第3讲函数与导数之隐零点专项训练-2027届高三数学一轮复习

函数与导数之隐零点 高三数学专题复习 · 专题第三讲 0 题型概说 本讲研究的问题： 的方程中含有 （或  ）与 的混合结构，解不出显式的根；但零点确实存在且引起 变号。处理手段是隐零点方法——把解不出的零点用一个字母设出来，证明它存在并确定其位置，再把零点满足的关系式整体代入目标式消去超越部分。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 解不出根，但 的单调性与两端符号可判 判定隐零点存在并设元 单元一 需要知道隐零点的大致位置（如在某两数之间） 用改写后的零点方程夹逼 单元二 极值、最值中同时出现 与 （或  ） 由 解出超越式代入消元 单元三 恒成立求参、零点个数讨论的压轴形态 隐零点作为中间工具 单元四 单元一 隐零点的判定与设元 1.1 识别特征 由 与一次式、 与二次式、 与一次式混合而成， 化简后无法分离出 的显式表达式；同时 自身可导，且 的符号容易判定。 1.2 结论与推导 结论 1.1（隐零点的存在与唯一）　 在定义域 内连续不断， 在 内恒正（或恒负）使 单调，且 在 的两端（含趋势值）异号，则存在唯一的 使 。 推导：两端异号，由零点存在定理知 在 内有根； 单调，单调函数至多一个零点，故根唯一。 结论 1.2（设元后的结构）　设出隐零点 后： 与 时 的符号相反， 以 为极值点； 的值不直接计算，推理中只使用”“这一等式。 推导： 单调且在 处为零，故在 两侧符号相反， 的增减以 为界。 结论 1.3（分离参数定根数）　 含参数 时，可整理为 ：方程根的个数等于水平线 与 图象的公共点个数，由 的单调性、极值与两端趋势值判定。 推导：方程的同解变形；“方程有根”即”常数 属于 的取值范围”，交点个数即根的个数。 1.3 方法决策表 步骤 内容 ① 证 单调 求 ；若 （或  ）在定义域内恒成立，则 单调 ② 找两端异号 取定义域两端（含趋势值），验证 在两端取值（或趋势值）异号 ③ 设元 由结论 1.1，存在唯一 使 ；写出该等式备用 ④ 含参时分离 解不出单调性时，整理为 ，按结论 1.3 数交点 单调且两端异号，保证 在定义域内有且仅有一个根；这个根就是隐零点 。设元后， 在定义域内被 分成两段， 在 与 上符号相反。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 ，当 时， 在 上的零点个数为（  ） A．　　B．　　C．　　D．与 有关 ●解析 ，记 ，则 （不在开区间内），。当 时，令 得 ： 时 递减，； 时 递增，且当 趋于 时 趋于 。由结论 1.1， 在 内有唯一零点 ，且 在 两侧变号。故 在 上恰有一个零点。 例 2（解答题） 已知函数 （  ），当 时，讨论 极值点的个数。 ●解析 定义域为 ，。，由 得 ，按结论 1.3 分离参数，记 （  ），则 ： 时 递增， 时 递减。故 的最大值为 ；且当 从右侧趋近于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 当 时，水平线 与 的图象在 与 内各有一个交点，即 有两个根，且 在两根处都穿越水平线， 变号。故 有两个极值点。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 ，则” 恰有一个正零点”的充要条件是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元二 隐零点位置的刻画 2.1 识别特征 后续推导需要隐零点的取值范围——证明 大于某常数、或介于某两数之间——而不是它的精确值。 2.2 结论与推导 结论 2.1（二次型判位）　开口向上的二次函数 的两零点为 ，对任意实数 ：； 或 。 推导：开口向上的二次函数在两零点之间取负值，在两零点之外取正值。 结论 2.2（单调夹逼）　 在区间 内单调，且 与 异号（含趋势值），则 的零点落在 内。把隐零点方程等价改写（如化为 、 ）后，代特殊值即可夹出 的范围。 推导：零点存在定理保证存在性，单调性保证唯一性；改写是同解变形，代入特殊值即比较函数值与零的大小。 结论 2.3（趋势值参与判位）　区间端点处函数无定义时，用”当 趋近于端点时函数值的趋势”代替端点值参与异号判定：连续不断的函数在端点附近的符号与趋势值一致。 推导：函数图象连续不断，其符号在无零点的地段不会改变。 2.3 方法决策表 手段 内容 改写零点方程 把 整理为 ：解出参数 ，或化为 二次型判位 ， 与常数 的位置由 的符号判定（结论 2.1） 单调夹逼 与 异号则零点在 内（结论 2.2） 位置刻画只要求范围，不要求精确值；夹逼区间取多大，由后续推导的需要决定。 例题精讲 例 3（多项选择题） 已知函数 （ ， ），则方程 的根的个数为（  ） A．当 时为 个　　B．当 时为 个 C．当 时为 个　　D．当 时为 个 ●解析 即 ，整理得 ，由结论 1.3 分离参数，记 （  ），则 。 记 ， 在 上单调递减且 ： 时 ，； 时 ，。故 在 上递增、在 上递减；且当 从右侧趋近于 时 趋于 ，，当 趋于 时 趋于 。 于是： 时， 在 上从 增到 ，恰有一个交点，A 正确； 时 ，无交点，B 正确； 时在 与 内各一个交点，共 个，C 错误，D 正确。 例 4（单项选择题） 函数 （  ）满足 。当 时， 的两个零点 与 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，记 ，开口向上。（因  ），由结论 2.1， 介于 的两零点之间，即 。 变式训练 变 2（单项选择题） 已知函数 （  ），（  ）。若 有两个不同的正根，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． 变 3（单项选择题） 接例 4：在 时， 在 、、 上的单调性依次为（  ） A．增、减、增　　B．减、增、减　　C．增、增、减　　D．减、减、增 单元三 整体代换与消元 3.1 识别特征 目标式（极值 、最值、含 的差式）中同时出现 与 （或  ），无法直接求值或求范围。 3.2 结论与推导 结论 3.1（整体代换）　由 解出 、 或参数 ，代入目标式，把超越结构整体消去，得到只含 （或只含参数）的普通式子。 推导：等量代换—— 保证替换前后取值相等。 结论 3.2（化为普通函数问题）　代换后的式子是普通函数 ，其定义域取隐零点 所在的范围（由单元二给出）；对 求导、定号、求最值，与普通函数问题相同。 推导：代换后不再含未知的超越量，余下的都是初等函数的常规运算。 结论 3.3（母不等式与放缩链）　（ ， 时取等）；（ ， 时取等）。由此得常用放缩链： 与 （  ）；（ ，由 串成）。 推导：对 求导，， 在 处取最小值 ；对 求导，， 在 处取最小值 。 结论 3.4（同构脱壳）　等式或不等式两端出现同型结构 与 时， 单调则等价于比较 与 的大小。两端不同型时（如 与  ），先用结论 3.3 的放缩链化为同型；求参数范围时，用”特殊值逼出必要条件，母不等式验证充分性”两步合围。 推导：单调函数保序：（  递增时）。 3.3 方法决策表 步骤 内容 ① 解出超越式 由 解出 ，或 ，或参数 ② 代入目标式 把 中的 （或 、参数）换成 ，得到只含 的显式式子 ③ 化为普通函数问题 记 为代入后的式子，按普通函数求 的范围（求导、定号、求最值） ④ 两端同型时 按结论 3.4 脱壳；不同型时用母不等式（结论 3.3）搭桥 代换后是否需要再次求导，取决于 的形态； 的定义域即隐零点 所在的范围（由单元二给出）。 例题精讲 例 5（解答题） 已知函数 （  ）的最大值为 。把 表示为 （  的最大值点）的函数，并求 的最小值。 ●解析 定义域为 ，。记 ，则 ， 单调递减；，，由结论 1.1，存在唯一 使 ，即 ，且 在 上递增、在 上递减，最大值 。 由 得 ，即 ，且 。按结论 3.1 代入： 。 记 （  ），： 上递减、 上递增， 的最小值为 。故 的最小值为 。 例 6（填空题） 若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是________。 ●解析 原不等式即 。记 （  时  ），，不等式即 。 先求必要条件：取 （由 ， 时取到），不等式成为 。记 ， 在 上单调递增（导数为  ），且 ，故 ，得 。 再验证充分性： 时 ， 单调递增，故 （结论 3.4）；又 （母不等式 取  ），（母不等式 取  ），故 。故原不等式对一切 恒成立。 综上，。 变式训练 变 4（单项选择题） 接例 5： 取得最小值时， 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． 单元四 隐零点与恒成立、零点个数 4.1 识别特征 最终设问是恒成立求参数、或零点（切线）个数讨论；但直接推导时出现解不出根的导数方程——隐零点作为中间工具出现。 4.2 结论与推导 结论 4.1（分离参数与恒成立）　 在区间 上恒成立 不超过 在 上的最小值；当 取不到最小值时，等价于 不超过它的趋近界限（  恒成立且可以任意接近 时， ）。 推导：恒成立即不等式对 内每个 都成立，故 不超过所有函数值中的最小者；取不到最小值时，界限由趋势值充当。 结论 4.2（最值函数的性质）　最值随参数变化时记为 ：把最值点（显式点或隐零点）代入，得 的显式表达式；对 求导判定 的单调性，结合端点值或趋势值确定 的符号与范围。 推导：代换后 是普通一元函数，按常规方法研究。 结论 4.3（双零点的对称关系）　（  ）时，两等式相减（或相除）可消去公共部分，得到 ， 的对称约束（如 ，取对数得  ）；该约束与对数平均不等式等工具配合，可证 、 型对称目标。 推导：两式相减，相同的项抵消；相除，相同的因子约去。 4.3 方法决策表 场景 处理 恒成立求参的临界状态 最优参数使构造函数在某点处”同时为零且导数为零”：设该点为 ，联立 ，由 解出参数（消元），代入 定临界值 恒成立的分离参数 化为 （或  ），按结论 4.1 定参数范围 最值函数 按结论 4.2 代入、求导、定号 双零点对称目标 按结论 4.3 相减或相除得约束，配合对数平均不等式 隐零点在这些场景中只承担”把不可解的方程关系转化为可代入的等量关系”这一步；其余推导与普通函数问题相同。 例题精讲 例 7（解答题） 已知函数 。当 时， 恒成立，求 的取值范围。 ●解析 时 即 恒成立，由结论 4.1，只需 不超过右式的最小值。记 （  ）， 。 由结论 3.3 的母不等式，（  ），故 。于是 时 ， 时 ， 在 上递减、 上递增，最小值 。故 。 例 8（单项选择题） 已知函数 ，当 、 时， 的根为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 的导数为 ；展开 ，减去 得 。故 。 令 ， 时约去 ：，得 。 例 9（解答题） 已知函数 （  ）。当 时，讨论 的单调性。 ●解析 。 时 、， 的符号由 决定。 （1）当 时，、，， 在 上单调递增。 （2）当 时，、，， 在 上单调递减。 （3）当 时，由例 8， 的根为 ： 时 ， 递增； 时 ， 递减。 例 10（解答题） 设函数 （  ）。证明：当 时，对任意 ，。 ●解析 时 ，故对 ： 。 由结论 3.3 的放缩链， 时 ，故 。于是 （  时  ）。 故 对一切 成立。 例 11（单项选择题） 对任意 ， 恒成立，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 4.1，只需 不小于 （  ）的最大值。， 。 记 （  时递增），，，由结论 2.2，存在唯一 使 ，即 。 时 ， 时 ， 的最大值为 。 由 得 ，即 （结论 3.1 的整体代换），故 的最大值为 ，，最小值为 。 变式训练 变 5（解答题） 接例 7：把条件改为”当 时， 恰好恒成立且 取到最大值”，说明此时不等式取等号的条件。 变 6（解答题） 接例 8 与例 9：当 时，记 在 上的最大值为 ，判断 的单调性并说明 。 变 7（解答题） 接例 10：证明当 时，对任意 都有 恒成立。 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数与导数之隐零点 高三数学专题复习 · 专题第三讲 0 题型概说 本讲研究的问题： 的方程中含有 （或  ）与 的混合结构，解不出显式的根；但零点确实存在且引起 变号。处理手段是隐零点方法——把解不出的零点用一个字母设出来，证明它存在并确定其位置，再把零点满足的关系式整体代入目标式消去超越部分。 识别信号总览： 问题特征 方法指向 单元 解不出根，但 的单调性与两端符号可判 判定隐零点存在并设元 单元一 需要知道隐零点的大致位置（如在某两数之间） 用改写后的零点方程夹逼 单元二 极值、最值中同时出现 与 （或  ） 由 解出超越式代入消元 单元三 恒成立求参、零点个数讨论的压轴形态 隐零点作为中间工具 单元四 单元一 隐零点的判定与设元 1.1 识别特征 由 与一次式、 与二次式、 与一次式混合而成， 化简后无法分离出 的显式表达式；同时 自身可导，且 的符号容易判定。 1.2 结论与推导 结论 1.1（隐零点的存在与唯一）　 在定义域 内连续不断， 在 内恒正（或恒负）使 单调，且 在 的两端（含趋势值）异号，则存在唯一的 使 。 推导：两端异号，由零点存在定理知 在 内有根； 单调，单调函数至多一个零点，故根唯一。 结论 1.2（设元后的结构）　设出隐零点 后： 与 时 的符号相反， 以 为极值点； 的值不直接计算，推理中只使用”“这一等式。 推导： 单调且在 处为零，故在 两侧符号相反， 的增减以 为界。 结论 1.3（分离参数定根数）　 含参数 时，可整理为 ：方程根的个数等于水平线 与 图象的公共点个数，由 的单调性、极值与两端趋势值判定。 推导：方程的同解变形；“方程有根”即”常数 属于 的取值范围”，交点个数即根的个数。 1.3 方法决策表 步骤 内容 ① 证 单调 求 ；若 （或  ）在定义域内恒成立，则 单调 ② 找两端异号 取定义域两端（含趋势值），验证 在两端取值（或趋势值）异号 ③ 设元 由结论 1.1，存在唯一 使 ；写出该等式备用 ④ 含参时分离 解不出单调性时，整理为 ，按结论 1.3 数交点 单调且两端异号，保证 在定义域内有且仅有一个根；这个根就是隐零点 。设元后， 在定义域内被 分成两段， 在 与 上符号相反。 例题精讲 例 1（单项选择题） 已知函数 ，当 时， 在 上的零点个数为（  ） A．　　B．　　C．　　D．与 有关 ●解析 ，记 ，则 （不在开区间内），。当 时，令 得 ： 时 递减，； 时 递增，且当 趋于 时 趋于 。由结论 1.1， 在 内有唯一零点 ，且 在 两侧变号。故 在 上恰有一个零点。 【答案】B 例 2（解答题） 已知函数 （  ），当 时，讨论 极值点的个数。 ●解析 定义域为 ，。，由 得 ，按结论 1.3 分离参数，记 （  ），则 ： 时 递增， 时 递减。故 的最大值为 ；且当 从右侧趋近于 时 趋于 ，当 趋于 时 趋于 。 当 时，水平线 与 的图象在 与 内各有一个交点，即 有两个根，且 在两根处都穿越水平线， 变号。故 有两个极值点。 【答案】 个。 变式训练 变 1（单项选择题） 已知函数 ，则” 恰有一个正零点”的充要条件是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，，。 当 时，，对一切 有 ，故 ， 在 上单调递增，从而 ， 在 上单调递增，，无正零点。 当 时，由例 1， 在 上有唯一零点 且两侧变号： 时 ， 递减，； 时 ， 递增，当 趋于 时 趋于 。故 在 内恰有一个正零点。 综上，充要条件为 。 【答案】B 单元二 隐零点位置的刻画 2.1 识别特征 后续推导需要隐零点的取值范围——证明 大于某常数、或介于某两数之间——而不是它的精确值。 2.2 结论与推导 结论 2.1（二次型判位）　开口向上的二次函数 的两零点为 ，对任意实数 ：； 或 。 推导：开口向上的二次函数在两零点之间取负值，在两零点之外取正值。 结论 2.2（单调夹逼）　 在区间 内单调，且 与 异号（含趋势值），则 的零点落在 内。把隐零点方程等价改写（如化为 、 ）后，代特殊值即可夹出 的范围。 推导：零点存在定理保证存在性，单调性保证唯一性；改写是同解变形，代入特殊值即比较函数值与零的大小。 结论 2.3（趋势值参与判位）　区间端点处函数无定义时，用”当 趋近于端点时函数值的趋势”代替端点值参与异号判定：连续不断的函数在端点附近的符号与趋势值一致。 推导：函数图象连续不断，其符号在无零点的地段不会改变。 2.3 方法决策表 手段 内容 改写零点方程 把 整理为 ：解出参数 ，或化为 二次型判位 ， 与常数 的位置由 的符号判定（结论 2.1） 单调夹逼 与 异号则零点在 内（结论 2.2） 位置刻画只要求范围，不要求精确值；夹逼区间取多大，由后续推导的需要决定。 例题精讲 例 3（多项选择题） 已知函数 （ ， ），则方程 的根的个数为（  ） A．当 时为 个　　B．当 时为 个 C．当 时为 个　　D．当 时为 个 ●解析 即 ，整理得 ，由结论 1.3 分离参数，记 （  ），则 。 记 ， 在 上单调递减且 ： 时 ，； 时 ，。故 在 上递增、在 上递减；且当 从右侧趋近于 时 趋于 ，，当 趋于 时 趋于 。 于是： 时， 在 上从 增到 ，恰有一个交点，A 正确； 时 ，无交点，B 正确； 时在 与 内各一个交点，共 个，C 错误，D 正确。 【答案】ABD 例 4（单项选择题） 函数 （  ）满足 。当 时， 的两个零点 与 的大小关系为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 ，记 ，开口向上。（因  ），由结论 2.1， 介于 的两零点之间，即 。 【答案】A 变式训练 变 2（单项选择题） 已知函数 （  ），（  ）。若 有两个不同的正根，则 的取值范围是（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 记 （  ）， 有两个不同正根等价于 在 内有两个零点。判别式 给出 ；两根 均为正要求 （否则两根之和  ）。故 。 【答案】A 变 3（单项选择题） 接例 4：在 时， 在 、、 上的单调性依次为（  ） A．增、减、增　　B．减、增、减　　C．增、增、减　　D．减、减、增 ●解析 ，， 与 同号。 开口向上，两零点之外取正值、两零点之间取负值（结论 2.1）： 时 ， 递增； 时 ， 递减； 时 ， 递增。 【答案】A 单元三 整体代换与消元 3.1 识别特征 目标式（极值 、最值、含 的差式）中同时出现 与 （或  ），无法直接求值或求范围。 3.2 结论与推导 结论 3.1（整体代换）　由 解出 、 或参数 ，代入目标式，把超越结构整体消去，得到只含 （或只含参数）的普通式子。 推导：等量代换—— 保证替换前后取值相等。 结论 3.2（化为普通函数问题）　代换后的式子是普通函数 ，其定义域取隐零点 所在的范围（由单元二给出）；对 求导、定号、求最值，与普通函数问题相同。 推导：代换后不再含未知的超越量，余下的都是初等函数的常规运算。 结论 3.3（母不等式与放缩链）　（ ， 时取等）；（ ， 时取等）。由此得常用放缩链： 与 （  ）；（ ，由 串成）。 推导：对 求导，， 在 处取最小值 ；对 求导，， 在 处取最小值 。 结论 3.4（同构脱壳）　等式或不等式两端出现同型结构 与 时， 单调则等价于比较 与 的大小。两端不同型时（如 与  ），先用结论 3.3 的放缩链化为同型；求参数范围时，用”特殊值逼出必要条件，母不等式验证充分性”两步合围。 推导：单调函数保序：（  递增时）。 3.3 方法决策表 步骤 内容 ① 解出超越式 由 解出 ，或 ，或参数 ② 代入目标式 把 中的 （或 、参数）换成 ，得到只含 的显式式子 ③ 化为普通函数问题 记 为代入后的式子，按普通函数求 的范围（求导、定号、求最值） ④ 两端同型时 按结论 3.4 脱壳；不同型时用母不等式（结论 3.3）搭桥 代换后是否需要再次求导，取决于 的形态； 的定义域即隐零点 所在的范围（由单元二给出）。 例题精讲 例 5（解答题） 已知函数 （  ）的最大值为 。把 表示为 （  的最大值点）的函数，并求 的最小值。 ●解析 定义域为 ，。记 ，则 ， 单调递减；，，由结论 1.1，存在唯一 使 ，即 ，且 在 上递增、在 上递减，最大值 。 由 得 ，即 ，且 。按结论 3.1 代入： 。 记 （  ），： 上递减、 上递增， 的最小值为 。故 的最小值为 。 【答案】（  为最大值点）；最小值为 。 例 6（填空题） 若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是________。 ●解析 原不等式即 。记 （  时  ），，不等式即 。 先求必要条件：取 （由 ， 时取到），不等式成为 。记 ， 在 上单调递增（导数为  ），且 ，故 ，得 。 再验证充分性： 时 ， 单调递增，故 （结论 3.4）；又 （母不等式 取  ），（母不等式 取  ），故 。故原不等式对一切 恒成立。 综上，。 【答案】 变式训练 变 4（单项选择题） 接例 5： 取得最小值时， 的值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由例 5， 的最小值在 处取得，此时 。 【答案】A 单元四 隐零点与恒成立、零点个数 4.1 识别特征 最终设问是恒成立求参数、或零点（切线）个数讨论；但直接推导时出现解不出根的导数方程——隐零点作为中间工具出现。 4.2 结论与推导 结论 4.1（分离参数与恒成立）　 在区间 上恒成立 不超过 在 上的最小值；当 取不到最小值时，等价于 不超过它的趋近界限（  恒成立且可以任意接近 时， ）。 推导：恒成立即不等式对 内每个 都成立，故 不超过所有函数值中的最小者；取不到最小值时，界限由趋势值充当。 结论 4.2（最值函数的性质）　最值随参数变化时记为 ：把最值点（显式点或隐零点）代入，得 的显式表达式；对 求导判定 的单调性，结合端点值或趋势值确定 的符号与范围。 推导：代换后 是普通一元函数，按常规方法研究。 结论 4.3（双零点的对称关系）　（  ）时，两等式相减（或相除）可消去公共部分，得到 ， 的对称约束（如 ，取对数得  ）；该约束与对数平均不等式等工具配合，可证 、 型对称目标。 推导：两式相减，相同的项抵消；相除，相同的因子约去。 4.3 方法决策表 场景 处理 恒成立求参的临界状态 最优参数使构造函数在某点处”同时为零且导数为零”：设该点为 ，联立 ，由 解出参数（消元），代入 定临界值 恒成立的分离参数 化为 （或  ），按结论 4.1 定参数范围 最值函数 按结论 4.2 代入、求导、定号 双零点对称目标 按结论 4.3 相减或相除得约束，配合对数平均不等式 隐零点在这些场景中只承担”把不可解的方程关系转化为可代入的等量关系”这一步；其余推导与普通函数问题相同。 例题精讲 例 7（解答题） 已知函数 。当 时， 恒成立，求 的取值范围。 ●解析 时 即 恒成立，由结论 4.1，只需 不超过右式的最小值。记 （  ）， 。 由结论 3.3 的母不等式，（  ），故 。于是 时 ， 时 ， 在 上递减、 上递增，最小值 。故 。 【答案】 例 8（单项选择题） 已知函数 ，当 、 时， 的根为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 的导数为 ；展开 ，减去 得 。故 。 令 ， 时约去 ：，得 。 【答案】A 例 9（解答题） 已知函数 （  ）。当 时，讨论 的单调性。 ●解析 。 时 、， 的符号由 决定。 （1）当 时，、，， 在 上单调递增。 （2）当 时，、，， 在 上单调递减。 （3）当 时，由例 8， 的根为 ： 时 ， 递增； 时 ， 递减。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减。 例 10（解答题） 设函数 （  ）。证明：当 时，对任意 ，。 ●解析 时 ，故对 ： 。 由结论 3.3 的放缩链， 时 ，故 。于是 （  时  ）。 故 对一切 成立。 【答案】证毕（见解析）。 例 11（单项选择题） 对任意 ， 恒成立，则 的最小值为（  ） A．　　B．　　C．　　D． ●解析 由结论 4.1，只需 不小于 （  ）的最大值。， 。 记 （  时递增），，，由结论 2.2，存在唯一 使 ，即 。 时 ， 时 ， 的最大值为 。 由 得 ，即 （结论 3.1 的整体代换），故 的最大值为 ，，最小值为 。 【答案】A 变式训练 变 5（解答题） 接例 7：把条件改为”当 时， 恰好恒成立且 取到最大值”，说明此时不等式取等号的条件。 ●解析 由例 7， 的最大值为 。此时 ，取等号当且仅当 取最小值，即 ：验证 ，等号成立。故等号条件为 （且  ）。 【答案】 时等号在 处成立。 变 6（解答题） 接例 8 与例 9：当 时，记 在 上的最大值为 ，判断 的单调性并说明 。 ●解析 由例 8 与例 9，最大值点为 ，代入（按结论 4.2）： 。 其中 ，商为 。故 。 。因 ，分子恒正、分母 ，故 ， 在 上单调递减；当 从左侧趋近于 时 趋近于 ，故 。 【答案】 在 上单调递减，且 。 变 7（解答题） 接例 10：证明当 时，对任意 都有 恒成立。 ●解析 分两段。当 ：，而 、，故 ；又 时 ，故 。当 ：由例 10 已证 。两段合并，对任意 均有 。 【答案】证毕（见解析）。 学科网（北京）股份有限公司 $