第6讲三角函数的零点方程与恒成立讲义-2027届高三数学一轮复习

三角函数的零点、方程与恒成立 高三数学专题复习 · 三角第六讲 0 题型概说 本讲研究的问题：三角函数的零点个数（ “在区间内恰有 个零点”“无零点” ）、方程 或 的解（个数、参数范围、解的对称求值）、恒成立与存在性（ “ 恒成立”“存在参数使某性质成立” ）。零点是函数性质的交汇口：化简定形之后，零点问题本质是相位方程的解的计数与定位。 处理的总纲：先化简定形，再做相位窗口计数，最后结构转化。标准形的零点方程 的解是等差数列，“恰有 个零点”即长度为 的相位窗口内恰含 个等差项；非标准形（分段、复合、乘积）按结构拆解为零点集的并；恒成立问题分离参数后归结为最值。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 “恰有 个零点/极大值点/对称轴”、无零点、 的范围 相位窗口计数 单元一 两曲线交点、两零点的 、 交点方程与对称求值 单元二 复合解析式、分段函数的零点、零点数列 结构拆解 单元三 恒成立、恒有解、存在参数使性质成立 分离参数与存在性 单元四 单元一 区间恰根与参数 1.1 识别特征 “ 在 上恰有 个零点，求 ”、“区间内无零点，求 ”、“恰有两个极大值点和三个对称中心”——解析式（含 、、 之一）已知形态，由解的个数反求参数范围。 1.2 结论与推导 结论 1.1（相位窗口计数模型）　 的零点满足 ，解是公差为 的等差数列； 上的零点个数 ⟺ 相位窗口 （开闭与原区间一致）内含等差项 的个数。极大值点、对称轴、对称中心分别对应相位 、、，计数方式相同。 推导：相位是 的线性函数，一一对应地搬动窗口；解集的等差结构使计数归为”窗口覆盖了多少项”。 结论 1.2（端点开闭规则）　原区间端点开（闭）则窗口端点开（闭），端点处的解计或不计。“恰有 个解”定位参数：第 个解必须落进窗口（含该端则不等号带等号）、第 个解必须落在窗口外（不含该端则严格小）——两个不等式夹出参数范围。 推导：等差项按大小排序，第 项与第 项与窗口右端的大小比较完全决定个数；开闭差一个等号。 结论 1.3（整数窗口与符号处理）　 时先翻转（  ）化为正再看窗口方向；参数筛选出现”窗口内恰有 个整数”时，直接枚举这 个整数（如  ），由”最小者大于窗口左端、最大者不超过窗口右端”列不等式。 推导：负系数使 增大时相位减小，窗口左右互换；等差项的具体值由参数的整数倍关系枚举。 1.3 方法决策表 题面 动作 恰有 个零点/最值点/轴 相位等差项计数（结论 1.1） 端点处是否算解 开闭规则（结论 1.2） 、整数解筛选 翻转与枚举（结论 1.3） 二次方程因式分解后的两组解 分组各自计数再相加（见单元三） 例题精讲 例 1（解答题） 已知函数 （  ）的最小正周期为 ． （1）求 的值； （2）将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 在区间 上有且仅有 个零点，求 的取值范围． ●解析 （1）积化和：（结论 1.1 化简定形），，得 。 （2）平移后 。零点：，即 或 ，解得 或 （  ）。零点从小到大：（结论 1.2 端点开闭： 须夹住第 个而放走第 个）：。 【答案】（1）；（2） 例 2（解答题） 已知函数 ． （1）求曲线 的对称轴方程； （2）若关于 的方程 （  ）在 上恰有 个解，求 的取值范围． ●解析 （1）。对称轴：，即 （  ）。 （2） 即 。、 时相位 。 的解 、、：窗口左端 恰是第一个解（  ），由结论 1.2 端点开闭，恰有 个解须第二个解 进窗、第三个解 不进窗：，解得 。 【答案】（1）（  ）；（2） 变式训练 变 1（填空题） 已知函数 （ ， ）是奇函数，函数 的图象在区间 上恰有 条对称轴，则 的取值范围为________． ●解析 为奇函数：，，结合 得 ，。对称轴：，即 。 内恰有 条 ⟺ （  ）恰含两个整数，只能是 ：（结论 1.3 枚举），解得 。 【答案】 变 2（填空题） 已知函数 （ ，， ）， 为坐标原点，将曲线 与坐标轴的所有交点用点列 表示，其中 ，数列 的前三项分别为 ，，，则 的值为________． ●解析 三个交点候选： 与 是零点， 距原点为 。先排除 为 轴交点 ：若某 为零点，则存在整数 使 ，即 为 的有理倍数；又零点 型满足 ，结合 递推可得一切零点均为 的有理倍数——而 不是 的有理倍数，矛盾。故 是 轴交点 ，且 给出 ， 即 。 于是相邻零点 与 相距 ，，。由 ：，结合 得 ；，故 。 【答案】 变 3（填空题） 若函数 在区间 有且仅有两个零点，则实数 的最大值为__________． ●解析 化简：。 时相位 （开窗口），零点相位 。恰含两个：（结论 1.2：右端开则第 个零点取不到时允许等号），解得 ，最大值为 。 【答案】 变 4（填空题） 若函数 在区间 上有且仅有 个零点，则 的最小值为______． ●解析 时相位 （闭窗口），零点相位 。恰含三个：（右端开，第 个零点取不到；左端闭，第 个零点 须取到），解得 ，最小值为 。 【答案】 变 5（填空题） 若函数 在区间 内没有零点，则正数 的取值范围是____． ●解析 零点满足 ，即 。窗口内无零点 ⟺ （  ）无整数解。无整数解的必要条件：开窗口长 不超过相邻零点间隔 ，得 ；此时窗口 ，须不含正整数：右端 ，即 ，。故 。 【答案】 变 6（单项选择题） 已知函数 （  ）在区间 恰有两个极大值点、三个对称中心，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 时相位 （开窗口）。极大值点相位 ： 与 两个在窗内、 不在；对称中心相位 ： 三个在窗内、 不在。窗口两端皆开：含 须严格大于，排除 允许取等，故 （结论 1.2），解得 。故选 A。 【答案】A 单元二 交点与两零点 2.1 识别特征 两曲线 与 的交点个数或坐标； 的两个零点 ，求 、、 等对称量。 2.2 结论与推导 结论 2.1（交点方程的两类解）　 ⟺ （两类）； ⟺ 或 。其中”自变量系数相等”的一类（如 为常数）若导出矛盾则该类无解；另一类给出等差解列。异名（  型）先化同名或移项和差化积。 推导：同名函数相等即终边相同或关于轴对称；两类解各自成等差数列，分别计数。 结论 2.2（两零点的对称求值）　 是 在同一单调段内的两零点：它们关于该段零点（对称中心）对称， 等于该中心横坐标的两倍；且 ，借”互余/对称”拼出 或 ，再用二倍角得目标值。 推导：单调段上水平线与正弦的两交点镜像对称；半角量的符号由 的所在象限裁定。 结论 2.3（三倍角与解数统计）　，。、 型先化积再解；统计解数时注意： 内 有 个解、 各 个解、其余 内值各 个解。 推导：三倍角公式将方程降为 的低次多项式；解数统计按 的取值分层。 2.3 方法决策表 题面 动作 / 两类解，分别计数（结论 2.1） 两零点求对称量 单调段对称 + 半角二倍角（结论 2.2） 、 出现 三倍角降次（结论 2.3） 交点个数与周期 周期复制 + 每周期解数 例题精讲 例 3（单项选择题） 下列选项中，曲线 （  ）与 在 上的交点个数不一样的是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 三倍角（结论 2.3）：，交点即 ，即 或 。 内 有 个解（  ）。 A：：，，各 解，共 个；B：：， 仅 解，共 个；C：：， 个；D：：， 个。个数不一样的是 B。 【答案】B 例 4（解答题） 对于函数 和 ，若存在函数 ，使得 ，则称 是 的” 关联函数”． （1）已知 ，，是否存在定义域为 的函数 ，使得 是 的” 关联函数”？请说明理由； （2）已知 是周期为 的偶函数，且当 时 ．函数 是 的” 关联函数”，若 在 上至少有 个解，求 的最小值． ●解析 （1）不存在。若存在，则 对一切 成立，取 ：左边等于 ，右边等于 ，矛盾。 （2）由周期与偶性， 时 ，故 。方程 ： 时即 ， 或 ； 时 无解。由周期 与偶性，每个形如 （  ）的窗口内恰有 个解：。于是 上的解数：首个窗口 内 个，之后每并入一个完整窗口增 个。，故 须覆盖到 的最后一个解 ，且不能覆盖更多（下一个解在 的  ）。 的最小值为 。 【答案】（1）不存在，理由见解析；（2） 变式训练 变 7（解答题） 将函数 （  ）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 ． （1）求 ； （2）求函数 与 的图象在区间 内的交点横坐标． ●解析 （1）平移不改变图象上的点值对应： 即 ：。由 ，相位 ，其中余弦为 的只有 ，得 。 （2），。交点（结论 2.1）： 给 ： 化为 无整数解； 给 ，。区间 （即  ）内只有 ：。 【答案】（1）；（2） 变 8（单项选择题） 已知 ，曲线 与 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 联立：，即 ，交点横坐标 。取相邻三点（  ）：纵坐标依次 ，，。等腰三角形直角在 ：，解得 ，。故选 A。 【答案】A 变 9（单项选择题） 若函数 ， 的两个零点分别为 和 ，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，锐角 满足 。两零点：，且 为正弦的单调段（增后减），两根关于峰对称：，即 （结论 2.2）。代入 ，故 。故选 C。 【答案】C 变 10（单项选择题） 记函数 ， 的两个零点为 和 ，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 即 ，与 联立：由 平方代入得 ，即 ，，解得 （  ）或 （  ）——两解 或 。不妨 ： 满足 （  在第二象限），（  ）。于是 ，D 正确；，C 错误；，由 得 ，该值为 ，A 错误；，B 错误。故选 D。 【答案】D 变 11（单项选择题） 已知函数 ，，若 有两个零点 （  ），则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 和差化积（结论 2.3）：。零点： 或 ，即 或 ； 内只有 ，。，用 与 链式化简：。故选 B。 【答案】B 变 12（单项选择题） 将函数 （  ）的零点从小到大排列构成数列 ，则 的前 项和为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，。零点： 或 （  ）。 从小到大：——每周期 内零点结构相同。前 项和 （结论 3.3 周期分组）。故选 D。 【答案】D 单元三 复合与分段零点 3.1 识别特征 复合解析式 的零点；分段函数（三角段+二次段）的零点个数；零点从小到大排列成数列；乘积 型零点计数。 3.2 结论与推导 结论 3.1（复合零点的两层传递）　 ⟺ （  为 的零点）； 的值域裁剪 的可取性——外层零点不在内层值域内时该零点无效。求出 的零点后必须检验其是否落在 的值域内。 推导：复合函数取值链为 先到 、再到 ；零点要求链末端为零，内层取值受自身值域限制。 结论 3.2（分段零点的分治与衔接）　分段函数的零点集 = 各段零点集之并（去重）：三角段解等差数列并按段截取；二次段由判别式与零点同分段点的相对位置讨论（至多 个）；“恰有 个零点”按”一段的个数 × 另一段的可能个数”分类枚举。分段点处的公共零点只能计一次。 推导：分段函数在段内与各段解析式同解；分类枚举时注意两段零点重合的退化情形。 结论 3.3（等差零点列与周期分组）　周期函数的零点从小到大排列构成等差数列（公差 = 零点的最小正间隔）；两类来源的零点（如 与  ）交错排列时，按周期分组求和；分组和为定值时用”组数 × 组和”。 推导：周期平移复制零点集；每周期内的零点结构相同，求和按周期打包。 3.3 方法决策表 题面 动作 内层值域裁剪外层零点（结论 3.1） 分段函数恰有 个零点 分治 + 衔接分类（结论 3.2） 零点排列成数列求和 等差/周期分组（结论 3.3） 乘积 因子零点集之并（结论 3.2） 例题精讲 例 5（单项选择题） 已知函数 ，若存在实数 且 ，使得 ，则 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 段 关于 对称，最小值 在 取得、最大值 在端点 取得； 段 。三等值的公共水平线 须同时落在两段值域内，即 ： 在左段， 为右段关于 的对称点，。 于是 。由 ，得 ，配方得 。 给 ，故所求范围为 （  时 三点相等）。故选 D。 【答案】D 例 6（填空题） 函数 ，若 ，则 有______个零点；若 恰有 个零点，则 的取值范围是______． ●解析 第一空： 时 给 ； 时 在 内只有 。共 个零点。 第二空（结论 3.2 分治）：二次段 （  ）至多 个零点，故三角段至少 个零点，即 。分类：三角段恰 个零点（  ）时二次段须恰 个：对称轴 ，须 且 ，得 ，交为 ；三角段恰 个零点（  ）时 且对称轴右移保证二次段恰 个零点，成立。 时三角段至少 个、合计至少 个，舍。故 。 【答案】； 变式训练 变 13（填空题） 若函数 （  ）在 上恰有 个零点，则符合条件的 的个数为__________． ●解析 零点集 = 二次因子零点集 ∪ 正弦因子零点集（结论 3.2）。二次的 ： 时无零点，正弦段须 个：相位窗口 含 ?——零点相位 ， 时须 ，即 ，与 交得 。 时二次恰 个零点 ，正弦 个，合计 ，舍。 时二次 个零点，正弦须 个：，即 ，交得 。综上共 个。 【答案】 变 14（单项选择题） 已知 ，设函数 的零点个数为 ，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 周期为 ，过 。 时 ：，图象与正弦曲线恰有 个交点，。 增加 时底数 增加 （恰一个周期），且 恒成立——对数曲线的”过 点”逐周期右移，每移一周期交点增加 个，故 是首项 、公差 的等差数列，。故选 A。 【答案】A 变 15（填空题） 函数 ，若 恰有四个不同零点，则实数 的取值范围为______________． ●解析 三角段零点：，，即正奇数 。二次段 （  ）单调递增，至多 个零点，且 （  ）、 趋于 时函数值为正——恰 个零点。故三角段须恰 个零点 （不含  ）：。此时 保证二次段恰 个零点，且不与正奇数重合（  时 非该列零点）。故 。 【答案】 变 16（解答题） 已知函数 ，． （1）若 ，求 在 上的极大值； （2）若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数． ●解析 （1）：，。 时 先正后负，驻点 ： 在 减、 增、 减、 增，故 处取得极大值 。 （2），因式分解（  ）：。零点： 即 ；或 。 时 ，其中 仅在 取得。分类： 或 ：方程无解， 只有 个零点 ；： 的解 与第一因子的零点重合，共 个零点，此时 只有 个零点；：方程恰 解（  时两解为 ，均异于  ），合计 个零点；：，方程恰 解（不与 重合），合计 个零点；：无解， 个零点。综上： 或 时 个零点； 时 个零点； 时 个零点。 【答案】（1）极大值 ；（2） 或 时 个； 时 个； 时 个 单元四 恒成立与存在性 4.1 识别特征 “， 恒成立”、“，方程在 内恒有解”、“存在实数 使 具有某性质”——量词转换与参数分离是主线。 4.2 结论与推导 结论 4.1（分离参数与有界性）　 对 恒成立 ⟺ ； 含 、 时最大值直接由有界性读出。双变量 ，： ⟺ （各自独立取最值）。“∀a 存在 x 使……”的否定与转换：先转成”窗口最坏值”再比较。 推导：恒成立即参数与函数值的大小比较；双独立变量两侧各自取最远。 结论 4.2（方程恒有解的归一）　“，方程在 上有解”：利用周期性把任意长 的窗口归一到标准周期段（如  ），方程有解 ⟺ 落在标准段上的值域内；值域用换元 分段读出。 推导：周期平移不改变函数值集合；长恰为一个周期的窗口覆盖完整值域。 结论 4.3（存在性与反证）　“存在实数 使 具性质”：逐项取特值验证存在性（存在性只需一例）；证”不存在”用反证——假设性质成立导出恒等式矛盾。“零点集相同”的传递： 等于 与 之积、 等于 与 之积同时成立时， 与 的零点集相同（任一为零推出另一为零）。 推导：存在性是单点命题；零点集相同由因子分解式的双向传递。 4.3 方法决策表 题面 动作 ， 分离 + 有界最大值（结论 4.1） 双变量恒成立 两侧独立取最值（结论 4.1） ，方程在某窗口恒有解 周期归一 + 值域（结论 4.2） 存在参数/反证不存在 特值 / 恒等式矛盾（结论 4.3） 互为”关联”的两函数 零点集相同传递（结论 4.3） 例题精讲 例 7（多项选择题） 已知函数 ， 有两个零点 ，则下列结论正确的是（  ） A．当 时， B． C．若 ，则 D． ●解析 即 ； 时 不成立，故等价于 。 A： 时 （单位圆中 为直角三角形面积、 为扇形面积，三角形更大），故 ，该段无零点，A 正确。 处 ，故 等价于 ，即等价于 。 在每支 上严格递增（  ），且 、、 趋于各支右端点（取不到）时 趋于 ，故支 内有唯一零点 ，支 内有唯一零点 ，恰两个零点。，，故 ，B 错误。，而 且 在含 的支上严格递增，故 ，即 ，C 正确。 D：由 ，：。由 C，：（  ）、；，其中 余弦为正、 余弦为负，故 ；。分子（负）×（负）为正、除以负分母为负，D 正确。 【答案】ACD 例 8（解答题） 已知 ，函数 ． （1）求函数 的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求 的取值范围． ●解析 （1）， 是奇函数，零点关于原点对称； 自身是一个零点。故所有零点之和为 。 （2）令 ，则 ，，。故 在 递增，；进而 递增，；进而 递增，，即 。 （3）必要性： 时 ，且 ，故 ； 即 ，除以 得 对一切 成立，令 趋于 得 。充分性： 时，。令 ，，故 ， 在 递减，。综上 。 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 变式训练 变 17（填空题） 对于 ，，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________． ●解析 分离（结论 4.1 双变量）： 对一切 成立 ⟺ 。（  取得），，故 ，。 【答案】 变 18（填空题） 若对于任意的 ，关于 的方程 在 上始终有解，则 的取值范围为__________． ●解析 左端函数 满足 ，周期 ；“任意长 的窗口内有解”⟺ 在标准段 上有解（结论 4.2）。令 ，，按 的符号分段： 时 ，； 时 ，； 时 ，。三段并集为 ，故 的取值范围为 。 【答案】 变 19（多项选择题） 已知函数 ，则存在实数 ，使得（  ） A． 的最小正周期为 B． 是偶函数 C． 是奇函数 D． 的最大值为 ●解析 。 A：取 ：，周期 ，存在，正确。C： 时 是奇函数，正确。B：若 为偶函数，则 对一切 成立，矛盾，不存在，错误。D：，而 ，故 ，不可能为 ，不存在，错误。故选 AC。 【答案】AC 变 20（解答题） 已知函数 ． （1）当 时，，求实数 的取值范围； （2）若 ，设 的正零点从小到大依次为 ．①证明：；②判断数列 的单调性，并证明．（附：当 时， ） ●解析 （1）分离： 对 恒成立。设 ，（  由 ， ）， 在 上递增，，故 。 （2）：，， 在每支 内严格递增。 且 时 （附注），故 内无正零点； 时 ，当 趋于 （取不到）时 趋于 ，故第 个正零点 （  ）。 ① ，而 在第 支 （  位于其中）上严格递增且右端趋于 ，故第 个零点 ，即 。 ② 单调递减。记 ，由 得 ，即 ，其中 。、（  ）， 严格递增且严格凸。，故 ⟺ ⟺ （  上凸）。由 的严格凸性：，再由 严格递增得 ，即凹性成立。故 单调递减。 【答案】（1）；（2）①见解析；②单调递减，证明见解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的零点、方程与恒成立 高三数学专题复习 · 三角第六讲 0 题型概说 本讲研究的问题：三角函数的零点个数（ “在区间内恰有 个零点”“无零点” ）、方程 或 的解（个数、参数范围、解的对称求值）、恒成立与存在性（ “ 恒成立”“存在参数使某性质成立” ）。零点是函数性质的交汇口：化简定形之后，零点问题本质是相位方程的解的计数与定位。 处理的总纲：先化简定形，再做相位窗口计数，最后结构转化。标准形的零点方程 的解是等差数列，“恰有 个零点”即长度为 的相位窗口内恰含 个等差项；非标准形（分段、复合、乘积）按结构拆解为零点集的并；恒成立问题分离参数后归结为最值。 识别信号总览： 题面特征 方法指向 单元 “恰有 个零点/极大值点/对称轴”、无零点、 的范围 相位窗口计数 单元一 两曲线交点、两零点的 、 交点方程与对称求值 单元二 复合解析式、分段函数的零点、零点数列 结构拆解 单元三 恒成立、恒有解、存在参数使性质成立 分离参数与存在性 单元四 单元一 区间恰根与参数 1.1 识别特征 “ 在 上恰有 个零点，求 ”、“区间内无零点，求 ”、“恰有两个极大值点和三个对称中心”——解析式（含 、、 之一）已知形态，由解的个数反求参数范围。 1.2 结论与推导 结论 1.1（相位窗口计数模型）　 的零点满足 ，解是公差为 的等差数列； 上的零点个数 ⟺ 相位窗口 （开闭与原区间一致）内含等差项 的个数。极大值点、对称轴、对称中心分别对应相位 、、，计数方式相同。 推导：相位是 的线性函数，一一对应地搬动窗口；解集的等差结构使计数归为”窗口覆盖了多少项”。 结论 1.2（端点开闭规则）　原区间端点开（闭）则窗口端点开（闭），端点处的解计或不计。“恰有 个解”定位参数：第 个解必须落进窗口（含该端则不等号带等号）、第 个解必须落在窗口外（不含该端则严格小）——两个不等式夹出参数范围。 推导：等差项按大小排序，第 项与第 项与窗口右端的大小比较完全决定个数；开闭差一个等号。 结论 1.3（整数窗口与符号处理）　 时先翻转（  ）化为正再看窗口方向；参数筛选出现”窗口内恰有 个整数”时，直接枚举这 个整数（如  ），由”最小者大于窗口左端、最大者不超过窗口右端”列不等式。 推导：负系数使 增大时相位减小，窗口左右互换；等差项的具体值由参数的整数倍关系枚举。 1.3 方法决策表 题面 动作 恰有 个零点/最值点/轴 相位等差项计数（结论 1.1） 端点处是否算解 开闭规则（结论 1.2） 、整数解筛选 翻转与枚举（结论 1.3） 二次方程因式分解后的两组解 分组各自计数再相加（见单元三） 例题精讲 例 1（解答题） 已知函数 （  ）的最小正周期为 ． （1）求 的值； （2）将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 在区间 上有且仅有 个零点，求 的取值范围． ●解析 （1）积化和：（结论 1.1 化简定形），，得 。 （2）平移后 。零点：，即 或 ，解得 或 （  ）。零点从小到大：（结论 1.2 端点开闭： 须夹住第 个而放走第 个）：。 例 2（解答题） 已知函数 ． （1）求曲线 的对称轴方程； （2）若关于 的方程 （  ）在 上恰有 个解，求 的取值范围． ●解析 （1）。对称轴：，即 （  ）。 （2） 即 。、 时相位 。 的解 、、：窗口左端 恰是第一个解（  ），由结论 1.2 端点开闭，恰有 个解须第二个解 进窗、第三个解 不进窗：，解得 。 变式训练 变 1（填空题） 已知函数 （ ， ）是奇函数，函数 的图象在区间 上恰有 条对称轴，则 的取值范围为________． 变 2（填空题） 已知函数 （ ，， ）， 为坐标原点，将曲线 与坐标轴的所有交点用点列 表示，其中 ，数列 的前三项分别为 ，，，则 的值为________． 变 3（填空题） 若函数 在区间 有且仅有两个零点，则实数 的最大值为__________． 变 4（填空题） 若函数 在区间 上有且仅有 个零点，则 的最小值为______． 变 5（填空题） 若函数 在区间 内没有零点，则正数 的取值范围是____． 变 6（单项选择题） 已知函数 （  ）在区间 恰有两个极大值点、三个对称中心，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 交点与两零点 2.1 识别特征 两曲线 与 的交点个数或坐标； 的两个零点 ，求 、、 等对称量。 2.2 结论与推导 结论 2.1（交点方程的两类解）　 ⟺ （两类）； ⟺ 或 。其中”自变量系数相等”的一类（如 为常数）若导出矛盾则该类无解；另一类给出等差解列。异名（  型）先化同名或移项和差化积。 推导：同名函数相等即终边相同或关于轴对称；两类解各自成等差数列，分别计数。 结论 2.2（两零点的对称求值）　 是 在同一单调段内的两零点：它们关于该段零点（对称中心）对称， 等于该中心横坐标的两倍；且 ，借”互余/对称”拼出 或 ，再用二倍角得目标值。 推导：单调段上水平线与正弦的两交点镜像对称；半角量的符号由 的所在象限裁定。 结论 2.3（三倍角与解数统计）　，。、 型先化积再解；统计解数时注意： 内 有 个解、 各 个解、其余 内值各 个解。 推导：三倍角公式将方程降为 的低次多项式；解数统计按 的取值分层。 2.3 方法决策表 题面 动作 / 两类解，分别计数（结论 2.1） 两零点求对称量 单调段对称 + 半角二倍角（结论 2.2） 、 出现 三倍角降次（结论 2.3） 交点个数与周期 周期复制 + 每周期解数 例题精讲 例 3（单项选择题） 下列选项中，曲线 （  ）与 在 上的交点个数不一样的是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 三倍角（结论 2.3）：，交点即 ，即 或 。 内 有 个解（  ）。 A：：，，各 解，共 个；B：：， 仅 解，共 个；C：：， 个；D：：， 个。个数不一样的是 B。 例 4（解答题） 对于函数 和 ，若存在函数 ，使得 ，则称 是 的” 关联函数”． （1）已知 ，，是否存在定义域为 的函数 ，使得 是 的” 关联函数”？请说明理由； （2）已知 是周期为 的偶函数，且当 时 ．函数 是 的” 关联函数”，若 在 上至少有 个解，求 的最小值． ●解析 （1）不存在。若存在，则 对一切 成立，取 ：左边等于 ，右边等于 ，矛盾。 （2）由周期与偶性， 时 ，故 。方程 ： 时即 ， 或 ； 时 无解。由周期 与偶性，每个形如 （  ）的窗口内恰有 个解：。于是 上的解数：首个窗口 内 个，之后每并入一个完整窗口增 个。，故 须覆盖到 的最后一个解 ，且不能覆盖更多（下一个解在 的  ）。 的最小值为 。 变式训练 变 7（解答题） 将函数 （  ）的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 ． （1）求 ； （2）求函数 与 的图象在区间 内的交点横坐标． 变 8（单项选择题） 已知 ，曲线 与 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 9（单项选择题） 若函数 ， 的两个零点分别为 和 ，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 10（单项选择题） 记函数 ， 的两个零点为 和 ，则（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 11（单项选择题） 已知函数 ，，若 有两个零点 （  ），则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 12（单项选择题） 将函数 （  ）的零点从小到大排列构成数列 ，则 的前 项和为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元三 复合与分段零点 3.1 识别特征 复合解析式 的零点；分段函数（三角段+二次段）的零点个数；零点从小到大排列成数列；乘积 型零点计数。 3.2 结论与推导 结论 3.1（复合零点的两层传递）　 ⟺ （  为 的零点）； 的值域裁剪 的可取性——外层零点不在内层值域内时该零点无效。求出 的零点后必须检验其是否落在 的值域内。 推导：复合函数取值链为 先到 、再到 ；零点要求链末端为零，内层取值受自身值域限制。 结论 3.2（分段零点的分治与衔接）　分段函数的零点集 = 各段零点集之并（去重）：三角段解等差数列并按段截取；二次段由判别式与零点同分段点的相对位置讨论（至多 个）；“恰有 个零点”按”一段的个数 × 另一段的可能个数”分类枚举。分段点处的公共零点只能计一次。 推导：分段函数在段内与各段解析式同解；分类枚举时注意两段零点重合的退化情形。 结论 3.3（等差零点列与周期分组）　周期函数的零点从小到大排列构成等差数列（公差 = 零点的最小正间隔）；两类来源的零点（如 与  ）交错排列时，按周期分组求和；分组和为定值时用”组数 × 组和”。 推导：周期平移复制零点集；每周期内的零点结构相同，求和按周期打包。 3.3 方法决策表 题面 动作 内层值域裁剪外层零点（结论 3.1） 分段函数恰有 个零点 分治 + 衔接分类（结论 3.2） 零点排列成数列求和 等差/周期分组（结论 3.3） 乘积 因子零点集之并（结论 3.2） 例题精讲 例 5（单项选择题） 已知函数 ，若存在实数 且 ，使得 ，则 的取值范围为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 段 关于 对称，最小值 在 取得、最大值 在端点 取得； 段 。三等值的公共水平线 须同时落在两段值域内，即 ： 在左段， 为右段关于 的对称点，。 于是 。由 ，得 ，配方得 。 给 ，故所求范围为 （  时 三点相等）。故选 D。 例 6（填空题） 函数 ，若 ，则 有______个零点；若 恰有 个零点，则 的取值范围是______． ●解析 第一空： 时 给 ； 时 在 内只有 。共 个零点。 第二空（结论 3.2 分治）：二次段 （  ）至多 个零点，故三角段至少 个零点，即 。分类：三角段恰 个零点（  ）时二次段须恰 个：对称轴 ，须 且 ，得 ，交为 ；三角段恰 个零点（  ）时 且对称轴右移保证二次段恰 个零点，成立。 时三角段至少 个、合计至少 个，舍。故 。 变式训练 变 13（填空题） 若函数 （  ）在 上恰有 个零点，则符合条件的 的个数为__________． 变 14（单项选择题） 已知 ，设函数 的零点个数为 ，则 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 15（填空题） 函数 ，若 恰有四个不同零点，则实数 的取值范围为______________． 变 16（解答题） 已知函数 ，． （1）若 ，求 在 上的极大值； （2）若函数 ，讨论函数 在 上零点的个数． 单元四 恒成立与存在性 4.1 识别特征 “， 恒成立”、“，方程在 内恒有解”、“存在实数 使 具有某性质”——量词转换与参数分离是主线。 4.2 结论与推导 结论 4.1（分离参数与有界性）　 对 恒成立 ⟺ ； 含 、 时最大值直接由有界性读出。双变量 ，： ⟺ （各自独立取最值）。“∀a 存在 x 使……”的否定与转换：先转成”窗口最坏值”再比较。 推导：恒成立即参数与函数值的大小比较；双独立变量两侧各自取最远。 结论 4.2（方程恒有解的归一）　“，方程在 上有解”：利用周期性把任意长 的窗口归一到标准周期段（如  ），方程有解 ⟺ 落在标准段上的值域内；值域用换元 分段读出。 推导：周期平移不改变函数值集合；长恰为一个周期的窗口覆盖完整值域。 结论 4.3（存在性与反证）　“存在实数 使 具性质”：逐项取特值验证存在性（存在性只需一例）；证”不存在”用反证——假设性质成立导出恒等式矛盾。“零点集相同”的传递： 等于 与 之积、 等于 与 之积同时成立时， 与 的零点集相同（任一为零推出另一为零）。 推导：存在性是单点命题；零点集相同由因子分解式的双向传递。 4.3 方法决策表 题面 动作 ， 分离 + 有界最大值（结论 4.1） 双变量恒成立 两侧独立取最值（结论 4.1） ，方程在某窗口恒有解 周期归一 + 值域（结论 4.2） 存在参数/反证不存在 特值 / 恒等式矛盾（结论 4.3） 互为”关联”的两函数 零点集相同传递（结论 4.3） 例题精讲 例 7（多项选择题） 已知函数 ， 有两个零点 ，则下列结论正确的是（  ） A．当 时， B． C．若 ，则 D． ●解析 即 ； 时 不成立，故等价于 。 A： 时 （单位圆中 为直角三角形面积、 为扇形面积，三角形更大），故 ，该段无零点，A 正确。 处 ，故 等价于 ，即等价于 。 在每支 上严格递增（  ），且 、、 趋于各支右端点（取不到）时 趋于 ，故支 内有唯一零点 ，支 内有唯一零点 ，恰两个零点。，，故 ，B 错误。，而 且 在含 的支上严格递增，故 ，即 ，C 正确。 D：由 ，：。由 C，：（  ）、；，其中 余弦为正、 余弦为负，故 ；。分子（负）×（负）为正、除以负分母为负，D 正确。 例 8（解答题） 已知 ，函数 ． （1）求函数 的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求 的取值范围． ●解析 （1）， 是奇函数，零点关于原点对称； 自身是一个零点。故所有零点之和为 。 （2）令 ，则 ，，。故 在 递增，；进而 递增，；进而 递增，，即 。 （3）必要性： 时 ，且 ，故 ； 即 ，除以 得 对一切 成立，令 趋于 得 。充分性： 时，。令 ，，故 ， 在 递减，。综上 。 变式训练 变 17（填空题） 对于 ，，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是________． 变 18（填空题） 若对于任意的 ，关于 的方程 在 上始终有解，则 的取值范围为__________． 变 19（多项选择题） 已知函数 ，则存在实数 ，使得（  ） A． 的最小正周期为 B． 是偶函数 C． 是奇函数 D． 的最大值为 变 20（解答题） 已知函数 ． （1）当 时，，求实数 的取值范围； （2）若 ，设 的正零点从小到大依次为 ．①证明：；②判断数列 的单调性，并证明．（附：当 时， ） 学科网（北京）股份有限公司 $