， ， 解得，， ∴； 如图所示，当点在线段上时，则，    ∴， ， 解得，，不符合题意， ∴点在线段上的情况不存在； 如图所示，点在轴下方，    ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 1． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)点或点 【分析】（1）利用待定系数法求解解析式即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，结合题意可知点M和点N的横坐标，代入求得对应的点坐标，再利用两点之间的距离求解即可； （3）结合坐标系的性质和平行四边形的性质即可得到，结合点坐标即可求得对应的m； （4）根据题意可得或为直角，当为直角时，则，求得和，可证明为等腰直角三角形，那么为等腰直角三角形，再利用等腰三角形的性质和点坐标的性质求得点；当为直角时，同理可得为等腰直角三角形，，求得，进一步求得，即可利用得到． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点，交轴于点， ∴，解得， 则直线的解析式； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点， ∴，解得， 则直线的解析式为， ∵点M的横坐标为． ∴， ∵过点M作轴交直线 于点 N， ∴， 则， 那么，当时，；当时，； （3）解：∵直线的解析式， ∴， ∵以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形 ∴， 则当时，，解得（舍去）； 当时，，解得， 那么，当时，以O、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形； （4）解：存在，理由如下， ∵是以为直角边的直角三角形 ∴或为直角， 如图， 当为直角时， 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 则点； 当为直角时，同理可得为等腰直角三角形，， ∵点，， ∴， 则， ∴， 则点； 故点或点． 【点睛】本题主要考查一次函数和三角形的结合，涉及待定系数法求解析式、一次函数的性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、两点之间的距离等知识点，解题的关键是分类讨论思想的应用． 2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 3． 【答案】(1) (2)①D②5 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）①A、假设点P是原点，则，求得，得到点P不可能是原点；故不符合题意；B、根据勾股定理得到，根据二次函数的性质得到有最小值，故不符合题意；C、根据题意列不等式得到点P不可能出现在第三象限，故不符合题意；D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当在轴上时， ∴， ∴， ∴P点坐标为； （2）解：①A、假设点是原点，则， ∴ ∴点P不可能是原点；故不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴有最小值， ∴有最小值，故不符合题意； C、假设点P可能出现在第三象限，则， ∴ ∴， ∴点P不可能出现在第三象限，故不符合题意； D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②不变，为5， 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∵， ∴点在直线上， 当点在第二象限时，如图， ∴ ； 当点在第一象限时，如图， ∴ ； 当点在第四象限时，如图， ∴ ； 同理可得，当点在坐标轴上时，的面积为5； 综上，的面积不变，为5； （3）解：∵, ∴点C在直线上运动， 过点O作于点H，则， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的另一个解析式为， 联立方程组得或， 解得，， ∴点C的坐标为或． 4． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $