第21章 一元二次方程 易错点专练卷2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学八年级上册

21章《一元二次方程》2026-2027学年上海市沪教版（五四制）数学八年级 易错点专练卷 一、易错考点：配方法解一元二次方程 1.解方程：． 2.解方程：（用配方法） 二、易错考点：选择恰当的方法解一元二次方程 3.要使分式的值为0，则x可取________． 4.若分式的值为0，则x的值等于________． 三、易错考点：根的判别式的运用 5.关于x的一元二次方程有两个实根，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 且 6.关于x的方程一定有实数根吗？为什么？ 四、易错考点：韦达定理及其运用 7.已知非零实数a，b满足，，则________ 8.已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值. 五、易错考点：因式分解与求根公式的运用 9.已知一元二次方程的两根为，，那么多项式可因式分解为________． 10.如果关于x的二次三项式在实数范围内不能因式分解,那么a所满足的条件是（　　） A. 或 B. C. D. 且 11.在实数范围内因式分解：________． 12.在实数范围内分解因式：________． 13.填空题: (1)方程的根是________,________,把二次三项式因式分解,得________; (2)方程的根是________,________,把二次三项式因式分解,得________; (3)把二次三项式因式分解,得________. 14.在实数范围内分解因式：________． 15.在实数范围内因式分解: (1); (2). 16.已知关于的一元二次方程的两实数根为，，根据一元二次方程解的意义和因式分解法解一元二次方程可知，，也是的两个实数根，所以．利用这个结论可以解决一些相关问题． 例：实数范围内分解因式． 解：令，解这个方程，得．即，． 所以． (1)试仿照上例在实数范围内分解因式：； (2)灵活运用： ①若方程的两个实数根是，，求方程的根． ②若方程的两个实数根是，，直接写出方程的根． 六、易错考点：几何问题与一元二次方程的应用 17.如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙最大可用长度），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，当围成长方形花圃的面积为时，的长为（　　） A. B. C. 或 D. 无法确定 18.如图，利用一面长18米的墙，用32米的篱笆围成一个长方形场地，当长方形场地的面积为120平方米时，的长度为 A. 13米 B. 12米 C. 11米 D. 10米 19.如图所示，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成，若设栅栏的长为，则下列各方程中，符合题意的是 A. B. C. x(76-2x)=672 D. x(76-x)=672 20.某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个长方形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆（EF），如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，当长方形ABCD的面积为252平方米时，AB的长为 A. 6米 B. 14米 C. 6米或14米 D. 无法确定 21.五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形,大长方形的面积是,则以小长方形的宽为边长的正方形的面积是________. 22.请尝试解决南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”(其大意为:长方形的面积是864平方步,宽比长少12步.求这个长方形的长和宽) 23.某花卉种植基地准备围建一个面积为100平方米的矩形苗圃园种植玫瑰花，其中一边靠墙，另外三边用29米长的篱笆围成．已知墙的最大可用长度为18米，为方便进入，在墙的对面留出1米宽的门（如图所示），求这个苗圃园垂直于墙的一边长为（　　） A. 5米 B. 10米 C. 5米或10米 D. 11米 24.太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为________米． 七、易错考点：其他问题与一元二次方程的应用 25.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排55场比赛，则参加比赛的球队的个数是（　　） A. 8个 B. 9个 C. 10个 D. 11个 26.学校举行厨艺大赛，参赛选手人数是评委人数的5倍少2人，每位参赛者需在规定时间内，将制作好的菜品分到小盘中给每位评委一小盘试吃评分，若本次比赛评委共试吃168个小盘菜品，求参赛选手的人数． 参考答案与解析 1.【答案】解：， ，即， ， ，． 【解析】整理后，利用配方法求解即可． 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 2.【答案】解： ，． 【解析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．然后利用直接开平方法即可求解． 用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如型，方程两边同时除以二次项系数，即化成，然后配方． 3.【答案】3 【解析】解：依题意得：且， 解得． 故答案是：3． 分式的值为零时：分子等于零且分母不为零． 本题考查了分式的值为零的条件，“分母不为零”这个条件不能少． 4.【答案】2 【解析】解：由或． 当时，分母，分式的值为0； 当时，分母，分式没有意义． 所以． 故答案为：2． 要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题． 5.【答案】D 【解析】本题考查的是一元二次方程的概念，根的判别式有关知识. 首先根据题意可得 且 ，然后再进行解答即可. 解：由题意可得： 且 ， 解得： 且 . 故选D. 6.【答案】解：方程一定有实数根．理由如下： ， 不论 取何值，都有 ， 即 ． 方程 一定有实数根． 【解析】计算 ，然后根据结果判断与 0 的大小关系，从而得出结论． 此题考查了根的判别式．熟知一元二次方程 （）的根与 的关系是解答此题的关键． 7.【答案】 或 【解析】本题考查了根与系数的关系有关知识．分两种情况：①当 时，；②当 时，根据题意，可把 和 看作方程 的两根，根据根与系数的关系得到 ，，再变形 得到 ，然后利用整体代入的方法计算． 解：分两种情况：①当 时，； ②当 时，，， 和 可看作方程 的两根， ，， ． 故答案为 或 ． 8.（1）【答案】解：（1）由题意得，， 整理得 ， 解得 ， 实数 的取值范围是 ； （2）【答案】（2）由根与系数的关系得 ，， 【解析】【解析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系． （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式 ，建立关于 的不等式，即可求出 的取值范围； （2）由 ，，代入 ，建立关于 的方程，据此即可求得 的值． 9.【答案】 【解析】【解析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的解．根据关于 的方程 的两根为 ，，则方程左边分解后一定有 和 两个因式，即可得到 可分解为 ． 解： 关于 的方程 的两根为 ，， 方程左边分解后一定有 和 两个因式， 可分解为 ． 故答案为：． 10.【答案】C 【解析】【解析】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式， 方程 无解， ，且 ， 解得 ． 故选：C． 由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程 无解，即 ，代入解答出即可． 本题主要考查了实数范围内分解因式，二次三项式在实数范围内不能分解因式，即方程无解，也就是 ，读懂题意是解答本题的关键． 11.【答案】 【解析】【解析】解： 的两根为：， ． 故答案为：（答案形式不唯一）． 根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可． 12.【答案】 【解析】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识． 首先令 ，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解． 解：令 ， 则 ，，， ， ． 故答案为：． 13.【答案】 【解析】解：(1)对于方程 ：求根：其中 ，则 ，即 ．因式分解：．故答案为 ，；； (2)对于方程 ：求根：其中 ，则 ，即 ．因式分解：．故答案为 ，，； (3)对于二次三项式 ，求方程 的根，其中 ，则 ．因式分解：．故答案为 ． 本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程的两个根，再根据 即可因式分解． 14.【答案】 【解析】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式． 先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再用平方差公式分解因式． 解： ． 故答案为 ． 15.(1)【答案】 【解析】（1）先配成完全平方式，然后再利用平方差公式继续分解； (2)【答案】令 ， ， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， 解得: ，， 则 . 【解析】（2）直接令：，解方程，再分解因式即可． 此题主要考查了实数范围内分解因式，熟练掌握配方和正确解方程是解题关键． 16.(1)【答案】解：(1) 令 ，解这个方程得 ， 即 ，， . (2)【答案】灵活运用: 解：①， 即：， 又 方程 的两个实数根是 ，， 根据根与系数的关系得到：①，②， 方程 可变为：， 将上述①②代入得 ， 即 ， ，， 17.【答案】B 【解析】解：设 AB 的长是 ，则 BC 的长为 ，根据题意列方程得， ， 解得 ，， 当 时，，不符合题意，舍去； 当 时，，符合题意； 当 AB 的长是 时，围成长方形花圃 ABCD 的面积为 ． 故选 B． 18.【答案】D 【解析】解：设 AD 长为 米，则 AB 长为 米， 由题意可得，， 解得 ，， 当 时，，符合题意， 当 时，，不符合题意，舍去， 当 AD 长为 10 米时，长方形的面积为 120 平方米． 故选 D． 19.【答案】A；A 【解析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题目，找到题目中的等量关系，列方程即可． 设栅栏AB的长为xm，根据题意分别用x表示BC或AD的长，再根据面积公式列出方程即可． 解：设栅栏AB的长为xm， 则， 依题意得：． 故选：A． 20.【答案】B 【解析】解：设该长方形的一边AB长x米， 由题意得，BC-1=58-x-x-（x-1）， 化简得，BC=60-3x， 根据题意得，x（60-3x）=252， 解得：，， 当x=6时，BC=42＞36，不符合题意，故舍去， 当x=14时，BC=18＜36，符合题意， 故AB的长为14米． 故选B． 21.【答案】9 【解析】解：设小长方形的长为xcm，则宽为xcm， 根据题意得， 解得x=9或x=-9（舍去）， 则， 所以3×3=9． 故答案为9． 本题考查一元二次方程的应用． 设小长方形的长为xcm，则宽为xcm，根据大长方形的面积结合图形可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据正方形的面积公式即可得出结论． 22.【答案】解：设长方形田地的长为x步，则它的宽为（x-12）步， 由题意得：x（x-12）=864， 解得x=36或x=-24（不符题意，舍去）， 则x-12=36-12=24， 答：长方形田地的长为36步，宽为24步． 【解析】设长方形田地的长为x步，从而可得它的宽为（x-12）步，再根据长方形的面积公式可建立一个关于x的一元二次方程，然后解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． 23.【答案】B 【解析】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ． 即这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． 故选B． 设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则这个苗圃园平行于墙的一边长为米，根据矩形的面积公式结合苗圃园的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24.【答案】2 【解析】解：设长廊的宽为米， 剩余的部分可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意得：， 解得：，（舍去）． 故答案为：2． 设长廊的宽为米，可得出剩余的部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据剩余部分的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25.【答案】D 【解析】解：设参加比赛的球队有个， 根据题意可得， 解得，（舍去）， 即参加比赛的球队有个， 故选：D． 设参加比赛的球队有个，则可表示出所比赛的场数，由条件可列出方程，可求得球队的个数． 本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 26.【答案】解：设评委有人，则参赛选手有人， 根据题意得， 解得，（不合题意，舍去）， ． 学科网（北京）股份有限公司 $