4.5 二次函数的应用 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

第4章 二次函数 4.5 二次函数的应用 第2课时 利用二次函数解决利润及其他问题 情景导入 1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，设一边长____cm，则另一边为________cm，面积为_______cm2，所围矩形最大面积为____cm2. x (4－x) x(4－x) 4 2．如图，已知平行四边形ABCD的周长为8 cm，∠B＝30°.若设边长AB＝x cm. (1)▱ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式为____________ ，自变量x的取值范围为__________； (2)当x取____时，y的值最大， 最大值为____． y＝－x2＋2x 0<x<4 2 2 自学互研 知识模块一　利润问题 例1 某玩具店引进一批进价为 20 元/件的玩具，如果以单价 30 元销售，那么一个月内可售出 180 件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨 1 元，月销售量将相应减少 10 件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？ 解 设商品的销售单价上涨x(0≤x≤18)元，则每月减少的销售量为10x件，实际销售量为(180-10x)件，单件利润为(30+x-20)元. 将一个月内获取的商品总利润记为y元，则 y=(10+x)(180-10x) =-10x²+80x+1800 =10(x-4) ² +1960. 当x=4，即销售单价为34元时，y取最大值1960. 答:当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元 例2 一工艺师生产的某种产品按质量分为 9 个档次.第1 档次(最低档次)的产品一天能生产 80 件，每件可获利润 12 元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加 2 元，但一天产量减少 4 件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？ 解：设生产 x 档次的产品时，每天所获得的利润为 w 元， 则w = [12+2(x－1)][80－4(x－1)] = (10+2x)(84－4x) = －8x2 + 128x + 840 = －8(x－8)2 + 1352. 因为 x ≤ 9，故当 x = 8 时，w 有最大值，且 w最大 = 1352. 答：该工艺师生产第 8 档次产品，可使利润最大，最大利润为 1352 元. 求最大利润问题常用公式是什么？ 利润＝销售总金额－总成本＝(售价－进价)×销售量－其他支出． 【例1】某单位商品利润y元与变化的单价x之间的关系式为：y＝－5x2＋10x，当0.5≤x≤2时，最大利润是____． 5元 【变例1】某产品每件的成本是120元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x＝130时，y＝70；当x＝150时，y＝50，且y是x的一次函数，为获得最大销售利润，每件产品的售价应定为_______． 160元 【变例2】大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电，通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时，每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． (1)y与x的函数关系式为 ____________________ ； y＝－4x＋360(40≤x≤90) (2)设王强每月获得的利润为P(元)，求P与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2 400元的利润，那么销售单价应定为多少元？ 解：P＝(x－40)(－4x＋360)＝－4x2＋520x－14 400(40≤x≤90)， 当P＝2 400时，－4x2＋520x－14 400＝2 400， 解得x1＝60，x2＝70， ∴销售单价应定为60元或70元． 知识模块二　其他问题 【例2】足球作为一项重要的体育运动，越来越受到广大体育爱好者的喜欢，校园足球更是同学们的最爱．在一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，已知球门高OB为2.44 m，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分， 当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3 m，现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)． 解：(1)小明从球门正前方8 m的A处射门，当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球的竖直高度为3 m，则8－6＝2， ∴顶点坐标为(2，3). ∴可设抛物线为y＝a(x－2)2＋3(a≠0). ∵小明从球门正前方8 m的A处射门， ∴抛物线过A(8，0)， ∴36a＋3＝0. ∴a＝－. ∴y＝－(x－2)2＋3. (2)由(1)，得y＝－(x－2)2＋3， 由题意，当x＝0时，y＝－×4＋3＝>2.44， ∴球不能射进球门． 随堂检测 1. 用一段长为 15 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为 18 m，这个矩形菜园的最大面积是_________. m² 2. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20 ≤ x ≤ 30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为 元. 25 3.如图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，已知拱高OA为1m，栅栏的跨径BC间有5根间距为0.5m的立柱，试建立适当的平面直角坐标系，求出该拱形栅栏所对应二次函数的表达式，并求出立柱DE的高度. 解:以BC所在直线为x轴,以AO所在直线为y轴，以点A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示. 设拱形栅栏所对应的二次函数表达式为y=ax²+bx+c,则C(1.5,0),B(-1.5,0), O(0,-1). 把C，B，O三点的坐标分别代入y=ax ² +bx+c， 得 2.25a+1.5b+c=0, 2.25a-1.5b+c=0, c =-1. 解得 a=, b=0, c =-1. 所以该拱形栅栏所对应的二次函数表达式为y= x ²-1 因为点D的坐标为(0.5,0)且DE平行于y轴， 可设E(0.5,y1),所以y1 =×0.5²-1=-, 所以E(0.5, -),= 所以立柱DE的高度约是m. 4.已知两个正数的和为定值a，问:这两个数分别取何值时，它们的积达到最大值? 解:设这两个数为x,y， 则x+y=a,所以y=a-x. 设这两个数的积为b， 则b=x·y=x ·(a-x)=-x²+ax. 由于-1<0,所以二次函数b=-x ² +a x有最大值. 当x=时，取得最大值. 此时y=a-x=a-= 所以当这两个数都取时，它们的积达到最大值: 5.世界最大单口径射电望远镜(FAST工程)——“中国天眼”如图所示，其设计原理是利用了抛物线光学性质。查阅相关资料，了解抛物线的光学性质，并与同学分享你的结果. 抛物线的光学性质: 从抛物线的焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行; 反之，平行于对称轴的光线入射到抛物线上，经反射后会汇聚到抛物线的焦点处. 这一性质被广泛应用于手电筒、探照灯、卫星天线等设备的设计.(答案不唯一) 6. 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2). (1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 解：(1) 因为矩形一边长为 x，则另一边长为(6 - x)， ∴S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0 ＜ x ＜ 6. 解：S = - x2 + 6x = - ( x - 3 )2 + 9; ∴当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3 m 时， 矩形面积最大，为 9 m2. 这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元) (2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用. 课堂小结 最大利润问题 建立函数关系式 总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本. 确定自变量取值范围 涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0. 确定最大利润 利用配方法或公式求最大值或利用函数图象简图和性质求出. $