第二十八章 旋转全章重难题型突破（六大高频+五大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“概念-模型-综合”为逻辑主线，系统整合旋转基础题型、核心模型与压轴应用，提炼旋转构造、手拉手全等、半角模型等解题方法，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|6类高频题型|旋转三要素识别、坐标变换规律|从旋转概念到性质应用，构建基础认知| |核心提升|5类重难题型|手拉手模型构造、旋转最值转化、半角模型证明|以模型为载体，深化旋转性质与全等应用| |综合攻坚|多题型综合题|跨模块知识整合、动态问题分析|综合运用旋转思想解决复杂几何问题|

第二十八章 旋转全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 旋转的识别与三要素 题型2 旋转角与对应关系的确定 题型3 旋转求线段长度（勾股定理） 题型4 中心对称与中心对称图形的判断 题型5 关于原点对称的点的坐标 题型6 坐标系中绕原点旋转90°的坐标变换 核心提升·重难题型归纳 题型1 旋转作图（网格作图） 题型2 旋转与最值（压轴） 题型3 手拉手模型（旋转全等证明） 题型4 等边三角形旋转构造（旋转拼接） 题型5 旋转与正方形半角模型（压轴） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 旋转的识别与三要素 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴旋转角就是对应点与旋转中心连线的夹角，也就是． ∵， ∴． 即旋转角为． 3．（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到．则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接、，作、的中垂线，、的中垂线交于点， 由图知，点的坐标为． 4．（2026·山东淄博·二模）如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 【答案】 【详解】如图，连接，分别作出的垂直平分线，交点为， 故该旋转的旋转中心是点． 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ 【答案】 【详解】解：四边形是正方形， ， 以点为中心把顺时针旋转得到，而旋转角是指对应线段的夹角， 就是旋转角， 旋转角的度数是， 故答案为：． ◆题型2 旋转角与对应关系的确定 6．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将绕顶点逆时针旋转得到， ， ， 是的外角， ， ． 7．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵绕点逆时针旋转，得到， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 9．（26-27九年级上·山东日照·开学考试）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ， ． 10．（2026·宁夏·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 【答案】95 【详解】解：绕点顺时针旋转， ，， ， ， ． 11．（2026·四川成都·三模）如图，将绕点A顺时针旋转后得到，点B与点D是对应点，点C与点E是对应点．如果，那么________． 【答案】 【详解】解：∵由旋转可知：， ∵， ∴． ◆题型3 旋转求线段长度（勾股定理） 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：如图，连接，延长交于点M， 由旋转的性质得：，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上． 由旋转性质可知：，， ∵， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 13．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【答案】 【详解】解：在中，，，， ，， ， 由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， 旋转角， 在中，，， ， 是直角三角形， ∴． 14．（2026·江西鹰潭·一模）一副三角板按图1放置，O是边（）的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，设交于点， 由题意得， ， ∵点是边的中点， ∴， ∵绕点顺时针旋转，且， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 15．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． 【答案】或 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，点D为边中点，， ∴，，， ∴， ∵为直角三角形， ∴当点P在线段上时，如图， ∴， ∴； 当点P在延长线上时，如图， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． ◆题型4中心对称与中心对称图形的判断 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 17．（26-27九年级上·北京·开学考试）现有一组平面绘图作品，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 18．（26-27九年级上·北京·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 19．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． ◆题型5关于原点对称的点的坐标 20．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点的坐标为， 点关于原点的对称点的坐标为． 21．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为． 22．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，点关于原点的对称点的坐标为， ∴，， ∴． 23．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：点关于原点的对称点为点， ∵点在第三象限，且， ∴， 解得． 24．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点． 因为是边长为2的等边三角形， 所以． 因为， 所以． 在中，由勾股定理得． 因为点在第二象限，所以点的坐标为． 因为是以原点为中心作中心对称得到的，所以点与点关于原点对称． 所以点的坐标为． ◆题型6坐标系中绕原点旋转90°的坐标变换 25．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴， ， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点在第二象限， ． 26．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】过点B作轴于点C， 是边长为2的等边三角形， ，， 在中，，， ． 将点B绕点O逆时针旋转，根据坐标旋转规律：点绕原点逆时针旋转后的坐标为， 可得， 因此点的纵坐标为，对应选项为B． 27．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】解：由旋转的性质可知：， 设直线的函数解析式为， 把代入得，解得， 直线的函数解析式为 设直线的函数解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的函数解析式为， 联立，解得， ， 将点向左平移2个单位长度得到点， ． 28．（2026·河南新乡·二模）传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：风车平均每4秒转一圈，1005秒转动（圈）， 即风车在转动251圈后，又转动圈， 如图，，过、分别作、垂直于轴垂足分别为、， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， 在和中， ， ∴，， ∵是第四象限的点， ∴ ◆题型1 旋转作图（网格作图） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 点的坐标为 2．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【详解】(1)解：如图，即为所求；点的坐标为； (2)解：如图，即为所求； （3）解：如图，点即为所求，由图可知. 4．（2026·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． 【答案】(1)解：下图为所求： (2)解：下图线段为所求： (3) 下图线段为所求，点的坐标为 ◆题型2 旋转与最值（压轴） 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点分别作轴于点、轴于点， 以为对称轴，作点的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点是点关于的对称点， 根据“将军饮马”可知， 当、、三点共线时，且轴，的值最小， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：B． 6．（2026·辽宁营口·一模）如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， 过F作于H，设， ∵绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取最小值为72， ∴的最小值为． 7．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作，则．    设()． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，． ∴． 又， ∴． 在和中：， ∴． ∴， ∴， ∴的面积， ∵是关于的二次函数，图象开口向下，， ∴当时，面积取得最大值：， 故选：A． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 9．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为直角三角形，，，，连接，G为的中点，连接，将在平面内绕点B自由旋转，则的最小值为____________，最大值为_____________． 【答案】 【详解】解：如图1，作关于直线的对称图形得到， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ， 过点B作于点P， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴在中， ， ， ∴， ， 在中， ， 当B、H、D三点共线时，取最小值，此时，的值最小， 则， ∵，G为的中点， ∴为的中位线， ． 如图2，当D、B、H三点共线时最大，最大值为． 10．（2026·广东汕头·二模）如图，点A在直线上，点M的坐标为，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，在直线上找一点，连接，作点关于的对称点，连接，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为， 由性质可得，，， 由点，是关于的对称点可得，， 显然由图可知，当，，三点共线且垂直于轴时最短， 此时 ◆题型3 手拉手模型（旋转全等证明） 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中，， ， ∴． （2）解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（1）知， 12.已知中，对角线、相交于点，，． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得． （2）证明：∵，，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 13.如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证： (1)，； (2)． 【答案】(1) 证明：如图，设与交于点M，与交于点N． 四边形和四边形都是正方形， ，，， ， ， ，． ， ，即； (2) 证明：如图，连接，． ， ， ， ． ，． ． 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ． 14.【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【答案】 （1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作，，垂足分别为，，∴， 又∵平分，， ∴，， 在四边形中，， 又∵，∴， 又∵，∴， 又，，∴，∴． ◆题型4 等边三角形旋转构造（旋转拼接） 15．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 【详解】（1）解：把绕顶点旋转到处，连接，此时， ∴，，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，； 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转至处，连接， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴四点共线， ∴， 在中，， ∴； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∴当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 16.（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 17．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 【详解】解：（1）①结论：，． 证明：如图，设交于点，交于点， ∵ ． ∴，即， 又∵，， ， ， ， ， ，即， 综上所述：，． ②的面积与的面积相等， 如图，过D作于Y，过B作于X，   ， ∵， ， 又∵， ， ， ∵，，， ，即， 的面积与的面积相等， （2）①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 18.（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    【详解】解：（1）①如图，    和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ∴． 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为． ②≌， ． 故答案为． （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，，， ∴． （3）如图，由（1）知，    ， ， ， 如图，同理求得    ∴， ， 的度数是或 ◆题型5 旋转与正方形半角模型（压轴） 19.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 【详解】解：（1）根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°， 在△ADF和△ABG中 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF=AG，∠DAF=∠GAB， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠EAB=45°， ∴∠GAB+∠EAB=45°， ∴∠GAE=∠EAF =45°， 在△AGE和△AFE中0 ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴GE=EF， ∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF 20.阅读下面材料． 小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点A逆时针旋转90°得到，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： (1)写出小炎的推理过程； (2)如图3，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边上，，若、都不是直角，则当与满足于__________关系时，仍有； (3)如图4，在中，，，点D、E均在边BC上，且，若，，求DE的长． 【答案】(1) 如图所示，将绕着点A逆时针旋转90°得到， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴，即三点共线， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：当时，仍有，理由如下： 如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴， ∵， ∴，即三点共线， ∵ ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵， ∴，， ∴，，即，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 21．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 22.已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）DF＝BE+EF， 证明：将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 23.如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)证明：如图，将绕点逆时针旋转 得到， 则：， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； (3)，理由如下： 如图，将绕点逆时针旋转 得到，连接， 则：，， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴（SAS）， ∴， ∴． 一、单选题 1．（2026·福建三明·模拟预测）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意 D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，设与交于点， 由旋转可知，，， ， 在中，， 在中，， ， ． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设与x轴相交于C， ∵是等边三角形，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴在中，， ， ∵，即轴，且在第四象限， ∴点的坐标为． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由旋转，得，∴A正确； B、由旋转，得，∴B正确； C、由旋转，得，∴C正确； D、∵， ， ． ∴D错误． 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点B的坐标为， ∴， ∴A点坐标为， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 依此规律， ∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环， 即，，，． ∵， ∴点与同在一个象限内． ∵，，， ∴点． 8．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 二、填空题 9．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：在中，，， ∴， ∵将绕着点逆时针旋转得到， ∴，， ∵点落在上， ∴， ∴． 10．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，将绕点C逆时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴ ∴ 故答案为∶． 11．（24-25九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为_____． 【答案】1 【详解】解：过点作于点， ∴， ∴， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 将边绕点逆时针旋转至， ， 又， ， ∴，即 ， ， 解得或（舍去）， ∴． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 根据题意可知，， 为等边三角形，是边上的高线， ∴，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 当，取得最小值， 在中，，， ， 的最小值为． 13．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_______． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示， 四边形是正方形，点坐标为， ，， 点坐标为， ， 每次顺时针旋转，旋转一周需次， 点的对应点坐标每次为一个循环周期 依次推导前几次旋转后点对应点的坐标： 第次旋转，点在轴正半轴，坐标为， 第次旋转，点在第四象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴负半轴，坐标为 ， 第次旋转，点在第三象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴负半轴，坐标为， 第次旋转，点在第二象限角平分线上，坐标为 ， 第次旋转，点在轴正半轴，坐标为， 第次旋转，点回到第一象限角平分线上，坐标为 ， ， 点的坐标与点的坐标相同 ， 点的坐标为． 三、解答题 14．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 【详解】（1）坐标关于原点对称 ，，，在坐标系中依次找到，连接，，； 如图所示； (2) 如图所示，点坐标为． 15．（2026·广东广州·中考真题）在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 【详解】（1）解：正方形绕它的中心旋转或或能与自身重合，它是旋转对称图形， 如图，点即为正方形的旋转中心； 旋转角的度数可以是或或（答案不唯一）； （2）解：连接，，， ，，， ， ， 图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， 其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为， ； ， 由全等可得， ， 同理：， 点，，，在同一直线上， ， ； (3) （答案不唯一） 16．（2026·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ，即， ， ，解得， ，， 四边形是矩形， ，， ； （2）解：由（1）得， ， 把，代入得，解得， ， 令得，解得， ； （3）解：， 应取轴正半轴上的图象在上方的部分， 当时，． 17．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点F作，交延长线于点G， 在菱形中，， 四边形是正方形，， ，， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 即， ， ， 又， ； （2）解：如图，延长到点G，使，连接， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， 即， ， 由旋转的性质得，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点N作于点N，且使，连接PM， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 取中点H，连接，， ，， ， ， 由两点之间线段最短得，且当N、H、F共线时， 取得最大值为． 18．（2026·山东潍坊·三模）综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图： ∴， ， ， ∴， ， ， ， ∴点E、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，边长为3的正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即； （3）解：如图，过D作，且，连接并延长交于K， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ． 19．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转，得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：将绕点B逆时针旋转得线段． ，， 又， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， ． (2) ，理由如下： 如图，延长使． 是的中线， ， 是的中位线， ， 将绕点B逆时针旋转得线段． ，， ，即， 又， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：情况一：设与的交点为G，过B点作于H点． ，， ， 又，， ，． 设，则，则，解得， ， ， ， 若， ，由（2）知， ， ，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，，， 由（2）知． 情况二：当在右侧时，如图，过点E作交的延长线于T， 则， ， 是中点， 是的中位线， ， 综上，或． 20．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】 如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角（），当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】 如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． (1) ； (2)若，则 ， ； 【推广探究】 某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的数量关系，小红和小明经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 小红：如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； 小明：如图4，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题． (3)请根据以上其中的任一种思路，完成探究过程，说明与的关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)在旋转过程中，当为面积的时，的值为 ．（画出图形） 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，过点F作交延长线于点，设交于点N， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：，理由如下： 小明思路：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 小红思路：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴当为面积的时，， 由（3）小红思路得，， ∴， ∴，即， ①当时，如图，作的中点P，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图 同理可得， ∴， 综上，的值为或． 21．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 【详解】（1）①．理由如下：设分别交，于点， ∵四边形与四边形均为正方形， ． ，即， ， ， ． ， ． ； ②如图3，过点作于，过点作直线于， ， ， 又， ， ， ， 当有最大值时，四边形面积有最大值， 即当时，有最大值为， 四边形面积的最大值为； （2）解：如图4，连接，， 点，，，分别是，，，的中点， ，，，，，，，， 由（1）知，， ， 四边形为菱形， 由（1）知， ∵，， ∴，即， 菱形为正方形； 如图5，当，，三点在同一条直线上时，，，三点也在同一条直线上， 此时正方形的面积最大， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十八章 旋转全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 旋转的识别与三要素 题型2 旋转角与对应关系的确定 题型3 旋转求线段长度（勾股定理） 题型4 中心对称与中心对称图形的判断 题型5 关于原点对称的点的坐标 题型6 坐标系中绕原点旋转90°的坐标变换 核心提升·重难题型归纳 题型1 旋转作图（网格作图） 题型2 旋转与最值（压轴） 题型3 手拉手模型（旋转全等证明） 题型4 等边三角形旋转构造（旋转拼接） 题型5 旋转与正方形半角模型（压轴） 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 旋转的识别与三要素 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（    ） A．地下水位逐年下降 B．传送带的移动 C．升国旗的过程 D．工作中的风力发电机叶片 2．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，由绕点旋转得到．则点的坐标为（     ）． A． B． C． D． 4．（2026·山东淄博·二模）如图，在正三角形网格中，若以D，E，F，M，N中的一点为中心，将按某个方向旋转一定的角度，得到，则该旋转的旋转中心是点________． 5．（24-25九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是________ ◆题型2 旋转角与对应关系的确定 6．（26-27九年级上·北京西城·开学考试）如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且刚好经过点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·山东日照·开学考试）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，交于点．当时，点恰好落在上，此时的度数为_____________． 10．（2026·宁夏·中考真题）如图，将绕点顺时针旋转，得，若，，则__________． 11．（2026·四川成都·三模）如图，将绕点A顺时针旋转后得到，点B与点D是对应点，点C与点E是对应点．如果，那么________． ◆题型3 旋转求线段长度（勾股定理） 12．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知中，，，将绕点顺时针方向旋转得到的位置，连接，则的长为（     ） A． B． C． D．2 13．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 14．（2026·江西鹰潭·一模）一副三角板按图1放置，O是边（）的中点，．如图2，将绕点O顺时针旋转，与相交于点G，则的长是_____． 15．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，等边中．，点D为边中点，点P为边上一点，且，将绕点A在平面内旋转，连接，，若为直角三角形，则的值为___________． ◆题型4中心对称与中心对称图形的判断 16．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 17．（26-27九年级上·北京·开学考试）现有一组平面绘图作品，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·北京·开学考试）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 19．下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A． B． C． D． ◆题型5关于原点对称的点的坐标 20．（25-26九年级上·陕西安康·期中）已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是（     ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级下·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为（     ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知点关于原点的对称点的坐标是，则的值为___________． 23．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）点关于原点的对称点在第三象限，那么m的取值范围是______． 24．（2026·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴负半轴上，是边长为2的等边三角形，将以原点为中心作中心对称，得到，则点的坐标是____________． ◆题型6坐标系中绕原点旋转90°的坐标变换 25．（2026·湖北荆州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将绕点逆时针旋转，点落到点处．若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26九年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，将边长为2的等边绕点O逆时针旋转得到，则点的纵坐标是（   ） A．1 B． C． D． 27．（2026·四川广安·中考真题）已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． 28．（2026·河南新乡·二模）传统荷兰风车有四个扇叶，绕着轮毂顺时针旋转，每两个扇叶之间的夹角是，平均每4秒转一圈．如图，将扇叶看作四条线段，以四个扇叶相交处为原点，建立平面直角坐标系，一个扇叶的顶点的坐标为，若风车转速不变，1005秒后点转到点处，则点的坐标为______． ◆题型1 旋转作图（网格作图） 1．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)将向左平移5个单位长度得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，点、、的对应点分别为、、，请在图中画出，并写出点的坐标． 2．（26-27九年级上·山东滨州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． (1)将向轴负半轴方向平移个单位得到，画出图形并直接写出点的坐标； (2)以原点为旋转中心，将顺时针旋转后得到，画出图形并直接写出点的坐标． 3．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将先向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标． (2)将绕原点逆时针旋转得到，按要求作出图形． (3)如果通过旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标． 4．（2026·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），点，，的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)将线段向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转，得到线段，直接写出点的坐标． ◆题型2 旋转与最值（压轴） 5．（2026·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，点在轴正半轴上，是对角线上的动点，是轴上的动点．当的值最小时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·辽宁营口·一模）如图，矩形中，，点E是边上任意一个点，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，则线段最小值为（   ） A． B． C． D．8 7．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点是正方形的边上一动点(点不与点，重合)，连接，以为旋转中心，将顺时针旋转后，点与点对应，连接，，若，则面积的最大值为(　　)    A． B． C．3 D． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 9．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在平行四边形中，，为直角三角形，，，，连接，G为的中点，连接，将在平面内绕点B自由旋转，则的最小值为____________，最大值为_____________． 10．（2026·广东汕头·二模）如图，点A在直线上，点M的坐标为，则的最小值为_____． ◆题型3 手拉手模型（旋转全等证明） 11．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，是等边三角形，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 12.已知中，对角线、相交于点，，． （1）如图1，若，求的长． （2）如图2，过点作于点，连接，过点作交于点，求证：． 13.如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，．求证： (1)，； (2)． 14.【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2） 张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． ◆题型4 等边三角形旋转构造（旋转拼接） 15．（26-27九年级上·陕西宝鸡·开学考试）按要求完成以下问题 (1)【初步感知】如图1，等边三角形内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，连接，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出_________． (2)【尝试运用】如图2，在中，，，，为内一点，连接，，，且，求的值． (3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，是内一点，求的最小值． 16.（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 17．（25-26九年级上·河南新乡·期中）【课本再现】如图，，都是等边三角形．与有什么关 系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？(不用解答) 【探究应用】 （1）如图2，，都是等腰直角三角形， ，， ． ①写出与的数量关系和位置关系： ； ②的面积与的面积相等吗？并说明理由． 【问题解决】 （2）如图，将绕点A逆时针旋转得到点恰好落在 上，与交于点 ．若与关于直线对称，且，，则 ①∠= ° ②线段的长是 ． 18.（1）问题发现：如图，和均为等边三角形，当旋转至点，，在同一直线上，连接．填空：    ①的度数为 ； ②线段、之间的数量关系是 ． （2）拓展研究：如图，和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，若，，，求、、之间的数量关系．    （3）探究发现：（1）题中图中的和，在旋转过程中当点，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．    ◆题型5 旋转与正方形半角模型（压轴） 19.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． （1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG； （2）证明：EF＝BE＋DF 20.阅读下面材料． 小炎遇到这个一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中，她先尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点A逆时针旋转90°得到，再利用全等的知识解决这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： (1)写出小炎的推理过程； (2)如图3，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边上，，若、都不是直角，则当与满足于__________关系时，仍有； (3)如图4，在中，，，点D、E均在边BC上，且，若，，求DE的长． 21．如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 22.已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 23.如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N． (1)如图1，求证：； (2)当，时，求的面积； (3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 一、单选题 1．（2026·福建三明·模拟预测）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（     ） A．B． C． D． 2．（2026九年级上·全国·专题练习）若点与点关于原点对称，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）数学之美藏于几何图形，对称之妙尽显平衡智慧．下列图形分别是“赵爽弦图”“双黄金螺旋”“科赫曲线”“斐波那契螺旋点”，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，将绕点逆时针旋转得到，若点在边上，则的大小是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图所示，边长为2的等边三角形的边在轴上，将绕原点逆时针旋转得到等边三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角位置如图，，点B的坐标为，每一次将绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到，第二次旋转得到，…，以此类推，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，使点落在上．若，则的度数为________． 10．（25-26九年级·全国·一轮复习）如图，将绕点C逆时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，点落在边上，连接，若，，，则的长为______． 11．（24-25九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，则线段的长度为_____． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在等边中，，是边上的高线，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值为___________． 13．（26-27九年级上·北京东城·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点连续旋转次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为_______． 三、解答题 14．（26-27九年级上·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出绕原点逆时针旋转后的，并写出点的坐标． 15．（2026·广东广州·中考真题）在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 16．（2026·山东青岛·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 17．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在菱形中，，点E是边上一点，连接，将线段绕点E顺时针旋转α得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，求的度数（含α的代数式表示）； (3)如图3，，，点M是边上一动点，连接，若，N是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 18．（2026·山东潍坊·三模）综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 19．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转，得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 20．（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）【问题背景】 如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角（），当线段与不共线时，记的面积为，的面积为． 【特例分析】 如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． (1) ； (2)若，则 ， ； 【推广探究】 某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的数量关系，小红和小明经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 小红：如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； 小明：如图4，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题． (3)请根据以上其中的任一种思路，完成探究过程，说明与的关系，并说明理由． 【拓展应用】 (4)在旋转过程中，当为面积的时，的值为 ．（画出图形） 21．（25-26九年级上·陕西安康·期中）综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形与边长为的正方形按如图1所示的位置放置，与在同一条直线上，与在同一条直线上．连接，，易得且（不需要说明理由）． (1)如图2，小明将正方形绕点逆时针旋转，旋转角为． ①连接，判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； ②在旋转过程中，如图3，连接，，，，求四边形面积的最大值． (2)如图4，分别取，，，的中点，，，，连接，，，，则四边形的形状为_____，四边形面积的最大值是_____． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $