4.5.1 函数的零点与方程的解-【突破课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册基础提升练（人教A版）

**基本信息** 该同步练习通过A、B、C三层设计，以“基础概念巩固—单一知识点应用—综合能力提升”为路径，适配新授课教学，培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|函数零点意义、存在定理等基础概念|含数学与生活情境题（黄金分割）、概念填空及教材改编判断，夯实基础| |B组|求零点、判断区间/个数、参数求解等单一知识点|设多选与教材好题改编，如二次函数零点分布，强化专项应用| |C组|充分必要条件、创新定义（均值点）等综合应用|含跨知识点判断、函数与方程综合解答题，提升数学思维与问题解决能力|

4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 A组　教材夯基础限时10分钟 　　 1.(数学与生活)黄金分割数是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面,-1的值(　　) A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间 C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间 2.(填一填,记一记) 函数零点的意义 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的　　　　,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的　　　　坐标.  函数零点的分类 (1)变号零点:零点附近两侧的函数值　　　　,如图1.  (2)不变号零点:零点附近两侧的函数值　　　　,如图2.  图1 图2 函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条　　　　的曲线,并且有　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内　　　　　　,即存在c∈(a,b),使得　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  3.(判对错) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.　(　　) (2)函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象连续不断且f(a)·f(b)<0,则函数在区间(a,b)内至少有一个零点.(　　) (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点且函数图象连续不断,则f(a)·f(b)<0.(　　) (4)符合函数零点存在定理只能说明函数在相应区间上至少有一个变号零点,但不能判断该区间上零点的总个数.(　　) (5)若f(x)在[a,b]内的图象连续不断,且f(x)为单调函数, f(a)·f(b)<0,则f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.(　　) (6)若函数y=f(x)满足f(a)·f(b)>0,则函数在区间(a,b)内一定没有零点.(　　) (7)若f(x)在(a,b)内有且只有一个零点,则f(a)·f(b)<0.(　　) 4.(教材P143探究改编)下列图象表示的函数中没有零点的是(　　) 5.(教材P143例1改编)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,与y轴正半轴相交,则函数的零点个数是(　　) A.1　　　B.2　　　C.0　　　D.无法确定 6.(北师大版教材好题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表,那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　) x 1 2 3 4 5 6 7 f(x) 123.5 21.5 -7.82 11.57 -53.7 -126.7 -129.6 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B组　单一知识点限时20分钟 　　　　 知识点1　求函数的零点 7.(2024四川南充阶段练习)(多选)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数g(x)恰有两个零点,则函数g(x)的零点可以是(　　) A.- B.-1 C.1 D.2 8.知方法(2025辽宁抚顺期末)设[x]表示不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-1.5]=-2,则函数f(x)=x2-[x]-1的零点为　　　　.  知识点2　判断函数零点所在的区间 9.(2025天津河东期末)已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 知识点3　判断函数零点的个数 10.()函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 11.知方法(2024浙江期末)(多选)已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2根的个数可能是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 12.(2024吉林期末)函数f(x)=的零点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 知识点4　已知函数的零点求参数 13.()若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则a的取值范围是　(　　) A.(2,+∞)　B.(1,+∞)　C.　D.(0,1) 14.(2025甘肃兰州期末)已知函数f(x)=若x1,x2,x3,x4是关于x的方程f(x)=t的四个互不相等的解,则x1+x2+x3+x4的取值范围是(　　) A.(-2,1] B.(-2,+∞) C. D.(1,+∞) 知识点5　二次函数零点的分布 15.(2024北京石景山期中)若关于x的一元二次方程x2-2ax+4=0有两个实根,且一个实根小于1,另一个实根大于2,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2) B.(2,+∞) C. D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 16.(2024江苏常州期中)已知关于x的方程2kx2-2x-5k-1=0的两个实数根一个小于1,另一个大于1,则实数k的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.(-1,0) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(0,+∞) 17.(2024浙江绍兴期末)若函数f(x)=2x2+ax-b在x∈[0,1]上有两个不同的零点,则下列结论正确的是(　　) A.b2+8a>0 B.a-b≥-2 C.b<0 D.-2≤a≤0 18.(2024江苏宿迁期中)已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞,9) B.(8,9) C.[8,9) D.(8,+∞) 19.()已知关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0,若方程至少有一个正根,则实数m的取值范围是　　　　　.  C组　综合知识点限时15分钟 　　　　　 20.(2024安徽蚌埠期末)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,则“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 21.(2024湖南长沙期末)已知定义在(0,+∞)上的f(x)是单调函数,且对任意x∈(0,+∞),恒有f(f(x)+lox)=4,则函数f(x)的零点为(　　) A. B. C.9 D.27 22.(2024广东茂名期末)(多选)已知函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2=1+2f(x)-a2的解的个数可能为(　　) A.2 B.6 C.5 D.4 23.(2024天津期末)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是(　　) A.6 B.10 C.14 D.18 24.创新题(2024江西上饶期末)定义:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在x0∈(a,b)满足f(x0)=,则x0称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个均值点.已知f(x)=4x-2x+1+m在[0,1]上存在均值点,则实数m的取值范围是　　　　.  25.(2025辽宁辽阳期中)已知函数f(x)=-|x-2|+2和函数g(x)=x2-4x+a(a∈R)的定义域均为[0,4]. (1)请在所给的坐标系中画出f(x)的图象; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集为[0,4],求a的取值范围; (3)讨论函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.5　函数的应用(二) 4.5.1　函数的零点与方程的解 1.B　因为>=2,所以-1>1.令x=-1,则x+1=,(x+1)2=5,即x2+2x-4=0,令f(x)=x2+2x-4(x>1),则f(x)在(1,+∞)上单调递增,且其图象连续不间断,f(1.2)=1.44+2.4-4=-0.16<0,f(1.3)=1.69+2.6-4=0.29>0,所以f(x)在(1.2,1.3)上有唯一零点,所以-1的值在1.2和1.3之间.故选B. 2.实数解　横　(1)异号　(2)同号　连续不断　f(a)f(b)<0　至少有一个零点　f(c)=0 3.(1)✕(提示:零点是一个数,而不是一个点) (2)√ (3)✕(提示:比如f(x)=x2-1在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0) (4)√　(5)√　(6)✕ (7)✕(提示:比如f(x)=x2在(-1,1)内有且只有一个零点,但f(-1)f(1)>0) 4.A　观察图象可知只有A选项中的图象与x轴没有交点,B,C,D选项中的图象与x轴均有交点, 所以A选项中图象表示的函数没有零点. 故选A. 5.B　因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,与y轴正半轴相交, 所以a<0,c>0, 故b2-4ac>0,因此函数有两个零点, 故选B. 6.B　由题表可知,f(2)>0, f(3)<0, f(4)>0, f(5)<0, 则f(2)f(3)<0, f(3)f(4)<0, f(4)f(5)<0, 又函数f(x)的图象是连续不断的, 所以由函数零点存在定理可知,函数f(x)分别在(2,3),(3,4),(4,5)上至少各有1个零点, 因此函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有3个. 故选B. 7.AD　当2-x≤2时,x≥0,f(2-x)=2-|2-x|= 当2-x>2时,x<0, f(2-x)=(2-x-2)2=x2. 故f(2-x)=作出f(2-x)的大致图象如图, 当b=0时,g(x)=b-f(2-x)有零点0,4; 当b=2时,由x2=2(x<0)解得x=-, 所以g(x)=b-f(2-x)有零点-,2. 故选AD. 8.答案　 解题思路　f(x)=x2-[x]-1的零点可转化为函数h(x)=x2-1与g(x)=[x]的图象的交点的横坐标, 在同一平面直角坐标系中画出h(x)=x2-1与g(x)=[x]的图象,如图, 显然两图象只有一个交点, 令x2-1=1,解得x=或x=-(舍去), 故答案为. 方法总结　函数零点的求法 (1)代数法:根据零点的定义,解方程f(x)=0,它的实数根就是函数y=f(x)的零点. (2)性质法:若方程f(x)=0的解不易求出,则可以根据函数y=f(x)的性质求出零点.例如:已知f(x)是定义在R上的减函数,且f(x)为奇函数,求f(x)的零点.因为f(x)是奇函数,所以由奇函数的性质可知f(0)=0,又因为f(x)是定义在R上的减函数,所以不存在其他的x,使f(x)=0,从而y=f(x)的零点是0. (3)数形结合法:若函数f(x)可以写成f(x)=g(x)-h(x)的形式,则可数形结合求出零点.函数g(x)和h(x)图象交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 9.C　因为y=,y=-log2x在(0,+∞)内均单调递减, 所以函数f(x)=-log2x在定义域(0,+∞)内单调递减,且其图象在(0,+∞)上连续不断, 又f(2)=2>0, f(4)=-<0, 所以函数f(x)的唯一零点所在区间为(2,4). 故选C. 10.B　易知f(x)=2x+lg(x+1)-2在定义域(-1,+∞)上为增函数,且f(0)=1+0-2=-1<0, f(1)=2+lg 2-2=lg 2>0,∴函数f(x)有且只有1个零点,且这个零点在(0,1)内. 一题多解　在同一平面直角坐标系中作出h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的图象,如图所示. 由图知,g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有1个交点,故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有1个零点. 11.ABD　作出直线y=ax+2和函数y=f(x)的图象,如图所示, 将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0,2))与函数y=f(x)的图象公共点的个数问题, 由图可知,当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有1个公共点; 当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有公共点; 当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有3个公共点. 所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有两个公共点. 故选ABD. 方法总结　判断函数零点个数的主要方法 (1)解方程法; (2)数形结合法,即转化为两个函数图象的公共点个数; (3)利用函数零点存在定理结合函数的性质判断. 12.C　当x≤0时,由x5-x3=0解得x=0或x=-1或x=1(舍去).当x>0时, f(x)=ln x-,易知y=ln x,y=-均在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增.易知f(1)=ln 1-1=-1<0, f(e)=ln e-=1->0,所以根据函数零点存在定理可得, f(x)在(1,e)上存在一个零点,根据函数的单调性可知, f(x)=ln x-在(0,+∞)上存在唯一零点. 综上所述, f(x)的零点的个数为3.故选C. 13.B　当0<a<1时, f(x)=ax-x-a在定义域上单调递减,最多只有一个零点,不满足题意; 当a>1时,根据函数f(x)=ax-x-a有两个零点,可得关于x的方程ax=x+a有两个不等实根, 即函数y=ax的图象与直线y=x+a有两个不同的交点.指数函数y=ax的图象恒过点(0,1);直线y=x+a过点(0,a),因为a>1,所以点(0,a)在(0,1)的上方,在同一平面直角坐标系中作出函数y=ax的图象与直线y=x+a,如图所示. 由图可知直线y=x+a与y=ax的图象必有两个不同的交点,即原函数有两个零点,满足题意. 综上,a的取值范围是(1,+∞). 故选B. 14.C　因为f(x)=所以f(0)=1, 当x>0时,令f(x)=1,即|log2x|=1,解得x=或x=2, 关于x的方程f(x)=t的解的个数即为y=f(x)的图象与直线y=t的交点个数, 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象与直线y=t,如图, 结合图可知,关于x的方程f(x)=t有四个互不相等的解时,0<t≤1. 不妨设x1<x2<x3<x4, 结合图知,x1+x2=-4,≤x3<1,1<x4≤2, 由|log2x3|=|log2x4|,得-log2x3=log2x4,所以x3x4=1, 又x4∈(1,2], 所以x3+x4=+x4∈, 故x1+x2+x3+x4的取值范围是.故选C. 15.C　设f(x)=x2-2ax+4,由题意作出y=f(x)的大致图象,如图, 故解得a>.故实数a的取值范围是.故选C. 16.D　设f(x)=2kx2-2x-5k-1,由题意可知函数f(x)有两个零点,所以k≠0, 若k>0,则f(x)=2kx2-2x-5k-1的图象开口向上, 要使f(x)有两个零点且一个大于1另一个小于1,则f(1)=2k-2-5k-1<0,解得k>-1,故k>0. 若k<0,则f(x)=2kx2-2x-5k-1的图象开口向下, 要使f(x)有两个零点且一个大于1另一个小于1,则f(1)=2k-2-5k-1>0,解得k<-1. 综上,实数k的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞). 17.B　f(x)=2x2+ax-b在x∈[0,1]上有两个不同的零点,则故 故B中结论正确,A,C,D中结论错误,故选B. 解后反思　研究二次函数零点的分布,可以从以下三个方面考虑: (1)对应一元二次方程根的判别式; (2)二次函数在区间端点处函数值的正负; (3)对应二次函数图象的对称轴和x轴的交点与区间端点的位置关系. 18.C　设y=f(x)=x2-6x+m, 因为二次函数y=f(x)=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内, 所以解得8≤m<9, 故实数m的取值范围是[8,9).故选C. 19.答案　(-∞,-1] 解题思路　当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0无实数根时,4(m-1)2-4(2m+6)<0,解得-1<m<5. 当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0的根均为负实数时, 解得m≥5,所以当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0无实数根或根均为负实数时,m>-1,则当关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0至少有一个正实数根时,m≤-1,即实数m的取值范围是(-∞,-1]. 疑难突破　正向求解时的情形比较多,因此采用正难则反的原则进行分类讨论即可. 20.A　函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,由函数零点存在定理知,f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点,充分性成立;当函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点时,f(a)·f(b)<0不一定成立,如函数y=x2在开区间(-1,1)内有零点0,但f(-1)·f(1)>0,必要性不成立.故“f(a)·f(b)<0”是“函数y=f(x)在开区间(a,b)内至少有一个零点”的充分不必要条件.故选A. 21.A　设f(x)+lox=a,即f(x)=-lox+a, 因为f(f(x)+lox)=4,所以f(a)=4, 所以-loa+a=4,解得a=3, 所以f(x)=-lox+3, 令f(x)=0,可得-lox+3=0,即lox=3, 解得x=.故选A. 22.ACD　作出f(x)的图象如图所示: 令t=f(x),则t2-2t+a2-1=0,则Δ=4(2-a2), 当Δ=0,即a2=2时,t=1,此时f(x)=1,作出直线y=1,由图知直线y=1与y=f(x)的图象有两个交点,即关于x的方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0的解的个数为2. 当Δ>0,即a2<2时,t=1±,易知0<≤,故1<1+≤1+,1-≤1-<1, 作出直线y=1+和直线y=1-, 当t=1-时,f(x)=1-,由图知直线y=1-与y=f(x)的图象有两个交点; 当t=1+时,f(x)=1+,若t∈(1,2],则由图知直线y=1+与y=f(x)的图象有三个交点,若t∈(2,1+],则由图知直线y=1+与y=f(x)的图象有两个交点. 故Δ>0时,关于x的方程[f(x)]2-2f(x)+a2-1=0的解的个数为5或4.故选ACD. 23.B　因为f(x)是偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x, 所以当x∈[-1,0]时,f(x)=-x,又f(x+2)=f(x),所以f(x)的图象可由函数y=的图象经过左右平移(每次平移2个单位长度)得到, 在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=log6|x|的图象,如图所示,x=6时,y=log6|6|=1, 由图可知,两个函数图象有10个交点, 所以函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是10. 故选B. 24.答案　(1,2) 解题思路　根据题意得 ==1, 因为函数f(x)=4x-2x+1+m在[0,1]上存在均值点, 所以4x-2x+1+m=1在区间(0,1)上有解, 设t=2x(0<x<1),则1<t<2,则t2-2t+m-1=0在t∈(1,2)上有解,而二次函数g(t)=t2-2t+m-1图象的对称轴为直线t=1,故有g(1)g(2)<0,即(m-2)(m-1)<0,解得1<m<2,即实数m的取值范围是(1,2). 名师点睛　解新定义题型的步骤 (1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. (2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法;归纳“举例”提供的分类情况. (3)类比新定义中的概念、原理、方法,解决题中需要解决的问题. 25.解题思路　(1)由题意知f(x)=-|x-2|+2= 所以其图象如图所示. (2)因为不等式f(x)≥g(x)的解集为[0,4], 所以f(x)≥g(x)在x∈[0,4]上恒成立,即当x∈[0,4]时,f(x)的图象不在g(x)图象的下方, 易知函数g(x)的图象开口向上,对称轴为直线x=2,且g(0)=g(4)=a, 所以要满足题意,需g(0)=g(4)=a≤0, 故a的取值范围为(-∞,0]. (3)因为h(x)=f(x)-g(x),所以函数f(x)和g(x)图象的交点个数即为函数h(x)的零点个数. 由(1)(2)可知,①当g(0)=a<0或g(2)=a-4>2时, 函数f(x)和g(x)图象的交点个数为0, 此时函数h(x)的零点个数为0, 此时a<0或a>6. ②当g(0)=a≥0,且g(2)=a-4<2时, 函数f(x)和g(x)图象的交点个数为2, 此时函数h(x)的零点个数为2, 此时0≤a<6. ③当g(2)=a-4=2,即a=6时, 函数f(x)和g(x)图象的交点个数为1, 此时函数h(x)的零点个数为1. 综上所述,当a<0或a>6时,函数h(x)的零点个数为0; 当a=6时,函数h(x)的零点个数为1; 当0≤a<6时,函数h(x)的零点个数为2. 学科网（北京）股份有限公司 $