第05讲 函数模型 专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第05讲 函数模型 专项训练（6大题型32题） （解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　指数函数模型（增长与衰减） 重点 第1—8题 8 题型二　对数函数模型与量级换算 重点 第9—17题 9 题型三　幂函数与经验公式模型 常考 第18—20题 3 题型四　分段函数与优化决策 难点 第21—23题 3 题型五　基本不等式与实际最优化 重点 第24—28题 5 题型六　综合建模与几何应用 难点 第29—32题 4 题型通关 · 靶向提分 题型一　指数函数模型（增长与衰减）（共8小题） 【知识积累】 指数模型：（ 增长、 衰减）或 ； 是 的初始值，、 由两组数据代入列方程解出。 增长率与倍增期：平均增长率 对应 ； 年后的总量为 ；倍增期、半衰期只与 有关，与 无关，两次相同的倍数变化可合并为一次。 半衰期：剩余量为初始的 所需的时间 ； 时间后剩余 。求时间用取对数解指数方程。 解指数方程： 两边取同底对数，得 ；只有一组已知条件时先定 或 ，再代入目标。 易错：把“衰减到原来的 ”当成“减少了 ”； 未约去就代入；指数化成乘法时 与 混用。 【典例1】 1．（单选题） （2026·江苏镇江·模拟预测） 某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义推导参数关系，再代入剩余质量为原质量的条件求解对应时间. 【详解】由半衰期定义，当时，剩余质量， 即，则. 当剩余质量为原质量的时，则， 所以. 由于指数函数为单调函数， 所以，则. 【典例2】 2．（单选题） （2026·山东聊城·模拟预测） 某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【答案】B 【详解】由题意，当时，， 根据题中数据，可列方程组，则，则， 即，所以，由，则， 所以该车大约在使用6年后会进入“大幅贬值”区间. 【变式1】 3．（单选题） （26-27高三上·四川绵阳·阶段检测） 某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（     ）（参考数据：） A．30次 B．31次 C．32次 D．33次 【答案】C 【分析】由已知条件求出的近似值，再代入，根据对数的运算法则求解即可. 【详解】由题意可得当时，， 所以， 即， 所以， 即， 当时， 则有， 即， 所以， 所以. 【变式2】 4．（单选题） （2026·北京西城·二模） 某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【答案】B 【分析】根据给定信息，利用年增长率的意义，结合指数运算求解. 【详解】设原规划年平均增长率为，由2023年的年产值为a，10年后（2033年）产值为， 得，即，设实际年平均增长率为， 由2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，得， 即，因此2033年工厂的实际年产值为. 【变式3】 5．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 （2.5，2.6］ （2.6，2.7］ （2.7，2.8］ （2.8，2.9］ 参考数据：． A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】B 【分析】根据条件，列方程组，求得，再根据对数运算化简，即可判断. 【详解】由题意得，，两式相除得，即，所以， 所以，对应地形为复杂山地． 【变式4】 6．（多选题） （25-26高三下·江西抚州·阶段检测） 氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 【答案】BD 【分析】根据对数函数的性质计算即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，所以此时样本中氚的质量衰变了一半，故B正确； 对于C，当时，，即经过74.58年后，样本中的氚的质量变为原来的，故C错误； 对于D，由题意，化简得 ， 将代入其中，可得，故D正确. 【变式5】 7．（多选题） （25-26高三下·四川成都·开学考试） 某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【答案】AC 【分析】根据给定的信息，结合指数函数单调性逐项求解判断. 【详解】对于A，当时，，随的增大而减小，又， 因此这期间种群数呈下降趋势，A正确； 对于B，当时，，随的增大而增大，又， 因此这期间种群数呈上升趋势，B错误； 对于C，，即2年后预测种群数量约为1061，C正确； 对于D，，即2年后预测种群数量约为2881，D错误. 故选：AC 【变式6】 8．（填空题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 【答案】 【分析】直接根据函数解析式及条件得不等式，并通过取对数法解指数不等式可得. 【详解】因为，且，得， 即，两边取自然对数得，解得． 因此的最小值为. 题型二　对数函数模型与量级换算（共9小题） 【知识积累】 对数模型： 把“倍数关系”转化为“差”，自变量成倍增长时因变量只增加固定量； 则 每增加 ， 变为原来的 倍，属指数增长，两者不要混用。 比值为对数差：，这是“量级”换算的核心：比值扩 倍，对数值只加 。 求参：两个已知点代入 得方程组解 、；求某点对应的真数时把对数式还原为指数式。 常用对数运算：、、；参考数据只给 、 等，需把数值分解成 2、3、5、10 的积。 易错：； 与 的底混用；参考数据位数不足时中间步骤过早取近似。 【典例1】 9．（单选题） （26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测） 研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（    ）(参考数据：，) A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】B 【详解】由可知， 依题意，， 解得，，则时，， 则（焦耳）， 即5.8级地震所释放的能量约为焦耳. 【典例2】 10．（单选题） （2026·重庆·模拟预测） 声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【答案】D 【分析】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题推得，将这种火箭发射的声强代入公式结合对数运算即可求得． 【详解】设人与人交谈时的声强约为 W/m²，依题意，，则得， 依题意，该火箭发射时的声强约为 W/m²，则其发射的声强级约为： . 【变式1】 11．（单选题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】结合对数运算性质，先根据已知增量求出与的关系，再代入计算目标增量即可． 【详解】由题设公式（为正的常数）， 可得当刺激强度从变化到时，的增量为：， 当从15增大到60时，，代入得：，整理得， 当从60增大到480时，代入增量公式：， 将代入，得． 【变式2】 12．（单选题） （26-27高三上·福建南平·阶段检测） 深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】根据所给的函数关系可得，，再由对数的运算性质及对数式化为指数式可得. 【详解】设发光强度为级对应的光能为，发光强度为级对应的光能为， 由，得： 当时： ， 当时： 由对数减法运算性质，，即， 将对数式转化为指数形式得 . 所以，因此发光强度级的生物释放的光能约是级的倍. 【变式3】 13．（单选题） （2026·陕西安康·模拟预测） 已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意： ，所以. 所以. 当时，（）. 【变式4】 14．（多选题） （2026·河南南阳·模拟预测） 在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算性质逐项求解判断. 【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则， 因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，解得，C错误； 对于D，当时，，解得，D正确. 故选：ABD 【变式5】 15．（多选题） （2026·河北秦皇岛·模拟预测） 地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 【答案】AC 【分析】本题首先要读懂公式，然后根据题意合理代入数据进行对数运算对选项进行一一检验即可得到答案. 【详解】设为地震震级加1级的地震震级，新的地震的能量，新的最大振幅为， 设为地震震级加2级的地震震级，新的地震的能量， 因为，所以，故A正确； 因为， 所以，所以B错误； 因为， 所以， 所以C正确； 因为， 所以， 所以D错误. 故选：AC. 【变式6】 16．（填空题） （26-27高三上·山东德州·阶段检测） 已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 【答案】 6千米/秒 【分析】根据题意，得到和，结合对数的运算性质，即可求解． 【详解】由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， 因为经过秒后的速度千米秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得． 【变式7】 17．（填空题） （26-27高三上·广东深圳·开学考试） 住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度（单位：）之间近似满足函数关系式 ，其中 ，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风________周． 【答案】26 【分析】由可得解析式，据此结合对数运算性质可得答案. 【详解】因，从而， 则，则.为使该住房装修完成后达到安全入住的标准， 则 . 题型三　幂函数与经验公式模型（共3小题） 【知识积累】 幂模型：（、 为常数），两组数据代入后两式相除消 解 ，再代回求 ；比值关系常化成 。 开方/平方型经验公式：形如 、，先看两组数据能否唯一确定两个参数，再看第三组数据能否验证。 一次模型： 最简单，两点确定一直线；与幂、指数、对数模型比较时用“数据吻合程度”判断优劣。 比对定参：模型含多个常数时，用“代入—求差—比较”逐步消元；不要一次列含两个未知量的超越方程硬解。 易错：把 与 混为一谈； 求出多解未按范围取舍。 【典例1】 18．（单选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 某厂准备投资万元生产两种产品，据测算，投产后的年收益，产品是该产品投入值的，产品是该产品投入值开平方的倍．当年收益总和最大时，两种产品的投入值之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设变量表示两种产品的投入金额，建立总收益函数，通过换元转化为二次函数求最值，最终计算投入比值. 【详解】设投入产品的资金为万元，其中，则投入产品的资金为万元，总年收益为万元， 根据题意可得收益函数 ， 令，则，，代入上式得，配方得， 由于二次项系数，因此当时，取得最大值，此时，解得， 即产品投入万元，产品投入万元，因此两种产品的投入值之比为，故D正确. 【典例2】 19．（单选题） （25-26高三上·四川雅安·开学考试） 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（    ） A．13万元 B．15万元 C．18万元 D．20万元 【答案】C 【分析】先判断利润是否超过6万元，列出总奖金的等量关系，再根据对数的运算性质求出，即可求出销售利润. 【详解】由题可知，当销售利润为6万元时，奖金为万元，又小雨获得了2.9万元的奖金，大于0.9万元， 则利润超过6万元，超出的部分为A万元，所以，即， 所以，解得，因此，销售利润为万元. 【变式1】 20．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第年底光伏太阳能板的保有量(单位：万块)满足模型，其中(单位：万块)为饱和度，(单位：万块)为初始值，为年增长率.若该地区年底的光伏太阳能板保有量约为万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为万块，则年底该地区光伏太阳能板的保有量约为_______万块.(结果保留整数，参考数据：，，) 【答案】 【分析】把已知数据代入模型，求出对应的值即可． 【详解】根据题意，得，，，， 则年底该地区光伏太阳能板的保有量， 因为，所以， 所以年底该地区光伏太阳能板的保有量约为万块. 题型四　分段函数与优化决策（共3小题） 【知识积累】 分段建模：按条件写出各段的解析式，注意分段点“谁开谁闭”：分段点归入唯一一段，且分段的函数值在该点通常应连续（否则要说明）。 区间内求最值：二次段用对称轴在区间内判断顶点；反比例段（如 ）用基本不等式求最小值，等号条件要落在该区间内。 分段比较：各段分别求最值，再比较大小取全局最值；不能只在一段上求最值就下结论。 恒成立与最值：“对任意 都成立”转化为求函数的最小值（或最大值）；含参数时分离参数， 恒成立 。 易错：忽略定义域（如 才能用 ）；等号条件不在区间内而误用等号；只比一段就结束。 【典例1】 21．（解答题） （2025·安徽合肥·一模） 城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】(1)，人； (2)发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【分析】（1）由题设，有当时，，且，，求值，进而写出其分段函数的形式，再求. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【详解】（1）由题设，当时，令， 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为333人，10分钟时的载客量为480人， 所以，解得， 所以， 当时，， 所以， 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2）（2）因为， 所以由（1）可得： 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）， 当时，在递减， 则（元） 综上，发车时间间隔为4分钟时，该线路每分钟的净收益最大为112元. 【典例2】 22．（解答题） （24-25高三上·安徽合肥·阶段检测） 某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/． (1)写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价）） (2)设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%? 【答案】(1)， (2)最低定为2.6元/ 【分析】（1）依据收益=实际用气量×（实际单价－成本价）列出函数解析式即可； （2）代入，求解不等式即可； 【详解】（1）由题意得，； （2）由题意可知要同时满足以下条件：， 化简不等式可得 ∴，即单价最低定为2.6元/． 【变式1】 23．（解答题） （26-27高三上·江西·阶段检测） 某共享储能电站参与电网调频调峰服务，其核心PCS储能变流器的年运维总成本由固定折旧成本和可变损耗成本构成，其中年度固定折旧成本为1万元．经测算，可变损耗成本（单位：万元）与年启停次数（单位：次，）满足函数关系．已知当年启停次数为2时，年运维总成本为6万元；若将视为区间上的连续变量，则当时，年运维总成本取得最小值． (1)求，的值； (2)受区域电网调度能力限制，该变流器年启停次数最多为5次． （i）求年运维总成本的最小值及对应的启停次数； （ii）若恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)， (2)（i）年运维总成本最小值为6万元，对应启停次数为次或次；（ii）8 【分析】（1）利用对勾函数最小值点的横坐标公式建立与的等量关系，结合时的总成本列方程，联立求解参数； （2）（i）结合对勾函数的单调性，在限定的正整数范围内计算关键点的函数值，比较得到总成本的最小值；（ii）将恒成立不等式分离参数，构造函数并分析单调性，其最大值即为的最小值. 【详解】（1）年运维总成本为固定成本加可变损耗成本，即， 对于对勾函数，由基本不等式可知，当即时，函数取得最小值， 由题知最小值点为，因此， 又当时，年运维总成本为6万元，代入得， 将代入上式得，得，因此， 所以，； （2）（i）由（1）得总成本函数为， 由题意，启停次数且，即， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，因此只需比较和处的函数值， ， ， 所以年运维总成本最小值为万元，对应启停次数为次或次； （ii）由得，对恒成立， 令，则， 则， 该二次函数开口向上，对称轴为， 因此时单调递增，所以时取得最大值为， 故，即实数的最小值为. 题型五　基本不等式与实际最优化（共5小题） 【知识积累】 基本不等式：正数 满足 ； 型分组为 后分别用基本不等式。 凑型：（）； 要先换元或配出 。 等号条件： 即 ，该值必须落在实际定义域（含整数约束）内，否则最值改在端点取。 整数约束： 时先求连续区间最值点，再取该点两侧最近整数比较函数值。 易错：忽略正数前提与等号能否取得；把 直接套成定积；定义域写错导致端点不可取。 【典例1】 24．（解答题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 某校要建造一个高为6m，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体．甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元．设体育馆左墙的长度为，且． (1)当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围． 【答案】(1)左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）先根据题意建立总造价关于左墙长度的函数表达式，再利用基本不等式求该函数在区间上的最小值，验证等号可取得到报价最低时的值； （2）先对不等式分离参数，将恒成立问题转化为求对应函数的最小值，再换元并用基本不等式求出函数最小值，进而得到的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元， 由左墙的长度为，得前面新建墙体长为， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 故当左墙的长度为米时，甲工程队的报价最低． （2）由题意得，对任意恒成立， 即对任意恒成立，所以． 因为， 当且仅当，即时，取得最小值， 所以，所以的取值范围是． 【典例2】 25．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知两地的距离是根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元，那么最经济的车速是多少（精确到）？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少（精确到1元）？ ． 【答案】 【分析】利用每小时的费用乘以两地之间的用时，即可得行车总费用，再利用基本不等式，即可求出最小值，从而问题得解. 【详解】由题意可得这次行车的总费用， 由基本不等式可得： 此时取等号条件是， 所以最经济的车速是，行车总费用最小值是元. 【变式1】 26．（解答题） （25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测） 生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文明､推动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质量､更有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道路.某果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果树果实的产量（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用（单位：百元）满足关系，且投入的新型绿色肥料的费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种果树果实的市场售价为25元/千克（即25百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年获得的利淘为（单位：百元） (1)求利润函数的函数关系式，并写出定义域. (2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)当投入的新型绿色肥料的费用为400元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400元. 【分析】（1）由题意求出利润的函数解析式，即可得解； （2）由（1），利用基本不等式求解. 【详解】（1），定义域为. （2）由（1）知，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 答：当投入的新型绿色肥料的费用为400元时，栽培一棵该果树获得的利润最大，最大利润是11400元. 【变式2】 27．（解答题） （24-25高三·全国·一轮复习） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求的值及表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值. 【答案】(1)， (2)隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为68万元 【分析】（1）将建造费用和能源消耗费用相加可得出的解析式； （2）利用基本不等式得出的最小值及对应的x的值. 【详解】（1）依题意，当时，，即，解得， . （2）. 当且仅当，即时“”成立. 答：隔热层修建厘米时，总费用达到最小，最小值为68万元. 【变式3】 28．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 【答案】30 【详解】设该企业所能获取的最大利润为万元，则， 即，故当或时，取最大值30， 即该企业生产4件或5件商品时所取得的利润最大，为30万元． 题型六　综合建模与几何应用（共4小题） 【知识积累】 模型选择：给三四个候选模型时，先看数据趋势（递增快慢、有无上限）筛掉不符合的，再用两组或三组数据定参，最后用剩余数据验证。 拟合检验：把模型算出的函数值与实测值逐点作差（或比较残差），残差更小的更合适；后期趋势明显改变时要另选模型。 几何最优化：用图形（矩形、圆内接、版面留白）列出面积或成本的一元函数，注意约束（面积一定、半径限制）与隐含范围。 综合题步骤：设元→列函数→化简（通分、换元）→求最值（基本不等式或二次函数）→代回解释实际意义并写单位。 易错：模型选错后参数无意义；只代两点不检验第三点；几何量之间的包含关系漏乘（如三个矩形拼接时漏乘 3）。 【典例1】 29．（解答题） （26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测） 据媒体报道: 2018年非洲爆发非洲猪瘟(英文名称: African Swine fever) 是由猪瘟病毒ASFV 引起家猪、非洲野猪以及欧洲野猪的感染，引发一种急性，出血性、烈性的传染病.2018年8月中国辽宁某卫生生物防疫调研组依据生猪的成活率y与生长周期x (时间单位：季度)分别在不同时段统计了一组数据，，对应如下：，且五组数据的散点图如图：    为了统计好当地的生猪成活率，研究员甲：选了两个不同的函数模型来拟合以上情况； ， 研究员乙在实际调研时发现： ①随着时间的推移，后期生猪的成活率又呈缓慢递增趋势： ②还计算了两拟合函数值与统计值之差的绝对值如下： A B C D 0.25 0.50 1 2 4.05 2.10 1.25 1 0.02 0.07 0 0 0.02 0.18 0.23 0.17 (1)依据研究员乙的研究发现，研究员甲应该选择哪个函数模型来拟合更合适，利用C，D两点计算出此函数模型的解析式； (2)在(1)的情况下，模型估计m的值，请说明在第几季度生猪的成活率最低. 【答案】(1)应选择函数模型； (2)m的值为1.25，第2季度 【详解】（1）由研究员乙的发现①可知，随着时间的推移，后期生猪成活率呈缓慢递增趋势. 对于模型，当充分大时，呈递增趋势，符合题意； 对于模型，当充分大时，呈常数趋势，不符合题意. 同时，由表可知，模型在点C，D处的误差为0，拟合效果优于. 故应选择函数模型； 由题意，函数的图象经过点和， 将这两点坐标代入解析式得:， 所以该函数模型的解析式为: ， （2）当时，，所以模型估计m的值为1.25. 由基本不等式可得: ， 当且仅当时等号成立， 所以当时，取得最小值， 故在第2季度生猪的成活率最低. 【典例2】 30．（解答题） （25-26高三上·上海黄浦·期中） 研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)模型②，且 (2) (3) 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数图象性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）令，利用指数与对数关系及对数运算性质求结果； （3）根据指数函数性质求函数的值域，即可确定进行实验时的室温． 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则， 即，可得， 所以且； （2）令， 则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为； （3）由，即，所以进行实验时的室温约为 【变式1】 31．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完 (1)写出年利润W（x）万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元． 【详解】（1）由题意知，当时，， 当时，， 所以年利润为． （2）当时，， 所以时，年利润取得最大值为万元； 当时，，当且仅当，即时等号成立， 此时年利润的最大值为万元． 综上知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1760万元． 【变式2】 32．（解答题） （25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测） 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），若部件的面积是．    (1)求y关于x的函数解析式，并求定义域； (2)为节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 【答案】(1)；． (2)当时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为. 【分析】（1）利用矩形面积公式和三角形面积公式直接列式求解； （2）先求圆的半径的平方，利用基本不等式求半径的平方的最小值，再求出圆的面积的最小值. 【详解】（1）由题意，利用矩形面积和正三角形的面积公式， 可得， 整理得． 又， 即函数的定义域为． 即． （2）如图所示，设圆形铁片半径为R，则其面积， 过圆心O作的垂线，垂足为E，交于点F，连接，则． 由（1）知， 所以． 因为，由基本不等式，可得． 当且仅当，即时取等号． 圆形铁片的最小面积为．      第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第05讲 函数模型 专项训练（6大题型32题） （原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　指数函数模型（增长与衰减） 重点 第1—8题 8 题型二　对数函数模型与量级换算 重点 第9—17题 9 题型三　幂函数与经验公式模型 常考 第18—20题 3 题型四　分段函数与优化决策 难点 第21—23题 3 题型五　基本不等式与实际最优化 重点 第24—28题 5 题型六　综合建模与几何应用 难点 第29—32题 4 题型通关 · 靶向提分 题型一　指数函数模型（增长与衰减）（共8小题） 【知识积累】 指数模型：（ 增长、 衰减）或 ； 是 的初始值，、 由两组数据代入列方程解出。 增长率与倍增期：平均增长率 对应 ； 年后的总量为 ；倍增期、半衰期只与 有关，与 无关，两次相同的倍数变化可合并为一次。 半衰期：剩余量为初始的 所需的时间 ； 时间后剩余 。求时间用取对数解指数方程。 解指数方程： 两边取同底对数，得 ；只有一组已知条件时先定 或 ，再代入目标。 易错：把“衰减到原来的 ”当成“减少了 ”； 未约去就代入；指数化成乘法时 与 混用。 【典例1】 1．（单选题） （2026·江苏镇江·模拟预测） 某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【典例2】 2．（单选题） （2026·山东聊城·模拟预测） 某新能源汽车研究机构发现，A款电动汽车的保值率（即使用t年后的二手车价格与新车指导价的比值）P随着使用年限t（单位：年）的变化，大致符合指数衰减模型：，其中，a和b为常数.已知A款电动汽车使用2年后保值率为，使用4年后保值率为.若该车的保值率低于即被视为“大幅贬值”，则该车大约在使用多少年后会进入“大幅贬值”区间?（参考数据：，）（   ） A．5年 B．6年 C．7年 D．8年 【变式1】 3．（单选题） （26-27高三上·四川绵阳·阶段检测） 某疾控中心采用荧光定量法检测流感核酸，在扩增的指数期，靶标数量与扩增次数满足：，其中为初始数量，为扩增效率．