第04讲 函数图象与零点 专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第04讲 函数图象与零点 专项训练（6大题型32题） （解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　函数图象的识别与变换 基础 第1—2题 2 题型二　零点存在定理与零点所在区间 基础 第3—9题 7 题型三　二分法求近似解 常考 第10—11题 2 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围 重点 第12—22题 11 题型五　分段函数与复合方程的零点 难点 第23—30题 8 题型六　零点和与综合应用 难点 第31—32题 2 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数图象的识别与变换（共2小题） 【知识积累】 平移： 的图象向左平移 （）个单位得 ，向右平移 个单位得 ；向上、向下平移 个单位分别得 、。 对称： 与 的图象关于 轴对称； 关于 轴对称； 关于原点对称。 伸缩：（）由 的图象横坐标变为原来的 得到；（）纵坐标变为原来的 倍。 翻折： 的图象由 的图象把 轴下方部分翻折到上方得到； 的图象保留 部分，再关于 轴对称。 识别图象：先看定义域、奇偶性、单调性、渐近线和特殊点（与坐标轴的交点、端点），再用排除法；含参数的图象题先定“临界位置”。 易错：左右平移是对 本身加减， 右移 个单位应写成 ，不是 ；先伸缩后平移时平移量要除以 。 【典例】 1．（单选题） （24-25高三上·江苏南通·开学考试） 函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称变换，伸缩变换，平移变换，即可求解． 【详解】函数的图象如图①关于轴对称可得，    再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得，    再将的图象向右平移2个单位得，即得    再将的图象沿轴翻折可得，即得图2． 故选：B． 【变式1】 2．（填空题） （26-27高三上·广西柳州·阶段检测） 已知函数，则函数的零点个数是__________. 【答案】7 【分析】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】由题意，令，解得或. 当时，，开口向下，对称轴为，，； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增. 作出的大致图象如下， 由图可知，直线与图象有3个交点； 直线与图象有4个交点. 所以函数的零点个数是7个. 题型二　零点存在定理与零点所在区间（共7小题） 【知识积累】 零点定义：使 的实数 叫做函数 的零点；零点是实数，不是点 。函数零点、方程 的实根、图象与 轴交点的横坐标三者等价。 零点存在定理：若 在闭区间 上的图象连续不断，且 ，则存在 ，使 。 定理只保证“至少一个”零点；若再加上 在 上单调，则零点唯一。 判断零点所在区间：先写定义域，判断连续性、单调性，再算区间端点值（或取特殊值）找异号；对数式常用 、 等。 表格型：相邻两个自变量对应的函数值异号，就说明该区间内至少有一个零点；只能数“异号区间”的个数，不能据此断定零点的准确个数。 易错：不写“连续”；忽略定义域；把“存在”当成“唯一”；端点值为 时该端点本身就是零点，不能再算作区间内零点。 【典例1】 3．（单选题） （25-26高三上·海南海口·阶段检测） 方程的实数根所在的区间是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将方程的根的问题转化为函数的零点问题，再根据零点存在定理求解即可. 【详解】令,在上单调递增，并且有 , 根据零点存在定理，使得 即方程的根所在的区间为. 故选：B. 【典例2】 4．（单选题） （2026·陕西西安·模拟预测） 函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 【变式1】 5．（单选题） （26-27高三上·江西吉安·开学考试） 已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段讨论，通过零点存在定理和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，， 令，解得， 所以函数在上没有零点，故排除A，B； 当时，，易知函数单调递减， 对于C，只需考虑区间， ，， 所以函数在区间上没有零点，即在区间上没有零点，排除C； 对于D，，，， 所以函数的零点在区间内. 【变式2】 6．（单选题） （24-25高三上·天津和平·期末） 设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用构造不同函数与反比例函数的交点横坐标就是零点，再通过数形结合来加以判断即可. 【详解】 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减，由图可得：， 又由，得，即函数与的交点横坐标就是， 根据递增且过点，在递减且过点，由图可得：， 由于，根据幂函数，解得，即，（也可以数形结合判断） 综上可知：， 故选：A. 【变式3】 7．（解答题） （26-27高三上·河北保定·阶段检测） 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）利用函数奇偶性得，联立解方程组即可求解； （2）（ⅰ）分析单调性，用零点存在性定理找区间即可得到的值； （ⅱ）构造奇函数，再利用函数单调性解不等式． 【详解】（1）由，得． 因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 则，联立， 解得，． （2）（ⅰ）由（1）可得， 因为，和在上都为增函数， 所以在上单调递增， 因为，， 所以，， 又，所以． （ⅱ）令．因为是奇函数，所以， 所以， 所以是奇函数， 又在上单调递增，所以在上单调递增， 由，得， 则， 则，解得或， 故不等式的解集为． 【变式4】 8．（解答题） （25-26高三上·广东深圳·阶段检测） 已知函数，其中为常数，且． (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点． 【答案】(1)； (2)证明：函数，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，且连续， 而，， 所以在上有唯一的零点. 【分析】（1）由奇函数的性质有，求解即可； （2）根据指数函数、分式型函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性判断区间零点个数，即可证. 【详解】（1）函数 的定义域为，关于原点对称， 由是奇函数，得 ， 解得； （2）略. 【点睛】方法点睛：判断函数的零点的个数的方法， 1.解方程法，方程的实数根的个数就是函数的零点的个数． 2.借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断． 3.如果函数图象易画出（比如一次函数，二次函数，指、对、幂函数），则可依据图象与轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如的函数，可依据函数与的图象的交点的个数来判断函数零点的个数． 【变式5】 9．（解答题） （21-22高三上·海南·阶段检测） 已知函数，定义域为的偶函数. (1)求实数b的值； (2)若，函数的负数零点有且仅有一个，求a的取值范围. 【答案】(1)1；(2). 【分析】(1)利用偶函数的定义即可求解；(2)利用指数函数的单调性以及复合函数单调性求出在上单调递减，然后结合已知条件可得到，进而求解不等式即可. 【详解】(1)因为为定义域为的偶函数， 所以，解得； (2)当时，， 由指数函数单调性和复合函数单调性易知，在上单调递减， 因为有且仅有一个负数零点，且当时，， 所以，即， 故a的取值范围为. 题型三　二分法求近似解（共2小题） 【知识积累】 适用条件：函数图象连续不断，且零点为变号零点（区间端点函数值异号）；不变号零点（如 的零点）不能用二分法。 操作：取区间 的中点 ，算 ；若 ，则 就是零点；否则保留与 异号的那一半区间。 区间长度：初始长度为 ，每二分一次长度减半， 次后长度为 。 精度：要求区间长度小于 时，解 ，取满足不等式的最小正整数 。 易错：把“区间长度”当成“精度”；次数算成 ；中点算错；对不变号零点使用二分法。 【典例】 10．（单选题） （20-21高三上·湖南长沙·期中） 用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由题可得经过n次操作后，区间的长度为，令即可求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半， 则经过n次操作后，区间的长度为，若，即. 故选：B． 【变式1】 11．（单选题） （20-21高三上·海南海口·期中） 用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，可得，，由零点存在定理可得结果. 【详解】设，在上单调递增. ∵，. ∴根据函数的零点存在性定理得出：的零点在区间内； 方程的解所在的区间为， 故选：B. 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围（共11小题） 【知识积累】 转化：方程 的实根个数等于直线 与 图象的交点个数。 分离参数：把含参方程化成 或 的形式，先画不含参函数 的图象，再平移水平线找交点个数的变化。 临界位置：图象的极值点、端点、渐近线、相切位置；参数经过临界值时，交点个数会发生改变，按区间分段写参数范围。 分段函数：逐段画图，注意端点空心、实心；水平线与各段图象的交点要逐段数，分段点单独检查。 二次方程根的分布：方程在 上有两个不等实根，需 、对称轴在 内、 与 同号（开口向上时为正）；只有一个实根时用 或端点为零单独讨论。 易错：临界值取不取；端点漏算；把“有解”当成“有两解”；参数在二次项系数上时忘记讨论 。 【典例1】 12．（单选题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解法1：令得．由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知． 解法2：当时，． 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项． 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A． 【典例2】 13．（单选题） （2026·内蒙古赤峰·一模） 已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据分段函数的组成，分别求解方程计算即得. 【详解】因， 当时，即，解得或，均符合题意； 当时，即，解得，符合题意. 故方程根的个数为3. 【变式1】 14．（填空题） （26-27高三上·江苏连云港·阶段检测） 设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【答案】 【详解】因为函数有且只有一个零点，即关于的方程有且只有一个实数根. 当时，方程的解为，符合题意； 当时，，解得或； 综上所述， 的取值集合为. 【变式2】 15．（填空题） （26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测） 已知函数，则______，的零点个数为______． 【答案】 27 2 【详解】因为，所以． 令，得．函数的部分图象如图所示． 由图可知的图象与的图象有两个公共点，所以有两个零点． 【变式3】 16．（填空题） （26-27高三上·江苏盐城·阶段检测） 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】令，则原方程转化为，分段解得或时，再分和进行求解. 【详解】令，则原方程转化为， 当时，，解得； 当时，，因为，所以该方程仅当时才有解，此时解为. 当时，的解为或，即或， 当时，，的解为，的解为； 当时，，故均为解. 因为时原方程有无数个实根，不符合题意，故. 当时，时无解，故有唯一解，即. 当时，，的解为，存在一个实根； 则当时，无解，即在时无解，时， 所以或，即或. 综上，. 【变式4】 17．（单选题） （26-27高三上·宁夏银川·阶段检测） 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数，的图象，分、、和四种情况讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数，的图象，如图所示， 令，则即为， 若，则方程没有根，不合题意； 若，则方程有且仅有1个根，即， 可知方程有且仅有2个不相等根，不合题意； 若，则方程有2个不相等实根，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 所以方程有4个不相等实根，不合题意； 若，则方程有3个不相等实根，，， 方程有且仅有2个不相等实根，且方程有且仅有2个不相等实根， 由题意可知方程有且仅有2个不相等实根，则或， 可得； 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题的关键是将方程根的问题转化为复合函数的零点个数问题，利用函数图象对参数进行分类讨论求解. 【变式5】 18．（多选题） （26-27高三上·广西柳州·阶段检测） 已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先去绝对值，得到，画出对应图像，有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，对于BCD，结合，，，，验证选项即可. 【详解】由题可知，，绘制图象如下所示. 令,解得， 令,解得， 令，解得， 令,解得. 对于A，因为方程有四个不等的实数解，所以与有四个不同的交点，由图象可知，故A错误. 对于B，,则,故B正确 对于C,， ，所以，C正确； 对于D，， 因为，， 所以，故，D错误. 【变式6】 19．（填空题） （26-27高三上·江西·阶段检测） 若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题研究分段函数与含参绝对值函数的图像交点个数问题，将图像交点问题转化为方程实数解的个数问题；对参数分类讨论，结合绝对值的定义拆分方程，利用一元二次方程判别式与根的分布，判断根的个数与根所在区间，进而求出参数的取值范围． 【详解】函数的图象与函数的图象有4个不同的交点等价于有个不同的实数解， 当时，对于，，解得或，对于，，解得（舍去），故有个不同的实数解，不满足题意； 当时， 对于，，则或化简为或，两个实数解不同且小于零，满足条件， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为， 又该一元二次方程，所以化简后的方程有两个不相等的实数解，且一个为正实数解，一个为负实数解（舍去）， 故有个不同的实数解； 当时， 对于，，即，解得或，均不满足，该区间无解， 对于，，易知是方程的解，当时，可转化为，即或， 一元二次方程的，其有两个不相等的实数解，取其中正实数解，该解落在区间符合条件，负实数解舍去， 欲使有个不同的实数解，则有两个不相等且大于的正实数解，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是． 【变式7】 20．（解答题） （26-27高三上·河南驻马店·开学考试） 已知函数，若函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若集合，求集合； (3)若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据得出，再根据分类讨论求出，再代入检验即可； （2）结合函数图象，分、两种情况，利用对称性和单调性可得； （3）将问题转化为方程在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在，结合二次函数图象求解. 【详解】（1）因为函数的图象关于直线对称，所以，即， 两边平方得：，整理得：， 所以，即， 再由，得，即. 当时，，解得； 当时，，无解. 所以. 当时，， 则， 所以符合题意. （2）因为，作出函数的大致图象如下图所示， 由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 当时，，所以，所以符合题意； 当时， 因为，所以，等价于， 因为，，所以，解得，所以. 综上所述，； （3）因为函数有两个不同零点，且， 即有两个不等根，且，， 令，则①，， 所以方程①在上有一根另一根小于2或有两个相等根均在. 令， 则有或， 解得或， 则实数的取值范围为：. 【变式8】 21．（解答题） （2026·江苏淮安·一模） 已知函数. (1)若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； (2)设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数先去绝对值，再代入方程，然后分离参数得到新函数，新函数是一个二次函数，通过二次函数的性质即可解得的取值范围. （2）函数先去绝对值后取得在区间上的最小值，再将其与一同代入不等式中，对不等式进行转化即可解得的取值范围. 【详解】（1）当时，，故， 代入，得： 分离参数，得：， 又因为函数开口向下且其对称轴为， 所以， 所以的取值范围为. （2）当时，， ， 因为在上单调递减， 所以； 当时，， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以； 又因为， 所以，， 所以且， 的取值范围为. 【变式9】 22．（解答题） （26-27高三上·山西·开学考试） 已知函数． (1)当时，解不等式 (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)利用对数的性质可求解； （2）先利用对数函数的单调性得到，化简可得，分类讨论并结合定义域可求解. (3)利用复合函数的单调性可知在上单调递减，从而得到，分离参数可得，结合换元法和函数单调性可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，即， 由，得，或； 由，得， 故原不等式的解集为． （2）由， 得，所以， 由，得， 即，① 当时，方程①的解为，经检验符合题意； 当，即时，方程①的解为，经检验符合题意； 当且时，方程①的解为，或， 若是原方程的解，则，所以， 若是原方程的解，则，所以， 因为中仅有一个是原方程的解，则和中仅有一个成立， 所以． 综上所述，的取值范围为． （3）， 令，则在上单调递减， 所以，， 由题意得，即， 所以． 设，因为，则， 所以， 当，即时，， 当时，即， 因为在上单调递减，所以， 所以， 所以，即的取值范围是． 题型五　分段函数与复合方程的零点（共8小题） 【知识积累】 换元分层：令 ，把 化为 ；先求 的所有可能值，再对每个 解 ，最后合并解集。 每一层都要写定义域： 必须落在 的值域内，否则 无解。 分段函数求零点：按分段区间分别解方程，解出的根必须落在该段内；分段点单独代入检验，避免重复计数或漏算。 绝对值方程：（）等价于 ； 等价于 ；含 时按 与 去绝对值。 复合方程根的个数：先由外层方程求出 的个数，再分别数每个 对应的 的根的个数，最后相加；不能把外层方程的根数直接当成原方程的根数。 易错：换元后不回代；解出的 不在 的值域内；分段点重复计数；把“零点”写成坐标点。 【典例1】 23．（单选题） （26-27高三上·河北张家口·阶段检测） 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．30 【答案】C 【分析】先求出时函数的零点，结合函数周期得到零点个数 【详解】时，，令得， 解得或2， 又，即的一个周期为3， 所以函数在区间上的零点个数为. 【典例2】 24．（单选题） （26-27高三上·江西宜春·开学考试） 函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，令，得到，解得或（舍）， 当时，，令，得到，即，解得， 所以函数的零点个数为个. 【变式1】 25．（填空题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 已知函数则的零点之和为_____________． 【答案】1 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得, 所以的零点之和为． 【变式2】 26．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 已知函数，则方程的实根个数为_________. 【答案】7 【分析】令，则，进而分和解方程得，再讨论取相应值时方程的根的个数即可得答案. 【详解】解：令，原方程等价于 ①当时，有，即，解得或，均满足； ②当时，有 所以， 综上，的解：， 接下来分别解方程，，整理得， 当时，，有2个实根； 当时，，有2个实根； 当时，，有2个实根； 当时，，有1个实根， 所以，方程的实根个数为. 【变式3】 27．（填空题） （26-27高三上·重庆北碚·开学考试） 函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】先分析函数的图像，再把函数有6个零点转化为二次函数根的分布问题，最后列不等式求解即可. 【详解】函数有6个零点,即有6个解，令，原方程化简为， 草图如下 要想有6个解需满足有2个解， 且，令，是开口向上的二次函数，对称轴为， 如下图： 所以，即， 解得：，即. 【变式4】 28．（多选题） （26-27高三上·江苏苏州·阶段检测） 设函数，下列说法正确的有（     ） A． B．对任意，都有 C．方程恰有2个不同的实数解 D．若关于x的方程有2个不同的实数解，则 【答案】BCD 【分析】求出，判断A；分段分析的取值范围，判断B；分段分析方程的解，判断C；令，，结合的取值范围，可得的取值范围，判断D. 【详解】由函数，则，所以A错误； 当时，， 当时，反复除以，可得，且，所以. 综上所述，对任意，都有，所以B正确； 当时，方程等价于，即， 解得或（舍去）； 当时，，，. 方程等价于，即，所以； 当时，，所以方程无解. 综上所述，方程恰有2个不同的实数解，所以C正确； 当时，，； 当时，，，. 令，若，则方程恒有一个解，； 若，则方程有无穷多个解，. 当时，； 当时，. 若，只有，对应唯一的； 若，则有. 其中总对应一个；只对应一个，当且仅当，即， 否则对应无穷多个. 当时没有解. 综上，若关于x的方程恰有个不同实数解，则，所以D正确. 【变式5】 29．（解答题） （26-27高三·全国·一轮复习） 设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1). (2)∪[2，＋∞）． 【详解】（1）若，则；作出的图像，如图所示，的最小值为. （2）设， ①若时，与轴有一个交点，则， 此时函数图像在上与轴也只有一个交点，或，， 又因为，所以. ②若函数的图像与轴没有交点，， 若，即，此时或它们均不在范围内， 此时在无零点，此时不符合题意，故舍去 当时，或， 此时函数的图像在与轴有两个交点，符合题意，此时. 综上所述，实数a的取值范围为. 【变式6】 30．（解答题） （21-22高三上·江苏无锡·阶段检测） 已知函数，其中a>0且a≠1． （1）若0<a<1，解不等式f()>f(x)， （2）若a>1，关于x的方程在[，+∞)有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】(1)根据给定条件确定函数的单调性，再利用单调性解不等式即可； (2)令，原问题等价转化成方程在上有解的问题解决即可. 【详解】(1)当0<a<1时，函数在上单调递减，则由f()>f(x)得：， 因，则，于是不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为； (2)当a>1时，函数在上单调递增，则时，， 令，则关于x的方程在[，+∞)有解，等价于方程在上有解， 令，，当时，在上单调递增，， 方程在上有解，当且仅当，解得，而，于是得， 当时，而二次函数图象开口向上，则， 方程在上有解，当且仅当，解得，而，于是得， 综上得：， 所以实数m的取值范围是. 题型六　零点和与综合应用（共2小题） 【知识积累】 对称性：若 的图象关于直线 对称，则 ；若 是 的一对对称根，则 。 中心对称：若图象关于点 对称，则 ；一对对称根的和仍为 。 奇偶性：奇函数图象关于原点对称， 的根成对相反；偶函数图象关于 轴对称，根也成对相反。 周期性：若 ，则每个周期内 的根分布相同；求所有根之和时，先求一个周期内的和，再按周期平移累加。 零点存在证明：写清“连续”“端点异号”“单调（唯一）”三句话；证明唯一性时不能只靠图象。 恒成立：，；，；双变量问题注意量词顺序。 【典例】 31．（解答题） （26-27高三上·山东德州·阶段检测） 设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. 【答案】(1) (2)当时，所有实根之和为；当时，所有实根之和为。 【分析】（1）首先根据函数的奇偶性求解的解析式，再根据已知条件求得的解析式，进而求得答案； （2）首先画出函数在上的图象，然后结合图象根据对称性求得函数实根之和. 【详解】（1）若，则，则， 因为为奇函数，所以，即，. 所以当时，. 若，则， 因为，所以. 综上，当时，的解析式为. （2）作出函数在上的图象，如图， 则函数的最小值为， 若，则方程在上的解为或，则； 若，则在上有个解，且它们分别关于直线和对称， 设它们从小到大依次为，，，，则，，则. 综上可得，当时，的所有实根之和为， 当时，的所有实根之和为. 【变式1】 32．（解答题） （20-21高三上·江苏南通·阶段检测） 已知是定义在上的奇函数，且当时，，. （1）若函数恰有三个不相同的零点，求实数的值； （2）记为函数的所有零点之和.当时，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】（1）作出函数的图象，函数恰有三个不相同的零点，即直线与函数的图象有三个不同的交点，由图象可得实数的值； （2）由的图象可知，当时，有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出，进而可得的取值范围． 【详解】（1）作出函数的图象，如图， 由图象可知，当且仅当或时，直线与函数的图象有三个不同的交点， ∴当且仅当或时，函数恰有三个不相同的零点. （2）由的图象可知，当时，有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为，，，，，， 则，，是方程的解，是方程的解. ∴ 当时，，∵ ∴当时，的取值范围为. 【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第04讲 函数图象与零点 专项训练（6大题型32题） （原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　函数图象的识别与变换 基础 第1—2题 2 题型二　零点存在定理与零点所在区间 基础 第3—9题 7 题型三　二分法求近似解 常考 第10—11题 2 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围 重点 第12—22题 11 题型五　分段函数与复合方程的零点 难点 第23—30题 8 题型六　零点和与综合应用 难点 第31—32题 2 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数图象的识别与变换（共2小题） 【知识积累】 平移： 的图象向左平移 （）个单位得 ，向右平移 个单位得 ；向上、向下平移 个单位分别得 、。 对称： 与 的图象关于 轴对称； 关于 轴对称； 关于原点对称。 伸缩：（）由 的图象横坐标变为原来的 得到；（）纵坐标变为原来的 倍。 翻折： 的图象由 的图象把 轴下方部分翻折到上方得到； 的图象保留 部分，再关于 轴对称。 识别图象：先看定义域、奇偶性、单调性、渐近线和特殊点（与坐标轴的交点、端点），再用排除法；含参数的图象题先定“临界位置”。 易错：左右平移是对 本身加减， 右移 个单位应写成 ，不是 ；先伸缩后平移时平移量要除以 。 【典例】 1．（单选题） （24-25高三上·江苏南通·开学考试） 函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】 2．（填空题） （26-27高三上·广西柳州·阶段检测） 已知函数，则函数的零点个数是__________. 题型二　零点存在定理与零点所在区间（共7小题） 【知识积累】 零点定义：使 的实数 叫做函数 的零点；零点是实数，不是点 。函数零点、方程 的实根、图象与 轴交点的横坐标三者等价。 零点存在定理：若 在闭区间 上的图象连续不断，且 ，则存在 ，使 。 定理只保证“至少一个”零点；若再加上 在 上单调，则零点唯一。 判断零点所在区间：先写定义域，判断连续性、单调性，再算区间端点值（或取特殊值）找异号；对数式常用 、 等。 表格型：相邻两个自变量对应的函数值异号，就说明该区间内至少有一个零点；只能数“异号区间”的个数，不能据此断定零点的准确个数。 易错：不写“连续”；忽略定义域；把“存在”当成“唯一”；端点值为 时该端点本身就是零点，不能再算作区间内零点。 【典例1】 3．（单选题） （25-26高三上·海南海口·阶段检测） 方程的实数根所在的区间是（  ） A． B． C． D． 【典例2】 4．（单选题） （2026·陕西西安·模拟预测） 函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1】 5．（单选题） （26-27高三上·江西吉安·开学考试） 已知函数则下列区间中存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】 6．（单选题） （24-25高三上·天津和平·期末） 设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3】 7．（解答题） （26-27高三上·河北保定·阶段检测） 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且． (1)求，的解析式； (2)令函数． （ⅰ）已知，且，，求的值； （ⅱ）求不等式的解集． 【变式4】 8．（解答题） （25-26高三上·广东深圳·阶段检测） 已知函数，其中为常数，且． (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点． 【变式5】 9．（解答题） （21-22高三上·海南·阶段检测） 已知函数，定义域为的偶函数. (1)求实数b的值； (2)若，函数的负数零点有且仅有一个，求a的取值范围. 题型三　二分法求近似解（共2小题） 【知识积累】 适用条件：函数图象连续不断，且零点为变号零点（区间端点函数值异号）；不变号零点（如 的零点）不能用二分法。 操作：取区间 的中点 ，算 ；若 ，则 就是零点；否则保留与 异号的那一半区间。 区间长度：初始长度为 ，每二分一次长度减半， 次后长度为 。 精度：要求区间长度小于 时，解 ，取满足不等式的最小正整数 。 易错：把“区间长度”当成“精度”；次数算成 ；中点算错；对不变号零点使用二分法。 【典例】 10．（单选题） （20-21高三上·湖南长沙·期中） 用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】 11．（单选题） （20-21高三上·海南海口·期中） 用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 题型四　由图象交点求零点个数与参数范围（共11小题） 【知识积累】 转化：方程 的实根个数等于直线 与 图象的交点个数。 分离参数：把含参方程化成 或 的形式，先画不含参函数 的图象，再平移水平线找交点个数的变化。 临界位置：图象的极值点、端点、渐近线、相切位置；参数经过临界值时，交点个数会发生改变，按区间分段写参数范围。 分段函数：逐段画图，注意端点空心、实心；水平线与各段图象的交点要逐段数，分段点单独检查。 二次方程根的分布：方程在 上有两个不等实根，需 、对称轴在 内、 与 同号（开口向上时为正）；只有一个实根时用 或端点为零单独讨论。 易错：临界值取不取；端点漏算；把“有解”当成“有两解”；参数在二次项系数上时忘记讨论 。 【典例1】 12．（单选题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】 13．（单选题） （2026·内蒙古赤峰·一模） 已知函数，则方程根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】 14．（填空题） （26-27高三上·江苏连云港·阶段检测） 设为实数，函数，若有且只有一个零点，则的取值集合为__________． 【变式2】 15．（填空题） （26-27高三上·内蒙古赤峰·阶段检测） 已知函数，则______，的零点个数为______． 【变式3】 16．（填空题） （26-27高三上·江苏盐城·阶段检测） 已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是_________. 【变式4】 17．（单选题） （26-27高三上·宁夏银川·阶段检测） 已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5】 18．（多选题） （26-27高三上·广西柳州·阶段检测） 已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则（     ） A． B． C． D． 【变式6】 19．（填空题） （26-27高三上·江西·阶段检测） 若函数的图象与函数的图象有4个不同的交点，则实数的取值范围是__________． 【变式7】 20．（解答题） （26-27高三上·河南驻马店·开学考试） 已知函数，若函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)若集合，求集合； (3)若函数有且仅有两个零点，且时，求实数的取值范围. 【变式8】 21．（解答题） （2026·江苏淮安·一模） 已知函数. (1)若关于的方程在上有实数解，求的取值范围； (2)设，若对任意的，，都有，求的取值范围. 【变式9】 22．（解答题） （26-27高三上·山西·开学考试） 已知函数． (1)当时，解不等式 (2)若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围； (3)设，若，在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 题型五　分段函数与复合方程的零点（共8小题） 【知识积累】 换元分层：令 ，把 化为 ；先求 的所有可能值，再对每个 解 ，最后合并解集。 每一层都要写定义域： 必须落在 的值域内，否则 无解。 分段函数求零点：按分段区间分别解方程，解出的根必须落在该段内；分段点单独代入检验，避免重复计数或漏算。 绝对值方程：（）等价于 ； 等价于 ；含 时按 与 去绝对值。 复合方程根的个数：先由外层方程求出 的个数，再分别数每个 对应的 的根的个数，最后相加；不能把外层方程的根数直接当成原方程的根数。 易错：换元后不回代；解出的 不在 的值域内；分段点重复计数；把“零点”写成坐标点。 【典例1】 23．（单选题） （26-27高三上·河北张家口·阶段检测） 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（    ） A．10 B．18 C．20 D．30 【典例2】 24．（单选题） （26-27高三上·江西宜春·开学考试） 函数的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】 25．（填空题） （2026·陕西榆林·模拟预测） 已知函数则的零点之和为_____________． 【变式2】 26．（填空题） （26-27高三上·上海浦东新·阶段检测） 已知函数，则方程的实根个数为_________. 【变式3】 27．（填空题） （26-27高三上·重庆北碚·开学考试） 函数,若函数有6个零点，则实数的取值范围为______. 【变式4】 28．（多选题） （26-27高三上·江苏苏州·阶段检测） 设函数，下列说法正确的有（     ） A． B．对任意，都有 C．方程恰有2个不同的实数解 D．若关于x的方程有2个不同的实数解，则 【变式5】 29．（解答题） （26-27高三·全国·一轮复习） 设函数 (1)若，求的最小值； (2)若恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【变式6】 30．（解答题） （21-22高三上·江苏无锡·阶段检测） 已知函数，其中a>0且a≠1． （1）若0<a<1，解不等式f()>f(x)， （2）若a>1，关于x的方程在[，+∞)有解，求实数m的取值范围． 题型六　零点和与综合应用（共2小题） 【知识积累】 对称性：若 的图象关于直线 对称，则 ；若 是 的一对对称根，则 。 中心对称：若图象关于点 对称，则 ；一对对称根的和仍为 。 奇偶性：奇函数图象关于原点对称， 的根成对相反；偶函数图象关于 轴对称，根也成对相反。 周期性：若 ，则每个周期内 的根分布相同；求所有根之和时，先求一个周期内的和，再按周期平移累加。 零点存在证明：写清“连续”“端点异号”“单调（唯一）”三句话；证明唯一性时不能只靠图象。 恒成立：，；，；双变量问题注意量词顺序。 【典例】 31．（解答题） （26-27高三上·山东德州·阶段检测） 设是定义在上的奇函数，，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)当时，求方程的所有实根之和. 【变式1】 32．（解答题） （20-21高三上·江苏南通·阶段检测） 已知是定义在上的奇函数，且当时，，. （1）若函数恰有三个不相同的零点，求实数的值； （2）记为函数的所有零点之和.当时，求的取值范围. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $