4.5.1 实物型抛物线问题（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027学年九年级数学上册同步备课（湘教版）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数应用的实物型抛物线问题，通过拱桥、运动轨迹（兔子跳跃、铅球、跳水）等实例，衔接二次函数表达式、顶点式等前序知识，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于情境化设计（如赵州桥、投壶传统文化）与项目化学习（奖杯设计），结合分层练习（A学习理解、B应用实践、C迁移创新），体现数学眼光观察现实、数学思维解决问题、数学语言表达模型。例如投壶问题通过顶点式建模，帮助学生提升应用能力，教师可借此实现分层教学。

《学练优》·九年级数学上·XJ 第4章　二次函数 4.5　二次函数的应用 第1课时　实物型抛物线问题 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　拱桥问题 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形， 建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的表达式 为y＝－ x2.当水面离桥拱顶的高度DO是4m时， 这时水面的宽度AB为(　C　) A. －20m B. 10m C. 20m D. －10m C 2. 某抛物线形桥拱的最大高度为16m，跨度为 40m，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，它 对应的函数表达式为 (不用写出 自变量x的取值范围). y＝－ x2＋ x　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 时AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时 水面宽度为10m. (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的表达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)设所求抛物线的表达式 为y＝ax2，D点的坐标为(5， b)，则B点的坐标为(10，b－ 3).把D，B两点的坐标分别代 入y＝ax2得 解 得 解：(1)设所求抛物线的表达式为y＝ax2， D点的坐标为(5，b)， 则B点的坐标为(10，b－ 3). 把D，B两点的坐标分别代入y＝ax2得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝－ x2. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)当洪水到来时，再持续多少小时洪水到达拱桥顶 (水位以每小时0.2m的速度上升)？ 解：(2)由(1)知b＝－1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， ＝5(h). ∴再持续5h洪水到达拱桥顶. 解：(2)由(1)知b＝－1， ∴拱桥顶O到CD的距离为1m， ＝5(h). ∴再持续5h洪水到达拱桥顶. 3. 如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 时AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时 水面宽度为10m. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 知识点二　运动中的抛物线及其他实物抛物线 4. 原创题 如图①，一只兔子在草地上跳跃的路径呈 抛物线形，建立如图②所示的平面直角坐标系，跳 跃时兔子重心的高度变化y(m)关于水平距离x(m)的 函数表达式为y＝－x2＋2x，则兔子此跳重心最高 时的水平距离为(　A　) A. 1m B. 1.5m C. 2m D. 2.5m A 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5. (2025·连云港中考)如图，小亮同学掷铅球时，铅 球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球 离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若 铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出 的水平距离OB为 m. 8　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 6. 教材P164习题T4变式 如图，某跳水运动员进行 10米跳台跳水，运动员(可视为一点)在空中运动的 路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处 时对应的点A的坐标为(1，1.25). (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)由题意可知抛物线的顶点为 A(1，1.25)， ∴可设抛物线的解析式为y＝m(x－1)2 ＋1.25.把(0，0)代入得0＝m(0－1)2＋ 1.25，解得m＝－1.25. ∴抛物线的解析式为y＝－1.25(x－1)2 ＋1.25. 解：(1)由题意可知抛物线的顶点为A(1，1.25)， ∴可设抛物线的解析式为y＝m(x－1)2 ＋1.25. 把(0，0)代入得0＝m(0－1)2＋ 1.25， 解得m＝－1.25. ∴抛物线的解析式为y＝－1.25(x－1)2＋1.25. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)求入水点B的坐标. 解：(2)令y＝－10，则－1.25(x－1)2＋1.25＝－ 10，解得x1＝4，x2＝－2(不合题意，舍去). ∴入水点B的坐标为(4，－10). 解：(2)令y＝－10，则－1.25(x－1)2＋1.25＝－ 10， 解得x1＝4，x2＝－2(不合题意，舍去). ∴入水点B的坐标为(4，－10). 6. 教材P164习题T4变式 如图，某跳水运动员进行 10米跳台跳水，运动员(可视为一点)在空中运动的 路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处 时对应的点A的坐标为(1，1.25). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 7. 如图是某抛物线形的隧道示意图.已知抛物线的 表达式为y＝－ x2＋8，为增加照明度，计划在该 抛物线上距地面AB高为6米的点E，F处安装两盏 灯，则这两盏灯的水平距离EF是 米(用含 根号的式子表示). 4 　 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 新情境 传统文化 投壶(如图①)是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带.其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图②是一名男生在投壶时，箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为 m，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，高度为 m. (1)求箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表达式； 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(1)由题意，可知函数图象过点A(0， )，顶点 为(1， )， ∴可设函数表达式为y＝a(x－1)2＋ . ∴ ＝a＋ .∴a＝－0.3. ∴箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表达式 为y＝－0.3(x－1)2＋1.5. 解：(1)由题意，可知函数图象过点A(0， )，顶点为(1， )， ∴可设函数表达式为y＝a(x－1)2＋ . ∴ ＝a＋ .∴a＝－0.3. ∴箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表达式 为y＝－0.3(x－1)2＋1.5. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 8. 新情境 传统文化 投壶(如图①)是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景，还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带.其中箭头的行进路线可看作一条抛物线，如图②是一名男生在投壶时，箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度OA为 m，当水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，高度为 m. (2)若BC是一个高为 m的圆柱形容器的最左端(看作垂直于x轴的线段)，且OB＝3m，通过计算判断这名男生此次投壶能否投中，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 解：(2)不能投中.理由：∵OB＝3m， ∴当x＝3时，y＝－0.3(3－1)2＋1.5＝0.3＜ . ∴这名男生此次投壶不能投中. 解：(2)不能投中.理由：∵OB＝3m， ∴当x＝3时，y＝－0.3(3－1)2＋1.5＝0.3＜ . ∴这名男生此次投壶不能投中. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 新考向 项目化学习 [研究课题]为班级年度优秀学 生设计奖杯. 素材1：如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部 分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，点A与点 B均为最高点，且A，B两点之间的距离为16cm， 点A到杯底EF的竖直高度为24cm；下半部分是一 个等腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中所 有的点都在同一平面内. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 素材2：以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直 于EF的直线为y轴建立平面直角坐标系.如图，抛 物线部分满足函数关系式y＝ x2＋bx＋c. 素材3：在距离杯底的竖直高度为12cm的点M，N 处贴上装饰图案(点M在点N的左侧，图案大小忽略 不计). [任务解决] 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (1)求该奖杯抛物线部分的函数表达式； 解：(1)根据题意可得A(0，24)，∴c＝24. ∵A，B两点之间的距离为16cm， ∴抛物线的对称轴为直线x＝8.∴－ ＝8，解得 b＝－4. ∴抛物线部分的函数表达式为y＝ x2－4x＋24. 解：(1)根据题意可得A(0，24)，∴c＝24. ∵A，B两点之间的距离为16cm， ∴抛物线的对称轴为直线x＝8. ∴－ ＝8，解得b＝－4. ∴抛物线部分的函数表达式为y＝ x2－4x＋24. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 新考向 项目化学习 [研究课题]为班级年度优秀学 生设计奖杯. 素材1：如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部 分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，点A与点 B均为最高点，且A，B两点之间的距离为16cm， 点A到杯底EF的竖直高度为24cm；下半部分是一 个等腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中所 有的点都在同一平面内. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 素材2：以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直 于EF的直线为y轴建立平面直角坐标系.如图，抛 物线部分满足函数关系式y＝ x2＋bx＋c. 素材3：在距离杯底的竖直高度为12cm的点M，N 处贴上装饰图案(点M在点N的左侧，图案大小忽略 不计). [任务解决] 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (2)求抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD； 解：(2)当x＝8时，y＝ x2－4x＋24＝8， ∴抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD为8cm. 解：(2)当x＝8时，y＝ x2－4x＋24＝8， ∴抛物线最低点C到杯底EF的竖直高度CD为8cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9. 新考向 项目化学习 [研究课题]为班级年度优秀学 生设计奖杯. 素材1：如图所示为奖杯的设计稿，设计稿的上半部 分呈抛物线形，抛物线的最低点为点C，点A与点 B均为最高点，且A，B两点之间的距离为16cm， 点A到杯底EF的竖直高度为24cm；下半部分是一 个等腰三角形底座CEF，CD⊥EF于点D，图中所 有的点都在同一平面内. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 素材2：以杯底EF所在直线为x轴，过点A且垂直 于EF的直线为y轴建立平面直角坐标系.如图，抛 物线部分满足函数关系式y＝ x2＋bx＋c. 素材3：在距离杯底的竖直高度为12cm的点M，N 处贴上装饰图案(点M在点N的左侧，图案大小忽略 不计). [任务解决] 2 3 4 5 6 7 8 9 1 (3)求M，N两点之间的水平距离. 解：(3)在y＝ x2－4x＋24中，令y＝12，得 x2－ 4x＋24＝12，解得x1＝4，x2＝12. ∴M(4，12)，N(12，12). ∴MN＝12－4＝8，即M，N两点之间的水平距离 为8cm. 解：(3)在y＝ x2－4x＋24中， 令y＝12，得 x2－4x＋24＝12，解得x1＝4，x2＝12. ∴M(4，12)，N(12，12). ∴MN＝12－4＝8， 即M，N两点之间的水平距离为8cm. 2 3 4 5 6 7 8 9 1 $