4.5二次函数的应用（第1课时抛物线型实际问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 第1课时 抛物线型实际问题 4.5二次函数的应用 导入新课 在生活中，我们经常遇到拱桥、隧道、喷泉。 它们的形状像什么？ 抛物线 学 习 目 标 1 2 3 经历探索抛物线型实际问题的过程，体会建立直角坐标系解决实际问题的方法。（重点） 会根据已知条件建立适当的直角坐标系，用待定系数法求二次函数解析式，从而解决实际问题（重点） 能运用二次函数的图象和性质解决拱桥、隧道、喷泉、投篮等实际问题，感受数学模型思想（难点） 新知探究 已知某拱桥的纵截面可看作是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m.水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化？可以通过建立函数模型来解决这个问题吗？ 4.9m 4m 2m 研究抛物线，必须放在平面直角坐标系中研究 需要建立适当的平面直角坐标系 新知探究 怎样建立适当的平面直角坐标系？ x y x y x y 以简便为原则 对比这三种方法，哪种更适当? 同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种 O O O 新知探究 ③水面/地面放在 x 轴上 → 高度直接读 y 值 总结归纳 怎样建立适当的平面直角坐标系 ①顶点放在原点或 y 轴上 → 计算最简单 ②对称轴放在 y 轴 → 左右对称，坐标互为相反数 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式. 新知探究 解：以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图4. 5-1所示. x y O 由于顶点坐标是(0，0)，因此设这个二次函数 的表达式为y = ax2( a为常数，a ≠ 0). 已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m， 因此，点 A(2，-2)在抛物线上 . · A(2，-2) 由此得出 -2 = a ⋅ 22 解得a =. y = x2 (其中| x |是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数) 建系 设式 找点 求参 写式 自变量x的取值范围是:-2.45≤x≤2.45. 例1 如图所示，公园要建造一个圆形喷水池，在水池中央点O处安装一根垂直于水面的柱形喷水装置OA，OA=1.25m。水流由顶端A处的喷头向外喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下。为使水流形状看起来较为美观，设计要求水流在与OA的距离为1m处达到最高点，这时距水面的最大高度为2 .25m。如果不计其他因素，那么水池的半径至少是多少米时，才能使喷出的水流不致落到池外？ 典例分析 x y 怎样建立适当的平面直角坐标系？ （0，1.25） B （1，2.25） 求OC的长度 典例分析 解：如图，以OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系。 由条件知点A 的坐标为（0，1.25），若点B 为右边抛物线的顶点，则其坐标为 （1，2.25），因此，可设右边的抛物线的表达式为y =a（x -1）2+2.25，将点A的坐标代入y =a（x-1）2+2 .25，得1.25 =a +2 .25。 解得 a =-1。 故右边抛物线的表达式为y =-（x-1）2+2 .25。 当y =0时，x 1=-0 .5，x2=2.5。 即点C的坐标为（2.5，0）。 所以，水池的半径至少为2 .5 m时，才能使喷出的水流不致落到池外。 x y 建系 找点 设式 求参 求解 检验 （0，1.25） B （1，2.25） 解决抛物线型问题有哪些步骤？ 新知探究 总结归纳 解决抛物线型实际问题的细化步骤 第一步 建系 —— 选合适原点，建立平面直角坐标系 第二步 找点 —— 把已知条件转化为关键点的坐标 第三步 设式 —— 根据已知条件选择最合适的解析式形式 第四步 求参 —— 代入已知点坐标，求出待定系数 第五步 求解 —— 代入 x 求 y，或代入 y 求 x，回答问题 第六步 检验 —— 结果要符合实际意义，舍去不合理的值 新知探究 试用流程图表示利用二次函数模型解决实际问题的基本思路. 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 基础巩固题 新知应用 1. 赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 ，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 2 m 时，这时水面宽度 AB 为(　　 ) A. -10 m B. m C. m D. m D 2 m 基础巩固题 新知应用 2.隧道的截面呈抛物线形，且抛物线所对应的函数的表达式为 .一辆车高 、宽 ，该车____通过隧道．（填 “能”或“不能”） 能 提示：假设车行驶在隧道正中间.将 代入 ， 得 .因为 ，所以该车能通过隧道． 基础巩固题 新知应用 3.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离 4 m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5 m 时，达到最大高度 3.5 m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为 3.05 m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是 ( ) A A.此抛物线的表达式是y=+3.5 B.篮圈中心的坐标是(4，3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0) D.篮球出手时离地面的高度是2m 基础巩固题 新知应用 4.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高150 m，主塔之间的距离为900 m，试建立适当的平面直角坐标系，求出桥悬索所对应的二次函数表达式. 解：如图，以悬索桥的中心点为原点，抛物线对称轴为y轴建立直角坐标系，则可设二次函数表达式为 y = ax2，A（450,150） 解得 ∴ ，（-450≤x≤450） x y · A(450，150) O 基础巩固题 新知应用 5.如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高OA为1 m，栅栏的跨径BC间有 5根间距为 0. 5 m 的立柱 . 试建立适当的平面直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应二次函数的表达式，并求出立柱DE的高度. x y 怎样建立适当的平面直角坐标系？ (1.5，1) 基础巩固题 新知应用 解：设二次函数表达式为 y = ax2 C (1.5，1) 代入点C，得 1 = 1.52a 解得 所以 令 x = 0.5 所以 答：立柱 DE 的高度为 . x y 新知应用 6.如图，一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形的三条边围成。矩形的长是8 m，宽是2 m，在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用y =-x2+4 表示。 （1）一辆货运卡车高4 m，宽2 m， 它能通过该隧道吗？ （2）如果该隧道内的路面为双车道， 那么这辆货运卡车是否可以通过？ （4，0） （4，-2） （0，4） （1，?） （2，?） 能力提升题 新知应用 解:(1)当x=1时， y=-(1)2+4=3.75。 因为3.75+2>4,所以这辆货运卡车可以通过。 (2)当x=±2时， y=-(+2)2+4=3. 因为3+2>4,所以这辆货运卡车可以通过。 （1，?） （2，?） 能力提升题 能力提升题 新知应用 7.悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间的水平距离为900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1) 若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数解析式； (2) 计算距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长. 新知应用 能力提升题 解：（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为(0，0.5)，对称轴为y轴，设抛物线的函数解析式为y=ax2+0.5.抛物线经过点(450，81.5)，代入上式，得81.5=a×4502+0.5.解得 . 故所求解析式为 (2)当x=450－100=350时，得 当x=450－50=400时，得 即距离桥两端主塔分别为100m，50m处垂直钢索的长分别为49.5m、64.5m. 课堂小结 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 隧道、喷泉、运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 实际问题 数学模型 转化的关键 感谢聆听! $