第二十八章 旋转--旋转与全等三角形性质综合问题、旋转与特殊四边形性质综合问题 专项训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

旋转与全等三角形性质综合问题、旋转与特殊四边形性质综合问题专项训练 旋转与全等三角形性质综合问题、旋转与特殊四边形性质综合问题专项训练 考点目录 旋转与全等三角形性质综合问题 旋转与特殊四边形性质综合问题 考点一 旋转与全等三角形性质综合问题 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将绕点逆时针方向旋转得到， (1)若，求的度数； (2)如图，连接，交于点． ①若与在一条直线上，，，求的长； ②若，当的长度为________时，为等腰三角形． 例2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在中，，，点N为射线上一点（不与A、B重合），点M为线段上一点（不与A、C重合），，连接，将线段绕点M顺时针旋转，点A旋转到点D，连接． (1)当点N在线段上时，________，判定这两个三角形全等的依据是________（填或或或）； (2)当点N运动至线段延长线上时，当时，连接，证明是等腰直角三角形，并求出此时的长； (3)在点N运动过程中，当以A、N、M、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的长． 例3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系． (3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 变式1．（25-26九年级上·海南儋州·阶段检测）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 变式2．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，点为边上的动点，点为延长线上一点，连接． (1)如图1，若且，求线段的长度； (2)如图2，若且点为边上的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点在运动过程中，当最小时，将绕点逆时针旋转角度得到，在旋转过程中，当直线与直线形成的夹角为时，延长、相交于点，在射线上取一点，连接、，使，请直接写出此时的度数． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图3，都是等边三角形，点D、E分别是边上的点，将绕点A旋转，与所在的直线交于点F． (1)将绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于，如图1，的度数为______； (2)如图2，若，的延长线交于点P，交于点G，探究：n为何值时，点P恰好是中点？证明你的结论； (3)若，当绕点A旋转时，且为直角三角形，线段的长为______（在图3中探究）． 考点二 旋转与特殊四边形性质综合问题 例1．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． (1)【特例感知】 如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是 ； (2)【类比探究】 如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 例2．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 例3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点． [问题解决] (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 变式1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． (2)深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． 变式2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； (2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； (3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 变式3．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，的平分线交于点，交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)猜想，与的数量关系，并说明理由； (3)若，求的面积最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $旋转与全等三角形性质综合问题、旋转与特殊四边形性质综合问题专项训练 旋转与全等三角形性质综合问题、旋转与特殊四边形性质综合问题专项训练 考点目录 旋转与全等三角形性质综合问题 旋转与特殊四边形性质综合问题 考点一 旋转与全等三角形性质综合问题 例1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在等腰直角三角形中，，．点，分别为，的中点，为线段上一动点不与点，重合，将绕点逆时针方向旋转得到， (1)若，求的度数； (2)如图，连接，交于点． ①若与在一条直线上，，，求的长； ②若，当的长度为________时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2)①；②2或 【分析】（1）利用三角形中位线性质得到，求出；结合等腰直角三角形底角算出；再由旋转全等得到，求出角度． （2）①先证；由旋转性质得为等腰直角三角形，勾股定理求；由旋转得；根据求出；设，则，，在中勾股定理列方程求解． ②由求出相关边长；为等腰三角形，分、、三种情况分类讨论，分别计算的长度． 【详解】（1）解：点，分别为，的中点， ， ， 是等腰直角三角形，，， ， ， 将绕点逆时针方向旋转得到， ， ， ， （2）解：①如图， ， ，， ， ， ， 由旋转得：，， 为等腰直角三角形， ， 是中点，， ， ，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ； ②如图，连接， ， ，， ∴， ， ，分别为，中点， ，，， 由旋转得：，，， ， ， ， ， ，， 等腰直角三角形， ． 分三种情况讨论为等腰三角形： 当时，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别为，的中点，， ∴， ∴． 当时，， ∵，， ， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴． 当时，，如图， ∴， ∴，此时点与点重合，不符合题意． 综上：的长度为或． 例2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）在中，，，点N为射线上一点（不与A、B重合），点M为线段上一点（不与A、C重合），，连接，将线段绕点M顺时针旋转，点A旋转到点D，连接． (1)当点N在线段上时，________，判定这两个三角形全等的依据是________（填或或或）； (2)当点N运动至线段延长线上时，当时，连接，证明是等腰直角三角形，并求出此时的长； (3)在点N运动过程中，当以A、N、M、D为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2) 证明：如图所示，过点D作于点E， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴，； ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形； 在中，由勾股定理得． (3)2或 【分析】（1）由旋转的性质可得，则可利用证明； （2）过点D作于点E，由旋转的性质可得，证明是等腰直角三角形，得到；证明是等腰直角三角形，得到；根据题意可得，；由角平分线的性质得到，证明，得到，据此可证明是等腰直角三角形；在中，由勾股定理得； （3）可证明，则为以A、N、M、D为顶点的四边形的一组对边，则可推出，进而得到；再分两种情况：点N在上和点N在的延长线上，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）略 （3）解：由旋转的性质可得， ∴， ∴，即， ∵以A、N、M、D为顶点的四边形为平行四边形， ∴为以A、N、M、D为顶点的四边形的一组对边， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当点N在上时，过点D作，交的延长线于点E， 同（2）可得， ∴， ∴； 如图所示，当点N在的延长线上时， ∵四边形是平行四边形， ∴； 综上所述，的长为2或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 例3．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． (1)如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段和的数量关系． (3)如图3，在四边形中，，是对角线，若，，求的长． 【答案】(1) 解：，理由： 由旋转可知， ， ， ， ， ． (2) 如图，过点作， 则， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，推出，，然后可求得，利用勾股定理得到，即可得到答案； （2）过点作，易证，，从而推出，，然后证得，可知，得到，结合勾股定理即可推出结论； （3）根据题意可知是等边三角形，则将绕点顺时针旋转得到，连接，则有，，进而得到为等边三角形，然后结合已知易得，从而根据勾股定理得到，即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 是等边三角形， ， ∴将绕点顺时针旋转得到，连接，如图， 由旋转的性质知，， 则为等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质和判定，灵活运用以上知识点并利用辅助线构建全等三角形是解题的关键． 变式1．（25-26九年级上·海南儋州·阶段检测）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ； (3)． 【分析】（）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 变式2．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，点为边上的动点，点为延长线上一点，连接． (1)如图1，若且，求线段的长度； (2)如图2，若且点为边上的中点，连接，求证：； (3)如图3，，点在运动过程中，当最小时，将绕点逆时针旋转角度得到，在旋转过程中，当直线与直线形成的夹角为时，延长、相交于点，在射线上取一点，连接、，使，请直接写出此时的度数． 【答案】(1) (2) 证明：如图，在上截取，连接，过点作于点，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）设，根据三角形内角和定理得出，进而得出，根据，求得，进而分别求得，根据等角对等边，即可得证； （2）在上截取，连接，过点作于点，则，证明，，根据全等三角形的性质以及线段的和差关系，即可得证； （3）作关于的对称点，则，则在的延长线上，两点重合，延长交于点，得出当时，取得最小值，进而画出图形，设，则，，延长交于点，交于点，证明是的角平分线，是等腰直角三角形，则，，再证，进而得出，则是等腰直角三角形，再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， 设， ∴ ∵且， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，∵， ∴， 作关于的对称点，则，则在的延长线上，两点重合， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值， 延长交于点， ∴， 设，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴ 如图，延长交于点，交于点， 当时， ∵， ∴， ∵旋转， ∴， 在中，， ∴， ∴是的角平分线， 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴． 当时，不满足， 如图， 综上所述，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形外角的性质，垂线段最短，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图3，都是等边三角形，点D、E分别是边上的点，将绕点A旋转，与所在的直线交于点F． (1)将绕点A逆时针旋转，且旋转角不大于，如图1，的度数为______； (2)如图2，若，的延长线交于点P，交于点G，探究：n为何值时，点P恰好是中点？证明你的结论； (3)若，当绕点A旋转时，且为直角三角形，线段的长为______（在图3中探究）． 【答案】(1) (2) 当时，点为的中点，证明如下： 作，交的延长线于点， 由（1）知：， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点为的中点； (3)或 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握手拉手模型是解题的关键： （1）证明，得到，设交于点，得到，进而得到即可； （2）当时，点为的中点，作，交的延长线于点，证明，得到，即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设交于点，则， ∴； （2）略 （3）如图，当时， 由（1）可知：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，则， 同（1）法可知，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：或． 考点二 旋转与特殊四边形性质综合问题 例1．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点A，点C重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点E，与边交于点F． (1)【特例感知】 如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是 ； (2)【类比探究】 如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含k的代数式表示）； (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，连接，，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得，得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得，即可得出答案； （3）连接交于点，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】（1）解：， 连接，如答图1所示． ∵ ， ∴菱形是正方形． 又∵， ∴点为正方形对角线的交点． ∴，，． ∵菱形与菱形形状、大小完全相同， ∴． ∴，即． ∴． ∴． ∴ ． （2）解：如答图2所示，过点作 ，交于点G． ∵四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ∴，． ∴和均为等边三角形． ∴，． ∵， ∴． ∴ 是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （3）解：连接，连接交于点，如答图3所示． ∵四边形是菱形， ∴，即． ∴． ∴． ∴． 当点在线段上时，如答图3所示，则． ∴． 由（2）可知． ∴． ∴， ∴． 当点在线段上时，连接，如答图4所示， 则． ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度为或． 例2．（26-27九年级上·山西晋中·阶段检测）综合与探究 问题情境：已知四边形为矩形，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，直线与直线交于点． (1)推理证明：如图1，当点落在的延长线上时，求证：． (2)猜想验证：如图2，当点落在的延长线上时，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸：若，，点在射线上，连接，当是以为底边的等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形为矩形， ， ， 由旋转的性质可得，，， ，， ，即， 在和中， ， ． (2)．理由如下： 如图，连接，， 四边形为矩形， ，， ， 由旋转的性质可得，，， ，， 在和中， ， ， ． (3)或 【分析】（1）利用旋转性质得到边、角相等，推导出两组角相等，然后用证明三角形全等； （2）连接、，借助旋转和等腰三角形的性质得到相等线段，利用证三角形全等，得出； （3）分两种情况讨论，算出，由等腰条件得，求出，在中用勾股定理求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当是以为底边的等腰三角形时，有两种情况： 如图，当点落在线段上时， 根据题意可知，，，， ， 是以为底边的等腰三角形， ， ， ； 如图，当点落在线段的延长线上时， 同上可知，， ，， ， 综上，的长为或． 例3．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）[问题情境]如图1，为正方形内一点，，，，将绕点按逆时针方向旋转度（），点的对应点分别为点． [问题解决] (1)如图2，在旋转的过程中，当点落在上时，求此时的长； (2)若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在绕点A逆时针旋转任意角度的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是正方形； 理由如下：将绕点按逆时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，， ，，， 又延长交于点F， ， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形； (3)． 【分析】（1）先求出的长度，再求出的长度，最后用减去得到的长． （2）根据旋转的性质得到相关边和角的关系，再结合已知条件进行判断． （3）找到点的运动轨迹，根据点与圆的位置关系来确定的最大值． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 将绕点按逆时针方向旋转度，点，的对应点分别为点，，且点落在上， ， ； （2）略 （3）解：是固定值，点是定点，点是动点， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，如图， 当点、、依次共线时，最大， 此时，， 即线段长度的最大值为． 变式1．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断：小红将两个完全相同的矩形纸和拼成“L”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． (2)深入探究：小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：①若矩形绕点C顺时针旋转，当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②，求的面积． 探究二：②若矩形绕点C逆时针旋转，边与边交于点M，连接，当时，如图③．请直接写出m的值． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)探究一；；探究二：30 【分析】（1）首先明确两个矩形完全相同，运用矩形性质证明，得，即得，结合三角形边和角的特征判断形状． （2）探究一：由点在延长线上与矩形性质证明，得到，可得，，设 ，由，得，解得 ，结合三角形面积公式求解．探究二：取的中点H，连接，由已知条件可得，由平行线性质得，即得，根据等角对等边得，得，是等边三角形，可得，可得． 【详解】（1）解：∵两个矩形完全相同， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形． （2）解：探究一： ∵点在延长线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设 ，则， 在中，由勾股定理：， ∴， 解得 ， ∴ 。 ∴ ． 探究二： 取的中点H，连接， ∵， ∴， 由条件 ， ∵ ， ∴ 。 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式2．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）菱形中，，E是边上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到． (1)如图1，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，连接，求的长； (2)如图2，，连接菱形对角线，若E是边上的中点，，过点F作于点H，交于点G，连接，求的面积； (3)如图3，，若E与C重合，P是边上一点且，将沿翻折得到，点D的对应点恰好与点F重合，延长交延长线于点Q，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合菱形的性质，证明，即可得解； （2）连接交于点，证明是等边三角形，证明，即可求出结论； （3）连接，作于点，证明是等边三角形，设，根据勾股定理列方程求出即可． 【详解】（1）解：由题意知，菱形中，，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接交于点，如图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵E是边上的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，作于点， 在菱形中，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， 设， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∵， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 变式3．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，的平分线交于点，交延长线于点． (1)若，求的度数； (2)猜想，与的数量关系，并说明理由； (3)若，求的面积最大值． 【答案】(1) (2)解：，理由： 连接， ∵旋转， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴，， 又，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴； (3) 【分析】（1）根据旋转的性质、正方形的性质可求出，根据角平分线的定义求出，最后根据角的和差关系求解即可； （2）仿照（1），，导角求出，证明，得出，，在中，根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； （3）由（2）可得，连接交于O，连接，过O作于H，连接，当G、O、H三点共线时，最大，最大值为，即可求解． 【详解】（1）解∶∵旋转， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知：， ∴， 连接交于O，连接，过O作于H，连接 ∵正方形中，， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴当G、O、H三点共线时，最大，最大值为， ∴的最大面积为， 又， ∴的最大面积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $