高一数学上学期期中模拟卷02（范围：集合、逻辑、不等式、指对数运算、函数）高一数学上学期苏教版必修第一册

面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 6 C A B D B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 ABD AD AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 3 13 12.7 00 12 2-1 14.3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【详解1aa6中xa-(0ba6+-a =ab1-(a2b3abi)+|-al 3分 =ab-ab+a=a: …6分 (2)1og25×1og14+(lg5P+lg2×(lg5+1) =10g25x(-1ogs4)+(1g5)2+lg21g5+lg2 =log25×(-2log52)+(1g5)(1g5+lg2)+lg2 …9分 第1页共5页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =-2+lg5lg10+lg2 =-2+lg5+lg2 =-2+lg10 …12分 =-2+l =-1. …13分 16.(15分) 【详解】(1)当a=5时，N=x4≤x≤11儿， …2分 且cuM={x-5<x<8l, …4分 因此，(CuMON={x4≤x<8g …6分 (2)因为MnN=N,所以NcM! …7分 当N=☑，即a-1>2a+1,即a<-2时， …8分 此时满足NCM,满足题意； 9分 当N≠0，即a-1≤2a+1,即a≥-2时， …10 分 要使NCM,则2a+1≤-5或a-1≥8，即a≤-3或a≥9， …12分 又a≥-2，所以a≥9； …14分 所以实数a的取值范围为-oo,-2U9,+o∞. …l5 分17.(15分) 【详解】(1)每辆车售价5万元，年产量x（百辆)时销售收入为500x万元， 10x2+100x+20000<x<50 总成本为2000+Cx= 501x+8100-5000+2001x≥50l …3分 500x-10x2+100x+20000<x<50 所以L(x) 50x-501x+810-300x≥50 …5分 -10x2+400x-20000<x<50 -x- 100 +3000x≥50 -10x2+400x-20000<x<50 所以年利润L(x -x-8100 +3000x≥50 …7分 X (2)由(1)当0<x<50时L(x)=-10(x-20)2+2000, …8分 第2页共5页 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=20∈(0,50)（百辆）时L(xmax=2000(万元)， …10分 当x≥50时L(x)=- x+8100 +3000≤-2x 8100+3000=2820, X 当且仅当X=8100=90∈[50，+∞（百辆）时，等号成立， X …13分 因为2820万元>2000万元， 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. …15分 18.(17分) 【详解】(1)，f(1)=0,.b=a+1, ∴f(x)=ax2-(a+1)x+1, …1分 .Vx∈R,f(x)≥0恒成立， 即Vx∈R,ax2-(a+1)x+1≥0恒成立， 当a=0时，-x+1≥0不恒成立， 当a≠0时，则8之0」 a>0 △≤0'(a+12-4a≤0：解得a=1, …3分 f(x)=x2-2x+1,F(x)=(x-1,x>0) -(x-12,（x<0) …4分 (2)由(1)知fx)=x2-2x+1 k+2 ∴g(x)=f(x)-@=x2-(2+k)x+1,其对称为X= 2 …6分 k+223 由9x)在x∈[-3,3]上是单调函数知： k+2 -3， 解得k≥4或k≤-8. …8 分 (3),f(x)是偶函数，∴.由f(-x)=f(x)得b=0, 故fx)=ax2+1,F(x)={ax2+1,x>0 -(ax2+1),x<01 10分 a>0,∴f(x)在(0，+oo)上是增函数， …11分 对于F(x),当x>0时，-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x), 当x<0时，-x>0,F(-x)=f(-x=f(x=-F(x). …13分 ∴F(x)是奇函数，且F(x)在[0，+o∞)上为增函数. 第3页共5页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 …14分 .mn<0,∴.m,n异号， ①当m>0,n<0时，由m+n>0,得m>-n>0, .F(m>F(-n)=-F(n). …15分 ②当m<0,n>0时，由m+n>0,得n>-m>0, .F(n)>F(-m)=-F(m),即F(m)>-F(n). …16分 综上可知F(m)>-F(n). …17分 19.(17分) 【详解】（1)令fX=7X-8=X,则X2-6x+8=0,解得X=2或=4， X+1 …2 分 7x7x-8-8 令ffx=x,则 x+1 7x-8+1 =X,整理得x2-6x+8=0, X+1 解得x=2或x=4, 分 经检验知均满足条件，故函数fx的不动点和稳定点均为2和4. …5分 (2)(i)fx=x2+ax-1=x2+ax-a, 令ffx=x,得x2+ax-aP+alx2+ax-a-a=x, x2+ax-allx2+ax-a+a]-(x+al=0,x+alx+ax2-ax-1)=0, 所以x+alx-1x2+a+1x+1=0. …6分 ①当-a=1,即a=-1时，方程为x-12x2+1=0 解得x=1,此时fx有一个稳定点； …7分 ②当a≠-1时，x2+a+1x+1=0的判别式△=a+1-4. 若△=a+12-4<0,即-3<a<1时，此时fx有两个稳定点： 若△=a+12-4=0,即a=-3或a=1: …8分 当a=-3时，方程为x-3川x-13=0,此时fx有两个稳定点： …9分 当a=1时，方程为x-1x+13=0,此时fx有两个稳定点： 若△=a+1-4>0,即a<-3或a>1, 第4页共5页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (-a2+a+1川-a+1=1-a≠0且12+a+11+1=a+3≠0， 此时fx有四个稳定点： …10分 综上所述，当a=-1时，fx有一个稳定点： 当a∈-3，-1U-1,1时，fx有两个稳定点： 当a∈-o,-3U1,+o时，fx有四个稳定点. …11分 (i)由(i)知， 当a∈-3，-1U-1,1时，fx有两个稳定点为-a和1. …12分 因为vx∈n1,n2,2n1≤ffxl≤2n2,故取x=n1,得2n1≤ffn1l=n1, 解得n1≤0，所以n1=-a,n2=1,因为n1=-a≤0，解得a≥0， …13分 由(i)知a∈-3，-1U-1,1,故0≤a≤1，此时yx∈-a,1,-2a≤ffx≤2. 当0≤a≤1时，-a≤-号<1，令t=fx,当xe-a,1l时， f-d-af1-1f-1=-号-a.e等a,l 单调递增， 进到号-号小是+号号+11-引1f@ 商以se-号-o.ol,fe城引fa至al 即ffx的值域为 4-a,1 …15分 由题意得乙，解得0≤a≤1. 所以实数a的取值范围为0≤a≤1. …17 分 第5页共5页………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第1章~第5章。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则在“①， ②， ③，④”这四个式子中， 一定成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．不等式的解集是或，则的值是（    ） A．14 B．0 C． D． 6．如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 7．设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知函数满足，，则下列说法不正确的是（   ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围是 C．， D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则 11.已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是偶函数 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足关系⫋的集合的个数为__________. 13．函数的值域是____． 14．已知，都是正数，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）化简：； （2）计算：. 16．（15分）已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 17．（15分）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18．（17分）设函数． (1)若且对任意实数均有恒成立，求表达式； (2)在（1）在条件下，当时，是单调函数，求实数 的取值范围； (3)设且为偶函数，证明． 19．（17分）给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. (1)求函数的不动点和稳定点； (2)已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第1章~第5章。 5．难度系数：0.7 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则在“①， ②， ③，④”这四个式子中， 一定成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．不等式的解集是或，则的值是（    ） A．14 B．0 C． D． 6．如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 7．设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．已知函数满足，，则下列说法不正确的是（   ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围是 C．， D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 10．下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则 11.已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是偶函数 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足关系⫋的集合的个数为__________. 13．函数的值域是____． 14．已知，都是正数，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）化简：； （2）计算：. 16．（15分）已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 17．（15分）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18．（17分）设函数． (1)若且对任意实数均有恒成立，求表达式； (2)在（1）在条件下，当时，是单调函数，求实数 的取值范围； (3)设且为偶函数，证明． 19．（17分）给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. (1)求函数的不动点和稳定点； (2)已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】修改量词否定结论，可得结果. 【详解】“，”的否定是“，” ， 故选：A. 2．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】对数的真数大于零，分母不为零，被开方数大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. 【详解】欲使函数有意义，则，即 解得 故选：C. 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、交集的概念及运算 【分析】先求得集合，利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由集合， 又由，所以. 故选：A. 4．若，则在“①， ②， ③，④”这四个式子中， 一定成立的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式和绝对值不等式的性质，并结合特殊值代入验证，即可求得答案. 【详解】对于①，因为，所以，则，所以， 即，则正确，故①正确； 对于选项②，由，所以正确，故②正确； 对于选项③，由，取，则，不满足，故③错误； 对于选项④，取，则，不满足，故④错误. 所以四个式子一定成立的是个. 故选：B. 5．不等式的解集是或，则的值是（    ） A．14 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式解集得对应方程两根，然后利用一元二次方程的根与系数关系列式求解． 【详解】∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}， ∴一元二次方程2x2+mx+n＝0的两个根为3，﹣2． 由根与系数关系得，解得：m＝﹣2，n＝﹣12．所以. 故选：D． 6．如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数在区间上为单调递增函数， 当时，在上为单调递增函数，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：B. 7．设，，已知，，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解. 【详解】，， 又，则， 所以，，解得. 故选：C. 8．已知函数满足，，则下列说法不正确的是（   ） A．的取值范围为 B．若，则的取值范围是 C．， D．对任意满足条件的实数，均有函数的值域为 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】对于A，分析出要使定义在上的函数是减函数，进而由减函数的性质得出的不等式组，求出的取值范围，即可判断；对于B，C，利用函数在上的单调性，将不等式，转化为关于的不等式，求出的取值范围，即可判断；对于D，取符合题意的，得到函数的确切解析式并求出其值域，即可判断. 【详解】因为，， 所以，， 可得是上的减函数， 因为， 对于A，当时，， 对称轴为.且.所以要使定义在上的函数是减函数， 要使在上单调递减，则， 要使在上单调递减，则， 由函数是上的减函数，得， 即，解得，即的取值范围为，故A正确； 对于B，因为函数是定义在上的减函数，所以等价于， 解得.即的取值范围是，故B正确： 对于C，，即对所有的都成立， 因为函数是定义在上的减函数.所以，恒成立，故C正确： 对于D，由选项A可知，当，函数在上是减函数， 所以令，此时 当时，可得； 当时，因为. 所以在上单调递减，又，所以， 所以函数的值域为，不是，故D错误. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】由同一函数的概念，根据函数的定义域与对应法则是否相同，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，而的定义域为， 所以两函数定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数的定义域为R，而的定义域为， 所以两函数定义域不同，不表示同一函数； 对于C中，函数，两函数的定义域都是R，对应关系相同， 所以两函数是同一函数． 对于D中，的定义域为R，而的定义域为， 所以两函数定义域不同，不是同一函数； 故选：ABD． 10．下列结论中，所有正确的结论有（    ） A．若，则 B．当时，的最小值为 C．若，则的最小值为 D．若，，则 【答案】AD 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、由不等式的性质比较数（式）大小、条件等式求最值 【分析】利用不等式的性质及基本不等式，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】对于A，因为，所以， 因此在不等式两边同乘得，故A 正确； 对于B，当，即时， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B不正确； 对于C、令．因为，所以， 而，因此的最小值就是函数的最小值． 又因为由对勾函数的性质知：函数在是增函数， 当时，函数取得的最小值为，即的最小值为，故C不正确； 对于D，因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，因此，故D正确． 故选：AD. 11.已知定义在R上的函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．函数是偶函数 D．若，则 【答案】AC 【知识点】求函数值、判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用赋值法，令，可得，判断A；由题意可得函数奇偶性及单调性，由此判断B；由偶函数的定义判断C；根据的性质讨论当和时，的符号，判断D. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 令，得，所以，所以A正确； 令，则，即，所以函数是奇函数； ，当时，， 所以当时，，，即，所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减. 所以，所以B错误. 令，定义域为， 所以，都有. 所以是偶函数，所以C正确. 因为函数在上单调递减，且， 所以当时，；当时，. 即若，则 所以D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．满足关系⫋的集合的个数为__________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用子集和真子集的定义求解. 【详解】解：由题意得：集合A中一定含有1，2，3，可能含有0，4，5，但不同时含有0，4，5， 所以集合A的个数为：， 故答案为：7 13．函数的值域是____． 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【解析】换元法构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：. 故答案为：. 14．已知，都是正数，则的最小值是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】设，，解出，，代入化简得 ，利用基本不等式即可求出最值. 【详解】因为均为正实数，故设，，则 联立解得，， ， 当且仅当，即，即时取等号， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）化简：； （2）计算：. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据指数的运算法则进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1） ···································································3分 ； ···············································································6分 （2） ·······················································9分 ································································································12分 . ······································································································13分 16．（15分）已知集合为实数集，或，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】（1）利用补集和交集的定义可求得结果； （2）分析可知，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，， ·················································2分 且， ···············································································4分 因此，； ···································································6分 （2）因为，所以. ···································································7分 当，即，即时， ·······················································8分 此时满足，满足题意； ·········································································9分 当，即，即时， ······················································10分 要使，则或，即或， ·····························12分 又，所以； ··············································································14分 所以实数的取值范围为. ······················································15分 17．（15分）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本） (2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据利润销售量售价成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一； （2）分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的最大值. 【详解】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元， 总成本为， ······························3分 所以 ·····································5分 . 所以年利润. ·····································7分 （2）由（1）当时， ·······························8分 （百辆）时（万元）， ·········································10分 当时， 当且仅当（百辆）时，等号成立， ···································13分 因为2820万元万元, 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. ···································15分 18．（17分）设函数． (1)若且对任意实数均有恒成立，求表达式； (2)在（1）在条件下，当时，是单调函数，求实数 的取值范围； (3)设且为偶函数，证明． 【答案】(1)；(2)或；(3)见详解 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、函数奇偶性的定义与判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据，和对任意实数均有恒成立可知，解出，，从而得到； （2）先求出，根据该函数在上为单调函数以及二次函数单调性和对称轴的关系即可得到关于的不等式，解不等式即得的取值范围； （3）根据的解析式容易判断该函数为奇函数，且在上为增函数，所以根据或即可得到． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ···············································································1分 ∵恒成立， 即恒成立， 当时，不恒成立， 当时，则，∴，解得， ···········································3分 ∴，∴ ·················································4分 （2）由（1）知 ∴，其对称为， ·····································6分 由在上是单调函数知：或， 解得或． ····························································································8分 （3）∵是偶函数，∴由得， 故． ····························································10分 ∵，∴在上是增函数， ··································································11分 对于，当时，， 当时，． ·········································13分 ∴是奇函数，且在上为增函数． ······················································14分 ∵，∴m，n异号， ①当时，由，得， ∴． ··············································································15分 ②当时，由，得， ∴，即． ······················································16分 综上可知． ····················································································17分 19．（17分）给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. (1)求函数的不动点和稳定点； (2)已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 【答案】(1)不动点和稳定点均为2和4；(2)（ⅰ）当时，有一个稳定点；当时，有两个稳定点；当时，有四个稳定点；（ⅱ）. 【知识点】函数新定义、根据值域求参数的值或者范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据不动点、稳定点的定义列方程，解方程求得不动点和稳定点. （2）（ⅰ）根据稳定点的定义列方程，因式分解后对进行分类讨论，由此求得稳定点个数.（ⅱ）结合（ⅰ）的结论先确定的大致范围，以及两个稳定点，结合恒成立、函数的单调性、值域等知识确定的取值范围. 【详解】（1）令，则，解得或， ···················2分 令，则，整理得， 解得或， ····························································································4分 经检验知均满足条件，故函数的不动点和稳定点均为2和4. ···································5分 （2）（ⅰ）， 令，得， 即，得， 所以. ·····························································6分 ①当，即时，方程为， 解得，此时有一个稳定点； ···································································7分 ②当时，的判别式. 若，即时，此时有两个稳定点； 若，即或； ·····························································8分 当时，方程为，此时有两个稳定点； ······························9分 当时，方程为，此时有两个稳定点； 若，即或， 且， 此时有四个稳定点； ····················································································10分 综上所述，当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. ·····················································11分 （ⅱ）由（ⅰ）知， 当时，有两个稳定点为和1. ·········································12分 因为，，故取，得， 解得，所以，，因为，解得， ·····························13分 由（ⅰ）知，故，此时，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时，的值域为， 即的值域为. ··············································································15分 由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. ··································································17分 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高一上学期期中模拟卷 数学全解全析 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.命题x∈R,x2-x+1<0"的否定是() A.x∈R,x2-x+1≥0 B.x∈R,x2-x+1<0 C.]x庄R,x2-x+1≥0 D.3xER,x2-x+1<0 【答案】A 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】修改量词否定结论，可得结果 【详解】“9x∈R,x2-x+1<0"的否定是“VxER,x2-x+1≥0， 故选：A 2.函数f)=安+V2-的定义域为（） A.(-∞，2] B.(0,2] C.(0,1)U(1,2] D.(-1,2] 【答案】c 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】对数的真数大于零，分母不为零，被开方数大于等于零，依据以上三点，列不等式求解. X>0 (x>0 【详解】欲使函数有意义， 则 lgx≠0，即x≠1 2-x≥0x≤2 解得x∈(0,1)U(1,2] 故选：C 3.已知集合A={x-3<x<1,B={xx2-3x-4<0},则AnB=() A.{x-1<x<1 B.{x|-3<x<1 C.{x-1<x<2} D.{x-3<x<2} 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元一次不等式、交集的概念及运算 【分析】先求得集合B={x-1<x<4,利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由集合B={xx2-3x-4<0}={x-1<x<4, 又由A={x|-3<x<1,所以AnB={x-1<x<1). 故选：A 第1页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.若1a+bl<-c,则在“①a<-b-c,②a+b>c,③a+c<b,④la+c<b"这四个式子中，一定 成立的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式和绝对值不等式的性质，并结合特殊值代入验证，即可求得答案 【详解】对于①，因为a+bl<-c,所以-c>0,则c<0,所以c<a+b<-c, 即c-b<a<-b-c,则a<-b-c正确，故①正确： 对于选项②，由c<a+b<-c,所以a+b>c正确，故②正确： 对于选项③，由la+b<-c,取a=1,b=-1,c=-1,则a+c=0,不满足a+c<b,故③错误； 对于选项④，取a=1,b=-1,c=-1,则|a+c=1+(-1)=0,不满足|a+c<b,故④错误. 所以四个式子一定成立的是2个 故选：B 5.不等式2x2+mx+n>0的解集是{xx>3或x<-2},则m+n的值是() A.14 B.0 C.-10 D.-14 【答案】D 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由一元二次不等式解集得对应方程两根，然后利用一元二次方程的根与系数关系列式求解。 【详解】，不等式2x2+x+>0的解集是xx>3或x<-2}, ∴.一元二次方程2x2+x+n=0的两个根为3，-2. -2+3=- 由根与系数关系得 2 ,解得：m=-2,n=-12.所以m+n=-14 2×3= 故选：D 6.如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围() A.-≤a<0 B.-a≤0 C.az- D.a>- 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据题意，结合一次、二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解。 【详解】由函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-o∞，4)上为单调递增函数， 当a=0时，f(x)=2x-3在(-∞，4)上为单调递增函数，符合题意： a<0 当a≠0时，则满足 4解得-≤a<0, a 综上可得，实数a的取值范围为-，0] 故选：B. 第2页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.设a>0,a≠1，已知m=a,n=ay,m'nx=a,则xyz的值为() A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数的运算性质化简运算得解 【详解】m=a,my=(a)=ay, 又n=a',则n'=(a)=ay, 所以mm=aw·a=a2g=a,∴2y=手，解得xy2=2 4 故选：C 8.己知函数f(x)= 2+2mx-2m+1,x≥1满足vx.为eR,xf6x）+xf6ex）<xf）+xfx), (3m-1)x+4m,x<1 则下列说法不正确的是() A.m的取值范围为，) B.若f(a-4)>f(3a),则a的取值范围是(-2，+∞) c.a∈R,f(a2)<f(a-1) D.对任意满足条件的实数，均有函数的值域为R 【答案】D 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】对于A,分析出要使定义在R上的函数f(x)是减函数，进而由减函数的性质得出m的不等式组，求 出m的取值范围，即可判断；对于B,C,利用函数f(x)在R上的单调性，将不等式f(a)<f(a-1),f(a2)< f(a-1)转化为关于a的不等式，求出a的取值范围，即可判断：对于D,取符合题意的m=手得到函数f() 的确切解析式并求出其值域，即可判断 【详解】因为x1,x2ER,x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1), 所以Vx1,x2∈R,(x1-x2)儿f(x1)-f(x2)]<0, 可得y=f(x)是R上的减函数， (3m-1)x+4m,x<1 因为f)={-2+2mx-2m+1,x21' 对于A,当x≥1时，f(x)=-x2+2mx-2m+1=-(x-m)+(m-1)2, 对称轴为x=m.且f(1)=0.所以要使定义在R上的函数f(x)是减函数， 要使y=(3m-1)x+4m在(-oo,1)上单调递减，则3m-1<0, 要使y=-(x-m)2+(m-1)2在[1，+o)上单调递减，则x=m≤1， 3m-1<0 由函数f(x)是R上的减函数，得 m≤1 (3m-1)×1+4m≥f(1)=0 m<! 即m≤1，解得≤m<子即m的取值范围为)，故A正确： 第3页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于B,因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以f(a-4)>f(3a)等价于a-4<3a, 解得a>-2.即a的取值范围是(-2，+oo),故B正确： 对于c,d2-a-)=a2-a+1=(a-)+>0,即a2>a-1对所有的acR都成立. 因为函数f(x)是定义在R上的减函数.所以Va∈R,f(a2)<f(a-1)恒成立，故C正确： 对于D,由选项A可知，当m∈》 函数f(x)在R上是减函数， 所以令m= x+1,x<1 ,此时f(x) 4 -x2+x+x≥1 当x<1时，可得f)=-x+1>是 当x≥1时，因为f)=-x2+x+3=-(x-)+号 所以f(x)在[1，+∞)上单调递减，又f(1)=0,所以f(x)≤0， 所以函数f)的值域为(-∞，0u(.+∞)不是R,故D错误。 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在下列四组函数中，f(x)与g(x)不表示同一函数的是() A.f(x)=Inlxl,g(x)=Inxl B.f(x)=Vc+1)2,g(x)=(Wx+1)2 C.f(x)=2x,g(x)=exln2 D.f(x)=1,g(x)=x0 【答案】ABD 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、判断两个函数是否相等 【分析】由同一函数的概念，根据函数的定义域与对应法则是否相同，逐项判定，即可求解 【详解】对于A中，函数f(x)=nlx的定义域为{xx≠O},而g(x)=nx的定义域为xx>O}, 所以两函数定义域不同，不是同一函数： 对于B中，函数f(x)=√x+1)2的定义域为R,而g(x)=(Vx+1)的定义域为{xx≥-1， 所以两函数定义域不同，不表示同一函数： 对于C中，函数g(x)=e2=(en2)'=2x=f(x),两函数的定义域都是R,对应关系相同， 所以两函数是同一函数 对于D中，f(x)=1的定义域为R,而g(x)=x的定义域为{xx≠0， 所以两函数定义域不同，不是同一函数： 故选：ABD, 10.下列结论中，所有正确的结论有() A.若ac2>bc2,则a>b B.当x<2时，x-2+的最小值为4 第4页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.若aeR,则+3的最小值为2 Va2+2 D.若a,beR,a+2b=2.则+≥号+22 【答案】AD 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、由不等式的性质比较数（式）大小、 条件等式求最值 【分析】利用不等式的性质及基本不等式，结合对勾函数的性质即可求解 【详解】对于A,因为ac2>bc2,所以c2>0, 因此在不等式ac2>bc2两边同乘得a>b,故A正确： 对于B,当x-2<0,即-(x-2)>0时， -【c-2)+动s-2-2训 4 =-4, 当且仅当-《-)= ,即x=0时，等号成立， 所以x一2+的最大值为4，故B不正确： 对于C、令t=Va2+2.因为a∈R,所以t≥√2， 而+是=Va2+2+ Va2+2 +南因此的最小值就是函数y=t+≥V②的最小值 √a2+2 又因为由对勾函数的性质知：函数y=t+在V2+∞)是增函数， 当t=2时，函数y=t+叔得的最小值为V2+方华，即的最小值为受故C不正确： a2+2 对于D,因为a,b∈R+,a+2b=2, 所g+=+月()=9+号+9）≥(9+2×9=+22 当且仅当 如=2 ，即a=,b=时，等号成立，因此+≥+2V2,故D正确。 a+2b=2 故选：AD 11.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=fx)+fy),且x1,x2∈[0，+o),当x1≠x2时，(x1 x2)[f(x1)-f(x2)】<0,则下列说法正确的是() A.f(0)=0 B.-f(1)<f(2) C.函数xf(x)是偶函数 D.若xf(x)<0,则x∈(0，+∞) 【答案】AC 【知识点】求函数值、判断函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用赋值法，令x=y=0,可得f(O),判断A:由题意可得函数f(x)奇偶性及单调性，由此判断B: 由偶函数的定义判断C;根据f(x)的性质讨论当x>0和x<0时，xf(x)的符号，判断D. 【详解】因为定义在R上的函数f(x)满足f(c+y)=f(x)+fy): 令x=y=0,得f(0)=2f(0),所以f(0)=0,所以A正确： 令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数： 第5页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x1,x2E[0,+oo),当x1≠x2时，(x1-x2)儿fx1)-f(x2)】<0, 所以当x1<x2时，x1-x2<0,f(x1)-f(x2)>0,即fx1)>f(x2),所以函数f(x)在[0，+oo)上单调递减， 所以函数f(x)在(-oo,+oo)上单调递减。 所以-f(1)=f(-1)>f(2),所以B错误， 令g(x)=xf(x),定义域为R, 所以Vx∈R,-xER,都有g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x). 所以g(x)=xf(x)是偶函数，所以C正确 因为函数f(x)在(-∞，+∞)上单调递减，且f(0)=0, 所以当x>0时f(x)<0,xfx)<0:当x<0时f(x)>0,xf(x)<0 即若xf(x)<0,则x∈(0，+∞)U(-∞，0) 所以D错误 故选：AC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.满足关系{1,2,3}∈A{0,1,2,3,4,5的集合A的个数为 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用子集和真子集的定义求解. 【详解】解：由题意得：集合A中一定含有1,2,3，可能含有0,4,5，但不同时含有0,4,5， 所以集合A的个数为：23-1=7， 故答案为：7 13.函数y=x-2+V7-3x的值域是 【答案】(o, 。131 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【解析】换元法构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域： 【详解】设t=V7-3双（≥0.则x=号 所以原函数可化为：y=-+t+t≥0)， 由二次函数性质，当t=时，函数取最大值品由性质可知函数无最小值， 所以值域为： (∞， 故答案为： 13] 14.已知a,b都是正数，则。+的最小值是 【答案】2-1 第6页共11页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】设a+2b=x,2a+b=y,解出a=(2y-x),b=(2x-y),代入化简得 (使+号-3)利用基本不等式即可求出最值， 【详解】因为a,b均为正实数，故设a+2b=x,2a+b=y,则x>0,y>0 联立解得a=2y-),b=(2x-y), 品+点+-(+）-e+告到臣-)2-1 y 当且仅当堂=多，即x=V2y,即a+2b=V2(2a+b)时取等号， 故答案为：V2-1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(1)化简：(a4b4×a0-()°÷(ab9+√-m(a>0,b>0): (2)计算：log25×log14+(g5)2+lg2×Qg5+1): 【答案】(1)a:(2)-1 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【分析】(1)根据指数的运算法则进行求解即可： (2)根据对数的运算性质进行求解即可， 【i详解】(1)(ab4i×0-(a）°÷(ab+VC-a =ab1-(a2b3)÷(ab4)+|-al ………………3分 ab-1-ab-1+a=a; …6分 (2)log25×log14+Qg5)2+lg2×lg5+1) =log25 x (logs4)+(1g5)2 +1g21g5 +1g2 =l0g25 x(-2l0gs2)+(1g5)(1g5+1g2)+1g2 …9分 =-2+1g5lg10+g2 =-2+1g5+1g2 =-2+lg10 …12分 =-2+1 =-1. ……13分 16.(15分)已知集合U为实数集，M={xx≤-5或x≥8)，N={xa-1≤x≤2a+1}. (1)若a=5,求(CuM)∩N: (2)若M∩N=N,求实数a的取值范围. 【答案】(1)(CuM0nN={x4≤x<8}:(2(-∞，-2)U[9,+oo): 第7页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算 【分析】(1)利用补集和交集的定义可求得结果： (2)分析可知NSM,分N=、N≠两种情况讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式（组），综合 可得出实数a的取值范围， 【详解】(1)当a=5时，N={x4≤x≤11}， ……2分 且CuM={x-5<x<8}, ……………………4分 因此，(CwM)nN=x|4≤x<8}: 6分 (2)因为MnN=N,所以NcM. …7分 当N=0,即a-1>2a+1,即a<-2时， …8分 此时满足NSM,满足题意： 9分 当N≠0，即a-1≤2a+1,即a≥-2时， …0分 要使NcM,则2a+1≤-5或a-1≥8，即a≤-3或a≥9， …12分 又a≥-2，所以a≥9： …14分 所以实数a的取值范围为(-∞，-2)U[9,+o). …15分 17.(15分)新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020 年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本2000万元.每生产x(百辆)新能源汽 (10x2+100x,0<x<50 车，需另投入成本C(x)万元，且C(x)= {501x+810-5000,x≥50' 由市场调研知，每辆车售价5万元， 且生产的车辆当年能全部销售完， (1)求出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；（利润=销售量×售价-成本） (2)2020年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润。 10x2+400x-2000(0<x<50) 【答案】(1L(x) -x-810+3000(x≥50) (2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用 【分析】(1)根据利润=销售量×售价-成本，表示出利润关于产量的关系式即可，注意单位的统一： (2)分段函数的最值问题，先分别求出两个范围内的最大值，然后比较哪个最大哪个就是整个分段函数的 最大值 【详解】(1)每辆车售价5万元，年产量x(百辆)时销售收入为500x万元， 10x2+100x+2000(0<x<50) 总成本为2000+C(x)= 501x+8100-5000+2000x≥50)' …3分 500x-(10x2+100x+2000)(0<x<50) 所以L(x) 500x-(501x+8100 -3000)(x250) …5分 第8页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100 +3000(x≥50) -10x2+400x-2000(0<x<50) 所以年利润L(x) -x-810+3000x≥50) ……7分 (2)由(1)当0<x<50时L(x)=-10(x-20)2+2000, …8分 x=20E(0,50)(百辆)时L(x)max=2000(万元)， ……10分 当x250时16)=-(x+09）+3000≤- 2x 8100 +3000=2820, 当且仅当x=10=90E[50,+oo)(百辆)时，等号成立， …13分 因为2820万元>2000万元， 所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元. …15分 18.(17分)设函数f(x)=ax2-bx+1(a,b∈R),F(x)= f(x),(x>0) -fx),(x<0) (1)若f(1)=0且对任意实数均有f(x)≥0恒成立，求F(x)表达式： (2)在(1)在条件下，当x∈[-3,3]时，g(x)=fx)-kx是单调函数，求实数k的取值范围： (3)设mn<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，证明F(m)>-F(n). 【答案】☒=x:0②k≥4或k≤8：B)见详解 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、函数奇偶性的定义与判断、一元二次不等式在实数集 上恒成立问题、由奇偶性求参数 【分折】1)根据四=0，和对任意实数均有fc)≥0恒成立可知公≥8解出a-1,b=2,从面得到 F(x): (2)先求出g(x)=x2-(2+k)x+1,根据该函数在x∈[-3,3]上为单调函数以及二次函数单调性和对称 轴的关系即可得到关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围： (3)根据F(x)的解析式容易判断该函数为奇函数，且在(O,+o)上为增函数，所以根据m>-n>0或n>- m>0即可得到F(m)>-F(n). 【详解】(1)，f(1)=0,.b=a+1, ∴.fx=ax2-(a+1)x+1, 1分 ,VxeR,f(x)≥0恒成立， 即Vx∈R,ax2-(a+1)x+1≥0恒成立， 当a=0时，-x+1≥0不恒成立， 当a≠0时，则g≥8a+1分二a≤0解得a=1. a>0 …3分 f0-2-2+1四-公0 ……4分 (2)由(1)知f(x)=x2-2x+1 第9页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “g)=f)-x=2-(2+kx+1,其对称为x= 2 …6分 由g)在x∈[-33上是单调函数知：号≥3或号≤-3， 解得k≥4或k≤-8. ……………8分 (3),f(x)是偶函数，.由f(-x)=fx)得b=0, 故r0-m+1国）-0+290 …10分 :a>0,∴.f(x在(0，+oo)上是增函数， 11分 对于Fx),当x>0时，-x<0,F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x) 当x<0时，-x>0,F(-x)=f(-x)=f(x)=-Fx) …13分 .F(x)是奇函数，且F(x)在[0，+oo)上为增函数. …14分 ,mm<0,∴m,n异号， ①当m>0,n<0时，由m+n>0,得m>-n>0, ∴.Fm)>F(-n)=-F(n). ……15分 ②当m<0,n>0时，由m+n>0,得n>-m>0, .F)>F(-m)=-F(m),即F(m)>-F(n) …16分 综上可知F(m)>-F(n). …7分 19.(17分)给定函数f(x),若存在实数m使得f(m)=m,则称m为函数f(x)的不动点，若存在实数n使得 f(f(n)=n,则称n为函数f(x)的稳定点. a求函数f)-的不动点和稳定点： (2)已知函数f(x)=x2+a(x-1). (i)讨论函数f(x)的稳定点个数情况： (iⅱ)若f(x)恰有两个稳定点n1和n2(n1<n2),且x∈[n1,n2],f(f(x)∈[2n,2n2],求实数a的取值范围 【答案】(1)不动点和稳定点均为2和4：(2)(i)当a=-1时，f(x)有一个稳定点：当a∈[-3，-1)U(-1,1] 时，f(x)有两个稳定点：当a∈(-o∞，-3)U(1,+o)时，f(x)有四个稳定点；(ii)0≤a≤1. 【知识点】函数新定义、根据值域求参数的值或者范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】(1)根据不动点、稳定点的定义列方程，解方程求得不动点和稳定点 (2)(1)根据稳定点的定义列方程，因式分解后对a进行分类讨论，由此求得稳定点个数.(i)结合(1) 的结论先确定α的大致范围，以及两个稳定点，结合恒成立、函数的单调性、值域等知识确定α的取值范围. 【详解】(1)令f()=78=X,则x2-6x+8=0,解得x=2或x=4, …2分 x+1 令f=x,则 =x,整理得x2-6x+8=0, x+1 解得x=2或x=4, ……4分 经检验知均满足条件，故函数f(x)的不动点和稳定点均为2和4. …5分 (2)(i)fx)=x2+a(x-1)=x2+ax-a, 第10页共11页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 令f(f(x)=x,得(x2+ax-a)2+a(x2+ax-a)-a=x, 即(x2+ax-a)(x2+ax-a+a)-(x+a)=0,得(x+a)(x3+ax2-ax-1)=0, 所以(x+a(x-1)[x2+(a+1)x+1]=0 6分 ①当-a=1,即a=-1时，方程为(x-1)2(x2+1)=0, 解得x=1,此时f(x)有一个稳定点： …7分 ②当a≠-1时，x2+(a+1)x+1=0的判别式△=(a+1)2-4. 若△=(a+1)2-4<0,即-3<a<1时，此时f(x)有两个稳定点： 若△=(a+1)2-4=0,即a=-3或a=1: …8分 当a=-3时，方程为(x-3)(x-1)3=0,此时f(x)有两个稳定点： …9分 当a=1时，方程为(x-1)(x+1)3=0,此时f(x)有两个稳定点： 若△=(a+1)-4>0,即a<-3或a>1, (-a)2+(a+1)(-a)+1=1-a≠0且12+(a+1)·1+1=a+3≠0， 此时f(x)有四个稳定点： …10分 综上所述，当a=-1时，f(x)有一个稳定点： 当ae[-3,-1)U(-1,1]时，f(x)有两个稳定点： 当a∈(-oo,-3)U(1,+∞)时，f(x)有四个稳定点. …11分 (iⅱ)由(i)知， 当a∈[-3，-1)U(-1,1]时，f(x)有两个稳定点为-a和1 …12分 因为Vxe[n1,n2],2n1≤f(f(x)≤2n2,故取x=n1,得2n1≤f(f(n1)=n1 解得n1≤0，所以n1=-a,n2=1,因为n1=-a≤0，解得a≥0， …13分 由(i)知ae[-3,-1)U(-1,1],故0≤a≤1，此时x∈[-a,1],-2a≤f(f(x)≤2. 当0≤a≤1时，-a≤-<1，令t=f(,当x∈[-a,1时， 因f(-0)=-a<f)=1,f()=-号-a,故te[号-a, 而-号-a<-a<-分故f0在[号-a-习单调递减，在（单调递增 注意到-(-a）=+<+1=1-()故f四>f(号-) 所以当te[-a-a时，f的值域为f(-),f)=【-a 即f(f)的值域为[号-a …15分 0≤a≤1 由题意得 号-a2-2a* 解得0≤a≤1. 所以实数a的取值范围为0≤a≤1 …17分 第11页共11页