专题01 一元二次方程的压轴题型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01一元二次方程的压轴题型 题型归纳 题型一一元二次方程及分式方程的解法 题型二一元二次方程及分式方程的根 题型三一元二次方程根的判别式 题型四一元二次方程根与系数的关系 题型五一元二次方程的新定义题型 题型六一元二次方程的应用 题型专练 题型一：一元二次方程的解法 1,(上海市浦东民办未来科技学校25-26八上期末)(1)解方程：4x2-12x-7=0 2②解方程：x221x+4 4 2,(上海市杨浦区上海音乐学院实验学校25-26八上期未)解方程：(3x-1(x+1)=1. 3.（上海市金山区部分学校联考25-26八上期末)用配方法解方程：x2-6x-3=0. 4.（上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末)解方程：3x2-2x-3=0 5,（上海市川沙中学南校25-26八上期末)解方程：(x+3)2=(2x-5)2. 216x+2 6.(上海市金山区部分学校联考25-26八上期末)解方程：x+2X-42-x· 6x,5x+4 7.(上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末)解方程：x2-1十x-x+1 x-10 8.(上海上海市浦东新区25-26八上期末)解方程：x2-4 13 x+2 题型二：一元二次方程及分式方程的根 1.(上海市延安初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期末阶段性测试试卷)己知α与P是方程 x2-2x=2026的两个不同的根，那么代数式a2-4Q-2B-2的值为， 119 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.（上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷)若用去分母的方法解关于x的分式方程 2，3 x-2十x2-4x+2时有增根，则k= 3(上海市浦东新区2025-2026学年八年级数学上学期期末考试卷)关于的分式方程，-2：”22 有增根，则m=一. x-a_3-1无 4.（上海市川沙中学南校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷)若关于x的分式方程x-1元 解，则a= 5.(上海市杨浦区上海音乐学院实验学校等部分学校2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷)若关于 是2_x-m=1+1 x的方程xx-x 1+x-无实根，则m取值范围是 6.(上海市嘉定区2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟试题)“两个一元二次方程有且只有一个公 共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根.”例如x2-x-2=0和x2-2x-3=0就 是互为好友方程，好友根为x=-1.如果x2-1=0和a2-x-2=0就是互为好友方程，那么a=一· 7.（上海市浦东新区2025-2026学年八年级上学期期末数学模拟试题)已知关于x的方程 (m2-m)x2-4x+4=0有两个不相等的实数根.。 (1)求m的取值范围； 若为整数，且m3,是方程的一个根，求代数式2a-2a-,+1 8.(上海上海市崇明区2025学年第一学期期末学业质量调研八年级数学)小海与小华就一道问题的解法 进行探索，请你仔细阅读材料，并完成任务. 【材料】 将关于x的二次三项式x2+3x+m因式分解为两个一次因式的乘积，其中有一个因式是x+1,求另一个因 式及m的值. 小华解法： 小海解法： 设另一个因式为x+n, 设另一个因式为x+n, 得x2+3x+m=(x+1(x+n) 得x2+3x+m=(x+1)(x+n) 则x2+3x+m=x2+(n+1)x+n 当x=-1时，(x+1(x+n)=0 即x2+3x+m=0 219 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n+1=3 [m=2 (-1+3×(-)+m=0,解得m=2, m=n 解得1n=2 “另一个因式为x+2,m的值为2. .x2+3x+2=(x+1)(x+2) :另一个因式为x+2,m的值为2. 小海受到小华解法的启发，把二次三项式因式分解问题与“韦达定理”联系在一起，得到新解法： 设x2+3x+m=(x+l(x+n)=0,则方程x2+3x+m=0的两根为-1，-n, 「-1+(-n）=-3[m=2 由韦达定理可得-1x(-n)=m解得{ n=2 “另一个因式为x+2,m的值为2. 【任务】 知关于的二次三项式22+3x+因式分解的结果中有一个因式是x-4，求的值并写出 三项式因式分解的结果： (2)已知关于x的二次三项式3x2-px+9因式分解的结果中有一个因式是x-3,求代数式3p-9的值. 题型三：一元二次方程根的判别式 1.(上海市风华初级中学25-26八上期末)如果关于x的方程ax2-4a+a+3=0有两个相等的实数根， 求a的值及方程的根. 2.(上海市杨浦区上海音乐学院实验学校25-26八上期末)已知m、n是关于x的一元二次方程 x2-2px+p2-2p+4=0的两个实数根，求(m+5n+5)的最小值. 3.（上海市浦东新区进才北校25-26八上期末)若关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0有两个不相等 的实数根， (1)求m的取值范围； (2)若a,b是关于x的一元二次方程x2-2x+m-2=0的两个根，且m2+a2+b2=16,求m的值. 4.（上海市北郊学校25-26八上期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2-1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围： (2)若方程的两实数根分别为和x2,且满足x1+x2+xx2=0,求实数m的值. 5,（上海市浦东新区25-26八上期末)已知关于x的方程(m-l)x2-2mx+m+1=0 (1)求证：无论常数m取何值，方程总有实数根： 319 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当整数m取何值时，方程有两个整数根？ 6.(上海市杨浦区上海音乐学院实验学校25-26八上期末)已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边 AB、AC的长是关于x的一元二次方程x-(m+)x+3(m-2)=0的两个实数根. (1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根： (2)当L为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形： 7.（上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末)已知关于x的一元二次方程2-x-2=0① (1)若x=-1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根： (2)对于任意实数，判断方程①的根的情况，并说明理由. 8.综合与探究 己知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0 (1)若方程有实数根，求的取值范围。 (2)若(：-1)(：2-)=28，求m的值； (3)已知等腰△ABC的一边长为7，若，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长. 题型四：一元二次方程根与系数的关系 1.（上海市青浦区教育学院附属中学25-26八上期末)关于x的方程2x2-10x+5=0有两个实数根、2， 请求下列各式的值： (1)填空：+x2=一；x2= + 2)x为 2.(上海市川沙中学南校25-26八上期末)已知女是关于x的方程x2-2(m+)x+m+5=0的两个实 数根，若(x-(2-)=28,求m的值. 3.（上海市金山区部分学校联考25-26八上期末)已知，、2是关于x的一元二次方程 x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根， 1)若(x-1)(x-1)=28,求m的值： (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，另外的两边长恰好是x、x2,求△ABC的周长. 4.(上海市松江区25-26八上期末)已知关于x的方程x2-2x+m-1=0有两个实数根，、，2. 4/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求m的取值范围： (2)若（x+2)(:+2)=4,求m的值及此方程的两根。 5.(上海市宝山区宝莲学校25-26八上期末)已知x,x2是方程(a-l)x-3(2-a)x+1=0的两个实数根. 1+-6,求a的值： 1)若x为 11 2在(1)的条件下，求云云的值。 6.（上海市复旦大学第二附属学校25-26八上期末)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+)x+m+2=0 (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围： (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求m的值. 题型五：一元二次方程的新定义题型 1,(上海市民办交大一飞达中学25-26八上期末)定义：关于x的一元二次方程：4(x-m)+n=0( 4m,n是常数，4≠0与4，(x-m+n=0(4、m、n是常数，4≠0，称为“同族二次方程”.例如： 2(x-3}+4=0与3(x-3)+4=0是“同族二次方程”.如果关于x的一元二次方程：2(x-1+1=0与 ax2+bx+5=0(a、b是常数，a≠0)是“同族二次方程”.那么代数式a2-bx+2030的最小值是 2.(上海上海市浦东新区25-26八上期末)已知x、七是关于x的一元二次方程m+bx+c=0(a≠0)的 两个实数根，若满足：一x=1,则此类方程叫做差根方程.根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是一：（填写序号） ①x2-x=0:②x2-1=0. (2)已知关于x的方程x2+2x=0是“差根方程”，求a的值. (3)已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB的长为V13,若△ABC的两边AC、BC的长是一个“差根方 程”的两个实数根，求出这个差根方程. 3.(上海市普陀区25-26八上期末)【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个 数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数” (1)3、6、12“组合平方数”：（填“是”或“不是”） (2)如果-2、n、4是“组合平方数”，那么n=-一一 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由系数 a、b、c确定的. 已知关于x的一元二次方程2+bx+c=0(a>0)有实数根，请回答下列问题. (3)设p(p为有理数，且p≠0)为该方程的两根之和，p为该方程的两根之积.求证：a、hc是 “组合平方数”： (4)当a=1时，ahc(b:c≠)是“组合平方数”，且b+2c2=15.求b和c的值. 4.(上海市复旦大学第二附属学校25-26八上期末)我们知道，如果正整数a、b、c满足a2+b2=c2,那 么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为{a,b,c(c>a,c>b).以勾股数组中的三个 数为三边长的三角形一定是直角三角形. b+c a (1)对于勾股数组{a,b,c,求证：a=c-b: 11 2记知一元二次方程a+bx+c=0的系数a6、c均为正整数，如果正有理数p满是：2Pp 为该方 程的两根之和， 为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数. 5.(上海市嘉定区25-26八上期末)阅读下面材料：将边长分别为a,a+V万，a+2W历，a+3b的正方形面积 分别记为S,S,S,S,则S,-S=(a+Vb)2-d2=[(a+Vb)+a-[a+Vb)-a=(2a+b)vb=b+2ab.例 如：当a=1,b=3时，S2-S,=3+23 根据以上材料解答下列问题： (1)当a=1,b=3时，S-S2=-；S4-S=_ (2)当a=l,b=3时，把边长为a+Wb的正方形面积记作S1,其中n是正整数.从(1)中的计算结果，你 能猜出Sn+一Sn等于多少吗？并证明你的猜想。 (3)当a=2,b=5时，令4=S2-S,5=S,-S2,4=S4-S,…,1n=S1-Sn,且Tn=4+4+4++tn,若 Tn-4V5n=28n+12,求n的值. 6.（上海市浦东民办未来科技学校25-26八上期未末)我们知道一元二次方程m2+br+c=0(a≠0)的两根 为，x,若其中一个根是另一个根的n倍(n为正整数)，则称这样的方程为n倍“梅石花”方程，例 如：方程x2-6x+8=0的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程 a四y2+y+c=m(a≠0，m≠0)的两根为，2，则称这样的方程为“状元来”方程. 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据上述定义，请判断：2x2-5x+2=0是 _倍“梅石花”方程： b2 (2)若关于x的方程x2-bx+c=0(c≠0)是n倍“梅石花”方程，直接写出4c的最小值是 (4-1-2-2 3)若方程-y2+3y-2=m(m≠0)为“状元来”方程，求证： m y-2 题型六：一元二次方程及分式方程的应用 1.(上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件 盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果 每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少 元？ 2.(上海上海市崇明区25-26八上期末)为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出 崇明土布刺绣“小马”挂件.该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件.市场调研显 示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件， (1)当该挂件降价x元，每日售出的数量是一_件（用x的代数式表示）： (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元. 3.(上海市金山区部分学校联考25-26八上期末)电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩 偶深受欢迎.某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338 个. (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率. (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动.己知玩偶每个成本30元，售价为每 个50元时，日销量可达320个：每降价1元，日销量可增加5个.当每个玩偶降价多少元时，当日总利润 可达到5940元？ 4.云栖小小mall的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租.已知铺面两面靠墙，墙 长分别为8米和30米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门.经营者共用去板材45米（不计损耗）. 墙30米 E 墙8米 G B D (1)若三间商铺总面积为180m2,求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间商铺的总面积达到最大.已知商铺的租金为每月每平方米200元，请问小王每月需要付给经营者多少租 金？ 5.为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同 学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小凤的 跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地， 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）·据了解，从他跑步开始， 前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量 就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分 钟？ 6.(上海市风华初级中学25-26八上期末)寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成 实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形ABCD场地布展.经过计算，发现长与宽之比为3：2的长方 形AEFG场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）. B E 六年级 七年级 C 八年级 九年级 G 图1 图2 (1)直接写出长方形区域AEFG的长AE是 米，宽AG是 米 (2)现计划将长方形区域AEFG按图2的方式进行划分，展示六~九年级成果，在各展区之间留宽度相等的 过道，如果各展区的总面积为40m2,求过道的宽度. 7.(上海市浦东民办未来科技学校25-26八上期末)某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示.已 知每层长为50米，宽30米.阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆 面积为1056平方米. 50米 30米 (1)求通道的宽是多少米， 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个 车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又 能使对外开放的月租金收入为14400元？ 8.(2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上学期期末考试试卷)2025年世运会在成都顺利召开， 世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红.据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销 售量是7.2万件 (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售 价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宜传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公 仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 9.(期末模拟试卷【培优卷】2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义)为鼓励 广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共 跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离12000m处的B地，小凤的跑步速度是 小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地. 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）·据了解，从他跑步开始， 前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量 就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分 钟？ 10.(上海市延安初级中学25-26八上期末)某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩.由 于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩.这样经测算，可以比原计划提前1 个月完成任务. (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积： (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩. 如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为 9/9 专题01 一元二次方程的压轴题型 参考答案 题型一： 一元二次方程的解法 1．解：（1）， ， 或， 解得，； （2）， ， 化为整式方程，得， 整理得， 解得， 经检验：时，， 因此是原分式方程的解． 2．解：原方程化为：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．解：， ， ， ， 解得：， 所以，原方程的解是，． 4．解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 6．解：， 两边都乘以，得 ， 整理得， 或 经检验，是方程的增根，舍去． 所以，原方程的根是． 7．解： 通分得： ， 整理得：， 化简得：， ， 解得：， 将和代入方程中检验，得出是增根，是方程的解． 即原方程的解是． 8．解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，， 经检验使分母为0，所以是增根， 是原分式方程的根． 题型二：一元二次方程及分式方程的根 1．解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 2．解：原方程为，其中，公分母为， 去分母，两边同乘，得： ， 化简得：， 移项整理得：， 由，得：或， 即增根为或， 代入得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：或6． 3．解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 4．或1 解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 5．解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 6．解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 7．（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且． （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ． 8．（1）令 ，此时方程的两根为，由根与系数的关系可得 ，解得：，从而完成解答； （2）由题意可得时方程有一个根是，然后将代入并整理即可解答． 【详解】（1）解：设 ，则方程的两根为， 由韦达定理可得 ，解得：， ． （2）解：二次三项式因式分解的结果有一个因式是 时方程有一个根是， ， ． 题型三：一元二次方程根的判别式 1．解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程是一元二次方程， ∴， 此时， 解得：或（舍去）， 故原方程为： 即： ∴． 2．解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ． 方程有两个实数根， ， ， ， ∴的最小值为49． 3．（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：， 由（1）知当时，方程才有实数根， ∴． 4．（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵，方程的两实数根分别为和， ∴， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∴． 5．(1)证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． (2)解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 6．(1)证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； （2）解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 7．解：(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1， ∴x2﹣x﹣2＝0． 解得， ∴另一根是2； (2)略 8．（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 题型四：一元二次方程根与系数的关系 1．（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 2．解：∵是关于的方程的两个实数根， ∴，即，解得：， ∴根据韦达定理，，， ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴综上，的值为． 3．（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 4．（1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 5．（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：由（1）得：， ，则， ∴， ∴． 6．（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， 解得， 故m的取值范围． （2）解：设是方程的两个实数根， 则，，且， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 故． 题型五：一元二次方程的新定义题型 1．解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 2．（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 3．【答案】（1）是 （2） （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）或 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）略 （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 4．【答案】(1) 证明：∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ ，即； (2) 证明：设方程的两根之和为，两根之积为， 根据题意，，， ∴ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ 是一组勾股数． 5．（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）解：猜想结论：， ． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵是正整数， ∴． 6．（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）略 题型六：一元二次方程及分式方程的应用 1．解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 2．（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 3．（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 4．（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 5．（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 6．（1）解：设正方形的边长为米，则米，米， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴，， 故答案为：9，6． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为1米． 7．（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 8．（1）解：设月平均增长率为， 可得方程， 因为增长率， 所以舍去， 解得， 即， 答：月平均增长率是； （2）设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低元． 9．（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 10．（1）解：设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每个月完成的绿化面积为10万亩； （2）解：设每年完成绿化面积的增长率为r， 则，， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程的压轴题型 题型一 一元二次方程及分式方程的解法 题型二 一元二次方程及分式方程的根 题型三 一元二次方程根的判别式 题型四 一元二次方程根与系数的关系 题型五 一元二次方程的新定义题型 题型六 一元二次方程的应用 题型一： 一元二次方程的解法 1．（上海市浦东民办未来科技学校25-26八上期末）（1）解方程：    （2）解方程： 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，解分式方程： （1）利用因式分解法求解； （2）去分母，将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【详解】解：（1）， ， 或， 解得，； （2）， ， 化为整式方程，得， 整理得， 解得， 经检验：时，， 因此是原分式方程的解． 2．（上海市杨浦区上海音乐学院实验学校25-26八上期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．先把方程化为一般式，然后利用公式法解方程． 【详解】解：原方程化为：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（上海市金山区部分学校联考25-26八上期末）用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是做题的关键．先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 所以，原方程的解是，． 4．（上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末）解方程： 【答案】 ， 【分析】本题考查解一元二次方程公式法，解题关键在于掌握用求根公式解一元二次方程的方法.先确定，再根据公式，代入公式进行计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（上海市川沙中学南校25-26八上期末）解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 6．（上海市金山区部分学校联考25-26八上期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的定义是解答本题的关键，能使分式方程左右两边相等的未知数的值叫做分式方程的解． 两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 整理得， 或 经检验，是方程的增根，舍去． 所以，原方程的根是． 7．（上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程，掌握分式方程的解法并注意验根是解此题的关键．方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： 通分得： ， 整理得：， 化简得：， ， 解得：， 将和代入方程中检验，得出是增根，是方程的解． 即原方程的解是． 8．（上海上海市浦东新区25-26八上期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次）等知识点，先去分母，转化为一元二次方程求解，再验根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，， 经检验使分母为0，所以是增根， 是原分式方程的根． 题型二：一元二次方程及分式方程的根 1．（上海市延安初级中学2025-2026学年上学期八年级数学期末阶段性测试试卷）已知与是方程的两个不同的根，那么代数式的值为________． 【答案】2020 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得的值，根据根与系数的关系可得的值，再把所求式子变形为，据此计算求解即可． 【详解】解：∵与是方程的两个不同的根， ∴，， ∴ ， 故答案为：2020． 2．（上海市黄浦区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）若用去分母的方法解关于的分式方程时有增根，则______． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先去分母将分式方程化为整式方程；然后确定原方程的分母为零的x值，即增根可能为或；最后将增根代入整式方程求解即可． 【详解】解：原方程为，其中，公分母为， 去分母，两边同乘，得： ， 化简得：， 移项整理得：， 由，得：或， 即增根为或， 代入得：， 解得：， 代入得：， 解得：． 故答案为：或6． 3．（上海市浦东新区2025--2026学年八年级数学上学期期末考试卷）关于的分式方程有增根，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求值，分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 分式方程有增根时，分母为零，即，代入化简后的方程求解． 【详解】解：方程两边同乘，得， 化简得． 令，得， 解得：． 故答案为：1． 4．（上海市川沙中学南校2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷）若关于的分式方程无解，则_________． 【答案】或1 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况分别计算，①当时，该整式方程无解，②当时，由分式方程无解得到增根或，代入整式方程即可求解． 【详解】解： 两边同乘以得，， 整理得， ①当时，该整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解， 则，即或， 把代入整式方程，a的值不存在， 把代入整式方程，得，解得． 综合①②得或． 故答案为：或1． 5．（上海市杨浦区上海音乐学院实验学校等部分学校2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）若关于x的方程无实根，则m取值范围是______． 【答案】或 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 6．（上海市嘉定区2025-2026学年八年级上学期数学期末模拟试题）“两个一元二次方程有且只有一个公共根，这两个方程叫做互为好友方程，这两个公共根叫做好友根．”例如和就是互为好友方程，好友根为．如果和就是互为好友方程，那么_______． 【答案】1或3 【分析】本题考查了一元二次方程的解及解一元二次方程，正确理解“互为好友方程”的定义是解题关键． 先解出，然后分为和两种情况，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 当好友根为时，则， 即； 当好友根为时，则， 即； 故答案为：或3． 7．（上海市浦东新区2025-2026学年八年级上学期期末数学模拟试题）已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若为整数，且，是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1) 且 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，代数式求值，理解根的判别式是解答关键． （1）根据一元二次方程的定义，根的判别式来求解； （2）根据题意先求出，进而得到，再代入代数式中进行计算求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ， ． ， 且． （2）解：由题意得：，且为的整数， ． 将，代入 得：， 将代入中 ． 8．（上海上海市崇明区2025学年第一学期期末学业质量调研 八年级数学）小海与小华就一道问题的解法进行探索，请你仔细阅读材料，并完成任务． 【材料】 将关于的二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积，其中有一个因式是，求另一个因式及的值． 小海解法： 设另一个因式为， 得 则 ，解得 另一个因式为的值为2． 小华解法： 设另一个因式为， 得 当时， 即 ，解得， 另一个因式为的值为2． 小海受到小华解法的启发，把二次三项式因式分解问题与“韦达定理”联系在一起，得到新解法： 设，则方程的两根为， 由韦达定理可得解得 另一个因式为的值为2． 【任务】 (1)已知关于的二次三项式因式分解的结果中有一个因式是，求的值并写出此二次三项式因式分解的结果； (2)已知关于的二次三项式因式分解的结果中有一个因式是，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果求参数、十字相乘法分解因式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点，熟练掌握已知因式分解的结果求参数是解题的关键． （1）令 ，此时方程的两根为，由根与系数的关系可得 ，解得：，从而完成解答； （2）由题意可得时方程有一个根是，然后将代入并整理即可解答． 【详解】（1）解：设 ，则方程的两根为， 由韦达定理可得 ，解得：， ． （2）解：二次三项式因式分解的结果有一个因式是 时方程有一个根是， ， ． 题型三：一元二次方程根的判别式 1．（上海市风华初级中学25-26八上期末）如果关于的方程有两个相等的实数根，求的值及方程的根． 【答案】； 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数以及求解一元二次方程．熟记相关结论即可．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求出a的值，再代入方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴关于的方程是一元二次方程， ∴， 此时， 解得：或（舍去）， 故原方程为： 即： ∴． 2．（上海市杨浦区上海音乐学院实验学校25-26八上期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根，求的最小值． 【答案】49 【分析】根据、是关于的一元二次方程的两个实数根，则，，结合判别式，利用配方法解决问题即可． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， ． 方程有两个实数根， ， ， ， ∴的最小值为49． 3．（上海市浦东新区进才北校25-26八上期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是关于的一元二次方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握这些知识是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可求解； （2）由根与系数的关系及完全平方公式变形运用，得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得：； （2）解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵，， ∴， 整理得：， 解得：， 由（1）知当时，方程才有实数根， ∴． 4．（上海市北郊学校25-26八上期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数之间的关系，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； （2）解：∵，方程的两实数根分别为和， ∴， ∴， 解得或； ∵， ∴， ∴． 5．（上海市浦东新区25-26八上期末）已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【答案】(1) 证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． (2)或或或 【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可； （2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 6．（上海市杨浦区上海音乐学院实验学校25-26八上期末）已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是以为斜边的直角三角形； 【答案】(1) 证明：， ； ∴无论为何值，方程总有两个实数根； (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：由题意，得：， ∵是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ． 7．（上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…① （1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由． 【答案】（1）m=1，方程的另一根为x=2； (2)方程总有两个不等的实数根，理由： ∵， ∴方程①有两个不相等的实数根． 【分析】（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根； （2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． 【详解】解：(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1， ∴x2﹣x﹣2＝0． 解得， ∴另一根是2； (2)略 【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程；解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系和熟练地解方程． 8．综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 题型四：一元二次方程根与系数的关系 1．（上海市青浦区教育学院附属中学25-26八上期末）关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【答案】(1)5； (2)8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是 关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系代入求值即可； （2）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 2．（上海市川沙中学南校25-26八上期末）已知是关于的方程的两个实数根，若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式，掌握韦达定理的公式，是解题的关键． 先根据方程有两个实数根，运用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再根据韦达定理，得出，，最后整理，代入，，即可求解的值． 【详解】解：∵是关于的方程的两个实数根， ∴，即，解得：， ∴根据韦达定理，，， ∵，即， ∴， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴综上，的值为． 3．（上海市金山区部分学校联考25-26八上期末）已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰三角形的一边长为7，另外的两边长恰好是、，求的周长． 【答案】(1)6 (2)17 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理可证，当时，三角形的周长为17； ∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 4．（上海市松江区25-26八上期末）已知关于的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)若，求的值及此方程的两根． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）根据“有两个实数根”可知，进而求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，，根据得到，将，代入得到，求出，此时，根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 方程有两个实数根， ， ； （2）解：∵关于的方程有两个实数根、， ∴，， 又， ， 即， ， 当时，方程， 解得，， ，方程两根为，． 5．（上海市宝山区宝莲学校25-26八上期末）已知是方程的两个实数根． (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值、完全平方公式、平方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由根与系数的关系可得，又可得，然后将代入得到关于a的方程求解即可； （2）由（1）得：， ，则，再根据完全平方公式可得，然后再根据平方根求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：由（1）得：， ，则， ∴， ∴． 6．（上海市复旦大学第二附属学校25-26八上期末）已知关于的一元二次方程． (1)如果这个方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)如果这个方程的两个实数根的平方和是13，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式、解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． （1）根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于m的不等式，据此可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式列方程，然后解方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴， 解得， 故m的取值范围． （2）解：设是方程的两个实数根， 则，，且， 解得； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， 故． 题型五：一元二次方程的新定义题型 1．（上海市民办交大—飞达中学25-26八上期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【详解】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 2．（上海上海市浦东新区25-26八上期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；②． (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值． (3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键． （1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可； （3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可； 【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义； ② ，因式分解得根，，不符合． 故答案为：①． （2）解：方程中，，， 因为是差根方程，所以， 平方得： ， 代入得，即， 解得． （3）解：设直角三角形两直角边， 由勾股定理得： ， 因为是差根方程的两根，所以， 平方得： ， 代入得： ， 解得． ， 因为，所以． 以为根的一元二次方程为， 即，验证得，符合差根方程定义． 3．（上海市普陀区25-26八上期末）【阅读理解】如果三个实数中有两个数乘积的算术平方根等于第三个数，那么我们把这三个实数称为“组合平方数”． （1）3、6、12_____“组合平方数”；（填“是”或“不是”） （2）如果、n、4是“组合平方数”，那么_____； 【问题探究】在学习一元二次方程时，我们知道一元二次方程的根的情况是由系数确定的． 已知关于的一元二次方程（）有实数根，请回答下列问题． （3）设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积．求证：是“组合平方数”； （4）当时，是“组合平方数”，且．求和的值． 【答案】（1）是 （2） （3）证明：已知关于的一元二次方程（）有实数根， ∵设为有理数，且）为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，方程的两个根分别用表示， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是“组合平方数”； （4）或 【分析】本题主要考查算术平方根的运用，理解题意，正确列式计算是关键． （1）根据“组合平方数”的定义，分类计算即可求解； （2）根据“组合平方数”的定义，结合算术平方根中被开方数的特点，算术平方根的结果，分类计算即可求解； （3）分别用含的式子表示出，结合“组合平方数”的定义计算即可； （4）根据“组合平方数”的定义，分类讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴3、6、12是“组合平方数”； 故答案为：是； （2）如果、n、4是“组合平方数”， ∴当时， 解得，； 当时，被开方数小于0，不符合题意，舍去； 当时，由算术平方根是大于等于0的数得到不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）略 （4）当时，是“组合平方数”，即是“组合平方数”， ∴当时，，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； 当时，，， ∴， 整理得，，则， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴（负值舍去），即， ∴是“组合平方数”； ∵， ∴不符合题意； 综上所述，或． 4．（上海市复旦大学第二附属学校25-26八上期末）我们知道，如果正整数a、b、c满足，那么a、b、c称为一组勾股数（或称勾股数组），可表示为（，）．以勾股数组中的三个数为三边长的三角形一定是直角三角形． (1)对于勾股数组，求证：； (2)已知一元二次方程的系数a、b、c均为正整数，如果正有理数p满足：为该方程的两根之和，为该方程的两根之积，求证：此时的系数a、b、c一定是一组勾股数． 【答案】(1) 证明：∵ ， ∴ ，即， ∴ ， ∴ ，即； (2) 证明：设方程的两根之和为，两根之积为， 根据题意，，， ∴ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ 是一组勾股数． 【分析】本题考查的是勾股数，掌握勾股数的定义、平方差公式是解题的关键． （1）先根据勾股数的定义得，再变形利用平方差公式得，再利用分式的性质变形可得结论； （2）设方程的两根之和为，两根之积为，根据题意，，，则，，，再根据即，变形可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．（上海市嘉定区25-26八上期末）阅读下面材料：将边长分别为的正方形面积分别记为，则．例如：当时，． 根据以上材料解答下列问题： (1)当时，________；________． (2)当时，把边长为的正方形面积记作，其中是正整数．从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想． (3)当时，令，且，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)6 【分析】本题考查利用完全平方公式进行计算、二次根式的运算及解一元二次方程，理解题意，得出相应规律是解题关键． （1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可； （2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可； （3）根据可得，代入、的值，根据得出关于的一元二次方程，解方程得出的值，根据是正整数即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， ， ∴， ， 故答案为：； （2）解：猜想结论：， ． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：，， ∵是正整数， ∴． 6．（上海市浦东民办未来科技学校25-26八上期末）我们知道一元二次方程的两根为，，若其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为倍“梅石花”方程，例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是二倍“梅石花”方程；若一元二次方程的两根为，，则称这样的方程为“状元来”方程． (1)根据上述定义，请判断：是_________倍“梅石花”方程； (2)若关于的方程是倍“梅石花”方程，直接写出的最小值是_________． (3)若方程为“状元来”方程，求证：． 【答案】(1) (2) (3) 证明：∵可化成， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键． （1）利用因式分解法解方程可得，由此即可得； （2）设这个方程的两个根为，则可得，，将代入化简即可得；化简可得，再根据可得，由此即可得； （3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，代入化简即可得证． 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵， ∴是4倍“梅石花”方程， 故答案为：4． （2）解：设这个方程的两个根为， ∴，， ∴， ∴，为正整数， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为1， 故答案为：1． （3）略 题型六：一元二次方程及分式方程的应用 1．（上海市宝山区宝教院附中25-26八上期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 通过设降价x元，根据盈利关系列出方程，解方程后根据减少库存的要求选择合适解． 【详解】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意得：， 展开得：， 整理得：， 两边除以得：， 因式分解得：， 即或， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴取， 答：每件衬衫应降价20元． 2．（上海上海市崇明区25-26八上期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】(1) (2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据“售价每降低1元，每日销量就会增加6件”，列代数式即可； （2）根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，并求解即可． 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 3．（上海市金山区部分学校联考25-26八上期末）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 4．云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 5．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 6．（上海市风华初级中学25-26八上期末）寒假期间，同学们将进行丰富多彩的实践性活动，并制作完成实践性小报等成果，学校计划使用一块正方形场地布展．经过计算，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加4米，宽增加1米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的长是__________米，宽是__________米． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示六～九年级成果，在各展区之间留宽度相等的过道，如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)9，6 (2)1米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，分式方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则米，米，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则米，米， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴，， 故答案为：9，6． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为1米． 7．（上海市浦东民办未来科技学校25-26八上期末）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 8．（2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上学期期末考试试卷）年世运会在成都顺利召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红．据统计“蜀宝”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （）设月平均增长率为，已知月份销售量是万件，根据增长率公式，月份销售量为万件，3月份销售量为万件，列方程，即可解答； （）设售价应降低元，已知进价为每件60元，原售价为每件元，原每天销售件，售价每降价1元，每天可售出件； 则降价后售价为元，每天销售量为件， 根据每天获利元，根据利润单件利润销售量的关系列出方程即可解答； 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 可得方程， 因为增长率， 所以舍去， 解得， 即， 答：月平均增长率是； （2）设降价元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低元． 9．（期末模拟试卷【培优卷】 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册同步培优讲义）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 10．（上海市延安初级中学25-26八上期末）某市为美化环境，准备在2025年完成绿化面积60万亩．由于施工人数增加，因此平均每个月完成的绿化面积比原计划多2万亩．这样经测算，可以比原计划提前1个月完成任务． (1)求原计划平均每个月完成的绿化面积； (2)填空：已知该市在2025年完成了绿化面积60万亩的任务，并且预测2027年可以完成绿化面积135万亩．如果每年完成绿化面积的增长率相同，设2026年该市完成的绿化面积为y万亩，那么可以列出方程为________ 【答案】(1)10万亩 (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩，则实际平均每个月完成的绿化面积为万亩，根据实际比计划提前1个月完成任务建立方程求解即可； （2）设每年完成绿化面积的增长率为r，则，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设原计划平均每个月完成的绿化面积为x万亩， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每个月完成的绿化面积为10万亩； （2）解：设每年完成绿化面积的增长率为r， 则，， ∴， ∴， 故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $