4.5二次函数的应用（第2课时几何图形面积与利润问题）（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

第4章 二次函数 4.5 二次函数的应用 第1课时 第2课时 几何图形面积与利润问题 导入新课 二次函数 y=ax²+bx+c 何时有最大值或最小值？ a>0 时，抛物线开口向上，顶点处取得最小值； a<0 时，抛物线开口向下，顶点处取得最大值。 怎么去求它的最大值或最小值呢？ 顶点坐标公式法 配方法 顶点坐标是(－) 学 习 目 标 1 2 3 能建立二次函数模型解决几何图形面积的最值问题（重点） 能建立二次函数模型解决销售利润问题，掌握“总利润=单件利润×销售量”的等量关系（重点） 能结合自变量的取值范围，确定实际问题中的最值，体会数学建模和数形结合思想（难点） 例1 如图，用8m长的铝材做一个“日”字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积最大？最大面积是多少？（假设铝材的宽度不计） 典例分析 x x x 长方形的面积 窗框的面积 = 宽高 用函数来刻画 解：设窗框的宽度为x m．则窗框的高为 m，其中 ． 则窗框的透光面积为：，． 配方得： ， ． 这时高为： ． ∴当窗户宽米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2． ∴当时，S取最大值. 还可以怎么求最大值？ 要考虑是不是在自变量x的取值范围内 典例分析 新知探究 利用二次函数求几何图形面积最值的基本步骤 总结归纳 1.设变量：选择与问题相关且简单的量设为自变量（通常取所求图形的一边长度）; 2.表示线段：用自变量表示出其他必需的线段（利用勾股定理、相似三角形、三角函数等）； 3.建函数：根据面积公式构造二次函数关系式; 4.定范围：确定自变量的取值范围（考虑实际意义和几何限制）; 5.求最值：配方或利用公式求最值，注意检验最值是否在取值范围内; 6.作答：写出实际问题的答案. 不要盲目认为顶点的纵坐标就是最值！ 例2 某玩具店引进一批进价为20 元/件的玩具，如果以单价30 元销售，那么一个月内可售出180 件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1 元，月销售量将相应减少10 件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 典例分析 单利润 销售量 总利润 变化前 变化后 总利润=单利润销售量 销售单价每上涨1 元，月销售量将相应减少10 件 设商品的销售单价上涨x元,总利润为y元 30-20=10 180 10180 30+x-20 180- y y=(30+x-20)(180- ) 用函数来刻画 销售量 设变量 单进价 单售价 典例分析 解： 设商品的销售单价上涨x（0 ≤x ≤18）元，则每月减少的销售量为10x件，实际销售量为（180 -10x）件，单件利润为（30 +x -20）元. 将一个月内获取的商品总利润记为y 元，则 y =(10 +x)(180 -10x) =-10x 2+80x +1 800 =-10(x -4)2+1 960. 当x =4，即销售单价为34 元时，y 取最大值1 960. 答：当销售单价定为34 元时，该店在一个月内能获得最大利润1960 元. 新知探究 利用二次函数求最大利润问题的一般步骤 总结归纳 1.设变量：设涨价（或降价）为 x 元 2.表数量：用含 x 的代数式表示单件利润和销售量； 3.建函数：根据“总利润=单件利润×销售量”列出二次函数关系式； 4.定范围：根据实际意义确定自变量的取值范围； 5.求最值：配方或利用公式求最值，注意检验最值是否在取值范围内; 6.作答：写出实际问题的答案. 不要盲目认为顶点的纵坐标就是最值！ 新知探究 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 总结归纳 基础巩固题 新知应用 1.如图所示是一个长、宽 的矩形花园，根据 需要将它的长缩短、宽增加 ，要想使修改后的 花园面积达到最大，则 应为( ) C A.1 B.1.5 C.2 D.4 用函数来刻画 修改后的花园面积=长宽 (0<x<20) 基础巩固题 新知应用 2.如图，在长为，宽为 的矩形花圃里建有等 宽的十字形小路，若小路的宽不超过 ，则花圃中阴 影部分的面积( ) A.有最小值 B.有最小值 C.有最大值 D.有最大值 A 用函数来刻画 平移 (0<x1) 不要盲目认为顶点的纵坐标就是最值！ 当x=时，S取得最小值，S最小=。 注意检验最值是否在取值范围内 基础巩固题 新知应用 3. 某超市销售一种商品，发现一周利润y(元)与销售单价x(元)之间的关系满足y＝－2(x－20)2＋1558，由于某种原因，销售单价只能为15≤x≤22， 那么一周可获得最大利润是(　A　) A. 1558元 B. 1550元 C. 1508元 D. 20元 A 当x=20时，y有最大值1558 注意x 的取值范围 基础巩固题 新知应用 4.某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式是(　　) A．y＝(200－5x)(40－20＋x) B．y＝(200＋5x)(40－20－x) C．y＝200(40－20－x) D．y＝200－5x A 总利润=单利润销售量 基础巩固题 新知应用 5. 某超市销售一种商品，每件成本为50元，超市的销售经理经调查发现，该商品每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足函数关系式 y＝－5x＋550.若设该商品每月所获利润为w(元)，则w与x之间化简后的函数关系式为 ⁠ ， w的最大值为 ⁠. w＝－5x2＋800x－27500 4500　 总利润=单利润销售量 w＝(x－50)(-5x+550) w＝－5x2＋800x－27500 基础巩固题 新知应用 6.已知两个正数的和为定值a，问：这两个数分别取何值时，它们的积达到最大值？ 解:设其中一个正数为x,则另一个正数为a-x.， 设这两个数的积为y， 则y=x ·(a-x)=-x²+ax. 由于-1<0,所以二次函数y=-x ² +a x有最大值. 当x=时，取得最大值. 此时a-x=a-= 所以当这两个数都取时，它们的积达到最大值: 新知应用 7.如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙（墙的长度为9 m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的边为 m，面积为 m2. （1）与之间的函数关系式为 ， 的取值范围是 ⁠； （2）如果要围成面积为 m2的花圃，求此时的长； （3）求所围成的花圃的最大面积是多少平方米. 已知y求x 能力提升题 新知应用 解：（3）(5≤＜8) 当时有最大值，最大值为， 所围成的花圃的最大面积是 m2. 解：（2）由题意，得， 即， 解得（舍去）， 此时的长为 m. 不要盲目认为顶点的纵坐标就是最值！ 注意检验最值是否在取值范围内 能力提升题 能力提升题 新知应用 8.一水果店售卖一种水果，以 8 元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以 12 元/千克售卖，每天可卖 60 千克：若每千克涨价 0.5 元，每天要少卖 2 千克；若每千克降价 0.5 元，每天要多卖 2 千克，但不低于成本价. 设该商品的价格为 x 元/千克时，一天销售总质量为 y 千克. (1) 求 y 与 x 的函数关系式. (2) 若水果店货源充足，每天以固定价格 x 元/千克销售 ( x > 8 )，试求出水果店每天利润 W 与单价 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，利润达到最大. 总利润=单利润销售量 能力提升题 新知应用 解：(1) 由题意可得， (2) 由题意可得， w = y(x − 8) = (−4x + 108)(x − 8) = −4x2 + 140x − 864= ∴当 时，利润 w 有最大值，最大值为 361. 答：当 时，利润最大. 数学问题 利用二次函数的图象和性质求解 最值问题 二次函数模型 实际问题的答案 实际问题 构建 抽象 利用二次函数解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、检、答. 课堂小结 感谢聆听! $