已知某标本扩增12次后，数量变为原来的200倍；若要使数量达到初始值的倍，则至少需要扩增的次数约为（     ）（参考数据：） A．30次 B．31次 C．32次 D．33次 【变式2】 4．（单选题） （2026·北京西城·二模） 某工厂2023年的年产值为a，这一年工厂制定10年规划，欲通过技术革新、管理优化等手段，促使工厂产值的年平均增长率为x%，以期2033年的年产值达到2023年的4倍.实践中，由于市场环境逐步向好，工厂产值的年增长率超过预期.已知2025年的工厂年产值恰好达到规划中2026年的既定目标，如果从2026年起未来8年（含2026年）的年平均增长率与前2年实际年平均增长率相同，那么2033年工厂的年产值为（   ） A．6a B．8a C．9a D．12a 【变式3】 5．（单选题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：h）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数．某次演练中，搜索1h和3h后的未覆盖面积分别为和．下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ） 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 （2.5，2.6］ （2.6，2.7］ （2.7，2.8］ （2.8，2.9］ 参考数据：． A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【变式4】 6．（多选题） （25-26高三下·江西抚州·阶段检测） 氚是氢的同位素之一，它的原子核带有放射性，会发生衰变.若样本中氚的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足关系式，其中表示氚原有的质量，则（    ） （参考数据：） A．经过年后，样本中的氚会全部消失 B．样本中氚的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间称作半衰期）为年 C．经过年后，样本中的氚的质量变为原来的 D．若年后，样本中氚的质量为，则 【变式5】 7．（多选题） （25-26高三下·四川成都·开学考试） 某地区为研究森林中某种鸟类的种群数量变化，使用公式：来研究种群数量的变化趋势，其中为最终预测数量，为初始数量，k为种群数量的年增长率，n为预测的年数，则（   ） A．当，则这期间种群数呈下降趋势 B．当，则这期间种群数呈下降趋势 C．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为1061 D．若初始数量，年增长率为，则2年后预测种群数量约为2991 【变式6】 8．（填空题） （26-27高三上·湖南·阶段检测） 某菌种数量（单位：个）随时间（单位：小时）的变化满足指数增长模型，若，则的最小值为________小时． 题型二　对数函数模型与量级换算（共9小题） 【知识积累】 对数模型： 把“倍数关系”转化为“差”，自变量成倍增长时因变量只增加固定量； 则 每增加 ， 变为原来的 倍，属指数增长，两者不要混用。 比值为对数差：，这是“量级”换算的核心：比值扩 倍，对数值只加 。 求参：两个已知点代入 得方程组解 、；求某点对应的真数时把对数式还原为指数式。 常用对数运算：、、；参考数据只给 、 等，需把数值分解成 2、3、5、10 的积。 易错：； 与 的底混用；参考数据位数不足时中间步骤过早取近似。 【典例1】 9．（单选题） （26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测） 研究表明地震释放的能量E(单位：焦耳)与震级M之间的关系为 (其中λ， μ为常数).已知3级地震所释放的能量为焦耳，4级地震所释放的能量为 焦耳，则5.8级地震所释放的能量约为（    ）(参考数据：，) A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【典例2】 10．（单选题） （2026·重庆·模拟预测） 声强级，是指声强（单位：W/m2）和定值（单位：W/m2）比值的常用对数值再乘以10，即声强级（单位：dB）.已知人与人交谈时的声强级约为45dB，一种火箭发射时的声强和人与人交谈时的声强的比值约为，那么这种火箭发射的声强级约为（    ） A．150 dB B．285 dB C．145 dB D．235 dB 【变式1】 11．（单选题） （26-27高三上·北京海淀·阶段检测） 二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】 12．（单选题） （26-27高三上·福建南平·阶段检测） 深海发光生物单次发光释放的光能（单位：焦耳）与发光强度等级之间的关系为，则发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能约是发光强度为级的发光生物单次发光释放的光能的（    ）（参考数据：） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式3】 13．（单选题） （2026·陕西安康·模拟预测） 已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（    ） A． B． C． D． 【变式4】 14．（多选题） （2026·河南南阳·模拟预测） 在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（    ）（参考数据：） A．响度级每增加10方，响度约增加一倍 B．响度级为40方，响度为1宋 C．当响度为2宋时，响度级约为45方 D．当响度为8宋时，响度级约为70方 【变式5】 15．（多选题） （2026·河北秦皇岛·模拟预测） 地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中为地震震级.下列说法正确的是（    ） A．若地震震级增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍 B．若地震震级增加2级，则放出的能量增加到原来的20倍 C．若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量增加到原来的倍 D．若最大振幅增加到原来的100倍，则放出的能量也增加到原来的100倍 【变式6】 16．（填空题） （26-27高三上·山东德州·阶段检测） 已知火箭在时刻的速度为（单位：千米/秒），质量为（单位：千克），满足（为常数），分别为火箭初始速度和质量．假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为_________． 【变式7】 17．（填空题） （26-27高三上·广东深圳·开学考试） 住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度（单位：）之间近似满足函数关系式 ，其中 ，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风________周． 题型三　幂函数与经验公式模型（共3小题） 【知识积累】 幂模型：（、 为常数），两组数据代入后两式相除消 解 ，再代回求 ；比值关系常化成 。 开方/平方型经验公式：形如 、，先看两组数据能否唯一确定两个参数，再看第三组数据能否验证。 一次模型： 最简单，两点确定一直线；与幂、指数、对数模型比较时用“数据吻合程度”判断优劣。 比对定参：模型含多个常数时，用“代入—求差—比较”逐步消元；不要一次列含两个未知量的超越方程硬解。 易错：把 与 混为一谈； 求出多解未按范围取舍。 【典例1】 18．（单选题） （2026·江苏南通·模拟预测） 某厂准备投资万元生产两种产品，据测算，投产后的年收益，产品是该产品投入值的，产品是该产品投入值开平方的倍．当年收益总和最大时，两种产品的投入值之比是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 19．（单选题） （25-26高三上·四川雅安·开学考试） 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过6万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过6万元时，若超过多出的部分为A万元，则多出的部分按万元进行奖励．已知业务员小雨获得了2.9万元的奖金，那么他的销售利润是（    ） A．13万元 B．15万元 C．18万元 D．20万元 【变式1】 20．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第年底光伏太阳能板的保有量(单位：万块)满足模型，其中(单位：万块)为饱和度，(单位：万块)为初始值，为年增长率.若该地区年底的光伏太阳能板保有量约为万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为万块，则年底该地区光伏太阳能板的保有量约为_______万块.(结果保留整数，参考数据：，，) 题型四　分段函数与优化决策（共3小题） 【知识积累】 分段建模：按条件写出各段的解析式，注意分段点“谁开谁闭”：分段点归入唯一一段，且分段的函数值在该点通常应连续（否则要说明）。 区间内求最值：二次段用对称轴在区间内判断顶点；反比例段（如 ）用基本不等式求最小值，等号条件要落在该区间内。 分段比较：各段分别求最值，再比较大小取全局最值；不能只在一段上求最值就下结论。 恒成立与最值：“对任意 都成立”转化为求函数的最小值（或最大值）；含参数时分离参数， 恒成立 。 易错：忽略定义域（如 才能用 ）；等号条件不在区间内而误用等号；只比一段就结束。 【典例1】 21．（解答题） （2025·安徽合肥·一模） 城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. (1)求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； (2)若该线路每分钟的净收益为：（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【典例2】 22．（解答题） （24-25高三上·安徽合肥·阶段检测） 某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/． (1)写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价）） (2)设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%? 【变式1】 23．（解答题） （26-27高三上·江西·阶段检测） 某共享储能电站参与电网调频调峰服务，其核心PCS储能变流器的年运维总成本由固定折旧成本和可变损耗成本构成，其中年度固定折旧成本为1万元．经测算，可变损耗成本（单位：万元）与年启停次数（单位：次，）满足函数关系．已知当年启停次数为2时，年运维总成本为6万元；若将视为区间上的连续变量，则当时，年运维总成本取得最小值． (1)求，的值； (2)受区域电网调度能力限制，该变流器年启停次数最多为5次． （i）求年运维总成本的最小值及对应的启停次数； （ii）若恒成立，求实数的最小值． 题型五　基本不等式与实际最优化（共5小题） 【知识积累】 基本不等式：正数 满足 ； 型分组为 后分别用基本不等式。 凑型：（）； 要先换元或配出 。 等号条件： 即 ，该值必须落在实际定义域（含整数约束）内，否则最值改在端点取。 整数约束： 时先求连续区间最值点，再取该点两侧最近整数比较函数值。 易错：忽略正数前提与等号能否取得；把 直接套成定积；定义域写错导致端点不可取。 【典例1】 24．（解答题） （26-27高三上·安徽·阶段检测） 某校要建造一个高为6m，底面积为，且一面靠墙的长方体形状的体育馆，其中背面利用原有墙体．甲工程队报价为：体育馆前面新建墙体的报价为每平方米300元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米500元，屋顶和地面以及其他报价共计18000元．设体育馆左墙的长度为，且． (1)当左墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队竞标成功），求的取值范围． 【典例2】 25．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知两地的距离是根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在假设油价是7元/L，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，司机每小时的工资是35元，那么最经济的车速是多少（精确到）？如果不考虑其他费用，这次行车的总费用是多少（精确到1元）？ ． 【变式1】 26．（解答题） （25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测） 生态环境保护和经济发展是辩证统一､相辅相成的，建设生态文明､推动绿色低碳循环发展，不仅可以满足人民日益增长的优美生态环境需要，而且可以推动实现更高质量､更有效率､更加公平､更可持续､更为安全的发展，走出一条生产发展､生活富裕､生态良好的文明发展道路.某果树培育公司响应国家的号召，决定采用一种新型绿色肥料进行果树栽培，经多次试验发现：一棵果树果实的产量（单位：百千克）与新型绿色肥料的费用（单位：百元）满足关系，且投入的新型绿色肥料的费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种果树果实的市场售价为25元/千克（即25百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记栽培一棵该果树一年获得的利淘为（单位：百元） (1)求利润函数的函数关系式，并写出定义域. (2)当投入的新型绿色肥料的费用为多少时，栽培一棵该果树一年获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】 27．（解答题） （24-25高三·全国·一轮复习） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求的值及表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值. 【变式3】 28．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，它可以表示为商品数量的函数．现知一企业生产某种商品的数量为(件)时的成本函数为(万元)，如果售出一件商品的价格是20万元，那么该企业所能获取的最大利润为___________万元． 题型六　综合建模与几何应用（共4小题） 【知识积累】 模型选择：给三四个候选模型时，先看数据趋势（递增快慢、有无上限）筛掉不符合的，再用两组或三组数据定参，最后用剩余数据验证。 拟合检验：把模型算出的函数值与实测值逐点作差（或比较残差），残差更小的更合适；后期趋势明显改变时要另选模型。 几何最优化：用图形（矩形、圆内接、版面留白）列出面积或成本的一元函数，注意约束（面积一定、半径限制）与隐含范围。 综合题步骤：设元→列函数→化简（通分、换元）→求最值（基本不等式或二次函数）→代回解释实际意义并写单位。 易错：模型选错后参数无意义；只代两点不检验第三点；几何量之间的包含关系漏乘（如三个矩形拼接时漏乘 3）。 【典例1】 29．（解答题） （26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测） 据媒体报道: 2018年非洲爆发非洲猪瘟(英文名称: African Swine fever) 是由猪瘟病毒ASFV 引起家猪、非洲野猪以及欧洲野猪的感染，引发一种急性，出血性、烈性的传染病.2018年8月中国辽宁某卫生生物防疫调研组依据生猪的成活率y与生长周期x (时间单位：季度)分别在不同时段统计了一组数据，，对应如下：，且五组数据的散点图如图：    为了统计好当地的生猪成活率，研究员甲：选了两个不同的函数模型来拟合以上情况； ， 研究员乙在实际调研时发现： ①随着时间的推移，后期生猪的成活率又呈缓慢递增趋势： ②还计算了两拟合函数值与统计值之差的绝对值如下： A B C D 0.25 0.50 1 2 4.05 2.10 1.25 1 0.02 0.07 0 0 0.02 0.18 0.23 0.17 (1)依据研究员乙的研究发现，研究员甲应该选择哪个函数模型来拟合更合适，利用C，D两点计算出此函数模型的解析式； (2)在(1)的情况下，模型估计m的值，请说明在第几季度生猪的成活率最低. 【典例2】 30．（解答题） （25-26高三上·上海黄浦·期中） 研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温摄氏度 100 91 82.9 设茶水温度从经过x分钟后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②，；③， (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间精确到，（参考数据：，）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【变式1】 31．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完 (1)写出年利润W（x）万元关于年产量x台的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式2】 32．（解答题） （25-26高三上·贵州六盘水·阶段检测） 已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为（单位：），若部件的面积是．    (1)求y关于x的函数解析式，并求定义域； (2)为节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，最小值为多少？ 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $