(练案)第2章第9讲 函数模型及其应用-2023年新高考数学【衡中学案】一轮总复习(通用版)

5. (0,1] 　 当 x > 0 时,由 f(x) = ln x = 0,得 x = 1. 因为函数 f( x)有两个不 同的零点,则当 x≤0 时,函数 f( x) = 2x - a 有一个零点. 令 f( x) = 0,得 a =2x,因为 0 <2x≤20 =1,所以0 < a≤1,所以实数 a 的取值范围是(0,1]. 第九讲　 函数模型及其应用 知识梳理 知识点 递增　 递增　 快　 慢　 y 轴　 x 轴 双基自测 1. (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × [解析] 　 (1)当 x = - 1 时,2 - 1 < ( - 1) 2 . (2)“指数爆炸”是针对 b > 1,a > 0 的指数型函数 g(x) = a·bx + c. (3)幂函数增长速度是逐渐加快的,当变量较小时,其增长很缓慢,题目 说的太绝对,也没有任何条件限制. (4)当 a∈(0,1)时存在 x0,使 ax0 < xa0 < logax0 . 2. D　 3. D　 根据 x = 0. 50,y = - 0. 99,代入计算,可以排除 A;根据 x = 2. 01, y = 0. 98,代入计算,可以排除 B、C;将各数据代入函数 y = log2 x,可知满 足题意,故选 D. 4. A　 ∵ 繁殖数量 y 只与时间 x 年的关系为 y = alog3(x + 1),这种动物第 2 年有 100 只, ∴ 100 = alog3(2 + 1),∴ a = 100,∴ y = 100log3(x + 1), ∴ 当 x = 8 时,y = 100log3(8 + 1) = 100 × 2 = 200. 故选 A. 5. C　 本题以 Logistic 模型和新冠肺炎为背景考查指数、对数的运算. 由题 意可得 I( t∗) = K 1 + e - 0. 23( t∗ - 53) = 0. 95K,化简得 e - 0. 23( t∗ - 53) = 119 ,即 0. 23( t∗ - 53) = ln 19,所以 t∗ = ln 190. 23 + 53≈ 3 0. 23 + 53≈66. 故选 C. 考点突破·互动探究 例 1. [解析] 　 (1)通过题图可知 A 不正确,并不是逐月增加,但是每一年 是递增的,所以 B 正确. 从图观察 C 是正确的,D 也正确,1 月至 6 月比较 平稳,7 月至 12 月波动比较大. 故选 A. (2)v = f(h)是增函数,且曲线的斜率应该是先变大后变小,故选 B. [答案] 　 (1)A　 B 例 2. [解析] 　 (1)依题设知,总成本为(20 000 + 100x)元, 则 y = - 12 x 2 + 300x - 20 000,0 < x≤400,且 x∈N, 60 000 - 100x,x > 400,且 x∈N. { (2)当 0 < x≤400 时,y = - 12 (x - 300) 2 + 25 000, 故当 x = 300 时,ymax = 25 000; 当 x > 400 时,y = 60 000 - 100x 是减函数, 故 y < 60 000 - 100 × 400 = 20 000. 所以当月产量为 300 辆时,自行车厂的利润最大,最大利润为 25 000 元. 例 3. [解析] 　 对于函数 y = 0. 04x,当 x = 100 时,y = 4 > 3,不合题意;对于 函数 y = 1. 015x - 1,当 x = 100 时,y = 3. 432 > 3,不合题意;对于函数 y = tan x19 - 1( ),不满足递增的情况,不合题意;对于函数 y = log11 (3x - 10),当 x∈(6,100]时是增函数,且 y≤log11 (3 × 100 - 10) = log11290 < log111 331 = 3,结合y = log11(3x - 10)与 y = 1 5 x 的图象(图略)可知 D 项 符合题意. 故选 D. [答案] 　 D [变式训练] [答案] 　 (1)A　 (2)402　 [解析] 　 (1)根据题意,要使附加税不少于 128 万元,需 30 - 52 R( ) × 160 × R%≥128, 整理得 R2 - 12R + 32≤0,解得 4≤R≤8,即 R∈[4,8]. (2)∵ v = 2 000ln 1 + Mm( ), ∴ 火箭的最大速度可达 12 km / s, 即 12 000 = 2 000ln 1 + Mm( ), 可得 ln 1 + Mm( )= 6,1 + M m = e 6, 解得 M m = e 6 - 1≈402. 名师讲坛·素养提升 [变式训练 2]