第02讲函数的性质专项训练（6大题型32题）-2027届高三数学一轮复习

高中数学·题型专项训练系列 第02讲 函数的性质 专项训练（6大题型32题） （解析版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　单调性判断与证明 基础 第1—6题 6 题型二　由单调性求参数与解不等式 重点 第7—10题 4 题型三　奇偶性判断与求值求参 重点 第11—16题 6 题型四　周期性 常考 第17—21题 5 题型五　对称性 常考 第22—26题 5 题型六　最值与恒成立 难点 第27—32题 6 题型通关 · 靶向提分 题型一　单调性判断与证明（共6小题） 【知识积累】 定义法：取值（ 且 ）→作差 →变形→定号→结论。作差后化成因式之积，符号由各因式决定。 分段函数：先按零点分段去掉绝对值，再在各段上判断单调性；分段点处要比较左右函数值，保证整体单调“接得上”。 抽象函数：先用赋值法求 、 等，再把 化成已知符号的表达式；如 型（），令 、（）；注意不能由此求 。 概念辨析：举反例否定、用定义证明肯定；“任意”与“存在”不能互换，单调区间不能用并集连接。 易错：只证 时的个别取值；含绝对值时漏掉分段点；把“在区间上增”写成“在定义域上增”。 【典例1】 1．（解答题） （2025·四川绵阳·一模） 设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为、. (2). 【分析】（1）将函数式改写为，结合二次函数的性质确定单调区间； （2）由题设，问题化为上，利用对勾函数及复合函数的性质判断相关函数的区间单调性，进而求最值，即可得. 【详解】（1）由题设，即， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为、. （2）由题设，在上恒成立，则恒成立， 所以，只需， 由在上单调递增，在上单调递减，故， 由在上单调递减，故， 所以. 【典例2】 2．（多选题） （2026·山东青岛·模拟预测） 已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．对任意，，且，都有 B．对任意，，都有 C．设符号表示不超过的最大整数，可能为，0，1 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【分析】A.先判断奇函数在R上单调递增， 由增函数等价定义可判断；B．利用作差法，证明，从而得证；C．再取整可得；D.分和讨论，求两种情况的解集的并集. 【详解】对于A. ，因为，则是奇函数， 当时，在单调递增；则在也单调递增， 又因时函数有定义，则在R上单调递增，即对任意，，且，都有，A正确； 对于B．当时，， 则， 由 ， 因为，所以分母恒为正；分子 ，故， 即，当且仅当 时取等号，B正确； 对于C．，即， 当时，；当时，； 即只能取，不能取到，C错误； D．①当 时，，， ，因，则可得，解得； ②当 时，，， ，因，则可得，解得. 综上可得，的解集为，D 正确. 【变式1】 3．（多选题） （2026·福建泉州·模拟预测） 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【详解】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 【变式2】 4．（解答题） （25-26高三上·山西太原·阶段检测） 已知函数. (1)写出的单调区间； (2)解不等式. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【分析】（1）分段去绝对值符号，再结合二次函数单调性求出单调区间. （2）分段求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，，由，得，则； 当时，，由，得无实数解， 所以不等式的解集为. 【变式3】 5．（单选题） （2026·北京顺义·三模） 设，函数则（    ） A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的 C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的 【答案】C 【分析】分别分析各分段区间的单调性、端点函数值，结合趋向负无穷时取值趋势判断最值情况. 【详解】当时，，其中，故在上函数单调递增； 当时，，因此无最小值，直接排除A、B选项. 当时，，其中，故在上函数单调递减. 当时，，该函数在上单调递减，在处取值为； 当时，处的右极限为， 因为，所以，所以函数在上不是单调递减函数，D错误. 综上，C正确. 【变式4】 6．（多选题） （2026·山西忻州·模拟预测） 已知函数满足，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．若，则，且 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，先赋值求得，，再令，可得即可判断；对于B，根据函数单调性的定义结合奇偶性，可得函数在上单调递增，在上单调递减，进而解不等式即可判断；对于C，赋值，可得，进而得到，再根据函数的单调性判断即可；对于D，赋值，可得，进而可得，，再赋值，可得，进而结合函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，由， 令，得，即， 令，得，则，即， 令，得，则函数为偶函数，故A正确； 对于B，任取，且， 由，则， 所以，由于，则， 所以，即， 则函数在上单调递增，又为偶函数，则函数在上单调递减， 由，且，得， 则且，解得，且，故B正确； 对于C，由，， 令，则，即， 所以， 由B知，函数在上单调递增，则，故C错误； 对于D，由，， 令，则，即， 则， ， 由，令，，得， 则， 由于函数在上单调递增，则， 则，故D正确. 题型二　由单调性求参数与解不等式（共4小题） 【知识积累】 二次函数单调求参：开口向上时，在 上递增 对称轴 ，递减 对称轴 ；端点可取等号。 分段函数整体单调：各段同向，且分段点处左段端点值不大于（递增）或不小于（递减）右段端点值；两个条件缺一不可。 由奇偶性解不等式：奇函数把 写成 ，偶函数写成 ；去 后用单调性，最后与定义域取交集。 对勾函数： 在 、 上递减，分段点参数要满足整体单调。 易错：漏端点等号；只比较对称轴与区间一个端点；解不等式忘记写定义域。 【典例1】 7．（多选题） （2026·河北沧州·模拟预测） 已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 【典例2】 8．（单选题） （2026·湖南常德·一模） 已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】B 【详解】对函数，由对勾函数可得在和上单调递减， 因为函数在上单调递减，在上单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为2. 【变式1】 9．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 【变式2】 10．（单选题） （25-26高三上·云南昆明·阶段检测） 已知二次函数在区间上是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数的性质计算可得. 【详解】由题意可得二次函数的开口向上，对称轴， 因为二次函数在区间上是增函数， 所以. 故选：A. 题型三　奇偶性判断与求值求参（共6小题） 【知识积累】 判断步骤：先看定义域是否关于原点对称；再算 并与 比较；定义域不对称时既非奇也非偶。 求参数：用 对任意 恒成立比较系数；若 在定义域内，奇函数先用 求必要条件，再回代验证。 分段奇函数：已知 的解析式，求 时用 ，其中 ；分段点 单独检查。 抽象函数：赋值求 、，再证 ；赋值必须在定义域内，且要说明“对任意 成立”。 易错：只代特殊值就下结论；求出参数不回代；忽略定义域端点。 【典例1】 11．（解答题） （2025·四川绵阳·模拟预测） 设函数，其中，. (1)若函数为上的奇函数，求函数的解析式； (2)若，当时，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义进行求解即可； （2）把不等式问题转化为两个函数大小问题，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】（1）因为函数为上的奇函数， 所以有，即， 又有， 该等式在时恒成立，因此有； （2）因为，所以， 由当时，由， 设函数， 问题转化为当时，， 两个函数在同一直角坐标系的图象如下图所示： 由数形结合思想可知： 两个函数的图象一定有交点， 射线与双曲线的交点横坐标为， 因此要想当时，，只需， 实数的取值范围为. 【典例2】 12．（解答题） （25-26高三上·江西·阶段检测） 已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【答案】(1)0； (2)奇函数； (3)且，令，则，即, 因，则， 故，即， 则，所以函数在区间上单调递增. 【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值； （2）利用奇函数的定义推理判断； （3）利用增函数的定义推理得证. 【详解】（1）对于任意的 ，均有 。取 ，得 ，即 。 （2）函数 的定义域为 。对 ，令 ，，得 ，所以 ，因此 ，即 为奇函数。 （3）任取 ，且 ，令 ，。因为 ，所以 ，且 。由已知关系式得 。由（2）知 ，所以 。因为 ，，所以 ，又已知 时 ，故 ，即 。所以 在 上单调递增。 【变式1】 13．（解答题） （21-22高三上·宁夏银川·阶段检测） 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）当时，，根据函数图象其位于上方时，x的取值范围是，即不等式的解集是； （2）根据题意分析可得，要使不等式恒成立，只需保证将向右平移一个单位以后的函数图象恒在图象的下方，从而可以得到关于a的不等式：，即的取值范围是. 【详解】（1）当时，， 又函数为奇函数，故根据图象，不等式的解集为：； （2）∵当时，，由是奇函数，可作出的图象，如下图所示. 又因为，所以的图象恒在图象的下方，即将的图象往右平移一个单位后恒在图象的下方， ∴，解得. 【点睛】本题考查奇函数的性质，考查分段函数的图象问题，属于中档题. 【变式2】 14．（单选题） （2026·山东·模拟预测） 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由为奇函数，得，令即可求解． 【详解】由为奇函数，得， 令，得， 得，由， 得． 【变式3】 15．（单选题） （2026·陕西西安·模拟预测） 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 为奇函数，，解得， 时，， ，符合题意， ． 【变式4】 16．（填空题） （2026·北京·三模） 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 【答案】 1 0 1 【分析】根据奇函数的定义得出即可求解． 【详解】因为是上奇函数，所以， 当时，，， 则， 由得， 所以满足的即为奇函数， 所以可取． 题型四　周期性（共5小题） 【知识积累】 定义：存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则 是 的一个周期。 常用变形： 或 推出周期 ； 也推出周期 。 求值：把自变量减去整数个周期，化到已知区间；负自变量再用奇偶性化正。 求和：先算一个周期内的和，再按“整周期数 周期长 余项”处理；余项逐项算，不要漏首项。 易错：把 的周期当成 ；求 时漏用奇函数在 处的值。 【典例1】 17．（解答题） （25-26高三上·河北石家庄·阶段检测） 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【答案】(1) ∵对任意实数，恒有， ∴， ∴函数是周期为4的周期函数. (2) (3)1 【分析】（1）利用周期函数定义证明即可； （2）当时，可得出，再由可求得解析式； （3）计算出的值，再利用函数的周期性即可解出. 【详解】（1）因为对任意实数 ，恒有 ，所以 ，故 是周期为 的周期函数。 （2）由 得 。当 时，，此时 。 （3）当 时，；当 时，。所以 ，，，，故 。又 的一个周期为 ，且 ，所以 。 【典例2】 18．（单选题） （25-26高三上·陕西榆林·阶段检测） 设函数满足对任意成立，且当时，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据周期的定义即可求解． 【详解】因为函数满足对任意成立， 所以周期为4，又当时，， 所以， 故选：C． 【变式1】 19．（单选题） （2026·湖南株洲·模拟预测） 已知是定义在上且周期为2的奇函数，则（   ） A．12 B．-12 C．0 D．-3 【答案】C 【分析】结合奇函数性质和周期性求解即可. 【详解】由周期为2，可得；是上的奇函数，故. 所以，； 所以. 【变式2】 20．（单选题） （2026·江苏泰州·模拟预测） 已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和周期性求解 【详解】由函数是奇函数，得， 即① 由是偶函数，得② 由，得③ ∴，. 代入②，得④ 由①得⑤ 由④⑤得⑥ 即⑦ 由⑦得， 所以以4为周期. 因为，所以， 由⑤得， 又，∴. 由⑦得， ,， 所以， . 【变式3】 21．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足．当时，，则________． 【答案】8 【详解】因为，所以是以3为周期的周期函数，所以． 题型五　对称性（共5小题） 【知识积累】 轴对称：（或 ） 图象关于直线 对称。 中心对称：（或 ） 图象关于点 对称。 求对称中心：把函数拆成“奇函数 常数”或“平移后的奇函数”，先找奇函数的中心，再按平移量改写坐标。 对称与周期：两条对称轴或两个对称中心得周期 ；一轴一中心得周期 。 易错：把对称轴写成 ；中心对称纵坐标漏除以 ；把“关于点对称”与“关于直线对称”混用。 【典例1】 22．（单选题） （2026·陕西咸阳·三模） 已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数图像平移的性质得到和的对称中心，从而得到，再令，解得两点的横坐标，再求出的值. 【详解】可看成是平移得到，所以对称中心为. ， 令，则， 所以为奇函数，对称中心为. ， 的对称中心为. 和有相同的对称中心,，即. 则直线为， 令，解得， 由题意知两点在直线上， 所以. 【典例2】 23．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【答案】C 【分析】先判断的对称性，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】令函数，则， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 可得的图象关于点中心对称， 即当，可得， 设， ， 所以 ， 所以． 【变式1】 24．（多选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，得到和，结合选项，利用赋值法和累加法，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且函数图象关于中心对称， 所以， 又因为，所以， 取可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，， 累加之后，可得，所以B正确； 对于C，由和，可得周期不是2026，所以C错误； 对于D，由且， 因为函数图象关于中心对称，且， 由，可得， 所以 ，所以D正确．] 【变式2】 25．（多选题） （2026·山东潍坊·模拟预测） 已知函数，的定义域均为，且，，若是偶函数，，则（    ） A．关于直线对称 B．4是的一个周期 C．是偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】替换关系式中的自变量，整理得到函数的对称轴和对称中心，以及周期，判断ABC选项.根据周期即可判断D选项. 【详解】由，用代入，得， 所以， 所以函数关于点对称； 又因为是偶函数，即，A选项正确； 所以，则， 所以，所以， ，所以， 所以4是函数的一个周期，B选项正确； 所以，用代入，得， 则函数关于点对称，C选项错误； 因为奇数的平方可以表示为， 所以所有奇数的平方除以4余数都是1，所有偶数的平方除以4余数都是0， 所以中共有1014个奇数的平方，每个奇数平方除以4余数是1， 偶数平方除以4余数都是0， 所以总和除以4的余数等于为1014除以4的余数，为2，结合函数的周期为4， 得，D选项正确. 【变式3】 26．（单选题） （2026·北京·三模） 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数，那么，，通过代换计算出函数的周期及特殊点的函数值即可求解. 【详解】根据奇函数与偶函数的定义可知，是奇函数，是偶函数， 那么，， 又函数的定义域为， 所以，令，得 ， 即， 令，得 即，所以，， 又，所以，， 令，得，所以， 令，得 ，即 由可得 ，故函数周期为4, ，故选项D正确， 对于选项A，构造函数,，周期为4，但， 选项A不一定成立，故A错误； 对于选项B，同样构造函数，， 选项B不一定成立，故B错误； 对于选项C，，结合选项A可知，不一定成立，故C错误. 题型六　最值与恒成立（共6小题） 【知识积累】 二次函数闭区间最值：对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分别求；轴在内部时顶点值与端点值比较。 动区间最值：轴定区间动时，按区间与对称轴的相对位置分三段，写出分段函数 ；边界点归入哪一段要写清。 恒成立：，；。 存在性：，；与恒成立方向相反，先看量词再转化。 易错：开区间上直接代端点；分离参数时没判断除式符号；对勾函数最值点不在区间内仍套 。 【典例1】 27．（解答题） （25-26高三上·安徽·期中） 已知函数是二次函数，其函数图象过点，且在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为. (1)求函数的解析式； (2)若函数满足，且在区间上的值域为，求m、n的值. 【答案】(1)或； (2)，. 【分析】（1）利用待定系数法设出方程，根据条件列出等量关系，求解系数即可； （2）根据对称轴和区间的位置关系，分情况讨论，得出方程组，求解可得答案. 【详解】（1）设函数，又函数在y轴上的截距为1， 则，函数图象过点，所以， 设的两根为，，由在轴上截得的线段长为得： ，所以， 将代入解得：或， 所以或； （2）因为函数满足，所以， 当时，在区间上单调递增， 所以，，即， 所以m、n是方程的两个不同实根，而方程的两根异号，不合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，且， 由，得， 于是，而， 所以，即，所以，解得， 此时，，， 当时，在区间上单调递减，所以，， 即，此方程组无实数解， 综上，，. 【典例2】 28．（解答题） （25-26高三上·河南南阳·期中） 已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法求解析式； （2）分、和三种情况讨论最值，列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 从而，故. （2）由（1）可知，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 当，即时，在上单调递减， 则，则. 综上，的取值集合是. 【变式1】 29．（解答题） （25-26高三上·江苏盐城·开学考试） 已知二次函数满足，且有最小值. (1)求的解析式； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）设出函数解析式，利用待定系数法求解. （2）根据给定条件，列出恒成立的不等式并分离参数求解. （3）按函数图象对称轴与区间位置关系分类求出最小值. 【详解】（1）依题意，设，由，得，则， 所以的解析式为. （2）由（1）知：，由，函数的图象总在一次函数的图象的下方， 得在上恒成立， 函数图象开口向上，对称轴为，则函数在上单调递减， 则当时，，因此， 所以实数的取值范围为. （3）函数图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则； 所以． 【变式2】 30．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数在区间上单调递增，且存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将问题转化为，再求出函数的最大值即可求出参数范围. 【详解】因为在单调递增，所以， 当时，可得，要存在，使得， 只需，即的取值范围为. 【变式3】 31．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 【变式4】 32．（单选题） （2026·湖北武汉·模拟预测） 已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 第02讲 函数的性质 专项训练（6大题型32题） （原卷版） 2026-2027学年高三一轮复习 数学 题型归纳 · 内容导航 题型 定位 题号 题数 题型一　单调性判断与证明 基础 第1—6题 6 题型二　由单调性求参数与解不等式 重点 第7—10题 4 题型三　奇偶性判断与求值求参 重点 第11—16题 6 题型四　周期性 常考 第17—21题 5 题型五　对称性 常考 第22—26题 5 题型六　最值与恒成立 难点 第27—32题 6 题型通关 · 靶向提分 题型一　单调性判断与证明（共6小题） 【知识积累】 定义法：取值（ 且 ）→作差 →变形→定号→结论。作差后化成因式之积，符号由各因式决定。 分段函数：先按零点分段去掉绝对值，再在各段上判断单调性；分段点处要比较左右函数值，保证整体单调“接得上”。 抽象函数：先用赋值法求 、 等，再把 化成已知符号的表达式；如 型（），令 、（）；注意不能由此求 。 概念辨析：举反例否定、用定义证明肯定；“任意”与“存在”不能互换，单调区间不能用并集连接。 易错：只证 时的个别取值；含绝对值时漏掉分段点；把“在区间上增”写成“在定义域上增”。 【典例1】 1．（解答题） （2025·四川绵阳·一模） 设函数. (1)若，写出函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围. 【典例2】 2．（多选题） （2026·山东青岛·模拟预测） 已知函数，则以下结论正确的是（    ） A．对任意，，且，都有 B．对任意，，都有 C．设符号表示不超过的最大整数，可能为，0，1 D．不等式的解集为 【变式1】 3．（多选题） （2026·福建泉州·模拟预测） 已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【变式2】 4．（解答题） （25-26高三上·山西太原·阶段检测） 已知函数. (1)写出的单调区间； (2)解不等式. 【变式3】 5．（单选题） （2026·北京顺义·三模） 设，函数则（    ） A．有最小值且在上是单调递减的 B．有最小值且在上是单调递减的 C．无最小值且在上是单调递减的 D．无最小值，且在是单调递减的 【变式4】 6．（多选题） （2026·山西忻州·模拟预测） 已知函数满足，当时，，则（    ） A．为偶函数 B．若，则，且 C．若，则 D．若，则 题型二　由单调性求参数与解不等式（共4小题） 【知识积累】 二次函数单调求参：开口向上时，在 上递增 对称轴 ，递减 对称轴 ；端点可取等号。 分段函数整体单调：各段同向，且分段点处左段端点值不大于（递增）或不小于（递减）右段端点值；两个条件缺一不可。 由奇偶性解不等式：奇函数把 写成 ，偶函数写成 ；去 后用单调性，最后与定义域取交集。 对勾函数： 在 、 上递减，分段点参数要满足整体单调。 易错：漏端点等号；只比较对称轴与区间一个端点；解不等式忘记写定义域。 【典例1】 7．（多选题） （2026·河北沧州·模拟预测） 已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】 8．（单选题） （2026·湖南常德·一模） 已知函数 在 上单调递减，则 的最小值是（    ） A． B．2 C． D．5 【变式1】 9．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】 10．（单选题） （25-26高三上·云南昆明·阶段检测） 已知二次函数在区间上是增函数，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型三　奇偶性判断与求值求参（共6小题） 【知识积累】 判断步骤：先看定义域是否关于原点对称；再算 并与 比较；定义域不对称时既非奇也非偶。 求参数：用 对任意 恒成立比较系数；若 在定义域内，奇函数先用 求必要条件，再回代验证。 分段奇函数：已知 的解析式，求 时用 ，其中 ；分段点 单独检查。 抽象函数：赋值求 、，再证 ；赋值必须在定义域内，且要说明“对任意 成立”。 易错：只代特殊值就下结论；求出参数不回代；忽略定义域端点。 【典例1】 11．（解答题） （2025·四川绵阳·模拟预测） 设函数，其中，. (1)若函数为上的奇函数，求函数的解析式； (2)若，当时，，求实数的取值范围. 【典例2】 12．（解答题） （25-26高三上·江西·阶段检测） 已知定义在上的函数满足：对于任意的，均有，且当时，. (1)求； (2)探究的奇偶性； (3)用定义法证明在区间上单调递增. 【变式1】 13．（解答题） （21-22高三上·宁夏银川·阶段检测） 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）当时，求不等式的解集； （2）若，求实数的取值范围. 【变式2】 14．（单选题） （2026·山东·模拟预测） 已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，则（     ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【变式3】 15．（单选题） （2026·陕西西安·模拟预测） 若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【变式4】 16．（填空题） （2026·北京·三模） 能说明命题“若是奇函数，则”为假命题的一组的值可以是______，______，______． 题型四　周期性（共5小题） 【知识积累】 定义：存在非零常数 ，使对定义域内任意 都有 ，则 是 的一个周期。 常用变形： 或 推出周期 ； 也推出周期 。 求值：把自变量减去整数个周期，化到已知区间；负自变量再用奇偶性化正。 求和：先算一个周期内的和，再按“整周期数 周期长 余项”处理；余项逐项算，不要漏首项。 易错：把 的周期当成 ；求 时漏用奇函数在 处的值。 【典例1】 17．（解答题） （25-26高三上·河北石家庄·阶段检测） 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，． (1)求证：是周期函数； (2)当时，求的解析式； (3)计算 【典例2】 18．（单选题） （25-26高三上·陕西榆林·阶段检测） 设函数满足对任意成立，且当时，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式1】 19．（单选题） （2026·湖南株洲·模拟预测） 已知是定义在上且周期为2的奇函数，则（   ） A．12 B．-12 C．0 D．-3 【变式2】 20．（单选题） （2026·江苏泰州·模拟预测） 已知函数，的定义域均为，函数是奇函数，函数是偶函数.若，，则（    ） A．100 B．225 C．400 D．2026 【变式3】 21．（填空题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数满足．当时，，则________． 题型五　对称性（共5小题） 【知识积累】 轴对称：（或 ） 图象关于直线 对称。 中心对称：（或 ） 图象关于点 对称。 求对称中心：把函数拆成“奇函数 常数”或“平移后的奇函数”，先找奇函数的中心，再按平移量改写坐标。 对称与周期：两条对称轴或两个对称中心得周期 ；一轴一中心得周期 。 易错：把对称轴写成 ；中心对称纵坐标漏除以 ；把“关于点对称”与“关于直线对称”混用。 【典例1】 22．（单选题） （2026·陕西咸阳·三模） 已知函数，，，和有相同的对称中心.若直线与的图象交于两点，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】 23．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 设函数的定义域为，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ） A．2025 B．4049 C．4050 D．8100 【变式1】 24．（多选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】 25．（多选题） （2026·山东潍坊·模拟预测） 已知函数，的定义域均为，且，，若是偶函数，，则（    ） A．关于直线对称 B．4是的一个周期 C．是偶函数 D． 【变式3】 26．（单选题） （2026·北京·三模） 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则一定有（     ） A． B． C． D． 题型六　最值与恒成立（共6小题） 【知识积累】 二次函数闭区间最值：对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况分别求；轴在内部时顶点值与端点值比较。 动区间最值：轴定区间动时，按区间与对称轴的相对位置分三段，写出分段函数 ；边界点归入哪一段要写清。 恒成立：，；。 存在性：，；与恒成立方向相反，先看量词再转化。 易错：开区间上直接代端点；分离参数时没判断除式符号；对勾函数最值点不在区间内仍套 。 【典例1】 27．（解答题） （25-26高三上·安徽·期中） 已知函数是二次函数，其函数图象过点，且在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为. (1)求函数的解析式； (2)若函数满足，且在区间上的值域为，求m、n的值. 【典例2】 28．（解答题） （25-26高三上·河南南阳·期中） 已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【变式1】 29．（解答题） （25-26高三上·江苏盐城·开学考试） 已知二次函数满足，且有最小值. (1)求的解析式； (2)在上，函数的图象总在一次函数的图象的下方，试确定实数的取值范围； (3)设当时，函数的最小值为，求的解析式． 【变式2】 30．（解答题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数在区间上单调递增，且存在，使得，求实数的取值范围. 【变式3】 31．（单选题） （25-26高三·全国·一轮复习） 已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式4】 32．（单选题） （2026·湖北武汉·模拟预测） 已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $