高一数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（沪教版）

2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、必要不充分 2、 3、7 4、1 5、2 6、 7、 8、 9、 10、 11、/1.5 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B B A A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为， 3分 所以. 6分 （2）是方程的两个实根， 所以，， 令，原方程为， 所以，是方程的两个根， 9分 所以，， 11分 所以. 14分 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）由，解得或，所以集合， 1分 若，则方程的两根为和， ，解得， 4分 检验：当时，方程为，，满足， 所以实数的值为. 6分 （2）由，得，分四种情况讨论， ， ， ①当时，，即，解得， 8分 ②当时，方程有二重根， ，方程组无解， 10分 ③当时，方程有二重根， ，方程组无解， 12分 ④当时，即，由（1）可知，满足条件， 综上，实数的取值范围是. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以二次函数的开口向下，一元二次方程的两个根为， 所以，即. 2分 将代入不等式，得， 4分 因为，所以不等式化为，，解得. 因此不等式的解集为. 6分 （2）不等式化为， 因为，两边同时除以得， 对应方程的两根为，，分三类讨论： 8分 ①当时，即，不等式的解集为或； 10分 ②当时，即，不等式的解集为； 12分 ③当时，即，不等式的解集为或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 【详解】（1）因为为整数，由得，由取整函数的定义， 得，故第一个不等式的解集为； 2分 由得，即， 因为为整数，所以，从而，故第二个不等式的解集为． 4分 （2）设，其中，则，原方程化为，所以． 6分 ①当时，，所以，由得， 因为为整数，所以，，经检验满足原方程； 8分 ②当时，，所以，由得，矛盾，故此时无解． 综上，方程的解集为． 10分 （3）由得，即，所以． 12分 因为原不等式的解集为，所以满足不等式的的取值恰好为，即区间中的整数恰好为． 要使整数在该区间内，而相邻整数均在该区间外，必须且只需， 15分 解得且，即，所以的取值范围为． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 【详解】（1）， 2分 ． 4分 (2)集合，， 且，中也只包含四个元素，即， 7分 由集合中元素的互异性，易得且， 所以. 10分 （3）设集合满足题意，其中， 则， ，又，， 12分 ，， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， ，， 14分 事实上，当时满足题意，证明如下， 设， 则，， 16分 由条件，，的最小值为676， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数最大值是1351． 18分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数。 5．难度系数：0.65 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，，则是的____________________条件． 2．________． 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数______． 4．若，则_______. 5．已知，且，则的最小值为_______． 6．已知，，若，则实数的取值集合是_______． 7．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 8．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_______________． 9．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 10．已知，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值为________. 11．对于两个实数a，b，定义运算如下：若，则；若，则．若，则的最小值是______． 12．已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的真子集个数为 D． 14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 15．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 求下列的不等式的解集 (1)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集． 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． (1)求 的解集和 的解集； (2)求方程 的解集； (3)若 的解集为 ，求 的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合、（不必写出计算过程）． (2)若集合，，且，求证：． (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，，则是的____________________条件． 【答案】必要不充分 【详解】由题可知，所以， 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件. 2．________． 【答案】 【详解】由题意得. 故答案为：. 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数______． 【答案】 【详解】由题意，，且，因此分母即，且为6的正约数， 6的正约数为1,2,3,6，对应可得，结合的条件筛选得，即，共3个元素， 因为，一个集合含有个元素，则其所有真子集的个数为， 所以，将代入得，即集合的所有真子集的个数为个. 4．若，则_______. 【答案】1 【详解】因为， 即， 所以， 则， 解得. 5．已知，且，则的最小值为_______． 【答案】2 【详解】已知，且，则， 当且仅当，即，时等号成立. 6．已知，，若，则实数的取值集合是_______． 【答案】 【详解】根据题意，当时，，解得，此时符合题意； 当时，； 当时，，此时符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，或，要使得， 则由于抛物线开口向上，经过定点，所以为了满足题意， 对称轴，解得，所以其解集为； 综上，实数的取值集合是. 7．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 8．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_______________． 【答案】 【详解】当时，不成立，所以不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 则，得， 综上可知，的取值范围是. 9．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为，所以， 则 设，则且关于的一元二次方程有实根， ，即， 则或，即或， 故的取值范围是 10．已知，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由方程，解得或 因为方程有两个相等的实数根， 可得，即，其中， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 11．对于两个实数a，b，定义运算如下：若，则；若，则．若，则的最小值是______． 【答案】/1.5 【详解】依题意，得，所以 设，则， 所以，则， 所以 ， 当且仅当，取等号． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 12．已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 【答案】 【详解】因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素． 综上所述，中至少有9个元素． 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的真子集个数为 D． 【答案】B 【详解】因为全集，所以. 由题意可知： ， ， . 作出Venn图，如图所示， 由图可知，，，故A错误，故B正确； 集合真子集个数为个，故C错误； 因为，所以，故D错误. 14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 15．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】存在,不等式成立，变形即成立， 由于， 因此有， 两边平方， 解得或. 故选：A. 16．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以， 令， 因为都是正数， 所以即， 且，同时， 所以     当且仅当时等号成立，此时. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 【详解】（1）因为， 3分 所以. 6分 （2）是方程的两个实根， 所以，， 令，原方程为， 所以，是方程的两个根， 9分 所以，， 11分 所以. 14分 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【详解】（1）由，解得或，所以集合， 1分 若，则方程的两根为和， ，解得， 4分 检验：当时，方程为，，满足， 所以实数的值为. 6分 （2）由，得，分四种情况讨论， ， ， ①当时，，即，解得， 8分 ②当时，方程有二重根， ，方程组无解， 10分 ③当时，方程有二重根， ，方程组无解， 12分 ④当时，即，由（1）可知，满足条件， 综上，实数的取值范围是. 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 求下列的不等式的解集 (1)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集． 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以二次函数的开口向下，一元二次方程的两个根为， 所以，即. 2分 将代入不等式，得， 4分 因为，所以不等式化为，，解得. 因此不等式的解集为. 6分 （2）不等式化为， 因为，两边同时除以得， 对应方程的两根为，，分三类讨论： 8分 ①当时，即，不等式的解集为或； 10分 ②当时，即，不等式的解集为； 12分 ③当时，即，不等式的解集为或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为；当时，解集为或. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． (1)求 的解集和 的解集； (2)求方程 的解集； (3)若 的解集为 ，求 的取值范围． 【详解】（1）因为为整数，由得，由取整函数的定义， 得，故第一个不等式的解集为； 2分 由得，即， 因为为整数，所以，从而，故第二个不等式的解集为． 4分 （2）设，其中，则，原方程化为，所以． 6分 ①当时，，所以，由得， 因为为整数，所以，，经检验满足原方程； 8分 ②当时，，所以，由得，矛盾，故此时无解． 综上，方程的解集为． 10分 （3）由得，即，所以． 12分 因为原不等式的解集为，所以满足不等式的的取值恰好为，即区间中的整数恰好为． 要使整数在该区间内，而相邻整数均在该区间外，必须且只需， 15分 解得且，即，所以的取值范围为． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合、（不必写出计算过程）． (2)若集合，，且，求证：． (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 【详解】（1）， 2分 ． 4分 (2)集合，， 且，中也只包含四个元素，即， 7分 由集合中元素的互异性，易得且， 所以. 10分 （3）设集合满足题意，其中， 则， ，又，， 12分 ，， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， ，， 14分 事实上，当时满足题意，证明如下， 设， 则，， 16分 由条件，，的最小值为676， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数最大值是1351． 18分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第一册第1~3章集合与逻辑+等式与不等式+幂、指数与对数。 5．难度系数：0.65 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．若，，则是的____________________条件． 2．________． 3．已知集合，，则集合的所有真子集的个数______． 4．若，则_______. 5．已知，且，则的最小值为_______． 6．已知，，若，则实数的取值集合是_______． 7．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 8．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为_______________． 9．已知为正数，且，则的取值范围是___________ 10．已知，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值为________. 11．对于两个实数a，b，定义运算如下：若，则；若，则．若，则的最小值是______． 12．已知集合且，定义，则的元素个数的最小值是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．若，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的真子集个数为 D． 14．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 15．存在使不等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知正实数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）设，求的值； （2）若是方程的两个实根，求的值. 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，集合． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 求下列的不等式的解集 (1)已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集； (2)求关于的不等式的解集． 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数 称为高斯函数，其中 表示不超过实数 的最大整数，如 ，． (1)求 的解集和 的解集； (2)求方程 的解集； (3)若 的解集为 ，求 的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合、（不必写出计算过程）． (2)若集合，，且，求证：． (3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $